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Instrumentacao e Controlo de ProcessosJosé Paulo Mota c⃝ 1997-2011, V. 4.3

Instrumentação e Controlo de

Processos

José Paulo Mota

DQ – FCT/UNL


Instrumentação e Controlo de Processos

Responsabilidade e Docência

• Prof. José Paulo Mota

DQ – Edifício Departamental, 5o piso, Gabinete 503

E-mail: [email protected]

Bibliografia recomendada

• B. A. Ogunnaike, W. H. Ray, Process Dynamics, Modelling, and Control, Oxford Uni-

versity Press, 1994.

• D. M. Considine, Process Instruments and Control Handbook, McGraw Hill, 1974.

• J. W. Dally, et al., Instrumentation for Engineering Measurements, John Wiley & Sons,

1984.

• G. Stephanopoulos, Chemical Process Control – An Introduction to Theory and Practice,

Prentice/Hall, 1984.

• G. F. Franklin, J. D. Powel, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems,

Addison-Wesley, 1986.

• D. E. Seborg, T. F. Edgar, D. A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, John Wiley

& Sons, 1989.

0.1

Instrumentacao e Controlo de Processos

Conteúdo

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 1

Modelação Matemática de Processos Químicos . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 2

Dinâmica de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 3

Método da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 4

Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 5

Modelação Empírica de Processos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 6

Controlo Realimentado em Cadeia Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 7

Comportamento Dinâmico de Controladores em Cadeia Fechada . . . . . . . . . Cap. 8

Estabilidade de Sistemas de Controlo em Cadeia Fechada . . . . . . . . . . . Cap. 9

Sintonização e Afinação de Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 10

Configurações de Controlo Mais Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . Cap. 11

0.2


Introdução

Conteúdo

1 Incentivos e justificação económica para o controlo automático de processos

químicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Elementos de projecto de um sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Objectivos do sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Classificação das variáveis num processo químico . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Classificação das medições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Configurações de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5 Graus de liberdade de um processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Elementos constituintes de um sistema de controlo . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Exemplo: controlo automático de um tanque agitado de aquecimento . . . . . . 7

1 Incentivos e justificação económica para o controlo automático deprocessos químicos

Actualmente, os processos industriais tendem a ser predominantemente contínuos, sujeitos a es-

pecificações de rendimento elevado e a normas cada vez mais exigentes de segurança e de emis-

são de poluentes, e com elevada integração relativamente à circulação de energia e de materiais.

Nestes processos, as pequenas capacidades de sobretensão existentes entre as várias unidades

processuais são insuficientes para, na ausência de sistemas de controlo, evitar que perturbações

se propaguem entre unidades interligadas. A supressão do impacto que as perturbações têm

na operação das unidades processuais é uma das razões principais para a utilização de

sistemas de controlo na indústria química.

O retorno económico da utilização de um sistema automático de controlo inclui a redu-

ção dos custos de operação, de manutenção e de produtos fora de especificação, bem como a

melhoria da operacionalidade do processo e aumento da produtividade.

1.1


Um processo químico é por natureza dinâmico, isto é, as variáveis que lhe estão associadas

variam com o tempo. Consequentemente, para que os objectivos definidos sejam atingidos é ne-

cessário monitorizar (medir) e introduzir mudanças (actuar) nas variáveis críticas do processo

que estão relacionadas com a qualidade dos produtos, com as taxas de produção, com a segu-

rança, e com a taxa de emissão de poluentes. Resumindo: num processo químico é necessário

manter as variáveis do processo dentro das gamas de operação permitidas e garantir as especifi-

cações (quantidade e qualidade) dos produtos. Para isso, é necessário medir (monitorizar) o

desempenho do processo e actuar nele (controlar) para cumprir os objectivos processuais.

2 Elementos de projecto de um sistema de controlo

O projecto de um sistema de controlo envolve a definição dos objectivos de controlo, a selecção

das variáveis físicas a medir e das variáveis manipuladas, a escolha da configuração de controlo

(cadeia de controlo), e a identificação das leis de controlo apropriadas (controlador).

2.1 Objectivos do sistema de controlo

Os objectivos de um sistema de controlo num processo químico estão normalmente relacionados

com:

• Supressão da influência de perturbações externas, que é o objectivo mais comum na in-

dústria química;

• Manutenção da estabilidade do processo;

• Optimização do desempenho do processo;

• Uma combinação das alíneas anteriores.

2.2 Classificação das variáveis num processo químico

As variáveis associadas a um processo químico podem ser divididas em dois grupos:

1. Variáveis de entrada; são as que quantificam os efeitos exercidos pelo meio exterior sobre

o processo. Estas variáveis podem ser classificadas em duas categorias:

(a) Variáveis manipuladas ou ajustadas; se os seus valores são ajustados por um opera-

dor ou por um mecanismo de controlo.

1.2


(b) Variáveis de carga (ou perturbações); se os seus valores não são ajustados por um

operador ou por um sistema de controlo e se os seus efeitos sobre as variáveis con-

troladas não são desprezáveis. Estas variáveis podem eventualmente ser medidas.

2. Variáveis de saída; fornecem informação sobre o estado interno do processo. Podem ou

não ser controladas, e dividem-se em dois grupos:

(a) Variáveis medidas; se os seus valores são monitorizados directamente.

(b) Variáveis não medidas; se os seus valores não podem ou não são monitorizados

directamente.

2.3 Classificação das medições

As medições efectuadas num processo dividem-se nas seguintes categorias:

1. Medições primárias; se a variável de saída medida representa directamente um objectivo

de controlo. Estas medições são efectuadas sempre que possível.

2. Medições secundárias; sempre que um objectivo de controlo não pode ser medido di-

rectamente, recorre-se a medições de variáveis de saída que estão relacionadas com o

objectivo através de relações matemáticas.

3. Medições directas das variáveis de carga; estas medições são efectuadas em algumas

configurações de controlo, como, por exemplo, no controlo pré-alimentado, com o objec-

tivo de compensar o efeito das variáveis de carga sobre processo antes que esse efeito se

manifeste nas variáveis de saída.

2.4 Configurações de controlo

Uma configuração de controlo é a estrutura de informação que é utilizada para relacionar as

medições efectuadas com as variáveis manipuladas. As configurações de controlo dividem-se

em dois grandes grupos tendo em conta o número de saídas controladas e o número de entradas

manipuladas do processo:

• Configurações SISO (single-input, single-output); quando existe uma única variável ma-

nipulada e uma única variável controlada.

1.3


Carga

PROCESSO

CONTROLADOR

MEDIDORACTUADOR

Variável controladaVariável manipulada

Valor de referência

(set-point)

Figura 1: Estrutura genérica do controlo realimentado em cadeia fechada.

• Configurações MIMO (multiple-input, multiple-output); quando existe mais do que uma

variável controlada ou mais do que uma variável manipulada.

As configurações de controlo também podem ser classificadas de acordo com o tipo de

variável medida ou com o tipo de de variável manipulada. De acordo com esta classificação, os

dois tipos de configurações mais importantes são:

1. Controlo realimentado em cadeia fechada—Feedback control (Fig. 1): utiliza as medições

directas das variáveis controladas, ou medições secundárias de variáveis de saída, caso as

variáveis controladas não possam ser medidas, para ajustar os valores das variáveis mani-

puladas. Neste tipo de configuração as variáveis de carga (perturbações) não são medidas.

O controlo em feedback não produz uma “acção de regulação perfeita” porque a acção

de correcção só se inicia depois da variável controlada se ter desviado do valor preten-

dido. No entanto, uma vantagem extremamente importante deste tipo de controlo reside

no facto de a acção de correcção se efectuar independentemente da fonte de perturbação.

2. Controlo pré-alimentado em cadeia aberta—Feedforward control (Fig. 2): utiliza as me-

dições directas das variáveis de carga para ajustar os valores das variáveis manipuladas.

Este tipo de controlo exige a medição de todas as variáveis de carga e o conhecimento

detalhado da dinâmica (modelo) do processo para que as perturbações possam ser com-

pensadas sem esperar pela variação da variável controlada indicativa da ocorrência da

perturbação. Como na prática a dinâmica do processo não é conhecida com exactidão,

1.4


Carga

PROCESSO

CONTROLADOR

MEDIDOR

ACTUADOR

Variável

controlada

Variável

manipulada

Valor de

referência

(set-point)

Figura 2: Estrutura genérica do controlo pré-alimentado em cadeia aberta.

este tipo de controlo é normalmente utilizado em combinação com o controlo realimen-

tado em cadeia fechada.

2.5 Graus de liberdade de um processo

Os graus de liberdade de um processo são as variáveis independentes que têm de ser especifi-

cadas para definir completamente o processo, ou seja, para determinar as restantes variáveis do

process. Quando se dispõe de um modelo do processo, o número de graus de liberdade, NGL, é

dado por

NGL = NV − NE, (1)

em que NV é o número de variáveis do processo e NE é o número de equações independentes que

constituem o modelo. Em geral, a adição de uma cadeia controlo simples introduz uma equação

adicional—a lei de controlo—e, consequentemente, elimina um grau de liberdade—a variá-

vel manipulada. Pode argumentar-se que a lei de controlo também introduz no processo uma

variável nova—o set-point. No entanto, o valor do set-point é normalmente especificado pelo

operador ou é determinado por um sistema de controlo supervisor. Concluindo: o resultado

prático do controlo de uma variável de processo é a eliminação de um grau de liberdade.

Assim, pode afirmar-se que um objectivo do controlo automático é a redução do número

de graus de liberdade do processo, por meios mecânicos, pneumáticos ou electrónicos. Um

processo está sob controlo automático total quando o número de graus de liberdade respeitantes

às variáveis de desempenho do processo é zero.

1.5


Utilização dos graus de liberdade. Para um processo que não está completamente especifi-

cado (NGL > 0), os graus de liberdade são utilizados de duas formas:

1. Como variáveis manipuladas;

2. Como variáveis de processo que são fixadas (determinadas) pelo meio exterior ao pro-

cesso.

Consequentemente,

NGL = NM + NS , (2)

em que NM é o número de variáveis manipuladas e NS é o número de variáveis de processo de-

terminadas pelo meio exterior. Da equação anterior conclui-se, então, que o número de variáveis

manipuladas é sempre menor ou igual ao número de graus de liberdade:

NM ≤ NGL. (3)

Número de variáveis manipuladas. Se não puderem ser tolerados quaisquer desvios das

variáveis controladas relativamente aos respectivos set-points então têm que existir pelo menos

tantas variáveis manipuladas quantas as variáveis controladas (NC), isto é,

NM ≥ NC. (4)

Ocorrem ocasionalmente situações em que existem mais variáveis manipuladas do que va-

riáveis controladas (NM > NC). Como exemplo pode citar-se o caso da utilização de duas válvu-

las de controlo para regulação de temperatura; tipicamente, uma válvula é utilizada para aque-

cimento e outra válvula é utilizada para arrefecimento—neste caso, utilizam-se duas variáveis

manipuladas para regular o valor de uma variável controlada.

Para além da regulação do processo através da actuação sobre determinadas variáveis mani-

puladas, muitas vezes é desejável o uso de variáveis manipuladas adicionais para maximização

de uma função objectivo relacionada com o desempenho do processo.

3 Elementos constituintes de um sistema de controlo

Em qualquer configuração de controlo podem distinguir-se os seguintes elementos físicos:

1. O processo químico: todo o equipamento e todas as operações físicas e químicas que nele

ocorrem.

