DAFIS/DAQBI - PPGFCET

Sistemas Complexos

Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS

msergio58@gmail.com

[ M.S

. Freitas / U

TF

PR

]

Ementa0 – INTRODUÇÃO 1 – REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES2 – AUTOSSIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL3 – EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( “MAPAS” )4 – MAPAS BIDIMENSIONAIS5 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS

texto-base: D.Kaplan, L.Glass Understanding Nonlinear Dynamics

(Springer, N.Y, 1995).

CAP 1.

INTRODUÇÃO+

REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS

CELULARES

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

(INTRODUÇÃO)

O QUE É ”COMPLEXIDADE” ?

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

COMPLEXIDADE: etimologia

“Num primeiro sentido, a palavra complexus significa „o queestá ligado, o que está tecido‟. E é esse tecido que é precisoconceber.”

E. MORIN, “Os Desafios da Complexidade”, in “A Religação dos Saberes – o

desafio do sec XXI”, org. E. Morin, 9ª ed, Bertrand Brasil, RJ, 2010, pp 559-567.

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

EXEMPLO DE SISTEMA COMPLEXO

o cérebro humano

* N=100 bilhões de unidades (neurônios)

* cada unidade recebe o estímulo de n=0 mil unidades vizinhas

* recebe estímulo do ambiente por meio dos sentidos

unidade

saída única:DISPARA?

NÃO DISPARA?

n entradas:EXCITATÓRIAS? INIBITÓRIAS?

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

COMPLEXIDADE: exemplo de efeito

http://north19.co.uk/madeleines/

http://www.artcritical.com/2003/11/01/the-world-of-proust-as-seen-by-paul-nadar/

“Pequenas perturbações podem levar o sistema de um estadoa outro: o sabor de um doce mergulhado em chá evocou emProust a memória de toda a sua infância.”

H.M. Nussenzveig, “Introdução à Complexidade”, in “Complexidade e Caos”, org. H.M. Nussenzveig, UFRJ/COPEA, RJ, 1999, pp 9-26.

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

... iniciando o curso

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

CAP 1

(primeira parte) REDES BOOLEANAS

2.1. Elemento e Rede

[ http://www.alanturing.net/turing_archive/ ]

rede múltiplos elementos conectados entre si

(exs: genética, neurociências, imunologia, informática, etc)

simplificações para o tratamento matemático:

* a variável tempo é discretizada

* o estado de todo o sistema num dado tempo depende do estado detodo o sistema no tempo anterior

* cada elemento pode assumir um número limitado de estados(discretizados) possíveis

mesmo com essas simplificações, o comportamento da rede podeapresentar uma enorme complexidade !

para cada elemento:

uma ou mais ENTRADAS

uma REGRA

uma única SAÍDA [ fig. 2.1 ]

representação gráfica:

elementos: NODOS

( círculos cheios A, B, C, etc )

entradas e saídas: ARESTAS

(setas conectam os nodos aos pares)

[fig. 2.2 ] e [fig. 2.3 ]

descrição completa da rede:

lista das regras de saída para cada elemento

regras: funções específicas fA ( ); fB ( ); etc

ex [fig. 2.3]:

A t +1 = fA ( A t )

B t +1 = fB ( A t , C t )

C t +1 = fC ( A t , B t )

2.2. Variável, Função e Rede Booleana

caso mais simples: duas saídas possíveis

* esquematicamente ON e OFF ( variável Booleana )

representação das duas saídas: 1 e 0

* essencial para circuitos digitais e arquitetura computacional

fundamentos: George Boole (1815-1864)

[ http://www.neoformix.com/2008/GeorgeBoolePortrait.html ]

[ http://www.bluedolphin.ie/links/george_boole.html ]

* regra que determina a saída dadas as entradas: função booleana

conhecer o ESTADO da rede num dado tempo:

* especificar se cada elemento está ON ou OFF

notação para o estado da rede no tempo i:

ex rede booleana de três elementos A, B, C

(011)

significa

A i = 0 ; B i = 1 ; C i = 1

se houver N elementos:

* existem 2N estados possíveis para a rede

“CONDIÇÃO INICIAL” :

