Geometria Fractal

Professor Rodrigo Pasti

Aula de Hoje

•Fractais•Geometria Fractal

Introdução

• Nos últimos anos houve um grande avanço no poder de processamento dos sistemas computacionais.• Grande parte aos avanços se deve técnicas e

hardwares de computação paralela. • Este cenário abriu uma vasta possibilidade para

a computação gráfica.▫ Permitiu criar mundos virtuais inteiros no

computador.▫ Dentre os quais podemos destacar aqueles que

recriam sistemas naturais completos.

Introdução

Introdução

• Se vamos recriar mundos naturais então faz-se necessário entender como é a geometria destes mundos.• Representar o mundo natural pode parecer

bastante complexo!• Como recriar suas formas exatamente como

elas são?• Existem várias técnicas de Computação Natural

para recriar mundos naturais e veremos algumas delas na aula de hoje.

Introdução

• Desenhar formas naturais requer um entendimento das “formas” da natureza.• Um fundamento importante a respeito do

processo de modelagem e síntese de padrões naturais é considerar que a natureza é fractal .• Geometria fractal é a base para o

entendimento de fractais.• De forma simplificada, a geometria fractal pode

ser vista como a geometria da natureza, com toda a sua irregularidade e estruturas complexas e fragmentadas.

Geometria FractalGeometria Fractal

Geometria Fractal

• A geometria Euclidiana descreve formas ideais, como pontos, círculos, retas, esferas, quadrados, cubos, etc.• Entretanto, estas formas Euclidianas são

geralmente encontradas apenas em objetos produzidos por seres humanos.• A natureza não possui formas suaves e

uniformes e muitos padrões são irregulares e fragmentados.• Qual a forma de um floco de neve? E de uma

montanha?

Geometria Fractal

• Genericamente, os fractais são caracterizados por: ▫ Detalhes infinitos;▫ Comprimento infinito;▫ Auto-similaridade;▫ Dimensões fractais;▫ Ausência de suavidade ou derivadas. ▫ Irregularidades em todas as escalas;

Geometria Fractal

• O termo fractal foi cunhado por Mandelbrot(1983) para identificar uma família de formas que apresenta padrões irregulares e fragmentados. • A geometria fractal é a geometria das formas

irregulares encontradas na natureza.

Geometria Fractal

Auto-SimilaridadeAuto-Similaridade

Auto-Similaridade

• O conceito de auto-similaridade é essencial para a geometria fractal.• O termo auto-similaridade dispensa muitas

explicações.

Auto-Similaridade

• O conceito fundamental é que dividindo um objeto em partes menores, estas se parecem com a parte maior.• Repita novamente com as partes menores

obtidas e irá encontrar partes menores ainda e similares.• A auto-similaridade se repete então através das

divisões.• Portanto, a propriedade de auto-similaridade

pode se manter em infinitos estágios.

Auto-Similaridade

• Apesar da aparente simplicidade em entender o conceito por trás da auto-similaridade, uma definição matemática precisa não é fácil de ser obtida.• Alguns objetos podem apresentar:▫ Auto-similaridade estatística▫ Auto-similiaridade estrita.▫ Auto-afinidade.

Auto-Similaridade

Fractais PioneirosFractais Pioneiros

Fractais Pioneiros

• OS fractais por muito tempo foram considerados monstros da matemática devido as suas propriedades não intuitivas.• O primeiro fractal foi descoberto por K.

Weierstrass em 1861:▫ Uma função contínua que não é diferenciável em

ponto algum, ou seja, uma curva constituída somente por “cantos”.

• Outros fractais pioneiros foram descobertos por G. Cantor, H. von Koch, W. Sierpinski e outros

Curva de Koch

Curva de Koch

• Propriedades:• No limite, a curva de Koch não possui segmento algum de

reta; a curva é inteiramente constituída por cantos. • Portanto a curva não apresenta derivada (tangente) em

ponto algum. ponto algum. • Embora ela se inicie a partir de uma reta de comprimento

L, seu comprimento é infinito.• No passo t a curva possui 4t segmentos, cada qual com

comprimento 1/3t

• Portanto, o comprimento total da curva é (4/3)t

• Note que uma curva de comprimento infinito pode ser colocada em uma área finita.

Curva de Koch

Curva de Koch

Triângulo de Sierpinski

Dimensão e Dimensão FractalDimensão e Dimensão Fractal

Dimensão Fractal

• Pontos possuem dimensão 0, linhas e curvas possuem dimensão 1, planos e superfícies possuem dimensão 2, sólidos possuem dimensão 3, etc. • De forma simplificada, um conjunto possui

dimensão d se d variáveis independentes (coordenadas) são necessárias para descrever a vizinhança de cada ponto. • Esta noção de dimensão é denominada de

dimensão topológica.

Dimensão Fractal• Por exemplo, a curva de Koch possui dimensão

topológica 1.• Mas não pode ser considerada uma curva sob a

perspectiva da geometria euclidiana:▫ O comprimento entre quaisquer dois pontos da ▫ O comprimento entre quaisquer dois pontos da

curva é infinito.▫ Nenhuma de suas partes é uma linha ou um

plano. ▫ De certa forma, é possível dizer que ela é muito

grande para ser unidimensional e, ao mesmo tempo, muito pequena para ser bidimensional. Logo, sua dimensão deve ser um número entre 1 e 2.

Dimensão Fractal

• No final do século 19, alguns matemáticos perceberam que um bom entendimento da irregularidade ou fragmentação de algumas formas não pode ser alcançado definindo-se dimensão como sendo um número de dimensão como sendo um número de coordenadas.• Vamos olhar um cenário parecido em um

problema bem comum.

Dimensão Fractal

• Qual o comprimento da costa de um país?

Dimensão Fractal

• Este fenômeno foi identificado pelo meteorologista inglês L. Richardson em 1961 ▫ Em sua tentativa de medir o comprimento de

várias costas marítimas. • Ele percebeu que o comprimento aparente da • Ele percebeu que o comprimento aparente da

costa parecia crescer sempre que o comprimento do instrumento de medida era reduzido. • Isso ocorria, pois quanto menor o comprimento

do medidor maior a amplificação dos detalhes.

Dimensão Fractal

• A Richardson concluiu que o comprimento da costa não é bem definido!• Propôs uma lei empírica relacionando este

aumento no comprimento da unidade de medida com a quantidade de detalhes percebidos. • Logaritmo do comprimento do instrumento de

em função do logaritmo do comprimento total da costa, produz pontos que tendem a distribuir em torno de uma linha reta. • A inclinação da reta resultante o grau de

fragmentação da costa.

Dimensão Fractal

Dimensão Fractal

• Mandelbrot (1983) encontrou o trabalho de Richardson e verificou que os fractais poderiam ser classificados de forma similar.• E também concluiu que o trabalho dele estava

relacionado com o trabalho de Hausdorff de 1919, a respeito de fractais.• Com isso cunho os termos fractais e dimensão

fractal para designar objetos que possuem relação de auto-similiaridade e dimensão não-inteira.

Dimensão Fractal

• O cálculo da dimensão fractal é definido como:

m

Nd

/1log

log=m

d/1log

=

• Onde N é número de cópias do objeto original e m é o fator de resolução

Dimensão Fractal

• Exemplo: quadrado

m = 1/2 ⇒ N = 4 m = 1/3 ⇒ N = 9

2)3/1/(1log

9log

)2/1/(1log

2log

/1log

log ====m

Nd

Dimensão Fractal

• Fazendo o mesmo para a curva de Koch▫ A cada iteração: 4 cópias da linha original com

uma redução de 1/3 de tamanho logo...

1.2618)3/1/(1log

4log

/1log

log ===m

Nd

Dimensão Fractal

• Neste caso, quanto maior a dimensão tendendo a dois, maior é a complexidade do fractal.• O espaço Rn possui dimensão fractal n.• A seguir alguns exemplos de fractais e suas • A seguir alguns exemplos de fractais e suas

dimensões respectivas.

Sierpinski Triangle

• d = 1,5849

Cantor Dust em 3D

• d = 1,8928

Greek Cross em 3D

• d = 2,5849

Fractais e AplicaçõesFractais e Aplicações

Fractais e Aplicações

• Estamos estudando propriedades de elementos naturais no espaço.• Os quais são fundamentados na geometria fractal.• Estudar a geometria de elementos naturais leva a

várias aplicações:várias aplicações:▫ Entendimento da natureza;▫ Entendimento e criação de fractais artificiais;▫ Criação e manutenção de mundos naturais virtuais;▫ Melhor entendimento de sistemas artificiais que

apresentam características de fractais.▫ Etc...

Fractais e Aplicações

• Peguemos a reprodução de mundos naturais em mundos artificiais.• Certos elementos naturais são muito complexos

e possuem muitos detalhes.• Reproduzir isso em mundos virtuais pode não

ser uma tarefa fácil se pensarmos em reproduzir parte por parte.• Imagine os seguintes casos...

Fractais e Aplicações

Fractais e Aplicações

• Faz sentido desenhar folha por folha?• Galho por galho?• Árvore por árvore?• Cada detalhe da montanha?• Cada detalhe da montanha?• Tudo isso junto?

Movimento BrownianoMovimento Browniano

Movimento Browniano

• Em 1827 R. Brown observou que pequenas partículas suspensas em um fluído se comportam de uma maneira contínua e errática,• As partículas se movem aleatoriamente porque

o fluído acerta ela em todas as direções.

Movimento Browniano

• Através de movimentos brownianos é possível recriar certos padrões naturais com simples algoritmos.• O resultado é a obtenção de fractais que

representam:▫ Montanhas.▫ Raios.▫ Movimento de partículas em líquidos e gases.▫ Etc...

Movimento Browniano

• Uma caminhada aleatória (random walk) é um caminho que pode ser gerado por um processo aleatório.▫ x(t+1) = x(t) + ∆x

∆▫ y(t+1) = y(t) + ∆y• onde ∆x e ∆y pode ser distribuições Gaussianas

de média zero e desvio padrão 1.• Essa caminhada aleatória está intimamente

relacionada com o movimento Browniano.

Movimento Browniano

Movimento Browniano

• Em uma dimensão, o movimento browniano é caracterizado por um processo aleatório X(t), que corresponde a uma função X de uma variável real t(tempo), cujos valores são variáveis aleatórias X(t1), X(t2),…X(t2),…• Em geral é representada por uma distribuição

Gaussiana.• Um método popular para gerar movimento browniano é

conhecido como algoritmo recursivo da subdivisão (recursive subdivision algorithm), ▫ Também conhecido como algoritmo do deslocamento

aleatório do ponto médio (random midpointdisplacement algorithm – RMD).

Algoritmo RMD• Se o processo X(t) deve ser computado para o tempo t ∈ [0,

1], então comece definindo X(0) = 0 e escolhendo X(1) como uma amostra de um valor gaussiano de média 0 e variância σ2

• No primeiro passo, o ponto médio entre t = 0 e t = 1 é dado pela média entre X(0) e X(1), mais um desvio D de média pela média entre X(0) e X(1), mais um desvio D1 de média zero e variância ∆2 : ▫ ½(X(1) − X(0)) + D1

Algoritmo RMD• A

Algoritmo RMD

• Depois de várias iterações

Algoritmo RMD

• Mandelbrot e van Ness introduziram em 1968 uma versão de movimento Browniano guiado por diferenets famílias de gaussianas, denominaram movimento browniano fracionário .fracionário .• Estes conjuntos de diferentes distribuições

podem ser aplicadas ao algoritmo RMD.• O que resulta em diferentes comportamentos

para os movimentos, tornando esta versão uma generalização da anterior.

Algoritmo RMD

• Através de diferentes gaussianas obtém-se diferentes níveis de rugosidade:

Algoritmo RMD

• É possível estender o algoritmo RMD para três ou mais dimensões.

Algoritmo RMD

• Sendo possível simular terrenos irregulares e portanto modelar montanhas e terrenos em geral.• A rugosidade do terreno é controlada através de

diferentes gaussianas.

Algoritmo RMD

Por hoje é só!Por hoje é só!

Referências

• Aulas baseadas em:▫ Notas de aula do Prof. Fernando Von Zuben▫ http://www.dca.fee.unicamp.br/~vonzuben/▫ Notas de aula do Prof. Leandro Nunes de Castro.