1.6


2. Instrumentos de medição ou sensores: instrumentação utilizada para medir as variáveis

de carga, as variáveis controladas de saída, ou variáveis de saída secundárias.

3. Transdutores: instrumentação que converte a informação medida em quantidades físicas

que podem ser transmitidas facilmente, tais como sinais eléctricos (corrente ou tensão)

ou pneumáticos (ar comprimido).

4. Linhas de transmissão: transferem o sinal medido do instrumento de medição para o con-

trolador, actuador, registador ou alarme.

5. Controlador: é o elemento activo da cadeia de controlo que recebe a informação das me-

dições e toma as acções apropriadas de controlo para ajustar os valores das variáveis

manipuladas.

6. Elementos finais de controlo (instrumentos actuadores): equipamento que actua directa-

mente nas variáveis controladas; o actuador mais habitual é a válvula de controlo. Um

outro exemplo, é a bomba de velocidade variável.

7. Instrumentos de indicação ou de registo.

4 Exemplo: controlo automático de um tanque agitado de aqueci-mento

Considere-se o tanque de aquecimento com agitação contínua representado na Fig. 3. A cor-

rente líquida de entrada tem um caudal volumétrico F e uma temperatura Ti. O líquido no

tanque está perfeitamente agitado e é aquecido por uma resistência eléctrica que debita Q watts.

V

T

F

Resistência

eléctrica

Ti

F

Q

Figura 3: Esquema de um tanque agitado de aquecimento.

1.7


Suponha-se que os caudais de entrada e de saída são iguais e que a densidade ρ do líquido é

independente da temperatura. Nestas condições, o volume V de líquido no tanque permanece

constante. Suponha-se, também, que as trocas de calor com o exterior podem ser desprezadas.

O objectivo de controlo do tanque agitado de aquecimento é manter a temperatura T da

corrente de saída igual a um valor de referência TR; T será então a variável controlada. Em

terminologia anglo-saxónia de controlo o valor de referência TR é designado por set-point. As

variáveis de carga (perturbações) do processo são F e Ti; são as variáveis de entrada que podem

estar sujeitas a variações externas.

Se o tanque funcionar em estado estacionário, os valores das variáveis permanecem cons-

tantes e o balanço de energia ao tanque escreve-se:

F · Ti +QρCp= F · T , (5)

em que F, Ti, T e Q representam os valores nominais de estado estacionário e ρCp é a ca-

pacidade calorífica volumétrica do líquido (e.g., cal m−3 K−1). Neste caso, não há necessidade

de controlo (regulação) e a quantidade de calor que deve ser fornecida ao tanque para manter

T = TR é obtida reescrevendo a equação exterior em ordem a Q:

Q = (ρCp)F(TR − Ti). (6)

Suponha-se que F permanece constante, mas que Ti está sujeita a variações, isto é, Ti passa

a ser a única variável de carga (perturbação) do processo. Existem várias estratégias possíveis

para controlar a temperatura de saída T .

Método 1. Medir T e ajustar Q. Uma forma de controlar T , apesar de Ti variar, é ajustar Q

com base em medições de T . Se T > TR, diminui-se Q; se T < TR, aumenta-se Q.

Método 2. Medir Ti e ajustar Q. Como alternativa ao método 1 pode-se medir Ti e ajustar Q.

Se Ti > Ti, diminui-se Q; se Ti < Ti, aumenta-se Q.

Método 3. Medir T e ajustar F. Esta solução obriga à introdução de uma válvula de controlo

na corrente de entrada para manipular F. Da eq. (5) conclui-se que

T = Ti +Q/FρCp. (7)

Logo: se T > TR, aumenta-se F; se T < TR, diminui-se F.

1.8


Método 4. Medir Ti e ajustar F. Da eq. (7) deduz-se a seguinte regra: se Ti > Ti, aumenta-se

F; se Ti < Ti, diminui-se F.

Método 5. Medir T e Ti, ajustar Q. É uma combinação dos métodos 1 e 2.

Método 6. Medir T e Ti, ajustar F. É uma combinação dos métodos 3 e 4.

Os métodos 1 e 3 são estratégias de controlo em cadeia fechada. Os métodos 2 e 4 são estratégias

de controlo em cadeia aberta. Os métodos 5 e 6 são combinações das estratégias de controlo em

cadeia aberta e cadeia fechada.

1.9


Modelação matemática de Processos Químicos

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Princípios gerais de modelação quantitativa clássica . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Balanço de massa total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Balanço de massa a um componente, e.g., ao componente A: . . . . . . 3

2.3 Balanço de energia total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Exemplo 1: tanque de armazenagem de líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Exemplo 2: Tanque agitado de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Exemplo 3: Reactor contínuo de mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Introdução

O modelo de um processo químico é uma representação matemática dos fenómenos físicos

e químicos que nele ocorrem. Em controlo, o modelo é uma ferramenta útil para o conheci-

mento da dinâmica do processo, nomeadamente a resposta temporal do sistema a perturbações,

a descrição das interacções do processo decorrentes das perturbações e a resposta no tempo das

variáveis que definem o desempenho do processo face às perturbações e acções de controlo. O

modelo é normalmente utilizado para:

• Aumentar o conhecimento do processo;

• Treinar pessoal de operação;

• Avaliar o desempenho de estratégias de controlo alternativas;

• Projectar da lei de controlo (controlo avançado);

• Afinar o controlador, isto é, calcular valores apropriados dos parâmetros do controlador;

• Optimizar as condições de operação do processo.

2.1


O modelo pode ser:

• Teórico ou mecanístico, quando é desenvolvido usando os princípios (leis) fundamentais

das Ciências da Engenharia;

• Empírico, quando é obtido de uma análise matemática (estatística) de dados de operação

do processo (regressão linear ou não-linear, redes neuronais, etc.);

• Semi-empírico, quando o cálculo de alguns parâmetros do modelo é baseado em dados

de operação do processo. Este tipo de modelo é o mais habitual.

2 Princípios gerais de modelação quantitativa clássica

O modelo dinâmico quantitativo clássico de um processo químico consiste num:

• Conjunto de quantidades fundamentais independentes que descreve o estado natural do

processo;

• Conjunto de equações envolvendo as quantidades fundamentais que descreve a forma

como o estado natural do processo varia com o tempo. O conjunto é constituído, invaria-

velmente, por uma ou mais equações diferenciais—equações diferenciais ordinárias e/ou

equações às derivadas parciais—combinadas frequentemente com uma ou mais relações

algébricas.

Em aplicações de controlo, o modelo pode ser obtido pela aplicação de relações de conservação

em estado não estacionário, normalmente balanços de matéria e de energia e, menos habitual-

mente, uma balanço de quantidade de movimento. Normalmente, estas equações de conserva-

ção são complementadas com relações de transferência entre fases, expressões de velocidade

de reacção química e relações termodinâmicas.

O princípio geral de conservação de uma quantidade S poder ser formulado da seguinte

forma: taxa de acumulaçãode S no sistema

= taxa de entrada

de S no sistema

− taxa de saída

de S do sistema

+

taxa de produçãode S no sistema

− taxa de consumo

de S no sistema

. (1)

2.2


Sistema

1

2

N

1

2

M

...

...

Q

Ws

V

Figura 1: Sistema genérico com N correntes de entrada, M correntes de saída e volume V .

Neste contexto a palavra taxa significa quantidade por unidade de tempo. A variável S pode ser

uma das seguintes quantidades fundamentais: massa total, massa de cada componente, energia

total, e quantidade de movimento.

Considere-se o sistema genérico de volume V representado na Fig. 1, constituído por N

correntes de entrada e M correntes de saída. A taxa de transferência de calor do exterior para

o sistema é Q e a taxa de trabalho produzido pelo sistema sobre o exterior é Ws. Notar que

Ws não inclui o trabalho realizado pelas forças de pressão quando há movimento do fluido. A

aplicação do princípio de conservação, eq. (1), a cada uma das quantidades fundamentais do

sistema origina as seguintes equações.

2.1 Balanço de massa total:

d(ρV)dt=

∑i ∈ entradas

ρiFi −∑

j ∈ saídas

ρ jF j. (2)

2.2 Balanço de massa a um componente, e.g., ao componente A:

d(cAV)dt

=∑

i ∈ entradas

cAi Fi −∑

j ∈ saídas

cA j F j + rAV. (3)

2.3 Balanço de energia total: taxa de acumulaçãode energia

= taxa de entrada

de energia

− taxa de saída

de energia

2.3


+

taxa de transferência de calordo exterior para o sistema

− taxa de trabalho produzido

pelo sistema sobre o exterior

, (4)

isto é,d(ρVe)

dt=

∑i ∈ entradas

ρiFi(ei + Pi/ρi) −∑

j ∈ saídas

ρ jF j(e j + P j/ρ j) + Q − Ws. (5)

A energia total é a soma de três contribuições: a energia interna (u), a energia cinética (v2/2)

e a energia potencial (gy). As variáveis V , Q e Ws já foram definidas; os restantes símbolos têm

o significado seguinte:

ρ = massa específica do sistema (kg/m3)

ρi = massa específica da corrente i (kg/m3)

Fi = caudal volumétrico da corrente i (m3/s)

cA = concentração do componente A (mole/m3)

rA = velocidade de produção de A por unidade de volume (mole/s m3)

e = energia total específica do sistema (J/kg)

ei = energia total específica da corrente i (J/kg)

Pi = pressão da corrente i (Pa)

u = energia interna específica (J/kg)

v = velocidade a que se desloca o volume do sistema (m/s)

g = aceleração da gravidade (9,81 m/s2)

y = posicionamento vertical do centro de massa do sistema (m)

Nos processos que vão ser estudados na disciplina de Instrumentação & Controlo de Pro-

cessos, as variações de energia cinética e potencial podem ser desprezadas quando comparadas

com as variações de energia interna. Neste caso a eq. (5) simplifica-se:

d(ρVu)dt

=∑

i:entrada

ρiFihi −∑j:saída

ρ jF jh j + Q − Ws, (6)

em que u = h − P/ρ e hi = ui + Pi/ρi é a entalpia específica da corrente i. Quando as variações

de temperatura não são muito significativas, a entalpia específica pode ser relacionada com a

temperatura da seguinte forma:

h(T ) = ho +Cp(T − To), (7)

em que ho é o valor da entalpia à temperatura de referência To e Cp é a capacidade calorífica

(J/kg oC) da corrente. Para líquidos, u ≃ h e o balanço de energia reduz-se a um balanço de

entalpia.

2.4


As equações de estado estacionário correspondentes aos balanços apresentados são obtidas

eliminando todos os termos de acumulação, isto é, todos os termos com d/dt.

3 Exemplo 1: tanque de armazenagem de líquidos

A Fig. 2 representa um sistema típico de armazenagem de líquidos. Suponha-se que na saída do

tanque o escoamento do líquido é turbulento pelo que a perda de carga na válvula é proporcional

ao quadrado do caudal de líquido.

As variáveis fundamentais cujos valores fornecem informação relativa ao tanque são (a) a

massa total, (b) a energia total e (c) a quantidade de movimento do líquido no tanque. Neste

caso tanto as variações de quantidade de movimento como de energia total são desprezáveis

pelo que a única quantidade fundamental com interesse é a massa total de líquido = ρAh.