* estado da rede no tempo t = 0

[ http://www.goldb.org/ ]

REDE DE ELEMENTOS COM ENTRADA ÚNICA

só 4 funções possíveis para cada elemento:

ENTRADA NOME DA FUNÇÃO(0) (1)

0 1 IDENTITY

1 0 INVERSION

0 0 ZERO

1 1 ONE

só 3 tipos de configuração conectiva:

fileira - laço fechado - laço com fileiras

fileira

dinâmica muito simples ( pouco interesse )

ex: A B C D etc

A não tem entrada valor constante = A 0

B 1 depende só de A 0 estabiliza na 1a iteração

C 2 depende só de B 1 estabiliza na 2a iteração, etc...

laço fechado

dinâmica mais rica (ciclos) [fig. 2.5]

funções possíveis para os nodos:

IDENTITY ou INVERSION

( nodo ONE ou ZERO o laço se torna fileira! )

analogia só para fins didáticos:

“BRIGADA DE BALDES” ( bucket brigade )

* corrente de pessoas passando baldes d‟água

[http://wfc3.gsfc.nasa.gov/MARCONI/bb-large.html]

fileira com N elementos:

* o estado final é sempre estacionário

* todos os nodos dependem do valor inicial do primeiro

* o transiente dura N-1 iterações [fig. 2.4]

http://www.justice.eku.edu/photoGallery.asp?album=Homecoming%202005&deptName=Alumni%20and%20Friends&imageName=Bucket%20Brigade%204.JPG

(B) (C) (D) (E) (F)

fonte (A) (G) fogo

(L) (K) (J) (I) (H)

B, C, D, E, F:

recebem um balde cheio e entregam cheio

H, I, J, K, L:

recebem um balde vazio e entregam vazio

A: recebe um balde vazio e entrega cheio

G: recebe um balde cheio e entrega vazio

variável booleana: balde cheio (1) ou vazio (0)

* evolução dos estados da rede:

000000000000

100000000000

110000000000

... (transiente)

111111000000

111111000000 (estado estacionário)

nodo A : função ONE

nodo G: função ZERO

demais nodos: função IDENTITY

o exemplo não caracteriza um laço fechado !

extrapolando...

dado um laço fechado com N elementos (entrada única)

alguns nodos IDENTITY e outros INVERSION

* qualquer condição inicial vem a se repetir

(no mínimo, depois de 2N iterações)

* sempre há formação de ciclos periódicos

(caso particular: estados estacionários)

* não ocorrem transientes (a condição inicial faz parte do ciclo)

* é possível calcular o número total de ciclos

laço “frustrado”:

número ímpar de nodos INVERSION

laço “não-frustrado”:

número par de nodos INVERSION

laço fechado com fileiras

[fig. 2.6]

efeito de uma fileira anexada ao laço fechado:

não afeta as propriedades dinâmicas do laço

EXERCÍCIO:

(fazer o levantamento dos ciclos possíveis)

(a) rede não-frustrada com N=3 [fig 2.7]

solução: atribui uma condição inicial arbitrária

ex: A0 = 1 ; B0 = 1 ; C0 = 1 (111) em t=0

1a iteração: A0 = 1 B1 = 0

B0 = 1 C1 = 0

C0 = 1 A1 = 1 (100) em t=1

2a iteração: A1 = 1 B2 = 0

B1 = 0 C2 = 1

C1 = 0 A2 = 0 (001) em t=2

3a iteração: A2 = 0 B3 = 1

B2 = 0 C3 = 1

C2 = 1 A3 = 1 (111) em t=3

* caracteriza um ciclo em 3 passos (=N)

(111) (100) (001) (111) ...

atribui então outra condição inicial

(diferente dos 3 estados do ciclo já obtido)

ex: A0 = 1 ; B0 = 0 ; C0 = 1 (101) em t=0

1a iteração: A0 = 1 B1 = 0

B0 = 0 C1 = 1

C0 = 1 A1 = 1 (101) em t=1

* caracteriza um estado estacionário

(101) (101) ...

testando as condições iniciais restantes:

* ciclo em 3 passos

(000) (011) (110) (000) ...

* estado estacionário

(010) (010) ...

