Universidade Técnica de Lisboa

Instituto Superior Técnico

Mestrado

Imagem de Ressonância

Universidade Técnica de Lisboa

Instituto Superior Técnico

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Imagem de Ressonância

Magnética

Técnicas de Imagiologia

Nuno Santos n.º 55746, dodgeps@hotmail.com

Rúben Pereira n.º 55754, rubens_dmap@hotmail.com

André Gomes n.º 55771, andrefgomes@hotmail.com

Lisboa, Abril de 2008

2º Semestre 2007/2008

Imagem de Ressonância

dodgeps@hotmail.com

rubens_dmap@hotmail.com

andrefgomes@hotmail.com

Lisboa, Abril de 2008

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1. SIMULAÇÃO DE RESULTADOS OBTIDOS POR RESSONÂNCIA MAGNÉTICA

Este trabalho tem como objectivo realizar um estudo no âmbito da ressonância

magnética nuclear. Para tal, executaram-se várias simulações numéricas, as quais

pretenderam de modo geral, recriar uma aquisição imagiológica de ressonância

magnética de uma amostra homogénea.

Os dados principais e inalterados ao longo do trabalho, considerados na simulação

foram os tempos de relaxação, T1 e T2 que têm os valores 700 e 70ms, respectivamente.

O vector magnetização de equilíbrio inicial tem norma unitária e encontra-se

direccionado segundo o eixo dos z.

Todo o trabalho foi realizado em software apropriado, nomeadamente o MatLab, do

qual foram retirados os gráficos e resultados obtidos.

1.1. Excitação de um vector magnetização com um pulso de 90º e Relaxação

Para iniciar o trabalho pretendeu-se simular-se o vector de magnetização obtido após

aplicação de um pulso perfeito de 90º segundo a direcção x, para protões com

frequência de spin igual à frequência de Larmor e ignorando os efeitos de relaxação.

Este pulso é aplicado ao vector de magnetização inicial.

O vector obtido é o vector M final, da Figura 1, de norma unitária, mas desta vez

direccionado apenas segundo y. Isto porque a aplicação do pulso de 90º vai orientar os

átomos segundo uma perpendicular, simultaneamente, à direcção inicial de

magnetização (direcção z) e à direcção do pulso aplicado (direcção x), o que resulta num

vector segundo a direcção y.

A matriz utilizada para simular este efeito não é mais do que uma matriz de rotação,

neste caso em torno do eixo dos x,

������������������ � �1 0 00 cos��� sin���0 � sin��� cos���� ������������������������ (1)

em que Mx, My e Mz são as componentes do vector magnetização, tn é o instante de

tempo em que se faz a análise e � é o ângulo imposto pelo pulso.

Figura 1. Por aplicação de um pulso de 90º, segundo +x e representado neste caso por B1, o vector

magnetização M0 desloca-se da direcção vertical, segundo z, para o eixo dos yy.

Considerando agora os efeitos de relaxação, procurou-se simular o decaimento do

sinal ao longo do tempo à medida que o vector magnetização retorna para o equilíbrio

inicial. Este decréscimo aplica-se de acordo com os tempos de relaxação T1, tempo

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associado à relaxação longitudinal, e T2, associado à relaxação transversal, e

considerando a frequência de spin igual à frequência de Larmor. Para tal, aplicaram-se

as equações de Bloch, descritas na forma matricial pela seguinte expressão:

������������������ � ����� ��⁄ � 0 00 ���� ��⁄ � 00 0 ���� ��⁄ �� ������������������������ � � 00� !1 � ���� ��⁄ �" (2)

em que, M0 neste caso representa a norma do vector magnetização inicial.

O tempo de realização da simulação foi de 1s, sendo o passo da iteração de 1ms.

Como resultados foram obtidas as representações gráficas das várias componentes do

vector magnetização iterado ao longo do tempo, Figura 2 em cima. Na mesma figura,

mas em baixo foi representada a visualização 2D desse vector durante o mesmo período

de tempo. Esta visualização é bidimensional uma vez que a componente segundo x do

vector é nula em todo o intervalo considerado.

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Figura 2. Representação gráfica das componentes do vector magnetização ao longo do tempo, num

intervalo de 1s, em cima. Em baixo, encontra-se a correspondente visualização bidimensional, uma vez

que Mx é zero ao longo do tempo, do mesmo vector. O vector magnetização sofre um pulso de 90º inicial

segundo +x e relaxa no decorrer do resto do tempo.

Destes resultados é observável que, o tempo que a componente y (relaxação

transversal ou spin-spin) demora a voltar ao estado inicial é muito inferior ao tempo de

recuperação da componente z inicial (relaxação longitudinal ou spin-rede). Isto porque a

primeira relaxação advém do facto de se originarem flutuações de frequência nula que

causam o desfasamento aleatório dos spins e consequente perda de coerência e o

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cancelamento rápido da componente transversal. Por outro lado a segunda relaxação

necessita que sejam geradas flutuações com frequência de Larmor de modo a permitir a

transição entre estados no interior do protão e consequente repolarização segundo a

componente z, o que consiste num processo mais lento. De uma forma mais

simplificada e analítica, uma vez que o tempo de relaxação transversal, T2, é superior ao

tempo de relaxação longitudinal, T1, também o decréscimo transversal será mais rápido

do que o longitudinal.

1.2. Magnetização Off-Ressonance

Numa primeira parte desta subsecção procurou-se simular apenas o movimento de

precessão livre do vector de magnetização em torno do eixo dos zz. Assim, foram

ignorados os fenómenos de relaxação e apenas se considerou o movimento de precessão

em torno do eixo z.

Mais uma vez a simulação é feita apenas através de um cálculo matricial, (3), agora

com a matriz de rotação em torno de z, em que � varia ao longo do tempo com uma

frequência ∆f=10Hz. Quer-se com isto dizer que, o vector de magnetização deixa de

estar em ressonância com o sistema, ou seja, com a frequência de Larmor, νL, mas sim,

apresenta uma frequência que dista daquela de um valor constante, ∆f.

������������������ � � cos��� sin��� 0� sin��� cos��� 00 0 1� ������������������������ (3)

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Figura 3. Representação gráfica das componentes do vector magnetização ao longo do tempo, num

intervalo de 1s, em cima. Em baixo, encontra-se a correspondente visualização bidimensional, uma vez

que Mz não varia ao longo do tempo, do mesmo vector. O vector magnetização sofre um pulso de 90º

inicial segundo +x , rodando no resto do tempo, no plano transversal, com uma frequência de 10Hz.

Através dos resultados obtidos, nomeadamente os gráficos da Figura 3, em cima,

verifica-se que a componente segundo a direcção z é nula, como esperado, e o

movimento ocorre apenas no plano transverso à direcção z (plano x0y). Além disso,

verifica-se também que as componentes x e y se encontram desfasadas de 90º, o que

origina a circunferência na representação 2D. Uma vez mais, esta visualização

bidimensional só é possível, porque Mz não varia com o tempo.

Numa segunda parte desta subsecção considerou-se a contribuição conjunta, na

magnetização dos protões, dos três efeitos anteriores: excitação, relaxação e precessão.

Esta simulação foi realizada nas condições anteriores, mas agora considerando também

a relaxação da subsecção anterior.

Para isso, criou-se uma função, freeprecession, no software utilizado que, num dado

intervalo de tempo, nos dá o valor da magnetização depois de aplicados os efeitos de

relaxação e precessão. Esta função recebe como parâmetros de entrada o vector de

magnetização do estado anterior, a variação da frequência ∆f, o tempo de relaxação

longitudinal e transversal, e o vector de magnetização do instante inicial, M0. Por outro

lado, o único parâmetro devolvido pela função é o vector de magnetização após

aplicação dos efeitos desejados. Em termos práticos, para a resolução da função,

confirmou-se que a aplicação dos efeitos é comutativa entre si. Os resultados podem ser

visualizados na Figura 4.

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Figura 4. Representação gráfica dos efeitos de excitação, seguida de precessão e relaxação

simultaneamente. Em cima, apresentam-se graficamente as componentes do vector magnetização a variar

ao longo do tempo, durante 1s. Em baixo, o vector magnetização é representado em perspectiva

tridimensional, apresentando o caminho realizado pelo mesmo ao longo do tempo.

Por análise dos gráficos das componentes do vector de magnetização e comparando

com os mesmos nos casos de precessão e relaxação, conclui-se que os resultados são os

esperados. No plano transversal as componentes Mx e My apresentam um decaimento

exponencial (relaxação) em simultâneo com uma oscilação sinusoidal (precessão). Tal

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como no caso anterior, estas componentes apresentam oposição de fase. Relativamente

à componente longitudinal, esta apresenta um aumento exponencial lento, tal como nos

casos anteriores. Na representação 3D este aumento em simultâneo com a rotação no

plano transversal e a relaxação criam uma espiral, mas cujo topo afunila num ponto.

