Inequacao_2grau

8/12/2019 Inequacao_2grau

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Vitor Bruno Santos Pereira -Engenharia Civil

Inequação do SegundoGrau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2013.2



Introdução

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• As inequações representam uma desigualdadematemática. Elas são identificadas pelos sinais>(maior), <(menor), ≤(menor igual), ≥(maior igual).

• São inequações do 2º grau ou quadráticas, asinequações constituídas por uma lei matemática coma forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são númerosreais e a ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade.

Assim é uma inequação do segundo grau, porexemplo, 3x² +2x –5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.



Exemplos de Inequações do 2º Grau

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a x ² + b x + c > 0ax² + bx + c ≥ 0

a x ² + b x + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0ax² + bx + c ≠ 0

Sendo a ≠ 0.



Soluciando Inequações do 2º Grau

Para solucionar inequações do 2º grau deve-se:

1 – Determinar as raízes das funções;

2 – Representar graficamente a função a partir dospontos determinados com o cálculo das raízes e com aanálise do coeficiente a;

3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal;

4 – Analisar os resultados e obter a resposta dainequação.

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Exemplo:

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Determine o conjunto solução da inequação:x² - 5x + 8 < 0

Solução:

Etapa1: vamos encontrar as raízes da função.

Observe que neste caso, queremos encontrar osvalores onde a função é negativa. Assim:

Δ = (-5)² - 4.1.8 Δ = 25 – 32 Δ = -7

Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos obteruma raiz quadrada negativa, logo ela não vaipertencer ao conjunto dos reais.



Continuando:

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Etapa2: como os valores das raízes encontradas nãoirão pertencer ao conjunto dos reais, a parábola nãoirá cortar o eixo x. Como sabemos que a =1, portantoa > 0, a parábola apresenta a concavidade para cima.

Etapa 3 e 4: Como

queremos f(x) < 0,

estamos buscando os

valores onde a função énegativa, porém o gráfico

mostra que a função não

tem valores negativos:

S = { }



Exercícios:

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1. Encontre o conjunto solução das inequações

abaixo:

a) x² - 6x + 8 < 0

b) x² - 2x + 1 > 0



Sistema de Inequações do 2º grau

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Para resolver um sistema de inequaçõespodemos resolver cada uma dasinequações separadamente e, em

seguida, fazer a intersecção dosconjuntos solução.



Exemplo:

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1. Resolva o sistema:

Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e

g(x) = 3x – 6

Em f(x) = x² - 6x + 9

Δ = (-6)² - 4.1.9

Δ = 0

x’ = x’’ = 3

Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0.

Em g(x) = 3x – 6

3x – 6 = 0

3x = 6

X = 2



Continuando:

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Estudando os sinais das funções:

Indicando os valores de x que satisfazem as

inequações:V1 = R V2 = {x ε IR/ x > 2}



Continuando:

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Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções:

V = {x ε IR/ x > 2}



Inequeção-Produto

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Considerando f(x) e g(x) funções da variável x,chamamos de inequação-produto desigualdadescomo:

A resolução de uma inequação-produto pode serfeita com o estudo dos sinais das funçõesseparadamente, seguido da determinação dos sinaisdo produto f(x).g(x) e posteriormente, identificandoos valores de x que satisfazem a inequação-produto.

f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0



Exemplo:

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1. Determine o conjunto solução da inequação-produto:(x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0

Solução:

Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x + 10 e

g(x) = 6x +12

x² - 7x + 10 = 0

Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9

x1 = (7+3)/2 = 5

x2 = (7-3)/2 = 2

6x + 12 = 0

6x = -12x = -2

Vamos estudar os sinais das

funções



Continuando:

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Estudando os sinais das funções:

Queremos que f(x).g(x) ≥ 0.



Continuando:

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Estudando os sinais do produto das funções:

Identificando os valores de x que satisfazem a inequação,temos:

S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}



Inequação-Quociente

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Considerando f(x) e g(x) funções de variável x,chamamos de inequação-quociente desigualdadescomo:

Na resolução de uma inequação-quociente devemos

lembrar que o denominador deve ser diferente dezero e a regra de sinais é a mesma, tanto paramultiplicação como para divisão, no conjunto dosreais.



Exemplo:

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Determine o conjunto solução da inequação-quociente:

Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x –3 e g(x) = -x+2:

-x² + 4x –3 = 0

Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4

x1 = (-4+2)/(-2) = 1

x2 = (-4-2)/(-2) = 3

-x + 2 = 0

-x = -2x = 2



Continuando:

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Estudando o sinal das funções:

Queremos que f(x)/g(x) ≥ 0.



Continuando:

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Estudando os sinais do quociente das funções:

Identificando os valores de x que satisfazem a inequação,

temos:

S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}



Exercícios:

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1. Resolva as inequações abaixo:

a) x² + 2x – 5 ≤ -3x + 1 ≤ 4x² + x +2

b) (x² – 2x + 1).(-x + 6) < 0x + 4



Obrigado pela atenção

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