(b) rede frustrada com N=3 [fig. 2.8]

mesmo procedimento: resultam apenas

* ciclo em 6 passos (=2N)

(111) (101) (100) (000)

(010) (011) (111) ...

* ciclo em 2 passos

(110) (001) (110) ...

APLICAÇÃO SIMPLES (GENÉTICA)

“expressão mutuamente bloqueada” (par de genes)

ex: proteínas envolvidas no mecanismo de invasão do vírus bacteriófagolambda na E. coli

[ http://www.ncbi.nlm.nih.gov/ ]

[ S. Matsui & R. Kometani, IEICE TRANS. ELECTRON., vol E-90C, n1, Jan 2007]

* modelo: rede booleana de 1 entrada com N=2

1 m

A B

(INVERSION) (INVERSION)

A0 = 1 : proteína A sendo produzida

(lambda repressor)

B0 = 1 : proteína B sendo produzida

(cro)

condição inicial (10)

1a iteração (10)... um estado estacionário

condição inicial (01)

1a iteração (01)... outro estado estacionário

[ http://network.nature.com/]

* o modelo ainda permitiria um ciclo em 2 passos:

(11) (00) (11) ...

(ou seja, requer um modelo envolvendo mais informação!)

ELEMENTOS COM ENTRADA MÚLTIPLA

(maior número de configurações conectivas e funções booleanas)

alta complexidade! [fig. 2.9]

* 1 entrada: (0) ou (1) 21 estados de entrada

* 2 entradas: (00), (01), (10) ou (11) 22

* 3 entradas: (000), (001), (010), etc 23

* K entradas 2 K estados de entrada

cada estado de entrada gera uma saída (0 ou 1)

número de combinações possíveis nas saídas:K22

(número de funções booleanas com K entradas)

ex: 2 entradas 4 estados 16 funções booleanas [tab 2.1]

DINÂMICA DA REDE BOOLEANA

ex: N = 5 ; K = 2 ; função NOR [fig. 2.10]

(00): 1

(10): 0

(01): 0

(11): 0

arbitrando uma condição inicial (entre as 25=32)

A0 = 0; B0 = 0; C0 = 1; D0 = 1; E0 = 1

1a iteração:

A1 = 0; B1 = 0; C1 = 1; D1 = 0; E1 = 0

2a iteração:

A2 = 1; B2 = 1; C2 = 1; D2 = 0; E2 = 0, etc...

dinâmica da rede:

(00111) (00100) (11100) etc...

representação gráfica da dinâmica:

saída 1: círculo cheio ()

saída 0: ponto (.)

ex: a condição inicial

(00111)

é representada pela linha. .

os estados sucessivos

(00100)

(11100)

etc

são representados por novas linhas

(de cima para baixo). .

. . . .

. .

etc

formam-se padrões geométricos. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

* caracteriza um ciclo em 10 passos [fig. 2.11]

* “tabela da verdade” para cada estado possível da rede:

relaciona o resultado da iteração subseqüente [tab. 2.2]

para maior N possibilidade de ciclos muito longos

APLICAÇÃO (REDES NEURAIS)

circuito motor das patas de uma salamandra [figs. pg 70]

padrão periódico para cada pata:

4 músculos sucessivamente ativados (1 ou 0)

ativação do neurônio responsável pelo músculo:

sempre que não for inibido por outro neurônio

estabelece as conexões da rede

monta a “tabela da verdade”

verifica o padrão periódico

[ M.S

. Freitas / U

TF

PR

]

2.3. Funções Booleanas em Bioquímica

mecanismos de ativação e inibição de enzimas

modeláveis por funções booleanas

[fig. 2.12] (IDENTITY) e [fig. 2.13] (INVERSE)

1o exemplo ( E. coli ):

enzima: -galactosidase

indutor: lactose

combina com o repressor e impede sua ligação com o gene

transcrição evitada ou permitida

montagem da tabela da verdade:

A t (indutor) R t (repressor) E t+1 (enzima)

1 1 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1identificação da função booleana associada:

IMPLICATION [tab. 2.1]

2o exemplo:

enzima: triptophan-sintetase

co-repressor: triptophan

combina com o repressor e permite sua ligação com o gene

montagem da tabela da verdade:

identificação da função booleana associada:

NAND [tab. 2.1]

seria viável construir computadores químicos?

R t (repressor) I t (co-repressor) E t+1 (enzima)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

2.4. Rede Booleana Aleatória

modelamento de expressão de genes [ S. Kauffman, 1960s ]

* processo aleatório usado só para a montagem das conexões

rede booleana:

1) arbitra valores de N e de K

2) para cada um dos N nodos:

a) seleciona as K conexões de entrada

b) seleciona a função booleana para saída

* montadas as conexões de rede:

a dinâmica passa a ser determinística [fig. 2.14]

resultados obtidos por Kauffman:

* número de ciclos ou pontos fixos

* ciclos com durações muito diferentes

* tempo de duração média dos ciclos N 0.3 [fig. 2.15]

* transiente tempo do ciclo mais longo

* perturbação num nodo: sistema muda de ciclo

N

CAP 2 (segunda parte) AUTÔMATOS CELULARES

[ M

.S. F

reit

as /

UT

FP

R ]

2.5. Autômato Celular

* rede de elementos idênticos

* acoplados em arranjo regular no espaço

* condições de contorno periódicas

unidimensional (anel) [fig. 2.16]

bidimensional (toro) [fig. 2.17]

n-dimensional (n-toro)

AUTÔMATO CELULAR BOOLEANO

* caso particular de rede booleana

* algoritmos simples geram padrões complexos

ex [fig. 2.16]

entradas: K = 3

tipos de entrada: 23 = 8

funções booleanas possíveis: 28 = 256

fazendo:

* N = 15

* estado inicial tomado aleatoriamente

representação gráfica:

“regra 10” [fig. 2.18]

“regra 45” [fig. 2.19]

* N = 50

“regra 90” [fig. 2.20]

padrão geométrico: concha conus “Oliva porphyria”

[fig. 2.21]

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap2/2OlivaPorphyria/index.html

Life

“Jogo da Vida” [J. Conway, 1970s ]

* autômato celular booleano bidimensional

* entradas do nodo: ele mesmo + 8 vizinhos ( K = 9 )

regra:

(a) se o estado do nodo é 1 em t

se 2 ou 3 nodos vizinhos forem 1 em t

o nodo permanece 1 em t+1

se a situação for qualquer outra em t

o nodo muda para 0 em t+1

(b) se o estado do nodo é 0 em t

se exatamente 3 nodos vizinhos forem 1 em t

o nodo muda para 1 em t+1

se a situação for qualquer outra em t

o nodo permanece 0 em t+1

* justificativa: interação entre organismos vivos

poucos vizinhos auto-sustentação insuficiente

muitos vizinhos superpopulação

resultados do Jogo da Vida

* são caracterizados:

pontos fixos de vários tipos [fig. 2.22]

ciclos periódicos de durações diferentes

estados transientes

AUTÔMATO CELULAR NÃO-BOOLEANO

( ou “rede de mapas acoplados” )

elementos não-booleanos

* valores de saída: dados por uma função não-booleana

a variável pode ser contínua

* espaço discretizado (sítios)

* tempo discretizado (iterações)

ex: processo de difusão unidimensional

* coeficiente de difusão D

* concentração no sítio [m] para a iteração t+1:

c t+1[m] = D( c t [m-1]+c t [m+1] ) + ( 1-2D ) c t[m]

[ http://www.flickr.com/photos/67812738@N00/497002861/ ]

* condição inicial: em t=0 apenas um dos sítios com c 0

* representação gráfica: [fig. 2.24]

exemplos de aplicação

gradações de coloração em seres vivos

fluxo de fluidos

estrutura do córtex visual

sincronização de grupos de vagalumes, etc [ http://nature.com/]

http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/run.cgi?Fireflies.763.498

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap2/3SincronizacaoVagaLumes/index.html

MEIO EXCITÁVEL

* permite a propagação de ondas de atividade

* interação não-linear entre ondas propagadas

(não vale o princípio da superposição)

* os sítios ficam temporariamente refratários

(não se encontram excitados, nem excitáveis)

fica caracterizado um tempo refratário

* pode apresentar padrões altamente complexos

exemplos:

incêndio em uma floresta

reações químicas auto-catalíticas

[fig. 2.25]

http://psoup.math.wisc.edu/archive/recipe81.html

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_IV/Organische_Chemie/Didaktik/Keusch/D-oscill-e.htm

http://www.youtube.com/watch?v=DSaogqQLG_c&feature=related

ondas de excitação cardíaca

agregação de mixomicetos (slime molds), etc

[ http://www.flickr.com/photos/myriorama/ ]

* num caso bidimensional se torna possível:

ondas com diversos padrões geométricos

ondas que morrem ao atingir as extremidades

ondas que se aniquilam mutuamente [fig. 2.26]

propagação de onda em circuito fechado

propagação de ondas espirais [fig. 2.27]

modelamento por um autômato celular

* 3 estados possíveis para um nodo

Q: quiescente mas excitável ; E: excitado ; R: refratário

regra simples para qualquer nodo A (com vizinhos B, C, etc)

se A t = Q

se B t = E (um ou mais vizinhos)

A t+1 = E

nas outras situações

A t+1 = Q

se A t = E

A t+1 = R

se A t = R

A t+1 = Q

* comportamento padrão de cada nodo:

quiescente excitado refratário quiescente

* comportamento global do meio:

estacionário, periódico ou caótico

* tratamento formal dos problemas:

autômato celular

tópico complementar: Criticalidade Autoorganizada

http://www.wisconsinwatch.org/2012/07/22/sand-sites-double/

propriedade de certos sistemas

PRIMEIRO EXEMPLO:

grãos de areia sendo amontoados

(Bak, Tang & Wiesenfeld, PRL 59-4, 381-384, 1987)

* a pilha é modelada como uma REDE

* cada grão faz o papel de um elemento

* os grãos são conectados por forças de contato

* grupos coesos de grãos constituem SUB-SISTEMAS

* o sistema global é ALTAMENTE complexo

http://www.wisconsinwatch.org/2012/07/22/sand-sites-double/

* grãos vão se acumulando no alto do cone

* grãos caindo nas laterais desencadeiam avalanches

* estes “pacotes” de grãos rolam para outros locais

* o cone cresce mantendo a “rampa” CONSTANTE!

http://ak7.picdn.net/shutterstock/videos/860299/preview/stock-footage-human-hands-strewing-sand-through-fingers.jpg

http://www.brianhayes.com/2010/10/page/4/

* individualmente, cada avalanche é IMPREVISÍVEL

* não se pode prever seu local, instante, nem o seu tamanho

* mas pode-se fazer boas previsões ESTATÍSTICAS

* ex: a FREQUÊNCIA com que ocorre um dado tamanho de avalanche

http://farm5.staticflickr.com/4082/4777186367_2f0006260c_o.jpg

* individualmente, cada avalanche é IMPREVISÍVEL

* não se pode prever seu local, instante, nem o seu tamanho

* mas pode-se fazer boas previsões ESTATÍSTICAS

* ex: a FREQUÊNCIA com que ocorre um dado tamanho de avalanche

http://natygela.blogspot.com.br/2010/09/cuscuz-marroquino-ate-assistir-um.html

* cada subsistema tem sua probabilidade de sofrer uma avalanche

* também há a probabilidade do subsistema se reorganizar

* se o subsistema tiver alta esta probabilidade, está num ESTADO CRÍTICO

* quanto maior ao tamanho da avalanche, menor é a frequência

* matematicamente, essa distribuição segue uma LEI DE POTÊNCIA

mas o que vem a ser uma “lei de potência”?

http://natygela.blogspot.com.br/2010/09/cuscuz-marroquino-ate-assistir-um.html

EXEMPLO de LEI DE POTÊNCIA :

páginas de internet e correspondente número de visitas

(L. Adamic, sem data)

http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html

EXEMPLO de LEI DE POTÊNCIA :

planetas extrassolares: número x diâmetro

(C. Morley, 2011)

http://astrobites.org/2011/03/15/planet-statistics-from-the-latest-kepler-data-release/

... continua (CAPs 2, 3, 4 e 5)