1.3. Aplicação de um pulso gradient-echo

Um dos meios para a sequenciação de imagens é através do pulso de sequenciação

gradient-echo. Esta sequência de pulsos aplica uma excitação, com ângulo inferior a

90º, separada por um tempo de repetição, TR, de modo a colocar em fase a

magnetização dos spins. Mas estes só se encontram em fase durante um curto espaço de

tempo, desfasando-se de seguida de acordo com o tempo de precessão T2. Assim a

aquisição é efectuada num tempo de aquisição (echo-time), TE, muito curto

relativamente à aplicação da excitação. Com a aplicação destas excitações chega-se a

uma magnetização estacionária, ou seja, a magnetização antes da aplicação da excitação

fica constante ao longo do tempo.

Nesta subsecção simulou-se um gradient-echo com um TR de 500ms, um ângulo de

60º ao longo do eixo dos xx positivos e um TE de 1ms. Como resultado, observou-se a

evolução do vector de magnetização, assumindo que se encontra em ressonância com a

frequência de Larmor, ao longo de 10 repetições. A representação gráfica desta

simulação pode ser visualizada na Figura 5.

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Figura 5. Representação gráfica das coordenadas do vector magnetização em função do tempo (em

cima) e das componentes segundo y e z (em baixo – esta visualização só é possível porque a componente

segundo x é nula). TR = 500ms, θ = 60º.

Para a determinação da magnetização estacionária calculou-se a componente

transversal do vector magnetização, pois esta contém toda a informação necessária para

a sua descrição, uma vez que a componente segundo z depende daquela. Assim, foram

obtidos os valores em cada instante TE de cada TR, observando-se as suas evoluções ao

longo do tempo (Tabela 1). Considerando a evolução assimptótica de cada componente

e que esta parece estabilizar ao fim de 10 aquisições, conclui-se que o valor da

magnetização estacionária segundo o plano xOy era de 0.5854.

Tabela 1. Evolução temporal da componente transversal do vector magnetização, ao longo de 10 TR’s

(aquisições). O ponto de aquisição do vector é em TE, ou seja TE segundos depois de aplicado o pulso.

Aquisição Mxy = My (Mx = 0) 1 0.86603

2 0.65439

3 0.60217

4 0.58945

5 0.58635

6 0.58559

7 0.58541

8 0.58537

9 0.58536

10 0.58535

De forma a justificar este valor é necessário ter em consideração a equação seguinte

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�## � $%&��'()*+ *�, -..0123��'()*+ *�, -.4503 (4)

em que M0 é a norma do vector magnetização no instante inicial, θ é o ângulo do

pulso imposto no início de cada TR e MSS é o valor da magnetização estacionária

segundo o plano xOy, o qual se pretende determinar. Uma vez que o valor do Mx ao

longo do tempo não varia e é sempre zero, considera-se o vector magnetização

transversal dado apenas pela componente em y.

Ao se substituir os valores na expressão em (4), obtém-se o seguinte valor 0.5853.

Comparando os dois valores, este e aquele obtido pela simulação, conclui-se que estes

se encontram em concordância, apresentando apenas um erro relativo de 0.017%. Uma

vez que foram feitas apenas 10 aquisições, pode ainda ocorrer que o valor obtido pela

expressão (4) seja realmente obtido pela simulação.

Relativamente à eficiência da simulação, ou seja, se os parâmetros utilizados são os

utilizados de modo mais correcto face à amplitude do sinal que se recebe – Mss, pode ser

comparado o ângulo do pulso com o ângulo de Ernst.

O ângulo de Ernst é o ângulo de um pulso que quando imposto ao sistema maximiza

o valor da magnetização transversal estacionária, para um dado TR e T1 fixos. O seu

valor pode ser obtido pela expressão

cos 67 � �(��9 ��, - (5)

Assim, atribuindo os vários valores aos parâmetros obtém-se um ângulo de Ernst de

60.69º ou 1.06 ≈ π/3 rad. Conclui-se portanto, comparando os dois valores, que o valor

de magnetização transversa estacionária obtido pela simulação está bastante próximo do

seu valor máximo possível, uma vez que os ângulos dos impulsos encontram-se com

uma diferença pequena, de apenas meio grau aproximadamente (0.69º).

1.4. Aplicação de outro pulso com gradient-echo

Considerando a aplicação do pulso na subsecção anterior, o objectivo nesta é criar

um outro pulso semelhante mas com um gradient-echo mais rápido, ou seja, com um

TR mais pequeno. A evolução da magnetização irá ser feita durante 200 repetições, ou

seja, num intervalo de 2ms (200×TR). O valor de TR é de 10ms e o ângulo do pulso é

de 30º. O valor do TE é idêntico ao considerado nas outras subsecções.

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Figura 6. Representação gráfica das coordenadas do vector magnetização em função do tempo (em

cima) e das componentes segundo y e z (em baixo – esta visualização só é possível porque a componente

segundo x é nula). TR = 10ms, θ = 30º.

Na Figura 6 são apresentadas as representações gráficas das componentes do vector

magnetização ao longo do tempo, num período de 2s (em cima) e da componente z em

função da componente y (em baixo). Esta última só é possível uma vez que a

magnetização segundo o eixo dos x é constante – nula. Através desta última

representação é possível identificar os pulsos de 30º nos dentes de serra da figura,

aplicados periodicamente. Nos gráficos de cima, estes pulsos são menos evidentes, uma

vez que o TR é pequeno, relativamente ao tempo total de análise.

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Com o objectivo de obter o vector magnetização estacionário, determinou-se a sua

componente transversal em determinados tempos, nomeadamente nos últimos 20

instantes de aquisição, por uma questão prática, uma vez que o número de aquisições é

elevado. O valor obtido foi então de 0.02836.

Para calcular o valor de MSS neste caso, não se pode recorrer à equação (4), uma vez

que esta só pode ser utilizada quando reunidas certas condições, nomeadamente quando

TR > T2, o que neste caso não se verifica. Então, recorreu-se a um procedimento

disponibilizado na literatura [3], devidamente adaptado, que é aplicável a esta situação.

Como resultado obteve-se o valor 0.02796. Este valor encontra-se muito próximo do

valor obtido computacionalmente, apresentando um erro relativo de 1.41%. Ainda

assim, é possível que, aumentando o tempo de simulação, o valor pudesse vir a tender

para este último.

Tendo em conta o valor obtido na subsecção anterior, o facto do valor da

magnetização estacionária neste caso ser muito menor do que aquele, está de acordo

com o esperado. A razão para tal reside no facto de o tempo de repetição ser menor

neste caso do que no anterior. Ainda assim o seu valor também é alterado face ao

ângulo imposto pelo pulso. Quanto menor o ângulo maior é o valor do MSS (vide

equação (4)).

1.5. Aplicação de um pulso de 90 seguido de 180º

Nas subsecções anteriores foram aplicados apenas pulsos com um único ângulo

segundo uma mesma direcção. Nesta, considera-se um sistema em que são aplicados

dois pulsos com diferentes ângulos e segundo diferentes direcções, estando ambos

distanciados de TE/2. O primeiro pulso é aplicado segundo x positivo com um ângulo

de 90º, o qual é seguido por um pulso de 180º orientado segundo o eixo positivo dos yy.

Como objectivo pretendeu-se simular esta situação ao longo de dois TR’s. Para tal

consideraram-se os seguintes valores TR = 500ms, TE = 50ms. Todos os outros

parâmetros permaneceram iguais aos das subsecções anteriores.

Os resultados obtidos estão apresentados graficamente na Figura 7, nomeadamente a

representação tridimensional do caminho efectuado pelo vector magnetização ao longo

do tempo (em baixo) e os gráficos das várias componentes desse vector em função do

tempo (em cima).

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Figura 7. Evolução gráfica das componentes do vector de magnetização ao longo do tempo (em cima)

e representação tridimensional do caminho realizado pelo vector durante 2 TR’s. TR = 500ms, TE = 50ms

e os pulsos foram gerados com um intervalo de TE/2 entre ambos, sendo o primeiro de 90º segundo +x e

o outro de 180º segundo +y.

Como seria esperado, nos gráficos representativos das funções Mx(t) e My(t) apenas

se evidencia uma variação brusca, referente à acção de apenas um pulso, em cada um

deles, em cada intervalo TR. No caso do Mx(t) o pulso é visualizado nos 25 e 525ms,

que corresponde ao pulso segundo o eixo dos yy nos tempos TE/2, enquanto que em

My(t) o pulso é observado mais cedo, nos instantes iniciais de cada intervalo TR,

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correspondente ao pulso de 90º. Relativamente à componente Mz, é de notar que

segundo a acção do pulso de 90º, o seu valor torna-se nulo, como seria esperado.

Relativamente à acção do segundo pulso, apesar de não ser muito notório, o valor de Mz

torna-se simétrico aquando da sua aplicação.

1.6. Evolução da Magnetização Transversa na Frequência

Até este ponto, o estudo do vector magnetização foi feito apenas para uma

determinada frequência fixa, correspondente à diferença entre a frequência de Larmor e

a de B1, ∆f. Nesta subsecção pretende-se fazer variar essa frequência e observar a

consequência no vector complexo de magnetização transverso, determinando

graficamente a sua amplitude e fases complexas. Assim, consideraram-se as frequências

desde -50 a 50Hz com um intervalo entre elas de 25Hz. Todos os outros dados

referentes à simulação mantiveram-se iguais aos da subsecção anterior, à excepção dos

pulsos, que é idêntico ao da subsecção 1.4. Na Figura 8 estão representados os

resultados obtidos para todas as frequências.

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Figura 8. Representação gráfica da magnitude (coluna da esquerda) e da fase (coluna da direita) do

vector complexo de magnetização transverso em função do tempo. Cada linha corresponde a uma

frequência diferente, que vai desde -50Hz, no topo, e 50Hz no fundo, com um intervalo entre cada uma de

25Hz. TR = 500ms, θ = 90º e 180º (em TE/2).

Analisando em primeiro lugar os gráficos das magnitudes, observa-se que apesar de

haver um pulso de 180º, este não afecta a magnetização transversa, uma vez que há

ausência de resposta em TE/2 (de cada TR), como seria de esperar. Este facto pode

dever-se principalmente ao facto de o Mx ser muito próximo de zero, da ordem de

grandeza de 10-18

. Uma conclusão mais interessante nestes gráficos pode ser

considerada pela semelhança entre os valores da magnitude. Quer isto dizer que a

magnitude do vector não varia com a frequência, ao longo do tempo.

Considerando agora os gráficos das fases, conclui-se que o período destes diminui

com o aumento do módulo da frequência ∆f, ou seja, a variação dos ângulos que o

vector da magnetização transverso faz com o eixo dos x ao longo do tempo varia mais

rapidamente quanto maior for o módulo da frequência.

Após a obtenção do vector de magnetização nas diferentes frequências, determinou-

se o valor médio segundo todas essas frequências, de cada componente, em cada

instante. Após determinação da magnitude da parte transversa do vector, obteve-se o

gráfico representado na Figura 9.

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Figura 9. Evolução temporal da magnitude do vector complexo de magnetização transversa,

considerado na Figura 8.

O valor médio da magnitude do vector complexo de magnetização transversa

apresenta um decaimento temporal exponencial em cada TR, como seria de esperar,

representado pelos máximos locais. Este decaimento é caracterizado pelo tempo T2*.

Apesar de só se terem representado dois TR’s, existe um decrescimento também ao

longo dos picos de maior amplitude em cada TR. Este decaimento é teoricamente

também exponencial, decrescendo segundo T2. Este decréscimo parece corresponder,

uma vez que o pico de maior amplitude no segundo TR é de igual amplitude ao do

segundo pico no primeiro TR. Cada pico de maior amplitude local corresponde,

teoricamente ao momento em que os spins do sistema se encontram em fase.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BIGS (Apfelhöfer, G., et al.) 2007. Magnetic resonance imaging (MRI). [Online]

2007. [Citação: 01 de 05 de 2008.] www.bigs.eu

(http://www.bigs.de/en/shop/htm/sh_en_mri_table.html).

[2] Figueiredo, Patrícia. 2008. Nuclear Magnetic Resonance II. 04 de 2008. Acetatos

das aulas de Técnicas de Imagiologia leccionadas ao curso de Engenharia

Biomédica.

[3] Hargreaves, Brian. 2008. Bloch Equation Simulation. MRSRL: Magnetic

Resonance Systems Research Laboratory. [Online] 24 de 03 de 2008. [Citação:

02 de 05 de 2008.] Aplicação por simulação, das equações de Bloch, em RMN.

http://mrsrl.stanford.edu/~brian/bloch/.