Se a densidade ρ do líquido for constante, o balanço de massa total (2) a este sistema origina:

dVdt= A

dhdt= Fi − F. (8)

A equação de funcionamento da válvula é

P − Patm = (F/Cv)2, F = Cv

√P − Patm, (9)

em que P é a pressão do líquido antes da válvula, Patm é a pressão atmosférica e Cv é o coefici-

ente da válvula que é função da abertura da válvula. Dado que a superfície do líquido no tanque

também está à pressão atmosférica tem-se que

P = Patm + ρgh, (10)

pelo que

F = Cv

√ρgh. (11)

V

F

Fi

h

(área da base = A)

Figura 2: Tanque de armazenagem de líquidos.

2.5


A equação de estado do processo obtém-se substituindo a eq. (11) na eq. (8):

Adhdt= Fi −Cv

√ρgh. (12)

Resumindo.

Equações de estado: eq. (12)

Variáveis de estado: ρV (massa do sistema)

Variáveis de saída: h

variáveis de entrada

Variáveis de carga: Fi

Variáveis manipuladas: Cv

Parâmetros: A, ρ, g.

4 Exemplo 2: Tanque agitado de aquecimento

A Fig. 3 representa um tanque agitado de aquecimento. Supõe-se que as perdas de calor para o

exterior são desprezáveis e que a massa específica ρ do líquido permanece constante.

As variáveis fundamentais deste sistema são (a) a massa total, (b) a energia total e (c) a

quantidade de movimento do líquido no tanque. Como as variações de quantidade de movi-

mento são desprezáveis, as únicas quantidades fundamentais com interesse são a massa total e

a energia total.

O balanço de massa édVdt= Fi − F. (13)

V

T

F

Resistência

eléctrica

Ti

Fi

Q

Figura 3: Tanque agitado de aquecimento.

2.6


Como se trata de um líquido, a aplicação da eq. (6) origina

ρd(Vh)

dt= ρFihi − ρFh + Q, (14)

em que

hi = ho +Cp(Ti − To) e h = ho +Cp(T − To) (15)

são as entalpias específicas das correntes de entrada e de saída. Tendo em conta o balanço de

massa dado pela eq. (13) e após substituição da equação anterior na eq. (14) obtém-se:

VdTdt= Fi(Ti − T ) +

QρCp. (16)

Resumindo.

Equações de estado: Eqs. (13) e (16)

Variáveis de estado: ρV e ρVh (massa e energia do sistema)

Variáveis de saída: V (ou h) e T


Variáveis de carga: Fi, Ti

Variáveis manipuladas: Q, F

Parâmetros: ρ, Cp.

5 Exemplo 3: Reactor contínuo de mistura

A Fig. 4 representa um reactor contínuo de mistura no qual se processa uma reacção química

exotérmica irreversível de primeira ordem, em que o reagente A reage para formar o produto B:

A −→ B.

A velocidade de reacção por unidade de volume é

r = kcA, k = ko exp(−E/RT ), (17)

em que ko é o factor de frequência, E é a energia de activação e R é a constante dos gases ideais.

As variáveis fundamentais deste sistema são (a) a massa total, (b) a massa do componente

A,1 (c) a energia total e (d) a quantidade de movimento. Como no caso em estudo as variações de

2.7


V

F, cA, TFc, Tci

Fc, Tc

Fi, cAi, Ti

(reagente)

(produto)(líquido de

arrefecimento)

Figura 4: Reactor contínuo de mistura.

quantidade de movimento são desprezáveis, as únicas quantidades fundamentais com interesse

são a massa total, a massa do componente A e a energia total.

Suponha-se que as massas específicas das correntes de entrada e de saída são iguais (ρi = ρ)

e independentes da temperatura. O balanço de massa total é

dVdt= Fi − F. (18)

O balanço de massa ao componente A assume a seguinte forma:

d(cAV)dt

= cAdVdt+ V

dcA

dt= cAiFi − cAF − kcAV, (19)

ou, tendo em conta o balanço de massa total, eq. (18),

dcA

dt=

Fi

V(cAi − cA) − kcA. (20)

O reactor contém uma camisa de arrefecimento para manter a mistura à temperatura de

operação desejada através da remoção do calor libertado pela reacção. Supondo que a reacção

se dá em fase líquida, o balanço de energia para este sistema escreve-se

dHdt= ρFihi − ρFh − Q, (21)

em que Q é a taxa de calor transferido para o líquido de arrefecimento e H é a entalpia da

mistura contida no reactor.

Da termodinâmica sabe-se que H = H(T, cAV, cBV), pelo que

dHdt

=∂H∂T

dTdt+∂H∂(cAV)

d(cAV)dt

+∂H∂(cBV)

d(cBV)dt

(22)

= ρCpVdTdt+ HA(T )

d(cAV)dt

+ HB(T )d(cBV)

dt, (23)

1A massa do componente B pode ser determinada da massa total e da massa do componente A, pelo que não éuma quantidade fundamental independente.

2.8


em que Cp é a capacidade calorífica da mistura e HA e HB são as entalpias parciais molares de

A e de B.

Usando o balanço de massa ao produto B,

d(cBV)dt

= −cBF + kcAV, (24)

e o balanço de massa ao reagente A, dado pela eq. (19), o balanço de energia adquire a seguinte

forma:

ρCpVdTdt= −HA(cAiFi − cAF − kcAV) − HB(−cBF + kcAV) + ρFihi − ρFH − Q. (25)

Reparar que

ρFihi(Ti) = Fi[ρhi(T ) + ρCp(Ti − T )] = Fi[cAiHA(T ) + ρCp(Ti − T )] (26)

ρFh(T ) = F[cAHA(T ) + cBHB(T )], (27)

pelo que a equação anterior pode ser simplificada:

ρCpVdTdt= FiρCp(Ti − T ) + (HA − HB)kcAV − Q. (28)

Como (HA − HB) = (−∆Hr) é o calor de reacção à temperatura T , obtém-se finalmente:

VdTdt= Fi(Ti − T ) +

(−∆Hr)kcAVρCp

− QρCp. (29)

Resumindo.

Equações de estado: eqs. (18), (20) e (29)

Variáveis de estado: ρV , cAV , ρVh (massa total, massa do componente e energia

do sistema)

Variáveis de saída: V (ou h), cA, T


Variáveis de carga: Fi, CAi, Ti

Variáveis manipuladas: Q, F

Fi ou Ti (ocasionalmente)

Parâmetros: ρ, Cp, (−∆Hr), ko, E, R.

2.9


Dinâmica de sistemas

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Sistema lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Sistemas lineares com coeficientes variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Linearização de modelos não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Exemplo de linearização processual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Introdução

Considere-se um sistema com um grau de liberdade de modo que o estado físico do sistema

pode ser especificado por uma única variável y. Assim sendo, o comportamento do sistema é

descrito tomando y como uma função do tempo t. Para determinar este comportamento, ou y(t),

é necessário conhecer a estrutura do sistema e as propriedades dos seus elementos individuais.

Este conhecimento acerca do sistema, juntamente com as leis físico-químicas fundamentais,

quando traduzido para linguagem matemática, dá origem a uma equação que permite o cálculo

da função y(t). Esta equação pode ser uma equação integral ou uma equação integro-diferencial,

mas habitualmente é uma equação diferencial. É também uma equação diferencial ordinária

porque contém uma única variável independente, que é o tempo t.

Uma equação diferencial é linear, e o sistema descrito pela equação diferencial é denomi-

nado sistema linear, se cada termo da equação tiver no máximo potências de primeira ordem

na variável dependente y ou nas suas derivadas em ordem ao tempo; os termos da equação não

podem ter potências mais elevadas de y nem produtos cruzados de y e das suas derivadas. Caso

contrário, a equação diferencial não é linear e o sistema descrito pela equação diferencial diz-se

ser um sistema não linear.

Os sistemas lineares, por sua vez, podem ser classificados em sistemas com coeficientes

constantes e sistemas com coeficientes variáveis. Os sistemas com coeficientes constantes têm

3.1


constantes independentes do tempo t como coeficientes dos termos da equação diferencial que

descreve o sistema. Os sistemas com coeficientes variáveis têm coeficientes que são funções

de t.

A preocupação com a classificação da equação diferencial justifica-se porque as caracte-

rísticas da solução da equação e, consequentemente, do comportamento do sistema, dependem

directamente do tipo de equação diferencial que descreve o sistema. Ainda mais relevante, é

o facto do tipo de equação diferencial definir o género de questões que podem ser formuladas

logicamente acerca do sistema. Por outras palavras, o tipo de equação diferencial determina a

abordagem apropriada a seguir para a resolução do problema de engenharia do sistema.

1.1 Sistema lineares com coeficientes constantes

Considere-se o sistema mais simples—um sistema de primeira ordem. Neste caso, a equação

diferencial que define o sistema é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coefi-

cientes constantes. Se se assumir que o sistema é livre e não está sujeito a “funções de actuação,”

então a equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma:

dydt+ ky = 0, (1)

em que k é uma constante real que pode ser denominada constante de mola. Quando y não varia

com o tempo, o termo dy/dt desaparece e a Eq. (1) requer que y = 0.

A solução da eq. (1) é

y = y0e−kt, (2)

em que y0 é o valor inicial de y, isto é,

y(0) = y0. (3)

O parâmetro y0 tem um significado bem definido: y0 é a perturbação inicial do estado estacio-

nário ou de equilíbrio do sistema.

A Fig. 1 ilustra o comportamento do sistema para t > 0 e para valores de k quer positivos

quer negativos. Observa-se que, para k > 0, a grandeza de y diminui com o tempo. Então, à

medida que o tempo aumenta indefinidamente, y → 0. Consequentemente, para k > 0, a per-

turbação do sistema vai eventualmente desaparecer. Neste caso, pode afirmar-se que o sistema

é estável.

3.2


y

y0

t

k < 0

k > 0

Figura 1: Resposta da eq. (1) para valores positivos e negativos de k.

Quando k < 0, o movimento do sistema aumenta com o tempo e, eventualmente, a pertur-

bação torna-se muito grande independentemente de quão pequeno for o deslocamento inicial: o

sistema, quando perturbado, nunca volta ao estado de equilíbrio. Estes sistemas são, portanto,

instáveis.

Para sistemas de ordem superior, a equação diferencial tem derivadas de ordem superior a

um. O sistema de ordem n é regido pela equação diferencial

dnydtn + an−1

dn−1ydtn−1 + · · · + a0y = 0. (4)

Para um sistema fisicamente realizável os coeficientes an−1, . . . , a0 são reais. Neste caso, a solu-

ção da eq. (4) pode ser escrita como

y =n∑

i=1

y(i)0 eαit sin( βit + φi), (5)

em que os αi’s e βi’s são reais e relacionados com os coeficientes an−1, . . . , a0, e os φi’s são

os ângulos de fase. Da análise da eq. (5) conclui-se que a dinâmica do sistema só é estável se

todos os αi’s forem negativos. Se um deles for positivo, a perturbação eventualmente diverge e

o sistema é, por isso, instável.

Estes exemplos tornam claro que a questão crucial a colocar acerca do comportamento de

um sistema linear de coeficientes constantes é a questão de estabilidade. Não é por isso de

estranhar que o objectivo de concepção de um sistema de engenharia seja a estabilidade. A

questão de estabilidade pode, no entanto, ser respondida logo que os coeficientes da equação

diferencial sejam especificados. No caso do sistema simples de primeira ordem, definido pela

eq. (1), a única informação que interessa é o sinal do coeficiente k.

