Luiz Carlos Laurindo Junior_dissertação de mestrado_versão final
II WORKSHOP “MATEMÁTICA NA UMa” MATEMÁTICA E ......MATEMÁTICA E ASTRONOMIA Helena Teixeira 2,...
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MATEMÁTICA E ASTRONOMIA
Helena Teixeira2 , José Laurindo Sobrinho1,2, 3
1Departamento de Matemática da Universidade da Madeira2Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira
3Instituto de Astrofísica e Ciências do Espaço 12 de junho de 2017
II WORKSHOP “MATEMÁTICA NA UMa”
Índice 1. Breve introdução
2. O Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira
3. Determinação da luminosidade do Sol
4. Medição de distâncias pelo método da paralaxe
5. Conclusão
6. Referências
Breve introdução
� Desde cedo, o Homem começou a prestar atenção aocéu e a encontrar padrões nele e na Natureza.
� Esta curiosidade ajudou-o a descobrir a Matemática àmedida que ia conhecendo melhor o mundo à suavolta.
� Hoje, é impossível trabalhar na Astronomia semrecorrer à Matemática pois, de certa maneira, uma nãoexiste sem a outra.
� Esta ligação pode ser explorada na sala de aula comoforma de despertar o interesse e curiosidade porambas as ciências.
� É possível recorrer a exemplos da Astronomia, comomotivação para o Ensino da Matemática ou, no caso doensino da Astronomia, mostrar como a Matemática éfundamental na nossa descrição e compreensão doUniverso.
O Grupo de Astronomia
da Universidade
da Madeira
� Fundado em 2000
� Principais objetivos:
� Ensino;
� Investigação;
� Divulgação da Astronomia.
� No ensino:
� Palestras;
� Sessões de observação;
� Pequenos projetos laboratoriais.
� Atividades decorrem:
� Nas escolas;
� No LAI (Laboratório de Astronomia e Instrumentação) na UMa.
O Grupo de Astronomia
da Universidade
da Madeira
� No Ano Internacional da Astronomia em 2009:
� Cerca de 1000 alunos do 3º Ciclo e Secundário da RAM visitaram oLAI;
� No caso do Porto Santo, o LAI deslocou-se à escola;
� Realizaram-se pequenos projetos na área da Astronomia.
� Atualmente:
� Colaboração com GAS (Gabinete de Apoio à Sobredotação);
� Nos projetos desenvolvidos pelo GAUMa, os alunospodem trabalhar, de uma forma geral:
� Potências de base 10;
� Funções trigonométricas;
� Cálculo de áreas, volumes e perímetros;
� Escalas numéricas lineares ou logarítmicas;
� Conversão entre unidades;
� Análise dimensional.
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Semana_astro/Semana13/esff20112013.htm
Palestra "A arquitetura do Universo", 20/11/2013, XIII Semana daAstronomia, Escola Secundária Francisco Franco
O Grupo de Astronomia
da Universidade
da Madeira
O Grupo de Astronomia
da Universidade
da Madeira
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Divulgacao/Observacoes/obs23042013.htm
Sessão de Observação do Sol no terraço da UMa para alunosdo 8º ano da Escola B+S de Machico (23-04-2013).
O Grupo de Astronomia
da Universidade
da Madeira
http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento023/evento023_rl.htm?Mosaico
Alunos da Escola Salesiana de Artes e Ofícios, durante aexecução do projeto Modelo do Sistema Solar noLaboratório de Astronomia e Instrumentação (LAI) daUma, no âmbito da iniciativa EscoLAI's (09-02-2009)
Determinação da
luminosidade do Sol
� Este projeto pode ser aplicado a partir do 8º ano nas
aulas de:
� Matemática;
� Físico-Química.
� Com esta atividade é possível:
� Trabalhar as potências de base 10;
� Aplicar a notação científica.
Determinação da
luminosidade do Sol
Enunciado:
A luminosidade do Sol mede a energia que o Sol emite
por unidade de tempo, ou seja, mede a potência do Sol.
