Aula-5Capacitância

Capacitância

Capacitores

Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .

A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado .

Capacitância Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas.

Outros capacitoresCapacitor de placas paralelas

Capacitância Capacitores

Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja:

q=CV

onde C é a chamada capacitância do capacitor. Esta constante de proporcionalidade depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F).

1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V

Importante: ε0=8, 85 pF/m

1 farad = μ 10−6 F

,

Capacitância

Carregando o capacitor

Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de

q=CV

cargas q e –q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.

,

Cálculo da Capacitância

Esquema de cálculo

Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:

φ=∮A

E r ⋅ n dA=q int

ε0

De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como:

V =V f −V i=−∫r i

r f

E r ⋅d l

E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C.

q=CV

Capacitância

Capacitor de placas paralelas

q= ε 0 AE

V = Ed

q=CV C =ε0 A

d

φ=∮A

E r ⋅ n dA=q int

ε0

V f −V i=−∫r i

r f

E r ⋅d l

Nota-se que a capacitância só depende de fatores geométricos do capacitor.

Capacitância

q= ε 0 AE =2π Lr ε0 E

V = q2 πε 0 L

ln ba

q=CV C=2 πε 0L

ln ba

Capacitor cilíndrico

φ=∮A

E r ⋅ n dA=q int

ε0

V f −V i=−∫r i

r f

E r ⋅d l

Capacitância

Capacitor esférico

q= ε 0 AE =4π r 2 ε0 E

V =q

4 πε0

b−aab

q=CV C=4 πε0ab

b−a

V f −V i=−∫r i

r f

E r ⋅d l

φ=∮A

E r ⋅ n dA=q int

ε0

Capacitância

Esfera isolada

C=4 πε0ab

b−a=4 πε0

a

1−ab

b ∞

C =4 πε0 R

+

E

+

++

+

++ +

+

+

+

b ∞

R

R= a

Exemplo numérico:

R=1m ε0=8, 85 pF/m C≈ 1,1 ×10−10 F ,

Capacitância

Capacitores em paralelo

q 1=C 1 V , q 2=C 2 V e q 3=C 3 V

q= q 1 q 2q 3 ⇒ q= C 1C 2C 3 V

C eq =C 1C 2C 3

C eq=∑i

C i

ou

Como q=C eq V

Capacitância

Capacitores em série

q=C 1 V 1 , q=C 2 V 2 e q=C 3 V 3

V 1V 2V 3=V ⇒ q 1C 1

1

C 2

1C 3 =V

1C eq

=1

C 1

1C 2

1

C 3

1C eq

=∑i

1C i

ou

Como q=C eq V

Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um

capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energiapotencial na região do campo elétrico entre as placas.

Energia no capacitor Energia armazenada no campo elétrico

Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então:

dW =V ' d q '=q '

Cd q' W =∫ dW =∫

0

qq '

Cd q '= q2

2C

U = q2

2C= 1

2CV 2

d q 'q' q'

Energia no capacitor Densidade de energia

Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:

C =ε0 A

d

U = 12

CV 2= 12

ε0 A

dE 2 d 2

V = Ede

u≡UAd

=12

ε0 E 2

Apesar da demonstração ter sido para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!

u=energia potencialvolume

Dielétricos

Visão atômica

Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares

não-polares.

ou

+- +- +- +-

+- +- +- +-

+- +- +- +-E0= 0

E0 E0

E´E-

-

-

+

+

+

Ao colocarmos um material dielétrico entreas placas de um capacitor a sua capacitância aumenta. Como

q=CV V é mantido constante e a carga nas placas aumenta; então C tem que aumentar.

Dielétricos

Capacitores com dielétricos

C =ε 0 L

Londe L tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico,

C d= κε0 L onde κ 1 No vácuo, κ =1

E0

E´E-

-

-

+

+

+

,

Dielétricos Material Constante dielétrica Resistência

Dielétrica (kV/mm)

Ar (1 atm) 1,00054 3

Poliestireno 2,6 24

Papel 3,5 16

Pirex 4,7 14

Porcelana 6,5 5,7

Silício 12

Etanol 25

Água (20º) 80,4

Água (25º) 78,5

Dielétricos

Lei de GaussE 0=

qε0 A

E =q−q'

ε 0 A

E =E 0

κ= q

κε0 Aq−q '=

qκ

∮A

D r ⋅ n dA=q

é o vetor de deslocamento elétrico.

φ=∮A

E r ⋅ n dA=q int

ε0

Então, na lei de Gauss com o vetor aparecem apenas as cargas livres (das placas).

D

D r ≡κε0E r

,

onde

Dielétricos

Exemplo

Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1,24 cm, V0=85,5 V, b=0,78cm, k=2,61.

a) C0 sem o dielétrico;b) a carga livre nas placas;c) o campo E0 entre as placas e o dielétrico;d) o campo Ed no dielétrico;e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico;f) A capacitância C com o dielétrico.

Calcule: