CONTROLE AVANÇADO Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN.

CONTROLE CONTROLE AVANÇADOAVANÇADO

Prof. André Laurindo MaitelliProf. André Laurindo Maitelli

DCA-UFRN

IDENTIFICAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS SISTEMAS

DINÂMICOSDINÂMICOS

IntroduçãoIntrodução• “É a determinação de um modelo matemático que

represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída que estão relacionados através de uma função de transferência contínua ou discreta”

• “É a determinação, com base em entradas e saídas, de um sistema em uma classe de sistemas especificados, ao qual o sistema em teste é equivalente”.

• Para processos industriais, o modelo pode ser obtido a partir do tratamento das medidas coletadas através de uma realização experimental

IntroduçãoIntrodução

Processosaídaentrada

Modelo matemático do processo

Técnicas de Identificação

incertezas

EtapasEtapas• Planejamento Experimental

– o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema

– um bom método de identificação deve ser insensível às características do sinal de entrada

• Seleção da Estrutura do Modelo

– pode ser feita a modelagem usando leis físicas

– a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se tem nenhum conhecimento sobre o processo

– pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento

• Estimação de Parâmetros

– baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma classe de modelos e um critério

• Validação

– verificação da adequação do modelo escolhido

Laço de IdentificaçãoLaço de Identificação

Planejamento Experimental

Dados

Conjunto de modelos

Avaliação do modelo

Critério

Validação

OKusar

Não OK revisar

conhecimentoa priori

* O modelo pode ser deficiente devido a:- falha do procedimento numérico- critério mal escolhido- conjunto de modelos inapropriado- dados não informativos

ProcedimentosProcedimentos• Diferentes procedimentos para a geração do

sinal de entrada, medição da saída e armazenamento dos dados:– Teste de resposta ao degrau– Teste de resposta em freqüência– Off-line– On-line

ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de

resposta ao degrau:

Processo Armazenamento de dados

entrada saída

• O teste só tem validade para processos lineares ou não-lineares linearizados em pontos de operação

• Não permite a identificação de modelos de ordem superior, pois o degrau tem pobre composição em freqüência

ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de

resposta em freqüência:

• Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável na entrada do processo

• Analisa-se as curvas de resposta em freqüência, identificando-se pólos e zeros

Processoentrada saídaAnalisador

de Espectro

módulo fase

ProcedimentosProcedimentos• Identificação off-line:

– Excita-se o processo e armazenam-se as medidas de entrada e saída para aplicação e avaliação a posteriori dos algoritmos não recursivos

– É necessário o conhecimento da estrutura do modelo, envolvendo ordem e atraso de transporte

ProcedimentosProcedimentos• Identificação on-line:

– Excita-se o processo e trata-se em tempo real as medidas de entrada e saída obtidas

– A aplicação em tempo real dos algoritmos de identificação é interessante para o rastreamento dos parâmetros variantes no tempo

– Supera uma desvantagem da aplicação off-line que é a necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de dados.

Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros

))k(u),k(y,(f)1k(y

ESTIMADOR

)k(u )k(y

Serão considerados modelos ARMAX:

)k(e)mk(ub...)2k(ub)1k(ub)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y m21n21

Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:

)N(u),....,1(u),0(u )N(y),....,1(y),0(y

Definindo:

)N(y

)2(y

)1(y

Y

m

2

1

n

2

1

b

b

b

a

a

a

)N(e

)2(e

)1(e

e

)mN(u1N(u)nN(y)1N(y

)m2(u)1(u)n2(y)1(y

)m1(u)0(u)n1(y)0(y

X

eXY Tem-se:

ExemploExemplo

)k(e)1k(bu)1k(ay)k(y

)N(e

)2(e

)1(e

b

a

)1N(u)1N(y

)1(u)1(y

)0(u)0(y

)N(y

)2(y

)1(y

eXY


• Problema a ser resolvido:– Dados Y e X, obter θ

• Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a função erro J:

N

1k

T2 ee)k(eJ

XYXYJ T

Mínimo quando: 0J

ˆ

0XXYXXYYY TTTTTT 0ˆXX2YX2 TT

YXXXˆ T1T


• Observações:– A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-

inversa, for não-singular– A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve

garantir a existência da não-singularidade– Se não houver a presença de incertezas (ruídos)

podemos achar em N=n+m passos– A matriz X cresce a medida que N cresce

YXXXˆ T1T

x

yp

yrMin Σ

ExemploExemplo

)1k(u)1k(y8.0)k(y

Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada: u(0)=1 e u(1)=-1

Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1 y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8

8.1

1Y

11

10X

21

11

11

10

11

10XXT

11

12XX

1T

0.1

8.0

8.1

1

11

10

11

12

b

aˆ

Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador

• Assumindo que e(k) é uma variável aleatória independente, gaussiana com média zero e variância σ2, ou seja,

0)k(eE ij2)j(e)i(eE

1) Média

eXXXXXXXeXXXXˆ T1TT1TT1T

eXXXˆ T1T }e{EXXXEEˆE T1T

Mas 0}e{E

ELogo:


2) Covariância

TˆˆE

TT1TT1T eXXXeXXXE

1TTT1T XXXeeEXXX

IXX 21T Assim,

Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ


Para N observações:1T2

N

XX

N

Calculando:

1T2

NN N

XX

Nlimlim

Se o estimador for consistente:

1T

N N

XXlim

em que Γ é uma matriz constante não-singular

Então, 0limN


Conclusão:

Se e E 0limN

Então quando N

O estimador é consistente

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

• Ideal para aplicações on-line em sistemas com parâmetros constantes e desconhecidos

)1N(e

)N(E

)1N(x

)N(X

)1N(y

)N(Y

T

1)e(Nm)1u(Nu(N)n)1y(Ny(N)1)y(N

)N(e

)2(e

)1(e

)mN(u)1N(u)nN(y)1N(y

)m2(u)1(u)n2(y)1(y

)m1(u)0(u)n1(y)0(y

)N(y

)2(y

)1(y

Generalizando, temos:


Já sabemos que:

Considerando: IZ)I(Z

NTNNN

TN

1

NTN YXPYXXXˆ

N

Logo, com (N+1) amostras: 1NT

1N

1

1NT

1N1 YXXXˆ

N

1N

NT

1N

1

1NT

1N1

y

Y

XXXˆ N

1N

N

1NTN

1

T1N

N

1NTN1

y

Y

xX

x

X

xXˆ N

1N1NNTN

1T1N1NN

TN1 yxYXxxXXˆ

N


Lema de Inversão de MatrizesLema de Inversão de Matrizes:

Sejam Anxn

bnx1, cnx1

A, (A+bcT) matrizes não-singulares

Então:

1111T11T bcAAbAc1AbcA


Definindo: 1T1N1NN

TN1N xxXXP

E usando o lema de inversão de matrizes, com:

T1N

T1NN

TN xc ,xb ,XXA

1

NTN

T1N1N

1

NTN

1

1N

1

NTN

T1N

1

NTN1N XXxxXXxXXx1XXP

NT

1N1NN

1

1NNT

1N1N PxxPxPx1IP

Temos que:


Assim: 1N1NNTN1N1N yxYXPˆ

1N1NNTNN

T1N1NN

1

1NNT

1N1N yxYXPxxPxPx1Iˆ

1N1NNTNN

T1N1NN

1

1NNT

1N1N1NNNTNN1N yxYXPxxPxPx1yxPYXPˆ

1N1NNT

1N1NNNTNN

T1N1NN1N1NN1NN

T1N

1

1NNT

1NN1N yxPxxPYXPxxPyxPxPx1xPx1ˆˆ

1N1NNT

1NNTNN

T1N1N1NN

T1N1NN

1

1NNT

1NN1N yxPxYXPxyxPx1xPxPx1ˆˆ

NT

1N1N1NN

1

1NNT

1NN1NˆxyxPxPx1ˆˆ

Finalmente, temos que:


Assim:

)1mN(u)N(u)1nN(y)N(yx T1N

Em que:

É chamado de regressorregressor e contém as informações de entrada e saída

NT

1NN1N

NT

1N1NNN1N

1NN

1

1NNT

1NN

PxKIP

ˆxyKˆˆ

xPxPx1K

Seleção de PSeleção de P00 e e

1) Calculando os primeiros k pontos:

2) arbitrário

0

kTk

1

kTkk YXXXˆ

1

kTkk XXP

0

IP0

Na k-ésima iteração os valores de e se aproximamdaqueles calculados em 1) se α→infinito

k kP

Seleção de PSeleção de P00 e e 0

1Tkk

11kk xxPP

1T

1k1k12k1k xxPP

1Tkk

T1k1k

T11

10k xxxx....xxPP

1Tkk

T1k1k

12kk xxxxPP

1

kTk

1ok XXPP


kTkkk YxPˆ

k

1k

kT

1kkk

y

Y

xXPˆ

kk1kT

1kkk yxYXPˆ

kk

1k

2k

1kT

2kkk yx

y

Y

xXPˆ

kk110T0kk yx....yxYXPˆ

kTk0

10kk YXˆPPˆ


Conclusão:Para (α grande) e arbitrário:IP0 0

0P 10

kTkkk YXPˆ 1

kTkk XXP

Isto significa que, nestas condições, o método recursivo aproxima-se do exato.

Excitação PersistenteExcitação Persistente• O sinal de controle deve ser escolhido de

forma a excitar todos os modos do sistema;• Para tanto deve ser rico em freqüências• Um sinal muito utilizado na prática é o

PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por possuir estas características

+1

-1

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimento

• Utilizado para sistemas variantes no tempo;

• A idéia é dar um maior “peso” aos dados mais atuais;

• Deve-se ter um cuidado na escolha do fator de esquecimento;

• Alternativamente, pode-se utilizar outros métodos como o “reset” da matriz de covariância.


EsquecimentoEsquecimentoDefinindo:

T2N1NN )N(e)2(e)1(e

NTNN EEJ

NTN

1

NTNN YXXXˆ

)N(e)1N(e....)2(e)1(e)k(eJ 2222N21N2N

1k

kNN



)k(eJ 21N

1k

k1N1N

T2N1N1N )1N(e)N(e)2(e)1(e

Assim,

)1N(e

E

EN

1N



1N

N

T1N

N

1N

N

e

E

x

X

y

Y

1NT

1N

1

1NT

1N1N YXXXˆ

1N

N

1NTN

1

T1N

N

1NTN1N

y

Y

xX

x

X

xXˆ

1N1NNTN

1T1N1NN

TN1N yxYXxxXXˆ



NT

1NN1N

NT

1N1NNN1N

1NN

1

1NNT

1NN

PxKI1

P

ˆxyKˆˆ

xPxPxK

10

Usualmente λ entre 0.995 e 1

Definindo: 1T1N1NN

TN1N xxXXP

E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,obtém-se:

Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo

• A seleção da estrutura de um modelo, no caso de sistemas monovariáveis limita-se à determinação da ordem do modelo e a determinação do atraso de transporte;

• A partir desta afirmação surge um compromisso entre a capacidade de representação da dinâmica essencial do sistema e um número adequado de parâmetros que possibilite menor esforço para o processamento dos algoritmos de identificação e controle;


• Definindo: 2N

1kk

T1kNˆx)1k(y

N

1J

• Podemos utilizar o critério de Akaike para determinar a melhor estrutura:

p2JlnNAIC N

• em que N é o numero de medidas realizadas durante o experimento e p é o número de parâmetros utilizados no modelo estimado;


• O critério é utilizado da seguinte maneira:– inicia-se com a utilização de um modelo de

baixa ordem, n=m=1, por exemplo;– aumenta-se a ordem do modelo estimado e o

critério é avaliado para cada incremento na ordem, utilizando um determinado conjunto de medidas;

– A escolha da estrutura adequada é baseada na menor taxa de variação do critério.

CONTROLE AVANÇADO Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN.

Documents

Transcript of CONTROLE AVANÇADO Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN.