Guia Experimento 1 Medição de Campo Elétrico Em Capacitor de Placas Paralelas (1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICAREA DE MICRO-ONDAS E ELETROMAGNETISMO APLICADOS

LABORATRIO DE ELETROMAGNETISMO

EXPERIMENTO 1

MEDIO DE CAMPO ELTRICO EM CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Campina Grande, Paraba

2013.2

1

OBJETIVOS

Avaliar o campo eltrico uniforme, _, produzido entre as placas de um capacitor de placas paralelas como funo da distncia entre as placas, _, e do potencial eltrico _.

MATERIAL UTILIZADO

Os materiais e equipamentos usados durante o experimento encontram-se listados

abaixo:

a. Placa de alumnio, 283_283

b. Palca de alumnio com encaixe central_ = 55

c. Medidor de campo eltricod. Fonte de alimentao. 0. . .600 ___ e. Resistor, 10 _f. Multmetro digitalg. 4 conectores vermelhos, _ = 750 h. 4 conectores azuis, _ = 750

i. Base mtrica, _ = 60

Figura 1 Arranjo para medies daj. Suporte da baseintensidade de campo eltrico.

k. Base deslizante, = 80 l. Haste de ao, 250m. Garra de ngulo reto

n. Rgua plstica, _ = 200

Laboratrio de Eletromagnetismo - Medio de Campo Eltrico em Capacitor de Placas Paralelas

2

INTRODUO TERICA

A eletrosttica compreende o estudo de cargas em repouso com base em seus modos de interao e na anlise de campos produzidos por distribuies destas cargas.

Os primeiros fenmenos de origem eletrosttica foram observados pelos gregos, 5 sculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaos de mbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atrarem pequenas partculas de outros materiais. Como a cincia experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenmeno permaneceu no campo da lgica e da filosofia. A interao entre objetos eletricamente carregados (fora eletrosttica) s foi quantificada e equacionada no sculo 18 (1746), por um cientista francs chamado Charles Augustin de Coulomb (1736 1806). (PEREIRA; VARA, p.1)

3.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

A escolha de uma representao espacial adequada a cada problema de campo do eletromagnetismo fundamental na simplificao dos campos envolvidos. Na fsica h cerca de 13 (treze) sistemas de coordenadas ortogonais. Portanto, o sistema de coordenadas apropriado ao problema determinado de acordo com a geometria da regio de existncia de campos.

Sistemas de coordenadas ortogonais so aqueles em que os eixos coordenados so mutuamente perpendiculares. Estes eixos definem pontos no espao segundo a interseo de superfcies. Na Figura 2 possvel visualizar as superfceis e vetores unitrios dos trs sistemas de coordenadas mais comuns no estudo do eletromagnetismo (coordenadas cartesianas, cilindricas e esfricas).

Figura 2 Superfcies e vetores unitrios dos sistemas coordenados cartesiano, cilndico e esfrico.


3

Possveis representaes para um ponto _ nos sistemas cartesiano, cilndrico e esfrico

so respectivamente: ___, _, __, ___, _, __, ___, , __. Para um campo vetorial !, tm-se:

"#$ , #%, #&' ou #$() + #% (+ + #&(, no sistema cartesiano, "#-, #., #&' ou #-(/ +

#.(0 + #&(, no sistema cinlndrico e "#1, #2, #.' ou #1(3 + #2(4 + #.(0 no sistema

esfrico.

A necessidade da mudana entre coordenadas recomendvel para pontos e vetores a fim de facilitar as operaes matemticas exigidas em um determinado problema.

3.2 LEI DE COULOMB

A fora eletrosttica foi quantificada por Coulomb em 1785 a partir de experimentos utilizando uma balana de toro de alta preciso que mediu a fora de interao entre cargas puntiformes (aquelas cuja distncia de separao muito maior que suas dimenses). Determinou-se que a intensidade da fora de atrao ou repulso inversamente proporcionalao quadrado da distncia e diretamente proporcional ao produto entre as cargas.

5 = 67879_1_

:9

A linha de ao da fora eletrosttica direcionada ao longo da linha de separao entre as cargas. Portanto, trata-se a fora eletrosttica de uma grandeza vetorial, que possui intensidade, direo e sentido.7879(@AB_2_

; = 4=>?:9

Em unidades do SI, a fora dada em newton (N). Deve-se ressaltar que uma caracterstica importante da fora eletrosttica que trata-se de uma fora mtua, ou seja, a fora sobre a carga 78 devido a carga 79 _; BA_ e a fora sobre a carga 79 devido a carga 78 _;AB _ possuem intensidades iguais, porm, sentidos contrrios. Contudo, cargas de mesmo sinal se repelem (fora repulsiva) e cargas de sinais opostos se atraem (fora atrativa).

Uma carga eltrica produz uma regio de influncia ao seu redor. O efeito pode ser sentido por outro objeto carregado posicionado nas imediaes da carga. Este transmissor de efeito, que se faz presente no espao, a partir da existncia de uma partcula carregada, denominado de campo eletrosttico.


4

A caracterizao do campo eletrosttico produzido por um conjunto de cargas eltricas pode ser feita colocando-se uma carga de teste 7t na regio de campo, e medindo-se a fora eltrica ;, produzida sobre 7. A magnitude da carga de teste deve ser pequena de forma a no perturbar o campo originalmente presente. A partir dessa medio, o campo eletrosttico pode ser definido pela relao:_ = lim ;_3_

F? 7

7_4_

_ = 4=>?:9 (@AB

A intensidade de campo eltrico medida em newton/coulomb (N/C) ou volt/metro (V/m). Assim como a fora eletrosttica o campo eltrico tambm uma grandeza vetorial e possui a mesma direo de ;.

A equao (4) pode ser generalizada para um sistema com mais de uma carga pontual. Em funo das coordenadas cartesianas no plano __, a equao pode ser reescrita. Logo, se considerarmos cargas H8, H9, ..., HI, localizadas nos respectios pontos __8, _8_, __9, _9_, ..., __I, _I_, o campo resultante ser:

I17L__ _L_I17L__ _L_

_ = JKPQ () + JKPQ (+ _5_

LR84=>?N__ _L_9 + __ _L_9O9LR84=>?N__ _L_9 + __ _L_9O9

Alm de cargas pontuais, distribuies contnuas de carga ao longo de uma linha, superfcie ou volume tambm so comuns. As densidades de carga linear __S_, superficial

__T_ e volumtrica __U_ e os elementos de carga _7 associados a tais distribuies so respectivamente _7 = _S __, _7 = _V_W, _7 = _U_X.

Portanto, o campo eltrico devido a um elemento de uma distribuio de cargas similar ao campo devido a uma carga pontual.

__ = _7 ( _6_ 4=>?:9 @AB

O campo eletrosttico tambm pode ser representado a partir da utilizao das linhas de contorno, tambm denominadas curvas de nvel. Uma linha de contorno a posio geomtrica em que o campo tem o mesmo mdulo.


5

Isto , dado um campo _ = Y$() partir da relao entre as componentes coordenada.

3.3 LEI DE GAUSS

+ Y%(+, a equao para linha de contorno dada a do campo por elemento integrativo da respectiva

Y$Y%_7_

__ = __

A divergncia do campo vetorial fornece informaes sobre a variao do mdulo do campo nas vizinhanas de um ponto do espao que pode assumir, fisicamente, trs situaes assim como ilustradas na Figura 3.

Figura 3 Ilustrao da divergncia de um campo vetorial em um ponto _.

Na Figura 3, a primeira situao ilustra a divergncia positiva porque o vetor diverge em _ indicando a presena de uma fonte de grandeza vetorial. Entretanto, no segundo caso, a divergncia dita negativa porque o vetor converge em _ caracterizando a presena de um sorvedouro da grandeza.

Tambm possvel que o campo vetorial tenha divergncia zero, assim como na terceira situao da Figura 3, ou seja, o fluxo que flui para um certo ponto idntico ao fluxo que sai do mesmo.

A divergncia de um campo vetorial, expresso por suas componentes em sistemas de coordenadas cartesianas, cilindricas e esfricas pode ser calculada a partir das equaes (8),(9) e (10) respectivamente.\Y$\Y%\Y&_8_

_ = \_+ \_+ \_


6

1\"_Y-'1\"Y.'+\_Y&__9_

_ = _\_+ _\_\_\"Y.'

1 \__9Y1_1\_sin Y2_1

_ = _9\_+_ sin\+_ sin\__10_

O campo eletrosttico apresenta natureza central e dependncia com o inverso do quadrado da distncia. Isto resulta na caracterstica de conservao para o fluxo das linhas de campo eltrico atravs de uma superfcie fechada.

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo, `, devido ao campo eltrico atravs de qualquer superfcie fechada igual carga total encerrada por esta superfcie. Assim:

a = b _a = c >?_ _d = 7 = e _U_X_10_

TU

Portanto, para o campo eltrico, o teorema da divergncia vlido. Isto :

_ = _>?U_11_

A lei de Gauss uma alternativa simples de determinar _ para distribuies simtricas de carga. Quando a distribuio de cargas no simtrica deve-se recorrer lei de Coulomb.

Para determinar o campo eltrico aplicando a lei de Gauss necessrio verificar a existncia de simetria (plana, axial, esfrica). Em seguida, escolhida uma superfcie matemtica fechada (conhecida como superfcie gaussiana) de forma que o vetor seja normal ou tangencial superfcie gaussiana.

Assim, quando _ for normal superfcie, _ _d = Y_f e quando _ for tangencial superfcie, _ _d = 0. Para isto, deve-se escolher uma superfcie compatvel com a simetria exibida pela distribuio de cargas.

3.4 CAPACITNCIA

A capacitncia _ uma propriedade fsica do capacitor e medida em farads (F). Dispomos de uma capacitor se o componente necessariamente apresentar dois ou mais condutores carregados com cargas iguais, porm, de sinais contrrios.


7

Sendo o condutor um corpo equipotencial e neste caso referido s placas do capacitor, importante ressaltar que as linhas de fluxo que saem de uma das placas devem, obrigatoriamente, terminar na superfcie da outra placa.

Define-se capacitncia, _, como a razo entre o valor da carga em uma das placas e o

valor absoluto da diferena de potencial entre elas. Portanto:

7>?T _ _d

=g_12_

_ = _h _ _i

3.4.1 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Faremos o estudo de um caso particular de um capacitor, o capacitor de placas paralelas (Figura 4) utilizando o ar como dieltrico. Isto , aquele no qual a separao _ entre as placas muito pequena quando comparado com suas dimenses.

Figura 4 Capacitor de placas paralelas

Consideremos o caso ideal desprezando a disperso do campo nas bordas das placas, assim, o campo entre as placas deve ser considerado uniforme. De acordo com alei de Gauss temos que o campo eltrico em uma superfcie infinita com distribuio

uniforme de carga dado por _T __/9_, no plano ortogonal k = 0, independente da

distncia entre a superfcie e o ponto de observao. Dessa forma:

_T_13_

_ = 2>? (l

Neste caso, possvel realizar trs analises acerca do campo eltrico:

1. Acima da superfcie carregada positivamente:


__f+ + __f = 2>_f0 _(,_ + 2>_0f _(,_ = 0

2.Abaixo da superfcie carregada negativamente:

_f_f(, = 0

__f+ + __f = 2>0(, + 2>0

3.Entre as placas:_f_f

_f(,

__f+ + __f = 2>0 (,+ 2>0 _(,_ = >0

8

_14_

_15_

_16_

No capacitor da Figura 5, as superfcies paralelas encontram-se carregadas com cargas +7 e 7 a fim de determinar o campo eltrico, _, em funo da distncia entre as placas dado que estas esto submetidas a uma diferena de potencial _?.

Figura 5 Capacitor de placas paralelas

Para isto, resolve-se um Problema de Valor de Contorno, ou seja, soluciona-se a

equao diferencial ordinria de segunda ordem de Laplace, equao (17), em uma

dimenso espacial visto que o potencial depende apenas de uma varivel, _.

9_ =_9__17_

__9 = 0

O mtodo de resoluo, neste caso, a integrao direta da equao, logo:_18_

____ = #_ + n

Onde # e n so constantes de integrao a serem determinadas a partir das

condies de fronteira:_19_

_ = 0 __0_ = _?


9

_ = _ ____ = 0_20_

Portanto,_?

____ = _21_

__ + _?

E,_?

_22_

____ = V = _ ()

Para a placa carregada positivamente, +7:

7=>?_0_23_

_T = f_

Deste modo, possvel calcular a capacitncia do capacitor:

7=>0f_24_

_ = _?_

3.4.2 ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Ao estabelecer uma diferena de potencial, _, entre as placas de um capacitor, possvel carreg-lo com carga 7, portanto, para calcular a energia potencial eltrica de um capacitor precisamos calcular o trabalho, q, realizado no carregamento.

Assim, em um instante qualquer, foi transferida uma carga 7 de uma placa de um capacitor para outra. A diferena de potencial entre as placas nesse instante ser:

_s7s_25_

= _

Para transferir um incremento extra de carga _7, o incremento de trabalho

necessrio :7s

s_7s=_7s_26_

_q = __

Assim,_7s = 1 79

q = tF 7s_27_

?__ 2


10

Ou

1__9_28_

q = 2

PREPARAO

OBS: Importncia: Durante o experimento ser realizado o estudo do capacitor de placas paralelas. Portanto, importante saber analisar o comportamento das medidas que sero realizadas. A preparao dever ser entregue no dia do experimento.

OBS: A atividade de simulo deve ser respondida e utilizando o software Mathematica deve ser simulada. Para isto, siga o Roteiro Experimental de Simulao presente no ANEXO B.

1. Considere as situaes abaixo para um capacitor de placas paralelas de dimenses283 283 .

a.Preencher a Tabela 1 (ANEXO A) calculando o campo eltrico gerado pelas superfcies paralelas dado que as placas encontram-se a uma distncia fixa _v = 10 w e que a tenso aplicada ao capacitor est variando de acordo com a tabela;

b. Preencher a Tabela 2 (ANEXO A) calculando o campo eltrico gerado pelas superfcies paralelas dado que no capacitor a tenso fixa, _v = 200_, e a distncia entre as placas variam segundo a tebela;

c. Calcular as capacitncias do capacitor para todos os casos completando os valores tericos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A);

d. Calcular a energia armazenada em cada um dos casos completando os valores tericos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A).

2. Determine a fora de atrao entre as placas de um capacitor de placas paralelas.


11

3. Ainda para o capacitor de placas paralelas de rea, #, e distncia entre as placas, _, imerso no vcuo, explique o efeito qualitativo sobre sua capacitncia, nos seguintes casos: a. Reduzir a distncia _;

b. Dobrar a rea, #, de ambas as placas;

c. Dobrar a diferena de potencial entre as placas.

4. Atividade de simulao. Representar graficamente as linhas de campo eltrico em um capacitor de placas paralelas. Para isto, considerar um sistema com 26 cargas eltricas de

1/9 nC, dentre as quais 13 esto carregadas positivamente e localizadas nos pontos H8_ 6,4_, H9_5,4_, HP _4,4_, ..., H8P_6,4_ e as outras 13 cargas esto carregadas negativamente e localizadas nos pontos H8x_6, 4_, H8y_5, 4_, H8z_4, 4_, ..., H9z_6, 4_. Escrever a equao geral do campo resultante produzido pelas cargas Hy, Hz,

H{ H| H} H8| H8} H9? H98 H99 6 = 8 = 9 10} , , , , e , . Considere x~ .


12

PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

O experimento proposto dividido em duas partes. A primeira parte trata de uma montagem na qual mantm-se a distncia entre as placas do capacitor constante a fim de verificar a relao entre o campo e o potencial eltrico. A segunda parte consiste em uma montagem em que ser estudada a relao entre o campo eltrico e a distncia entre as placas mantendo o potencial eltrico constante e variando a distncia entre as placas do capacitor.

5.1 MONTAGEM I - RELAO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELTRICO

1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as orientaes do professor ou monitor;

2. Certifique-se de que a fonte de alimentao e os multmetros esto conectados corretamente ao circuito;

3. Ligar a fonte de alimentao assegurando-se que a tenso entre as placas do capacitor 0 _;

4. necessrio estabelecer o zero de equilbrio no medidor de campo eltrico. Para isto, necessrio alimentar o equipamento com 12 _, curto-circuitar as placas do capacitor e com o auxlio do multmetro ajustar o equipamento;

5. Manter as placas do capacitor a uma distncia fixa assim como no problema 1 item a da atividade de preparao;

6. Inicialmente aplicar uma tenso de 10_ ao sistema e comparar o valor medido com o valor calculado durante a preparao;

OBS: As medies esto relacionadas a uma faixa de medio e, portanto, neste arranjo, a indicao do valor medido dever ser ajustado de modo a corresponder intensidade de campo calculada tericamente.

OBS: O ajuste da faixa de medio dever ocorrer no equipamento Medidor de campo eltrico, no boto 6 segundo a Figura 6.

7. Anotar todos os resultados na Tabela 1 presente no ANEXO A;


13

8. Repetir os itens 6 e 7 seguindo os valores sugeridos de tenso presentes na Tabela 1 (ANEXO A).

Figura 6 Medidor de campo eltrico

5.2 MONTAGEM II - RELAO ENTRE O CAMPO ELTRICO E A DISTNCIA

ENTRE AS PLACAS DO CAPACITOR

1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as orientaes do professor ou monitor;

2. Certifique-se de que a fonte de alimentao e os multmetros esto conectados corretamente ao circuito;

3. Ligar a fonte de alimentao assegurando-se que a tenso entre as placas do capacitor 0 _;

4. necessrio estabelecer o zero de equilbrio no medidor de campo eltrico. Para isto, necessrio alimentar o equipamento com 12 _, curto-circuitar as placas do capacitor e com o auxlio do multmetro ajustar o equipamento;

5. Fixar a tenso entre as placas do capacitor assim como no problema 1 item b da atividade de preparao;

6.Inicialmente, manter as placas do capacitor a uma distancia _ = 1,0 w e comparar o valor medido com o valor calculado durante a preparao;


14

OBS: As medies esto relacionadas a uma faixa de medio e, portanto, neste arranjo, a indicao do valor medido dever ser ajustado de modo a corresponder intensidade de campo calculada tericamente.

OBS: O ajuste da faixa de medio dever ocorrer no equipamento Medidor de campo eltrico, no boto 6 segundo a Figura 6.

7. Anotar todos os resultados na Tabela 2 presente no ANEXO A;8. Repetir os itens 6 e 7 aumentando a distncia entre as placas em 1,0 w at

atingir 12,0 w .

RELATRIO

Obs. O relatrio dever ser entregue uma semana aps a data de realizao do experimento e dever ser manuscrito.

O relatrio dever conter:

I- Capa padronizada;

Ttulo do experimento, nome do aluno, matrcula, turma e nmero.

O modelo segue em anexo.

II- Introduo terica;

Definies, interpretao fsica, expresses matemticas.

III- Procedimentos experimentais;

Descrio dos procedimentos adotado durante o experimento.

IV- Anlise e discusso dos resultados;

Grficos obtidos, fatores relevantes observados, etc.

V- Concluso.

REFERNCIAS


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HAYT, W.H.(1958). Eletromagnetismo. Sexta Edio. LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2001.

SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. Terceira Edio. Bookman.

VILLATE J. Campo Eltrico. Disponvel em: < http://def.fe.up.pt/pt/Campo_el%C3%A9trico>. Acesso em: 23 out. 2013.

FONTANA E. Eletromagnetismo Parte 1. Disponvel em: < http://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01/mag1cap2.htm# mozTocId669198>. Acesso em: 15 nov. 2013.

A elaborao deste guia foi realizada pelos alunos da UFCG (Campina Grande Paraba): Leonardo Fragoso Martins, Milena Marinho Arruda e Rodrigo Torres Guimares sob orientao do Prof. Alexandre Jean Ren Serres e Prof. Mario de Sousa Arajo Filho.


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ANEXO A - TABELAS

Tabela 1 - Relao entre campo e potencial eltrico._v =w

TENSO __CAMPO ELTRICOCAPACITNCIA _;_ENERGIA _l_

_/_

MEDIDOTERICOMEDIDOTERICOMEDIDOTERICO

0

10

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

250


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Tabela 2 - Relao entre o campo eltrico e a distncia entre as placas do capacitor._v =_

DISTNCIACAMPO ELTRICOCAPACITNCIA _;_ENERGIA _l_

ENTRE AS_/_

__

PLACASMEDIDOTERICOMEDIDOTERICOMEDIDOTERICO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


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ANEXO B - ROTEIRO EXPERIMENTAL DE SIMULAO

Obs. Utilize como auxilo o Guia de Comandos do Mathematica para realizao de todo o experimento.

1. Inicialize o programa Mathematica;

2. Instale os pacotes VectorAnalysis e VectorFieldPlots digitando os camandos:

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