3.3


1.2 Sistemas lineares com coeficientes variáveis

Se existir um parâmetro variável no sistema em estudo, então o estado estacionário ou de equi-

líbrio do sistema pode ser alterado pela modificação do valor desse parâmetro. É, portanto,

expectável que os coeficientes da equação diferencial linear que descreve o sistema também

sejam funções desse parâmetro. Por exemplo, as forças aerodinâmicas que actuam num avião

são funções da velocidade do aparelho. Se a velocidade do avião variar devido à aceleração

ou desaceleração, então as forças aerodinâmicas alteram-se em consequência desse efeito, en-

quanto que as propriedades inerciais do aparelho permanecem praticamente as mesmas. Como

resultado, se se pretender calcular o movimento desviante do avião relativamente, por exem-

plo, ao voo horizontal, a equação diferencial fundamental será uma equação com coeficientes

variáveis.

Voltemos ao exemplo simples de um sistema de primeira ordem, descrito pela eq. (1). Se

a constante de mola k for uma função da velocidade do avião e se o aparelho tiver uma acele-

ração constante a, então k é uma função da velocidade u = at. Consequentemente, a equação

diferencial que descreve este sistema é

dydt+ k(at)y = 0. (6)

A solução desta equação é

lnyy0= −1

a

∫ at

0k(ξ) dξ, (7)

em que y0 é a perturbação inicial.

Se k for sempre positivo então ln(y/y0) vai ser sempre negativo e, à medida que o tempo

aumenta, o valor de ln(y/y0) vai ser cada ver mais negativo. O sistema é, portanto, estável. Se

k for sempre negativo, ln(y/y0) vai ser sempre progressivamente mais positivo com o tempo.

Então, y vai eventualmente tornar-se muito grande mesmo que a perturbação inicial y0 seja

pequena. O sistema é, portanto, instável. Estas características do sistema linear com coeficientes

variáveis que permanecem sempre positivos ou negativos são muito similares às dos sistemas

com coeficientes constantes.

O caso interessante é, no entanto, aquele em que k assume valores tanto positivos como

negativos. Suponha-se que k(at) é inicialmente positivo, depois passa a ser negativo, e final-

mente passa a ser novamente positivo. Se o primeiro zero de k for u1 = at1 e o segundo zero for

u2 = at2, então, de acordo com a discussão anterior, o sistema é instável na gama de velocidades

3.4


y0

ymin

ymax

at1 at2 k(a t )

a t = u

y

0

Zona“instável”

Figura 2: Solução da eq. (6) quando k assume valores quer positivos quer negativos.

desde u1 até u2 (Fig. 2). Sejam ymin e ymax os valores mínimo e máximo de y, respectivamente.

Então a eq. (7) origina

lnymin

y0= −1

a

∫ u1

0k(ξ) dξ (8)

e

lnymax

y0= −1

a

∫ u2

0k(ξ) dξ. (9)

Do ponto de vista processual, a questão com maior interesse é: quão grande é o valor de

ymax? Será que ele é tão grande que o sistema não pode funcionar correctamente? Convém

salientar que, para responder a esta questão, é necessário conhecer duas coisas, para além da

dependência funcional de k com u. Elas são: o valor da aceleração a e a grandeza da perturbação

inicial y0. Para um dado valor fixo de a, ymax é proporcional a y0. Mas mais importante, para

uma dada perturbação inicial fixa, o valor máximo do desvio ymax pode ser reduzido substanci-

almente pelo aumento da aceleração a, conforme mostra a eq. (9). Isto significa que os efeitos

indesejáveis podem ser minimizados se a zona “instável” for atravessada rapidamente.

Consequentemente, para a generalidade dos sistemas lineares com coeficientes variáveis a

simples questão de estabilidade não tem um significado definido. A questão mais relevante é

saber se, para um dado critério específico, o sistema responde de forma satisfatória para umas

determinadas perturbações e circunstâncias específicas. No nosso exemplo simples de um sis-

tema de primeira ordem, o critério específico para um comportamento apropriado ou correcto

é ymax; a perturbação específica é y0; e a circunstância específica é a aceleração a. Portanto, as

características do problema já se alteram consideravelmente com a simples passagem de siste-

3.5


mas com coeficientes constantes para sistemas com coeficientes variáveis.

1.3 Sistemas não lineares

Se a constante de mola k do sistema de primeira ordem definido pela eq. (1) for uma função da

própria perturbação y, então a equação diferencial é

dydt+ f (y) = 0, (10)

em que f (y) = k(y) y. Vê-se claramente que a equação diferencial não é linear. O sistema

descrito pela eq. (10) é, portanto, o exemplo mais simples de um sistema não linear. A solução

y(t) pode ser determinada da seguinte relação obtida por integração da eq. (10):

t = −∫ y

y0

dηf (η), (11)

em que y0 é novamente o valor inicial da perturbação.

Por outro lado, diferenciando repetidamente a eq. (10) obtém-se

d2ydt2 +

d fdy

dydt= 0

d3ydt3 +

d2 fdy2

(dydt

)2

+d fdy

d2ydt2 = 0

· · · · · · · · ·

. (12)

Portanto, se y1 é um zero da função f (y) e se f (y) é regular em y1, de modo que todas as

derivadas de f (y) em ordem a y são finitas no ponto y1, então das eqs. (10) e (12) conclui-se que

dydt=

d2ydt2 =

d3ydt3 = · · · = 0 para y = y1. (13)

Isto significa que y aproxima-se de y1 assimptoticamente. De facto, se y0 > y1 e f (y0) > 0, então

y irá ser eventualmente igual a y1. Se y0 < y1, então f (y0) < 0 e y será novamente igual a y1 para

t → ∞. Este tipo de comportamento de y repete-se para os outros zeros de f (y), conforme se

ilustra na Fig. 3.

Se a perturbação inicial y0 coincidir com um dos zeros de f (y), este valor de y vai manter-se

com o aumento do tempo. Portanto, os zeros de f (y) são posições estacionárias ou de equilíbrio.

Se d f /dy > 0 num zero como em y1, então pequenos desvios desta posição de equilíbrio vão

eventualmente desaparecer e o sistema retornará ao estado inicial. Portanto, pode afirmar-se que

o sistema apresenta estabilidade para pequenas perturbações em y1. Se, no entanto, d f /dy < 0

3.6


y1

y2

y3

y

f ( y )

y

t

Figura 3: Comportamento da eq. (10) na proximidade de zeros de f (y).

num zero como em y2, a mais pequena perturbação desta posição de equilíbrio fará com que o

sistema se desloque para uma das posições de equilíbrio seguintes, y1 ou y3; diz-se, portanto,

que y2 é um estado de equilíbrio instável.

Vimos que mesmo para o sistema não linear muito simples, descrito pela eq. (10), o compor-

tamento do sistema é muito complicado. O sistema pode ter quer estabilidade que instabilidade.

Portanto, para estes sistemas não faz sentido colocar uma questão genérica sobre estabilidade;

pelo contrário, cada problema específico tem que ser considerado individualmente.

2 Linearização de modelos não lineares

É quase certo que qualquer sistema físico ou químico seja não linear se for analisado em de-

talhe. Fala-se do sistema como sendo linear só com a noção implícita de que o sistema pode

ser aproximado de forma suficientemente precisa por um sistema linear. Para além disso, uma

precisão suficiente significa que o desvio da linearidade é tão pequeno que não é significativo

para o problema específico considerado. Só se pode, portanto, determinar se um sistema é ou

não é linear em circunstâncias claramente definidas. Não existe um critério absoluto genérico.

O mesmo pode afirmar-se da classificação de sistemas lineares em sistema com coeficientes

constantes e sistemas com coeficientes variáveis. Considerem-se os exemplos simples descritos

pelas eqs. (1) e (6). Se a aceleração a é muito pequena, isto é, voo a velocidade quase constante,

a eq. (8) mostra que o valor de ymin será muito mais pequeno do que a perturbação inicial y0,

e que o valor de ymin será atingido para um valor grande de t. O comportamento do sistema

dentro de um intervalo de tempo finito é, portanto, muito similar ao de um sistema descrito

pela eq. (1) com um valor positivo de k. Por isso, em determinadas circunstâncias o sistema

3.7


x1 x2 xn. . .

Variáveis deestado

d1 d2 dl

Variáveis de carga

PROCESSO

......

y1

y2

ym

u1

u2

uk

Variáveismanipuladas

variáveisde saída

. . .

Figura 4: Representação esquemática de um sistema dinâmico susceptível de controlo automá-

tico. O sistema tem l variáveis de carga (perturbações) d1, . . . , dl; k variáveis potencialmente

manipuláveis u1, . . . , kk; n variáveis de estado (isto é, variáveis que caracterizam o estado interno

do sistema); e m variáveis de saída y1, . . . , ym.

de coeficientes variáveis pode ser aproximado com precisão suficiente por um sistema com

coeficientes constantes.

Obviamente, os sistemas lineares com coeficientes constantes são os sistemas mais fáceis de

estudar. Este é um dos motivos pelos quais, na teoria clássica de controlo, o modelo matemático

da dinâmica de um processo deve aderir, por uma questão de conveniência, à representação es-

quemática da Fig. 4. Em particular, se o processo tiver uma única variável manipulada u(t), uma

única variável de carga d(t), uma única variável de estado x(t) e uma única variável controlada

y(t), então o modelo correspondente deve ter a seguinte forma:

dx(t)dt

= ax(t) + bu(t) + γd(t), (14)

y(t) = cx(t), (15)

em que a, b, c e γ são constantes; o modelo é, portanto, constituído por uma equação diferencial

ordinária de primeiro grau com coeficientes constantes, complementada com uma relação de

proporcionalidade directa entre a variável controlada y e a variável de estado x.

No caso mais geral, representado na Fig. 4, o modelo assume a seguinte forma matricial:

dx(t)dt

= Ax(t) + Bu(t) + Γd(t), (16)

y(t) = Cx(t), (17)

em que

u =

u1...

uk

, d =

d1...dl

, x =

x1...

xn

, y =

y1...

ym

, (18)

3.8


e A(n× n), B(n× k), C(m× n) e Γ(n× l) são matrizes com coeficientes constantes. Por exemplo,

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

. (19)

As eqs. (16) e (17) são lineares, pois os seus coeficientes das matrizes A, B, C e Γ são

constantes (não dependem das variáveis). Apesar da maior parte dos processos em engenharia

química serem regidos por equações não lineares, a aproximação desses processos por modelos

lineares é de grande importância prática pelas seguintes razões:

1. Não existe uma teoria geral para a resolução analítica de equações diferenciais não line-

ares e, consequentemente, não existe uma análise compreensiva de sistemas dinâmicos

não lineares.

2. Um sistema não linear pode ser aproximado adequadamente por um sistema linear perto

das condições normais de operação.

3. Avanços significativos na teoria do controlo linear permitem o projecto de controladores

eficientes mesmo para processos não lineares.

O ponto (1) é uma evidência; o ponto (3) é um facto que tem vindo a ser constatado na prática;

a argumentação do ponto (2) tem uma base teórica que merece ser aprofundada e que é um

bom ponto de partida para a descrição do procedimento de linearização e de aproximação de

sistemas não lineares por sistemas lineares.

Considere-se que, em vez das eqs. (14) e (15), as equações que descrevem a dinâmica do

processo são

dxdt= f (x(t), u(t), d(t)), (20)

y(t) = g(x(t)), (21)

em que f (·) e g(·) são funções não lineares das variáveis x, u e d. Num capítulo anterior referiu-

se que o objectivo de controlo mais habitual é a supressão da influência de perturbações externas

introduzidas por variáveis de carga. Numa situação ideal em que as perturbações externas são

inexistentes, o processo funciona em estado estacionário (dx/dt = 0) nas condições de projecto:

f (xe, ue, de) = 0, ye = g(xe), (22)

3.9


em que o subscripto ‘e’ numa variável indica o valor de estado estacionário dessa variável. As

equações de estado estacionário são obtidas por eliminação dos termos transientes (d/dt) das

equações instacionárias.

Na realidade, a variável de carga varia no tempo e impede que o processo opere em estado

estacionário. Na maior parte dos casos o desvio sofrido pela variável de carga tem uma grandeza

muito inferior à do seu valor de estado estacionário, isto é,

d(t) = de + d′(t) com |d′| ≪ |de|, (23)

em que d′(t) é o desvio do valor de estado estacionário e, por isso, é denominada uma variável

desvio. Reparar que os valores estacionários de operação são constantes.

Se a eq. (23) verificar-se, então é natural que também seja pequeno o desvio introduzido pelo

sistema de controlo na variável manipulada para manter a variável de saída num valor próximo

do valor pretendido—que é o valor de estado estacionário. Nesse caso, pode escrever-se que

u(t) = ue + u′(t) com |u′| ≪ |ue|, (24)

em que u′(t) é o desvio introduzido na variável manipulada u; u′ é, por isso, a variável desvio

associada à variável manipulada u.

Se f e g forem expandidas em série de Taylor1 em torno das condições de estado estacioná-

rio, e se os termos de segunda ordem ou superior forem desprezados, obtém-se

f (x, u, d) ≈ f (xe, ue, de) +(∂ f∂x

)e

x′ +(∂ f∂u

)e

u′ +(∂ f∂d

)e

d′, (25)

1A expansão de uma função não-linear f (x) em série de Taylor em torno do ponto x0 é

f (x) = f (x0) +(

d fdx

)x0

x − x0

1!+

(d2 fdx2

)x0

(x − x0)2

2!+ · · · +

(dn fdxn

)x0

(x − x0)n

n!+ · · · .

Se os termos de segunda ordem e superiores forem desprezados, então o valor de f (x) pode ser aproximado por

f (x) ≈ f (x0) +(

d fdx

)x0

(x − x0).

O erro introduzido por esta aproximação tem a mesma ordem de grandeza que o termo

(d2 f /dx2)x0 (x − x0)2/2!.

Se a função f é multivariável, f = f (x1, . . . , xn), então a aproximação de primeira ordem em série de Taylor em

torno do ponto (x1,0, . . . , x n) é

f (x) ≈ f (x1,0, . . . , xn,0) +[

d fdx1

](x1,0,...,xn,0)

(x1 − x1,0) + · · · +[

d fdxn

](x1,0,...,xn,0)

(xn − xn,0)

3.10


PROCESSOx(t) y(t)

entrada saída

Figura 5: Sistema genérico com uma única entrada x(t) e uma única saída y(t).

g(x) ≈ g(xe) +(dgdx

)e

x′, (26)

em que, por exemplo, (∂ f∂x

)e≡

(∂ f∂x

){x=xe, d=de, u=ue}

. (27)

Dado que

fe ≡ f (xe, de, ue) = 0, ye = g(xe),dx′

dt=

dxdt, (28)

então pode escrever-se que

dx′

dt≈

(∂ f∂x

)e

x′ +(∂ f∂u

)e

u′ +(∂ f∂d

)e

d′ (29)

y′ ≈(dgdx

)e

x′, (30)

que é precisamente o sistema algébrico-diferencial, definido pelas eqs. (14) e (15), com

a =(∂ f∂x

)e, b =

(∂ f∂u

)e, γ =

(∂ f∂d

)e, c =

(dgdx

)e. (31)

Para melhor compreender o exposto, considere-se o sistema representado na Fig. 5, consti-

tuído por uma única entrada x(t) e uma única saída y = y(x). Na Fig. 6 representa-se a relação

entre x e y; de momento vamos ignorar a linha ponteada incluída no gráfico. A Fig. 6 mostra

claramente que y é uma função não linear de x, caso contrário a curva y(x) seria uma recta.

Conhecida esta relação pode determinar-se a resposta do sistema y(t) para uma dada entrada

x(t); esta operação está exemplificada na Fig. 7.

Suponha-se que se pretende determinar aproximadamente a resposta do sistema y(t) para

uma entrada x(t) cuja amplitude da variação no tempo não é muito grande, como, por exemplo,

a que está representada no gráfico inferior da Fig. 8. Neste exemplo, os valores de x oscilam em

torno de 0.5 e estão limitados entre 0.4 e 0.6. A resposta do sistema y(t) para esta entrada x(t)

está representada pela curva sólida no gráfico superior da Fig. 8.

A expansão de y(x) em série de Taylor em torno do ponto x = 0.5, desprezando os termos

de ordem superior a um, é

y(x) ≈ y(0.5) +(

dydx

)x=0.5

(x − 0.5), (32)

3.11


x

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 6: Representação gráfica ( ) da relação y = y(x) e da tangente à curva (· · ·) no ponto

x = 0.5.

t

x

y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5

Figura 7: Resposta do sistema y(t) para uma dada entrada x(t).

que é a recta representada a ponteado na Fig. 6.

A resposta do sistema linearizado para a entrada x(t) representada na Fig. 8 é dada pela

curva ponteada no gráfico superior da mesma figura. Observa-se que para valores de x muito

próximos de 0.4 e de 0.6 a resposta do sistema linearizado afasta-se um pouco da resposta

verdadeira. Isto deve-se ao facto de nesta gama de valores a recta representada a ponteado na

3.12


t

x

y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5

Figura 8: Resposta do sistema y(t) para uma dada entrada x(t) amortecida. A curva a sólido

( ) é a resposta verdadeira do sistema; a curva a ponteado (· · ·) é a resposta do modelo

linearizado.

t

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Figura 9: Comparação da resposta do modelo linearizado (· · ·) com a resposta verdadeira ( )

para a entrada apresentada na Fig. 7.

Fig. 6 não aproximar correctamente a curva verdadeira.

Torna-se evidente que, se a amplitude da variação temporal da entrada x(t) for grande, então

o modelo linearizado fornece uma resposta completamente diferente da resposta verdadeira do

3.13


sistema, como se ilustra na Fig. 9. Esta figura compara a resposta do modelo linearizado com a

resposta correcta do sistema para a entrada representada no gráfico inferior da Fig. 7.

2.1 Exemplo de linearização processual

A Fig. 10 representa um tanque agitado de mistura. Fi é o caudal volumétrico da corrente

líquida de entrada que contém um determinado soluto com concentração ci. A corrente de saída

tem caudal F e a concentração do soluto nessa corrente é c. A altura de líquido no tanque

é h. Dispõe-se de uma corrente alternativa com concentração constante de soluto cm e caudal

manipulável Fm. O objectivo de controlo é manter a concentração c na corrente de saída igual a

cref , independentemente de variações nos valores de Fi e ci.

O balanço material global e o balanço individual ao soluto originam

dVdt= Fi + Fm − F, (33)

d(Vc)dt

= Fici + Fmcm − Fc. (34)

Expandindo a eq. (34) e substituindo o termo dV/dT pelo resultado da eq. (33), obtém-se um

forma alternativa de expressar o balanço material individual ao soluto:

Vdcdt= Fi(ci − c) + Fm(ci − cm). (35)

Por outro lado, o volume de líquido no tanque é V = Ah, em que A é a área da base do

tanque. Se a velocidade do líquido no orifício de saída do líquido for suficientemente elevada,

então o caudal de saída será proporcional à raiz quadrada da altura de líquido, isto é,

F = k√

h. (36)

c

F

c i

Fi

cm

Fm

V

Figura 10: Esquema de um tanque de mistura perfeitamente agitado.

3.14


Introduzindo a variável h no sistema original de equações obtém-se

dhdt=

Fi + Fm − k√

hA

(37)

dcdt=

Fi(ci − c) + Fm(cm − c)Ah

. (38)

O modelo que rege o comportamento dinâmico do tanque, dado pelas eqs. (37) e (38), é

claramente não linear. Nas condições de estado estacionário tem-se:

0 = F i + Fm − k (h)1/2, (39)

0 = F i(ci − c) + Fm(cm − c). (40)

em que F i, ci, Fm, c e h são os valores estacionários de operação (anteriormente usou-se o

subscripto ‘e’ para identificar os valores de estado estacionário). Reparar que na eq. (40), cm

não tem uma barra porque o seu valor é constante. Expandindo os segundos termos da eqs. (39)

e (40) em série da Taylor e retendo unicamente os termos de primeira ordem, obtém-se:

Fi + Fm − k√

hA

≈ F i + Fm − k (h)1/2

A+

F′i + F′mA

− k

2A(h)1/2h′, (41)

Fi(ci − c)Ah

≈ F i(ci − c)

Ah+

ci − c

AhF′i +

F i

Ah(c′i − c′) − F i(ci − c)

A(h)2h′, (42)

Fm(cm − c)Ah

≈ Fm(cm − c)

Ah+

cm − c

AhF′m +

Fm

Ah(0 − c′) − Fm(cm − c)

A(h)2h′, (43)

em que F′i = Fi − F i, . . . , h′ = h − h são as variáveis desvio associadas às variáveis absolutas

originais. Introduzindo estas expressões nas eqs. (37) e (38), e tendo em conta as eqs. (39)

e (40), obtém-se o seguinte sistema linear:

dh′

dt=

1A

F′i +1A

F′m −k

2A(h)1/2h′, (44)

dc′

dt=

ci − c

AhF′i +

F i

Ahc′i +

cm

AhF′m −

F i + Fm

Ahc′. (45)

Este sistema de equações satisfaz a estrutura definida pelas eqs. (16) e (17) com

x = y =[

h′

c′

], d =

[F′ic′i

], u =

[F′m

], (46)

A =

− k

2A(h)1/20

0 −F i + Fm

Ah

, B =

1Acm

Ah

, Γ =

1A

0

ci − c

Ah

F i

Ah

, C =

1 0

0 1

. (47)

3.15


Método da transformada de Laplace

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Transformada de Laplace e fórmula de inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Aplicação a equações lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 2

4 “Dicionário” de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Propriedades da transformada de laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6 Função de entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 Resposta a uma entrada em impulso unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Introdução

O método da transformada de Laplace é particularmente útil para a resolução analítica de equa-

ções diferenciais lineares com coeficientes constantes tendo o tempo t como variável indepen-

dente. É claro que o problema pode ser resolvido através de uma série de outros métodos; mas o

método da transformada de Laplace é particularmente apelativo do ponto de vista de engenharia

porque reduz todos os problemas a uma mesma base uniforme. Este procedimento de obtenção

de uma solução está padronizado o que permite uma abordagem genérica do problema. A teoria

e prática da transformada de Laplace está discutida em detalhe numa série de livros.1 O nosso

objectivo presente não é esse. O que se pretende aqui é fornecer para referência fácil uma re-

senha de resultados que são úteis para discussão e aplicação em capítulos seguintes. O aluno

deve consultar os textos citados para obter mais detalhes sobre o método da transformada de

Laplace.

1Ver, por exemplo, H. S. Carslaw e J. C. Jaeger, “Operational Methods in Applied Mathematics,” Oxford

University Press, New York, 1941; ou R. V. Churchill, “Modern Operational Methods in Engineering, ” McGraw-

Hill Book Company, Inc., New York, 1944. Para uma teoria mais completa, aconselha-se a consulta de D. V.

