Aula11 - Escoamento Livre (1)

Rafael Cavalcanti

Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas 241944 – Hidráulica – 2014.2

Escoamento Livre

INTRODUÇÃO

• Até o momento, só forma considerados sistemas hidráulicos compostos por condutos forçados;

• Condutos livres tem uma característica importante:

– A superfície da massa líquida está em contato com a atmosfera!

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INTRODUÇÃO

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INTRODUÇÃO

• Cursos d’água naturais constituem o melhor exemplo de condutos livres;

• Além dos rios e canais, funcionam como condutos livres os coletores de esgotos, as galerias de águas pluviais, os túneis-canais, as calhas, canaletas, e etc;

• São, pois considerados canais todos os condutos que conduzem água com uma superfície livre, com seção aberta ou fechada;

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INTRODUÇÃO

• Escoamento em condutos livres pode ser realizado de várias maneiras;

• As formas mais comum de classificar este escoamento são:

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INTRODUÇÃO

• Escoamento Permanente:

– Quando o vetor velocidade não se alterar em grandeza e direção em qualquer ponto de um líquido em movimento;

– Obs: A velocidade pode variar no espaço, mas não no tempo!

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INTRODUÇÃO

• Se a profundidade e a velocidade forme constantes, o movimento será uniforme e o canal também será chamado uniforme desde que a natureza das suas paredes seja sempre a mesma;

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CARGA ou ENERGIA ESPECÍFICA

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• Pode-se escrever a carga total (Ht) existente na seção como:

𝐻𝑡 = 𝑍 + 𝑦 + 𝛼.𝑣²

2𝑔

• O coeficiente a, cujo valor geralmente está compreendido entre 1,0 e 1,1, leva em conta a variação de velocidade existente na seção;

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Na prática, a é igual a 1,0


• Adotando a igual a 1,0:

𝐻𝑡 = 𝑍 + 𝑦 +𝑣²

2𝑔

• Em seções a jusante, a carga será menor pois o valor de Z vai se reduzindo para permitir a manutenção do escoamento contra os atritos.

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• Passando-se a tomar como referência o próprio fundo do canal, a carga na seção passa a ser:

𝐻𝑒 = 𝑦 +𝑣²

2𝑔

• He denomina-se carga (ou energia) específica e resulta da soma da altura de água com a carga cinética ou energia de velocidade;

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• Canais uniformes e escoamentos uniformes não existem na natureza;

• Mesmo em canais longos, construídos em laboratórios, o escoamento uniforme só ocorre a uma certa distância da seção inicial e deixam de existir a uma certa distância da seção final;

• Canais relativamente curtos não podem demonstrar condições de uniformidade;

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• Em coletores de esgotos, concebidos como canais de escoamento uniforme, ocorrem condições de remanso e ressaltos de água e o movimento se afasta da uniformidade;

• Nos canais com escoamento uniforme o regime poderá se alterar, passando a variado em consequências de mudanças de declividade, variação de seção e presença de obstáculos;

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PROJETOS DE PEQUENOS CANAIS COM FUNDO HORIZONTAL

• Em certas instalações, como por exemplo estações de tratamento, são comuns canais e canaletas relativamente curtos, com fundo sem declividade, assim construídos por facilidade ou conveniência estrutural;

• Frequentemente são projetados com uma seção determinada para manter a velocidade de escoamento com um valor conveniente;

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• Há dois casos a considerar:

– 1. Canais afogados, cujo nível d’água a jusante é predeterminado por uma condição de chegada. Nesse caso calcula-se a perda de carga e, partindo-se do NA conhecido de jusante, pode obter o nível de montante;

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• Há dois casos a considerar:

– 2. Canais livres, que descarregam livremente a jusante, onde o nível é bem mais baixo. Nesse caso sabe-se que a extremidade do canal a profundidade do líquido cairá abaixo da profundidade crítica.

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OBSERVAÇÕES SOBRE PROJETOS DE CANAIS

• 1. o projeto de canais pode apresentar condições complexas que exigem a sensibilidade do projetista e o apoio em dados experimentais;

• 2. Sabendo-se que os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na prática, as soluções são sempre aproximadas, não se justificando estender os cálculos além de 3 algarismos significativos;

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OBSERVAÇÕES SOBRE PROJETOS DE CANAIS

• 3. Para os canais de grande declividade, recomenda-se a verificação das condições de escoamento crítico;

• 4. Em canais ou canaletas de pequena extensão não se justifica a aplicação de fórmulas práticas para a determinação da profundidade ou da vazão;

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FORMAS DOS CONDUTOS

• Os condutos livres podem ser abertos ou fechados, apresentando-se na prática com uma grande variedade de seções;

• Os condutos de pequenas proporções são executados com a forma circular;

• A seção em forma de ferradura é comumente adotada para os grandes aquedutos;

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FORMAS DOS CONDUTOS

• Os canais escavados em terra normalmente apresentam um seção trapezoidal que se aproxima tanto quanto possível da forma semi-hexagonal. O talude das paredes laterais depende da natureza do terreno;

• Os canais abertos em rocha são, aproximadamente, de forma retangular, com a largura igual a cerca de duas vezes a altura;

• As calhas de madeira ou aço são, em geral, semicirculares ou retangulares;

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DISTRIBUÇÃO DAS VELOCIDADES NOS CANAIS

• A variação de velocidade, nas seções dos canais, vem sendo investigada há muito tempo. Para o estudo da distribuição das velocidades consideram-se duas seções:

• a) Seção transversal

– A resistência oferecida pelas paredes e pelo fundo reduz a velocidade;

– A velocidade máxima será encontrada na vertical central; 21



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• b) Seção longitudinal

– Considerando-se a velocidade média em determinada seção como igual a 1, pode-se traçar o diagrama de variação da velocidade com a profundidade;

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RELAÇÕES PARA A VELOCIDADE MÉDIA

• Algumas fórmulas utilizadas tradicionalmente~ são derivadas dos métodos desenvolvidos pelo USGS:

– A velocidade média numa vertical geralmente equivale de 80% a 90% da velocidade superficial;

– A velocidade a seis décimos de profundidade é, geralmente, a que mais se aproxima da velocidade média:

𝑣𝑚𝑒𝑑 = 𝑣0,6 25


RELAÇÕES PARA A VELOCIDADE MÉDIA

• Algumas fórmulas utilizadas tradicionalmente~ são derivadas dos métodos desenvolvidos pelo USGS: – Com maior aproximação do que na relação anterior,

tem-se:

𝑣𝑚𝑒𝑑 =𝑣0,2 + 𝑣0,8

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– A velocidade média também pode ser obtida pela relação:

𝑣𝑚𝑒𝑑 =𝑣0,2 + 𝑣0,8 + 𝑣0,6

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ÁREA MOLHADA E PERÍMETRO MOLHADO

• Como condutos livres podem apresentar formas variadas, podendo ainda funcionar parcialmente cheios, torna-se necessário a introdução de dois novos conceitos para o seu estudo;

• Denomina-se área molhada de um conduto a área útil de escoamento numa seção transversal;

• Deve-se, portanto, distinguir S, a seção total de um conduto e A, a área molhada deste conduto;

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• O perímetro molhado é a linha que limita a área molhada junto as paredes e ao fundo do conduto. Não abrange, portanto, a superfície livre das águas;

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EQUAÇÃO GERAL DA RESISTÊNCIA

• Tomando um trecho de comprimento unitário. O movimento sendo uniforme, a velocidade mantem-se à custa da declividade do fundo do canal, declividade essa que será a mesma para a superfície livre das águas;

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• Sendo g o peso específico da massa líquida, a força que produz o movimento será a componente tangencial do peso do líquido:

𝐹 = 𝛾. 𝐴. sin 𝛼

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Eq. 1


• Desde que o movimento seja uniforme, deve haver equilíbrio entre as forças aceleradoras e retardadoras, de modo que a força F deve contrabalancear a resistência oposta ao escoamento pela resultante dos atritos;

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• Essa resistência ao escoamento pode ser considerada proporcional aos seguintes fatores:

– Peso específico do líquido (g);

– Perímetro molhado (P);

– Comprimento do canal (=1);

– Uma certa função ∅ 𝑣 da velocidade média, ou seja:

𝑅𝑒𝑠 = 𝛾. 𝑃. ∅ 𝑣 33


Eq. 2


• Igualando-se (1) e (2):

𝛾. 𝐴. sin 𝛼 = 𝛾. 𝑃. ∅ 𝑣 ou 𝐴. sin 𝛼 = 𝑃. ∅ 𝑣

• Na prática, em geral, a declividade dos canais é relativamente pequena, permitindo que se tome: sin 𝛼 ≅ tan 𝛼 = 𝐼(𝑑𝑒𝑐𝑙𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)

• Logo: 𝐴

𝑃. 𝐼 = ∅ 𝑣

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• A relação A/P é denominada raio hidráulico, ou raio médio:

𝑅ℎ =á𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎

𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜

• Chegando-se então à expressão: 𝑅ℎ. 𝐼 = ∅ 𝑣

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Equação Geral da Resistência ao Escoamento em Canais Livres


• A declividade, nesse caso, corresponde à perda de carga unitária (J) dos condutos forçados;

• Além da equação da resistência, tem-se a equação da continuidade:

𝑄 = 𝑣. 𝐴

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Lembrar que A aqui é a Área Molhada!

FÓRMULA DE CHÉZY

• Em 1775, Chézy propôs uma expressão da seguinte forma:

𝑣 = 𝐶. 𝑅ℎ. 𝐼

• O valor de C era, nessa época, suposto independente da rugosidade das paredes do canal;

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FÓRMULA DE CHÉZY

• É interessante notar que, para um conduto de seção circular, funcionando com a seção plena:

𝑅ℎ =𝐷

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• Tornando-se, I=J e fazendo-se as substituições na fórmula de Chézy, obtemos:

𝐷.𝐽

4= 𝐶². 𝑣² ou 𝐷. 𝐽 = ∅ 𝑣

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Análoga a Fórmula de Darcy

MOVIMENTO TURBULENTO UNIFORME NOS CANAIS

• A grande maioria dos escoamentos em canais ocorre em regime turbulento;

• A semelhança do número de Reynolds, calculado para tubos de seção circular, pode-se calcular esse adimensional para os canais;

• O raio hidráulico para condutos circulares em seção plena pode ser dado por:

𝑅ℎ =𝐷

4

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MOVIMENTO TURBULENTO UNIFORME NOS CANAIS

• Então, o número de Reynolds para os canais possui, usualmente, a expressão:

𝑅𝑒 =4. 𝑅ℎ . 𝑣

𝜐

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FÓRMULA DE CHÉZY COM COEFICIENTE DE MANNING

• Qualquer expressão do movimento turbulento uniforme poderia ser utilizada para os canais, desde que o elemento geométrico característico fosse D=4.Rh, uma vez que, nos movimentos turbulentos, a forma da seção praticamente não influi na equação do movimento;

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• Entretanto, a fórmula de Chézy, com

coeficiente de Manning 𝐶 =𝑅ℎ

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𝑛 , é a mais utilizada por ter sido experimentada desde os canais de dimensões minúsculas até os grandes canais, com resultados coerentes entre o projeto e a obra construída;

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• Utilizando o coeficiente de Manning da fórmula de Chézy:

𝑛𝑄

𝐼= 𝐴. 𝑅ℎ

23 ou 𝑣 =

1

𝑛. 𝑅ℎ

23 . 𝐼

• Onde: – n é o coeficiente de rugosidade de Ganguillet e Kutter;

– Q é a vazão (m³/s);

– I é a declividade do fundo do canal (m/m);

– A é a área molhada do canal (m²);

– Rh é o raio hidráulico (m); 43



• A única objeção que se faz à fórmula de Chézy com coeficiente de Manning é que o coeficiente n é um dimensional;

• Contudo o valor adimensional da rugosidade 𝜀𝐷 , da chamada fórmula Universal, seria

calculado através das alturas das asperezas, sem se preocupar com vários outros fatores que influenciam a rugosidade. Esta altura é dificilmente medida ou adotada com precisão;

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PROBLEMAS HIDRAULICAMENTE DETERMINADOS

• Diz-se que um problema é hidraulicamente determinado quando, dos dados, deduz-se de maneira unívoca o elemento desconhecido;

• Assim, conhecidos n, A e Rh, há uma infinidade de vazões Q que satisfazem a equação de movimento, ficando associada a cada vazão uma declividade I;

• Então o problema de cálculo da vazão, com valores de n, A e Rh como dados, é hidraulicamente indeterminado;

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• São três os problemas hidraulicamente determinados que, para qualquer tipo de canal, ficam resolvidos com a fórmula de Chézy, com coeficiente de Manning:

Dados n, A e Rh e I, calcular Q; ou Dados n, a, Rh e Q, calcular I;

• Esses problemas são resolvidos com meras aplicações da fórmula de Chézy com coeficiente de Manning;

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• Outro problema que pode aparecer é:

– Conhecidos n, Q e I, calcular A e Rh;

• Esse tipo de problema apresenta uma dificuldade de ordem prática, pois a solução

da equação 𝑛𝑄

𝐼= 𝐴. 𝑅ℎ

23 , mesmo nos casos

mais simples é bastante trabalhosa;

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• Este tipo de problema é conhecido como dimensionamento geométrico de canal e pode ser resolvido como se segue:

• Seja um canal de forma qualquer, porém conhecida;

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𝑅ℎ 𝑦 =𝐴 𝑦

𝑃 𝑦


• Calcula-se inicialmente 𝑛𝑄

𝐼;

• Então é possível organizar uma tabela como mostrado a seguir:

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• Representa-se graficamente 𝑓 𝑦 = 𝐴. 𝑅ℎ23 ;

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(Entra-se com o valor de 𝑛𝑄

𝐼 em

ordenada e retira-se o valor de y em abcissa);

EXERCÍCIO 01

• Calcular a altura de água y em um canal, cuja seção transversal tem a forma dada a seguir. A vazão é 0,2 m³/s, a declividade longitudinal é 0,0004 e o coeficiente de rugosidade n, da fórmula de Manning, é 0,013.

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TIPOS MAIS COMUNS DE CANAIS

• Canais retangulares e trapezoidais

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TIPOS MAIS COMUNS DE CANAIS

• Canais circulares

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EXERCÍCIO 02

• Calcular a vazão e a velocidade de um canal trapezoidal (m=1) com as dimensões b = 2 m e y= 1 m. A declividade longitudinal é de 0,0004 m/m e a rugosidade n = 0,018.

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EXERCÍCIO 03

• Qual é a declividade de um canal trapezoidal (m=1), com as dimensões b = 2m e y = 1m, que conduz uma vazão de 2,4 m³/s e com velocidade de 0,81 m/s? Dado n = 0,018.

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EXERCÍCIO 04

• Qual a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz uma vazão de 2,4 m³/s e com velocidade de escoamento de 0,81 m/s? Dados n = 0,018, b = 2m e I = 0,0004 m/m.

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EXERCÍCIO 05

• Determinar a profundidade de escoamento num canal circular (D=2) que conduz uma vazão de 3 m³/s, conhecendo-se I = 0,0004 m/m e n = 0,013. Qual a velocidade do escoamento?

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PRÓXIMA AULA ;)

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