A radiação solar propaga-se no espaço.
Num ponto situado à distância D do Sol, a radiação ter-se-
á dispersado por uma área igual a 4πD2.
O mesmo acontece com a radiação emitida por uma
lâmpada.
Num ponto situado à distância d da lâmpada, a radiação
ter-se-á dispersado por uma área igual a 4πd2.
Determinação da
luminosidade do Sol
Haverá uma distância d para a qual a energia recebida da
lâmpada é equivalente à recebida do Sol sendo, nesse
caso, válida a relação:
onde L é a luminosidade (potência) do Sol e p é a potência
da lâmpada.
Sabendo os valores de p, L e D, podemos determinar a
luminosidade do Sol:
Determinação da
luminosidade do Sol
Material:
� Lâmpadas incandescentes com potências diferentes;
� Extensão elétrica com suporte para lâmpada;
� Régua ou fita métrica;
� Máquina de calcular.
Execução:
� Tomar nota do valor da potência p da lâmpada;
� Acender a lâmpada e ver a que distância d da mão se
sente um calor equivalente ao que recebemos do Sol
num dia de Verão;
� Medir essa distância com a fita métrica;
� Repetir o procedimento para as outras lâmpadas.
Determinação da
luminosidade do Sol
Tratamento de dados:
� Calcular a potência do Sol em cada um dos casos
considerados;
� Determinar a média de todos os valores obtidos;
� Comparar com o valor tabelado para a luminosidade do
Sol.
Dados:
� Distância Terra-Sol: D = 1UA ≈ 150 milhões km;
� Luminosidade solar: L= 3.9 × 1026 J/s = 3.9 × 1026 W
Determinação da
luminosidade do Sol
Alunos da Escola B+S de Machico a trabalhar no projeto"estimativa da luminosidade do Sol”, durante a visita aoLaboratório de Astronomia e Instrumentação daUniversidade da Madeira, no âmbito da iniciativa EscoLAI's.Data: 16-03-2009
© 2009 GAUMa [http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento054/evento054_rl.htm?Mosaico]
Determinação da
luminosidade do Sol
Valores obtidos por alunos do GAS no dia 01-03-2017:
� Potência da lâmpada utilizada: p = 100 w
Distância àlâmpada (cm)
Luminosidade do Sol (J/s)
Erro relativo (%)
13.0 1.33 x 1026 66
14.0 1.15 x 1026 71
18.3 6.72 x 1025 83
9.8 2.34 x 1026 40
Determinação da
luminosidade do Sol
Valores obtidos por alunos da Escola B+S do Porto Moniz no
dia 26-01-2009 no LAI no âmbito da iniciativa EscoLAI’s:
© 2009 GAUMa [http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento014/evento014_rl.htm?Mosaico]
Determinação da
luminosidade do Sol
Espetro eletromagnético
λ mais baixo λ mais alto
λ - comprimento de onda
http://imagine.gsfc.nasa.gov/science/toolbox/emspectrum1.html
Determinação da
luminosidade do Sol
Temperatura
� Um corpo negro é, por definição, um corpo que absorve toda
a radiação nele incidente.
� A radiação emitida por um corpo negro depende apenas da
sua temperatura e não da radiação incidente sobre ele.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/bbrc.html
Determinação da
luminosidade do Sol
Relação entre cor e temperatura
� A cor de uma estrela está diretamente relacionada com a sua
temperatura superficial.
https://docs.kde.org/trunk5/en/kdeedu/kstars/ai-colorandtemp.html
Determinação da
luminosidade do Sol
� A atmosfera da Terra bloqueia parte da radiação IV do
Sol. Existem, contudo, algumas janelas situadas junto
aos comprimentos de onda IV mais baixos, onde a
emissão IV é mais intensa (ver curva do corpo negro).
http://atomictoasters.com/2012/01/x-ray-telescopes/
http://www.atmo.arizona.edu/students/courselinks/fall14/atmo170a1s3/online_class/week_5/
Determinação da
luminosidade do Sol
� As estrelas seguem, aproximadamente, a emissão do
corpo negro.
http://ircamera.as.arizona.edu/NatSci102/NatSci102/lectures/sun.htm
Determinação da
luminosidade do Sol
� Luminosidade (L) - quantidade energia emitida pela
estrela por unidade de tempo.
� Brilho aparente (b) - quantidade de energia que
atravessa a unidade de área por unidade de tempo a
uma determinada distância (d) da estrela.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
� Este projeto pode ser aplicado a partir do 9º ano nas
aulas de:
� Matemática.
� Com esta atividade é possível:
� Trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo;
� Resolver problemas diferentes dos dos manuais escolares;
� Estruturar o raciocínio lógico-matemático.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
� Existem técnicas diferentes para estimar a distância de
uma estrela à Terra.
� Uma dessas técnicas consiste em fazer duas fotos de
uma estrela com seis meses de intervalo, ou seja, a
partir de dois pontos opostos da órbita da Terra.
� Após serem feitas essas observações, é possível
verificar o quanto a estrela se desloca (aparentemente)
em relação a outros objetos muito mais distantes
como, por exemplo, estrelas ou galáxias.
� A esta técnica chamamos de método de paralaxe.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Ângulo de Paralaxe
• O ângulo de paralaxe de uma estrela é metade da
amplitude do ângulo formado entre as linhas que ligam
a estrela aos extremos da base de observação.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/para.html
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Enunciado
� Observa o esquema da determinação da distância de
uma estrela à Terra. Escreve uma expressão que
relacione a distância da estrela à Terra, representada
por d, a amplitude do ângulo de paralaxe (α), as
amplitudes dos ângulos das observações (β e δ) e o
diâmetro da órbita da Terra (b).
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Enunciado
� A estrela Proxima Centauri é a segunda estrela mais
próxima da Terra e a mais próxima do Sol. O seu ângulo
de paralaxe é, aproximadamente, 0.000107º.
Determina a que distância a estrela se encontra da
Terra, apresentando a tua resposta em unidades
astronómicas.
.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Enunciado
� Fora da sala, deverás escolher um objeto alvo que esteja mais oumenos à altura da tua cabeça e a cerca de 3 a 4 metros de ti. Deseguida, deverás escolher outro objeto bem mais distante ealinhado com o objeto alvo. Este será o teu objeto de referência.
� Depois, deverás marcar no chão os dois extremos de umsegmento de reta com 1 metro de comprimento (b) e que sejaperpendicular à direção definida pelos dois objetos queescolheste, no ponto médio desse segmento de reta. Esta será atua base de medição.
� Agora, num dos extremos da tua base, mede o ângulo entre oalvo e a referência utilizando o medidor de ângulos queconstruíste e regista no retângulo abaixo. Repete este passo nooutro extremo.
� O ângulo de paralaxe (α) é metade do valor absoluto dadiferença desses dois ângulos e o teu objetivo é calcular adistância entre ti e o alvo (d).
� Após as tuas medições e os teus cálculos, confirma o resultadomedindo a distância com a fita métrica.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Material
� Medidor de ângulos e “pointer”;
� Cartolina;
� Tesoura;
� Cola;
� Canivete;
� Rolha de cortiça;
� X-ato;
� Régua metálica;
� Um pionés (alfinete de cabeça chata e grande);
� Fita métrica (10-25m);
� Fita adesiva larga (tipo encomenda).
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Construção do medidor de ângulos
� Com o canivete, cortar uma “fatia” da rolha de cortiça
com 1cm de espessura ;
� Recortar ambas as partes da figura em anexo pela linha
tracejada (ver bem por onde vai ser antes de começar a
cortar!): agora estão separados o medidor de ângulos e
o “pointer” (apontador);
� Colar ambas as partes em cartolina e recortar à volta;
� Marcar primeiro com o x-ato (usando a régua metálica)
e depois dobrar para cima, pelo ponteado grosso: o
extremo da seta do medidor de ângulos; as três dobras
do apontador (como marcadas; uma delas é uma seta
também);
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
� Atravessar o pionés pelo local marcado no apontador,
depois pelo local marcado no medidor de ângulos e,
finalmente, enterrá-lo num pedaço de rolha de cortiça;
� Executar a experiência conforme descrita no
enunciado.
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva aconstruírem um medidor de ângulos, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva amarcarem a sua base de medição, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva adeterminarem os ângulos, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Aluna do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva a calcularanaliticamente o ângulo de paralaxe e a distância ao objeto alvono âmbito da atividade exploratória/investigativa “Aplicações daTrigonometria na Astronomia: Paralaxe e a distância de umaestrela à Terra”, 20-05-2013
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva aconfirmarem as distâncias que calcularam, no âmbito daatividade exploratória/investigativa “Aplicações daTrigonometria na Astronomia: Paralaxe e a distância de umaestrela à Terra”, 20-05-2013
Teixeira, H. I. A. (2013)
Medição de distâncias
pelo método de paralaxe
b (m) β (°) δ (°) α (°) d (m)
2.83 135 110 12.5 12.8
2.83 127 110 8.5 18.9
Valores obtidos por alunos do GAS no dia 29-03-2017:
Sabendo: e
Conclusão � Ambos os projetos são uma forma diferente e
interessante de trabalhar alguns conceitos
matemáticos lecionados nas escolas.
� Permitem mostrar a aplicabilidade da Matemática no
nosso dia a dia e nas outras ciências e que o que
aprendem na aula de Matemática é, efetivamente,
utilizado fora da sala de aula, no “mundo dos adultos”.
� Alguns alunos interessam-se pela Astronomia, mas
quase nunca têm contacto com esta ciência.
� O facto da Astronomia estar associada à Matemática é
uma mais valia para a aprendizagem dos alunos.
� É possível cativar alunos, motivá-los para a Matemática
e obter bons resultados quando eles são protagonistas
nestas experiências.
Referências [1] Teixeira, H. I. A. (2013). Tese de Mestrado (Aplicações da
trigonometria do 3º ciclo na Astronomia), Universidade da
Madeira, disponível em: http://hdl.handle.net/10400.13/588.
[2] Teixeira, H. I. A., Sobrinho, J. L. G. e Drumond, C. (2014).
Aplicações da Trigonometria na Astronomia: Medição de
Distâncias pelo Método de Paralaxe. 1ª Conferência de
Professores EspAciais – ESERO PT, 14 e 15 de novembro de
2014, Pavilhão do Conhecimento – Ciência Viva, Lisboa.
[3] Sobrinho, J. L. G. e Augusto, P. (2012). Astronomy Week in
Madeira, Portugal. Communicating Astronomy with the
Public Journal, Vol. 12, pp. 24-27.
[4] Sobrinho, J. L. G., Augusto, P., A. Andrade, I., Teixeira, H. I.
A., et al. (2016). Grupo de Astronomia da Universidade da
Madeira, Relatório de atividades: maio 2013 – abril 2016 – 83
pp.
Referências [5] Sobrinho, J. L. G., Augusto, P., A. Andrade, I., Teixeira,
H. I. A., et al. (2013). Grupo de Astronomia da
Universidade da Madeira, Relatório de atividades:
setembro 2010 – abril 2013 – 111 pp.
[6] Augusto, P., Sobrinho, J. G. L. e Andrade, I. (2010). The
regional IYA09 at the Autonomous Region of Madeira.
JENAM2010: The European Week of Astronomy and
Space Science, Lisboa, 6 – 10 setembro 2010.
[7] Augusto, P., Sobrinho, J. G. L. e Andrade, I. (2012). O
Ano Internacional da Astronomia 2009 na Região
Autónoma da Madeira: uma epopeia de três anos e meio.
Relatório elaborado para a FCT – Ciência Viva – 183 pp.
[8]
http://www3.uma.pt/Investigação/Astro/Grupo/Publicaco
es/publicacoes.htm