Widder, “The Laplace Transform,” Princeton University Press, Princeton, N. J., 1946.

4.1


2 Transformada de Laplace e fórmula de inversão

Se y(t) é uma função da variável t definida para t > 0, a transformada de Laplace, Y(s), de y(t)

é definida como se segue:2

Y(s) = L[y(t)] ≡∫ ∞

0e−sty(t) dt, (1)

em que L representa o operador da transformada e s é uma variável complexa com parte real

positiva, R(s) > 0. Para outros valores de s a função Y(s) é definida por continuação analítica.

A dimensão de Y(s) é a dimensão de y multiplicada pelo tempo.

Quando a função Y(s) é conhecida, a função original para a qual Y(s) é a transformada de

Laplace pode ser obtida, para todos os casos, através da fórmula de inversão:

y(t) = L−1[Y(s)] ≡ 12πi

∫ γ+i∞

γ−i∞estY(s) ds, (2)

onde γ é uma constante maior do que a parte real de todas as singularidades de Y(s). Na prática

y(t) pode ser determinada através de uma deformação apropriada do percurso de integração de

acordo com o carácter de Y(s).

3 Aplicação a equações lineares com coeficientes constantes

Dado que a transformada de Laplace é definida como uma operação sobre uma função definida

para t > 0, o método está particularmente adaptado a problemas de valor inicial: dado um

estado inicial do sistema e conhecida a sua função de actuação (função de entrada) para t > 0,

pretende-se determinar a “dinâmica” do sistema para t > 0.

Considere-se uma sistema de ordem n, cujas derivadas têm coeficientes an, an−1, . . . , a0, e

um termo não homogéneo, ou função de entrada, x(t). Então, a equação diferencial que rege o

sistema é

andnydtn + an−1

dn−1ydtn−1 + · · · + a0y = x(t). (3)

As condições iniciais são normalmente especificadas da seguinte forma:(dn−1ydtn−1

)t=0

= y(n−1)0

· · · · · · · · ·(y)t=0 = y0

. (4)

2Neste capítulo e nos seguintes utilizaremos letras maiúsculas para denotar a transformada de Laplace de quan-

tidades definidas por letras minúsculas.

4.2


A equação diferencial (3) com as condições iniciais (4) determinam de forma unívoca o com-

portamento do sistema para t > 0.

Para resolver o problema pela transformada de Laplace, multiplica-se ambos os lados da

Eq. (3) por e−st e integra-se o resultado desde t = 0 até t = ∞. Então,∫ ∞

0e−st y(t) dt = Y(s) (5)

e, por integração parcial,∫ ∞

0e−st dy

dtdt = −y0 + s

∫ ∞

0e−st y(t) dt = −y0 + sY(s)∫ ∞

0e−st d2y

dt2 dt = −y(1)0 − sy0 + s2Y(s)

· · · · · · · · ·∫ ∞

0e−st dny

dtn dt = −y(n−1)0 − sy(n−2)

0 − · · · − sn−1y0 − snY(s)

. (6)

Portanto, se a transformada de Laplace da função de actuação x(t) for denotada X(s), isto é,

X(s) =∫ ∞

0e−st x(t) dt, (7)

então a Eq. (3), sujeita às condições iniciais (4), pode ser escrita da seguinte forma:

(ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0)Y(s) = any0sn−1 + (any(1)0 + an−1y0)sn−2+

+ (any(2)0 + an−1y(1)

0 + an−2y0)sn−3 + · · · + (any(n−1)0 + an−1y(n−2)

0 + · · · + a1y0) + X(s). (8)

Consequentemente, se definirmos os polinómios D(s) e N0(s), como se segue

D(s) = ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0, (9)

N0(s) = any0sn−1 + (any(1)0 + an−1y0)sn−2 + · · · + (any(n−1)

0 + an−1y(n−2)0 + · · · + a1y0), (10)

então a solução da Eq. (8) é

Y(s) =N0(s)D(s)

+X(s)D(s). (11)

O primeiro termo da solução dada pela Eq. (11) depende das condições iniciais através

da Eq. (10). O polinómio N0(s) tem, no máximo, ordem n − 1 e, por isso, tem ordem infe-

rior ao polinómio D(s). Por outro lado, N0(s) desaparece se todos os valores iniciais especi-

ficados pela Eq. (4) forem nulos. Nesse caso, Y(s) é dada só pelo segundo termo X(s)/D(s).

Este termo depende da função de entrada (ou função de actuação). Por esta razão, o primeiro

termo, N0(s)/D(s), é normalmente designado por função complementar, enquanto que o se-

gundo termo, X(s)/D(s), é designado por integral particular. A solução y(t) pode ser obtida de

Y(s) da Eq. (11) por aplicação da fórmula de inversão dada pela Eq. (2).

4.3


4 “Dicionário” de transformadas de Laplace

Frequentemente, a função de entrada x(t) é tal que X(s) é dada pelo quociente de dois polinó-

mios em s. Nesse caso, a solução completa Y(s) dada pela Eq. (11) também será um quociente

de dois polinómios em s. Por isso, as expressões para Y(s) podem ser decompostas num dado

número de fracções simples. Cada uma ds fracções pode ser invertida pela fórmula de inversão

ou, de forma mais expedita, as funções originais de t podem ser determinadas recorrendo a um

“dicionário”—uma simples lista de funções de t e das suas respectivas transformadas de laplace.

A Tabela 1 contém uma lista das transformadas de Laplace mais habituais.

O quociente de dois polinómios N(s)/D(s) pode ser decomposto em fracções parciais.

Suponha-se que

G(s) =N(s)D(s)

= K(s − ξ1)(s − ξ2) · · · (s − ξq)(s − s1)(s − s2) · · · (s − sp)

. (12)

O parâmetro K é designado por ganho estacionário de G(s); G(s) diz-se ter p pólos localizados

em s = si, i = 1, 2, . . . , p, e q zeros localizados em s = ξi, i = 1, 2, . . . , q.

Se as zeros do polinómio D(s), s1, s2, . . . , sn, forem todos diferentes, então

N(s)D(s)

=

p∑i=1

N(si)D′(si)

1(s − si)

, (13)

em que D′(s) representa a derivada de D(s) em ordem a s.

5 Propriedades da transformada de laplace

• Uma das propriedades mais importantes da transformada de Laplace é ser um operador

linear, isto é,

L[a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1F1(s) + a2F2(s), (14)

em que a1 e a2 são duas constantes e f1(t) e f2(t) são duas funções da variável t definidas

para t > 0.

• A transformada de laplace da derivada de ordem n de uma função f (t) é

L[dn f (t)

dtn

]= snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − · · · − s f (n−2)(0) − f (n−1)(0), (15)

em que f ′(0) ≡ (d f /dt)t=0 e f (n)(0) ≡ (dn f /dtn)t=0.

No caso particular em que f (0) = f ′(0) = f (1)(0) = · · · = f (n−1)(0) = 0, tem-se

L[dn f (t)

dtn

]= snF(s). (16)

4.4


Tabela 1: Lista de transformadas de Laplace mais habituais.

4.5


Tabela 1: Lista de transformadas de Laplace mais habituais (Continuação).

• A transformada de Laplace do integral de uma função f (t) é dada por

L[∫ t

0f (t) dt

]=

1s

F(s). (17)

Conclui-se, portanto, que a transformada de Laplace do integral de f (t) é simplesmente

igual ao quociente entre a transformada de Laplace de f (t) e s.

• Teorema do valor inicial. Este teorema permite calcular o limite de uma função f (t)

quando t → 0 sem necessidade de inverter a transformada de Laplace F(s).

limt→0

f (t) = lims→∞

[sF(s)]. (18)

• Teorema do valor final. Este teorema permite calcular o limite de uma função f (t) quando

t → ∞ sem necessidade de inverter a transformada de Laplace F(s).

limt→∞

f (t) = lims→0

[sF(s)]. (19)

• Funções com atraso no tempo. A figura 1 ilustra a noção de atraso ou translação no tempo.

A função original é representada por f (t), enquanto que g(t) representa a função f (t) com

4.6


f (t )

g(t )

0

0

Tempo, t

Tempo, t

t0

(a)

(b)

Figura 1: Uma função com e sem atraso. (a) Função original (sem atraso), f (t); (b) função f (t)

com atraso de t0 unidades de tempo, g(t).

um atraso de t0 unidades de tempo. A função g(t) está relacionada com f (t) através da

seguinte relação:

g(t) = f (t − t0)H(t − t0) =

0 para t ≤ 0

f (t − t0) para t > 0. (20)

A função degrau unitário ou função de Heaviside,H(t), dada por

H(t) =

0 para t ≤ 0

1 para t > 0, (21)

foi incluida na definição de g(t) para indicar explicitamente que g(t) = 0 para todos os

valores de t ≤ t0.

A transformada de Laplace de g(t) é

G(s) ≡ L[ f (t − t0)H(t − t0)] = e−st0 F(s). (22)

6 Função de entrada sinusoidal

Recordemos a decomposição em fracções parciais do quociente entre dois polinómios N0(s)/D(s).

Se as raízes do polinómio D(s) forem todas diferentes, digamos s1, s2, . . . , sn, então

N0(s)D(s)

=

n∑r=1

N0(sr)D′(sr)

1(s − sr)

, (23)

4.7


em que D′(s) representa a derivada de D(s) em ordem a s. A parte yc(t) da solução devida às

condições iniciais, ou função complementar, é

yc(t) =n∑

r=1

N0(sr)D′(sr)

esrt. (24)

Em geral, as raízes sr de D(s) são números complexos. Para sistemas físicos os a’s em D(s)

na Eq. (9) são números reais; então, os sr’s têm pares complexos conjugados. Mas se todos os

sr’s tiverem partes reais negativas, então yc(t) vai decrescer exponencialmente com o tempo e,

eventualmente, yc(t)→ 0. Neste caso o sistema é estável.

Se a função de entrada x(t) for sinusoidal, ela pode ser escrita da seguinte forma:

x(t) = xmeiωt, (25)

onde xm e ω são, respectivemante, a amplitude e a frequência da oscilação. Então, de acordo

com o dicionário de transformadas de Laplace,

X(s) =xm

s − iω. (26)

Por consequência, o segundo termo da Eq. (11) é, neste caso,

xm

(s − iω)D(s). (27)

Pode generalizar-se este resultado, por forma a incluir sistemas definidos por um conjunto

de equações simultâneas, colocando no numerador outro polinómio N(s) de ordem inferior a n.

Então, a transformada de Laplace Yi(s) do integral particular será

Yi(s) = F(s)X(s) =N(s)D(s)

X(s) =xmN(s)

(s − iω)D(s). (28)

Quando N(s) ≡ 1, o problem reduz-se ao caso mais simples dado pela Eq. (11). Apliquemos

novamente a regra de decomposição em fracções parciais simples à Eq. (28), mas tendo em

conta que, agora, o polinómio no denominador é (s − iω)D(s) e que as raízes são s1, s2, . . . , sn

e iω. O resultado é

Yi(s) =

N(iω)D(iω)

1(s − iω)

+

n∑r=1

N(sr)(sr − iω)D′(sr)

1(s − sr)

xm. (29)

Portanto, o integral particular yi(t) devido à função de entrada sinusoidal da forma dada pela

Eq. (25) é

yi(t) = xm

N(iω)D(iω)

eiωt +

n∑r=1

N(sr)(sr − iω)D′(sr)

esrt

. (30)

4.8


Para sistemas estáveis todos os sr’s têm parte real negativa. Por isso, a segunda parte de yi(t)

desaparece à medida que t → ∞. A parte que resta é a solução estacionária; então, o quociente

entre a solução estacionária e a função de entrada é dado simplesmente por

[yi(t)]estacionário

x(t)=

N(iω)D(iω)

= F(iω). (31)

Esta equação fornece um método directo e expedito de determinação da solução de estado

estacionário para uma função de entrada sinusoidal.

Quando a frequenência ω da função de entrada decresce para zero, a função de entrada

reduz-se a uma constante invariante com o tempo. A Eq. (31) indica que, nesse caso, F(0) é o

quociente entre y e x quando x é uma constante. Este é precisamente o significado físico de F(s)

para s = 0.

7 Resposta a uma entrada em impulso unitário

Para aplicação do método da transformada de Laplace, a função de entrada x(t) não necessita de

ser uma função contínua. Por exemplo, x(t) pode ser um impulso unitário aplicado no instante

de tempo t = 0, isto é,

x(t) = δ(t) ≡ 0 para t , 0

∞ para t = 0e

∫ ∞

0δ(t) = 1. (32)

Neste caso, a transformada de Laplace X(s) da função de entrada é simplesmente igual a 1.

A transformada de Laplace da resposta a um impulso unitário do sistema genérico descrito

pela Eq. (28) é

Yi(s) =N(s)D(s)

· 1 = F(s). (33)

A solução y(t) devido a este impulso unitário é normalmente designada por h(t). De acordo com

a fórmula de inversão, dada pela Eq. (2),

h(t) =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞est F(s) ds. (34)

Quando o sistema é estável, as raízes sr têm todas parte real negativa. Neste caso as singu-

laridades de F(s) estão todas localizadas à esquerda do eixo imaginário no plano complexo s.

Então, o eixo imaginário pode ser utilizado como o percurso de integração de h(t), isto é, o

parâmetro γ na Eq. (34) pode ser fixado a zero.

4.9


Função de Transferência

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Matrix da função de transferência de um processo com várias saídas . . . . . . 2

3 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Introdução

Considere um processo simples com uma única entrada e uma única saída (figura 1a), cujo

comportamento dinâmico é descrito por uma equação diferencial ordinária linear de ordem n

(ou não-linear linearizada):

andny′

dtn + an−1dn−1y′

dtn−1 + · · · + a1dy′

dt+ a0y′ = bx′(t), (1)

onde x′(t) e y′(t) são, respectivamente, a entrada e a saída do processo. Ambas são expressas em

termos de variáveis desvio: x′(t) = x(t) − x(0) e y′(t) = y(t) − y(0). Supondo que inicialmente o

processo está em estado estacionário, tem-se

y′(0) =[dy′

dt

]t=0=

[d2y′

dt2

]t=0= · · · =

[dny′

dtn

]t=0= 0. (2)

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros de (1) e tendo em conta as condições

iniciais (2), obtém-se

Y(s)X(s)

≡ G(s) =b

ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0. (3)

PROCESSOx(t) y(t)

entrada saídaG(s)

X(s) Y(s)

)b()a(

Figura 1: (a) Processo SISO (uma única entrada e uma única saída; (b) diagrama de blocos

correspondente.

5.1


G1(s)X1(s)

G2(s)X2(s)

Gn(s)Xn(s)

...

Y(s)+

+

+

Figura 2: Diagrama de blocos de um processo com n entradas e uma única saída.

A função G(s) é designada função de transferência do processo e relaciona de uma forma

algébrica simples a saída do processo com a respectiva entrada. O diagrama da figura 1b é

normalmente denominado diagrama de blocos do processo.

Se o processo tiver n entradas então o segundo membro da equação (1) é

b1x′1(t) + · · · + bnx′n(t), (4)

donde

Y(s) =b1

ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0X1(s) + · · ·

· · · + bn

ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0Xn(s), (5)

ou, de uma forma equivalente,

Y(s) = G1(s)X1(S ) + · · · +Gn(s)Xs(n). (6)

As funções G1(s), . . . ,Gn(s) são as funções de transferência do sistema que relacionam a saída

com a entrada respectiva. O diagrama de blocos correspondente está representado na figura 2.

2 Matrix da função de transferência de um processo com várias saí-das

Considere-se um processo com duas entradas, x′1(t) e x′2(t), e com duas saídas, y′1(t) e y′2(t), cujo

modelo matemático é definido por

dy′1dt

= a11y′1 + a12y′2 + b11x′1(t) + b12x′2(t) (7)

dy′2dt

= a21y′1 + a22y′2 + b21x′1(t) + b22x′2(t), (8)

5.2


estando todas as variáveis expressas na forma desvio do relativamente ao valor de estado esta-

cionário do sistemas. As condições iniciais são

y′1(0) = y′2(0) = 0. (9)

Aplicando a transformada de Laplace às equações (7) e (8), obtém-se

Y1(s) =(s − a22)b11 + a12b21

P(s)X1(s) +

(s − a22)b12 + a12b22

P(s)X2(s) (10)

Y2(s) =(s − a11)b21 + a21b11

P(s)X1(s) +

(s − a11)b22 + a21b12

P(s)X2(s), (11)

onde P(s) = s2 − (a11 + a22)s − (a12a21 − a11a22). As equações (10) e (11) podem ser reescritas

na seguinte forma:

Y1(s) = G11(s)X1(s) +G12(s)X2(s) (12)

Y2(s) = G21(s)X1(s) +G22(s)X2(s), (13)

ou em notação matricial, [Y1(s)Y2(s)

]=

[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

](matrix da função de transferência)

↑

[X1(s)X2(s)

]. (14)

O procedimento para a determinação dos elementos da matriz da função de transferência

encontra-se resumido na Figura. 3.

3 Sistemas de primeira ordem

Um sistema de primeira ordem é um sistema cuja saída y(t) é regida por uma equação diferencial

ordinária de primeira ordem:

a1dydt+ a0y = bx(t), (15)

onde x(t) é a entrada. Se a0 , 0 então a equação anterior pode escrever-se na seguinte forma:

τdydt+ y = Kx(t), (16)

onde τ ≡ a1/a0 e K ≡ b/a0. O parâmetro τ é denominado constante de tempo do processo

e K é designado por ganho de estado estacionário ou ganho estático ou simplesmente ganho

do processo. Se x(t) e y(t) estão expressas na forma de desvio do valor de estado estacionário,

então as condições iniciais são

x(0) = 0 e y(0) = 0. (17)

5.3


Modelo dinâmico do processo:Equações diferenciais eequações algébricas

Obter modelo de estado estacionárioeliminando os termos em d/dt

Linearizar quaisquerelementos não-lineares

Subtrair as equações deestado estacionário

Substituir as variáveis

de desvio

Aplicar a transformada de Laplace

(as condições iniciais são nulas)

Eliminar algebricamente todas

as variáveis de saída exceptuando

a variável de saída pretendida

Eliminar todas as variáveis de

entrada exceptuando a variável

de entrada pretendida

Obter a função de transferência

pretendida dividindo a saídapela entrada

Resultado

Repetir para as outras entradas

Repetir para as outras saídas

Figura 3: Algoritmo de determinação dos elementos da matriz de funções de transferência para

um modelo genérico MIMO não-linear.

5.4


Figura 4: Resposta adimensional de um sistema de primeira ordem a uma variação em degrau.

Aplicando a transformada de Laplace à equação (16) conclui-se que a função de transferência

de um processo de primeira ordem é

G(s) =Y(s)X(s)

=Kτs + 1

. (18)

Para uma entrada em degrau de grandeza A, X(s) = A/s, pelo que

Y(s) =KA

s(τs + 1). (19)

Invertendo a transformada de Laplace obtém-se a resposta no domínio do tempo:

y(t) = KA(1 − e−t/τ). (20)

A forma da curva está representada na figura 4.

Para t → ∞ obtém-se y(t) → KA, o que indica que o sistema atinge um novo estado

estacionário e que, portanto, tem alguma capacidade de auto-regulação inerente, caso contrário

a resposta seria instável (nunca atingiria um novo valor estacionário).

O declive da resposta adimensional para t = 0 é igual a 1,

d[y(t)/KA]d(t/τ)

∣∣∣∣∣t=0= (e−t/τ)t=0 = 1. (21)

Este facto indica que se a taxa de variação inicial da saída se mantivesse constante ao longo do

tempo, então a resposta atingiria o seu valor final ao fim de τ unidades de tempo.

Por outro lado, para t = τ obtém-se t(τ) = 0,632, concluindo-se que τ é o tempo que a

resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada em degrau demora a atingir 63,2% do

valor final. Se os cálculos fossem prosseguidos obter-se-ia a seguinte tabela:

5.5


Intervalo decorrido 2τ 3τ 4τ

y(t) como % do valor final 86,5 95 98

Ao fim de quatro constantes de tempo a resposta do sistema atingiu praticamente o valor final.

Se a0 = 0 na equação (15), então

dydt=

ba1= K′x(t), (22)

cuja função de transferência é

G(s) =Y(s)X(s)

=K′

s. (23)

Este tipo de processos são denominados por capacitâncias puras ou integradores puros.

Os sistemas de primeira ordem são caracterizados por:

1. Uma capacidade em armazenar material, energia ou quantidade de movimento.

2. Uma resistência associada ao transporte de massa, energia ou quantidade de movimento

até atingir-se a capacidade do sistema.

Resumindo: um processo com capacidade de armazenar massa ou energia e que funcionne,

consequentemente, como um tampão entre correntes de entrada e de saída, pode ser modelado

na forma de um sistema de primeira ordem.

4 Sistemas de segunda ordem

Um sistema de segunda ordem é um sistema cuja saída y(t) é regida por uma equação diferencial

ordinária de segunda ordem:

a2d2ydt2 + a1

dydt+ a0y = bx(t). (24)

Se a0 , 0 então a equação (24) origina

τ2 d2ydt2 + 2ζτ

dydt+ y = Kx(t), (25)

onde τ2 = a2/a0, 2ζτ = a1/a0 e K = b/a0. Os parâmetros τ, ζ e K têm as seguintes designações:

τ = período natural de oscilação do sistema.

ζ = factor de amortecimento.

K = ganho do sistema.

5.6


Se a equação (25) está expressa em termos de variáveis desvio então as condições iniciais

são zero e a transformada de Laplace origina a função de transferência de um sistema de segunda

ordem escrita na forma canónica:

G(s) =Y(s)X(s)

=K

τ2s2 + 2ζτs + 1. (26)

5.7


Modelação empírica de processos

Conteúdo

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Identificação de processos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Modelos empíricos mais utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Ajuste de modelos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.1 Resposta a uma variação em degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Resposta a uma variação em impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Obtenção de momentos da resposta experimental. . . . . . . . . . . . . 9

1 Introdução

Existem vários processos com importância relevante cujos mecanismos (leis) fundamentais que

os regem ainda não foram totalmente identificados ou compreendidos. Um exemplo habitual é

o caso da maior parte dos processos biológicos. Qualquer tentativa de modelar estes processos

usando uma abordagem teórica clássica, baseada em princípios fundamentais, não tem, normal-

mente, grande sucesso prático.

Existem ainda situações em que se conhece com profundidade as leis que regem o processo,

o que permitiria uma modelação teórica baseada em princípios fundamentais. No entanto, os

modelos teóricos resultantes dessa abordagem são demasiado complicados para poderem ser

úteis na prática (do ponto de vista da sua aplicação em controlo).

Neste texto de apoio apresenta-se uma alternativa de modelação de processos quando a

abordagem teórica discutida num texto anterior não pode ser aplicável, ou a sua aplicação não

é conveniente.

2 Identificação de processos

Entende-se por identificação de um processo a construção de um modelo desse processo com

base unicamente em dados experimentais de entrada/saída do processo, sem recurso a qualquer

6.1


lei fundamental relativa ao comportamento ou propriedades do processo.

Nesta abordagem, o processo é visualizado como sendo uma “caixa preta”; a resposta ex-

perimental do sistema a estímulos externos é utilizada para inferir o que se passa no interior da

caixa preta.

2.1 Modelos empíricos mais utilizados

Excluindo as situações em que os dados experimentais sugerem o contrário, os modelos em-

píricos que são utilizados com maior frequência na identificação de processos químicos são

(expressos na forma de função de transferência):

1. Sistema de primeira ordem com atraso

G(s) ≡ Y(s)X(s)

=Ke−αs

τs + 1. (1)

2. Sistema de segunda ordem com atraso

G(s) =Ke−αs

(τ1s + 1)(τ2s + 1)=

Ke−αs

τ2s2 + 2ξτs + 1. (2)

3. Sistema com um único zero, dois polos e atraso

G(s) =K(ηs + 1)e−αs

(τ1s + 1)(τ2s + 1)=

K(ηs + 1)e−αs

τ2s2 + 2ξτs + 1. (3)

3 Ajuste de modelos empíricos

3.1 Resposta a uma variação em degrau

Uma técnica muito utilizada na prática para identificação de processos baseia-se na determina-

ção dos parâmetros do modelo empírico que melhor ajustam a curva teórica à resposta experi-

mental a uma variação em degrau aplicada à entrada do sistema.

Apresenta-se, de seguida, a resposta y(t) dos três modelos empíricos anteriores a uma varia-

ção em degrau de amplitude A na entrada x(t). Tanto a variável de entrada x(t) como a variável

de saída y(t) estão expressas na forma de variáveis desvio.

1. Sistema de primeira ordem com atraso

y(t) ={

0 , t < αAK

[1 − e−(t−α)/τ

], t ≥ α . (4)

Parâmetros: K, τ, α.

6.2


y(t)AK

t/τ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

Figura 1: Exemplo de resposta do sistema de primeira ordem com atraso a uma entrada emdegrau.

2. Sistema de segunda ordem com atraso

y(t) =0 , t < α

AK[1 −

( τ1τ1 − τ2

)e−(t−α)/τ1 −

( τ2τ2 − τ1

)e−(t−α)/τ2

], t ≥ α . (5)

Parâmetros: K, τ1, τ2 (ou ξ), α.

3. Sistema com um único zero, dois polos e atraso

y(t) =

0 , t < αAK

[1 −

( τ1 − ητ1 − τ2

)e−(t−α)/τ1 −

( τ2 − ητ2 − τ1

)e−(t−α)/τ2

], t ≥ α . (6)

Parâmetros: K, τ1, τ2 (ou ξ), η, α.

O atraso, as constantes de tempo e o ganho do modelo são estimados ajustando a curva

teórica y(t) aos dados experimentais da resposta do sistema. Exceptuando o modelo de primeira

ordem com atraso, o ajuste do modelo empírico é realizado recorrendo a métodos numéricos de

regressão.

Dado que o teste de resposta a variações em degrau é utilizado frequentemente para ajustar

o modelo de primeira ordem com atraso, descreve-se de seguida como essa tarefa pode ser

realizada.

6.3


y(t)AK

t/τ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

Figura 2: Exemplos de resposta do sistema de segunda ordem com atraso a uma entrada emdegrau. ξ < 1: resposta sub-amortecida; ξ = 1: resposta criticamente amortecida; ξ > 1: respostasobre-amortecida.

y(t)AK

t/τ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6

Figura 3: Exemplos de resposta do sistema com um zero, dois polos e atraso a uma entrada emdegrau.

Para instantes de tempo superiores ao valor do atraso, a resposta do sistema de primeira

6.4


ordem com atraso a uma variação em degrau de grandeza A é

y(t) = y∞[1 − e−(t−α)/τ

], t ≥ α, (7)

onde y∞ ≡ AK representa o valor final da saída.

Determinação do ganho do sistema, K. O cálculo deste parâmetro é imediato; do valor

final, y∞, da resposta experimental do sistema e da grandeza do degrau, obtém-se:

K = y∞/A. (8)

Determinação da constante de tempo, τ, e do atraso, α. A expressão (7) pode ser reescrita

na seguinte forma:

ln(y∞ − y

y∞

)=α

τ− tτ. (9)

Se o modelo de primeira ordem com atraso ajustar correctamente a resposta experimental,

então a representação dos dados experimentais segundo a eq. (9) resulta numa recta com declive

igual a −1/τ e com ordenada na origem igual a α/τ. Estes parâmetros são obtidos facilmente

por ajuste de mínimos quadrados.

3.2 Resposta a uma variação em impulso

Seja G(s) a transformada de Laplace da função de transferência de um processo arbitrário cuja

dinâmica é definida pela função y(t). Dado que a transformada de Laplace de um impulso uni-

tário é L(δ(t)) = 1, então a a função inversa de G(s) é igual à resposta temporal do sistema para

um impulso unitário na entrada.

A expansão da função exponencial em série de potencias origina

e−st =

∞∑j=0

(−st) j

j!. (10)

Substituindo este resultado na expressão de definição da transformada de Laplace,

G(s) =∫ ∞

0e−stg(t) dt, (11)

obtém-se

G(s) =∫ ∞

0

∞∑j=0

(−1) j s jt j

j!g(t) dt. (12)

Invertendo a ordem dos operadores de somatório e de integração, a equação anterior pode ser

reescrita na seguinte forma:

G(s) =∞∑j=0

(−1) j s j

j!

∫ ∞

0t jg(t) dt =

∞∑j=0

(−1) j s j

j!m j, (13)

6.5


onde

m j =

∫ ∞

0t jg(t) dt (14)

é, por definição, o momento de ordem j da função g(t).

A equação (13) mostra que a função de transferência de um sistema arbitrário está relacio-

nada directamente com os momentos da resposta do sistema a uma entrada em impulso.

Por definição, o ganho estacionário de um sistema cuja função de transferência é G(s) é

dado por:

K = lims→0

G(s). (15)

Consequentemente,

K = lims→0

∫ ∞

0e−stg(t) dt = m0. (16)

Deste resultado obtém-se a seguinte conclusão importante:

O momento de ordem zero, m0, da resposta de um sistema arbitrário a um impulso

unitário é igual ao ganho estacionário do sistema.

Suponha-se que depois de calculado o ganho K, este é utilizado como factor de normalização

da função de transferência; ou seja, constrói-se uma nova função de transferência,

G(s) =G(s)

K(17)

com o mesmo comportamento dinâmico da função original, mas tendo ganho estacionário uni-

tário. Considere-se, também, que os momentos m j da resposta original são normalizados de

forma idêntica:

µ j =m j

m0. (18)

Então,

G(s) =∞∑j=0

(−1) j s j

j!µ j = 1 − µ1s +

µ2

2s2 − µ3

6s3 + · · · . (19)

Esta expansão permite relacionar os momentos da resposta normalizada com os parâmetros

do modelo empírico. Apresenta-se de seguida vários exemplos de aplicação do método dos

momentos.

6.6


Modelo de primeira ordem. Neste caso

G(s) =1τs + 1

(20)

donde, com base nas eqs. (20) e (19),

1 = (τs + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (21)

Igualando os coeficientes correspondentes a iguais potências em s obtém-se

µ1 = τ (22)

µ2 = 2τ2 (23)

µ3 = 6τ3, etc. (24)

(25)

Estas expressões fornecem várias estimativas da constante de tempo τ e permitem avaliar a

consistência de modelo face à resposta experimental. Por exemplo, se os valores de τ obtidos pe-

las eqs. (22) e (23) não coincidirem, então o modelo de primeira ordem não ajusta correctamente

a resposta experimental. Dado que o cálculo des momentos de ordem elevada está normalmente

sujeito a maior erro, aconselha-se a restringir a análise aos primeiros três momentos.

Modelo de segunda ordem. A função de transferência normalizada é

G(s) =1

a2s2 + a1s + 1, (26)

obtendo-se

1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (27)

Igualando os coeficientes correspondentes a iguais potências em s obtém-se

a1 = µ1 (28)

a2 = µ21 −µ2

2(29)

Modelo de segunda ordem com um zero. Neste caso

G(s) =ξs + 1

a2s2 + a1s + 1, (30)

6.7


donde

ξs + 1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

), (31)

o que permite determinar a1, a2 e ξ:

a1 =3µ1µ2 − µ3

6µ21 − 3µ2

(32)

a2 = a1µ1 −µ2

2(33)

ξ = a1 − µ1 (34)

Modelo de primeira ordem com atraso. Neste caso

G(s) =e−αs

τs + 1(35)

donde

e−αs = (τs + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (36)

A substituição da função exponencial pela sua expansão em série de potências, permite reescre-

ver a equação anterior na seguinte forma:

1 − αs +α2

2!s2 − α

3

3!s3 + · · · = (τs + 1)

(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (37)

Obtendo-se finalmente

µ1 = τ + α (38)

µ2 − (µ1)2 = τ2 (39)

o que permite calcular τ e α.

Obtenção de momentos de dados experimentais.

a1 = µ1 (40)

a2 = µ21 −µ2

2(41)

Modelo de segunda ordem com um zero. Neste caso

G(s) =ξs + 1

a2s2 + a1s + 1, (42)

6.8


donde

ξs + 1 = (a2s2 + a1s + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

), (43)

o que permite determinar a1, a2 e ξ:

a1 =3µ1µ2 − µ3

6µ21 − 3µ2

(44)

a2 = a1µ1 −µ2

2(45)

ξ = a1 − µ1 (46)

Modelo de primeira ordem com atraso. Neste caso

G(s) =e−αs

τs + 1(47)

donde

e−αs = (τs + 1)(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (48)

Substituindo a exponencial pela sua expansão em série de potências, permite reescrever a equa-

ção anterior na seguinte forma:

1 − αs +α2

2!s2 − α

3

3!s3 + · · · = (τs + 1)

(1 − µ1s +

µ2

2s2 − · · ·

). (49)

Obtendo-se finalmente

µ1 = τ + α (50)

µ2 − (µ1)2 = τ2 (51)

o que permite calcular τ e α.

3.3 Obtenção de momentos da resposta experimental.

Habitualmente, a medição experimental da resposta do sistema é efectuada de forma descontí-

nua (discreta) a intervalos de tempo regulares ∆t:

g0 ≡ g(0), g1 ≡ g(∆t), . . . , gN−1 ≡ g[(N − 1)∆t], gN ≡ g(N∆t). (52)

Neste caso o integral na equação (14) tem que ser aproximado por uma quadratura ou outro

método de integração numérico. Por exemplo, se a regra de Simpson for utilizada para calcular

o integral, obtém-se:

m j =∆t3

( f0 + 4 f1 + 2 f2 + 4 f3 + · · · + 2 fN−2 + 4 fN−1 + fN) , fi = (i∆t) jgi. (53)

6.9

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