GEOMETRIA PLANA - Colégio Expressão Web viewÂngulo é o nome que dá...

ÂNGULOS: Ângulo é o nome que dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto.

A

Indica-se : AÔB ou O

OA e OB são os lados do ângulo. O é o vértice do ângulo. B

Ângulos importantes:

reto 90 / 2 rad 1o = 60’ ( 1 grau 60 minutos )raso 180 rad1 volta 360 2 rad 1’ = 60” ( 1 minuto 60 segundos)

ÂNGULO AGUDO: É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.

ÂNGULO OBTUSO: É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90o.Complemento = ( 90o - x )

ÂNGULOS SUPLEMENTARES: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180o. Suplemento = ( 180o - x )

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE: São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes.

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO: É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Duas retas paralelas r e s , interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos assim denominados t

r Ângulos correspondentes: e , e , e , e Ângulos alternos internos: e , e

Ângulos alternos externos: e , e Ângulos colaterais internos: e , e

s Ângulos colaterais externos: e , e

Propriedades:

Ângulos alternos internos são congruentes.Ângulos alternos externos são congruentes.Ângulos correspondentes são congruentes.

A soma dos ângulos colaterais ( internos e externos ) é igual a 180o.

+ = 180o + = 180o + = 180o + = 180o EXERCÍCIOS DE SALA

01) A soma de dois ângulos adjacentes é 120o. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo do outro menos 40o.

R: 40o e 80o

02) Quanto mede o ângulo que é igual ao dobro da medida do seu complemento?R: 60o

03) Encontre a medida do ângulo que é igual a 1/5 da medida do seu suplemento.R: 30o

04) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76o?R: 83o

05) Determine a medida do suplemento do ângulo 129o 40’ 35”R: 50o 19’ 25”

EXERCÍCIOS DE CASA

01) Dado um ângulo de medida x , indicar:a) seu complementob) seu suplementoc) o dobro do seu complementod) a metade do seu suplementoe) o triplo do seu suplementof) a sétima parte do complementog) a quinta parte do suplementoh) os dois quintos do complementoR: (90o - x) ; (180o - x) ; 2.(90o - x) ; ½ (180o - x) ; 3.(180o - x) ; 1/7.(90o - x) ; 1/5.(180o - x) ; 2/5.(90o - x)

02) Qual é o ângulo que excede o seu suplemento de 66o?R: 123o

03) Qual é o ângulo que diminuído do seu suplemento dá 120o?R: 30o

04) A metade da medida do complemento de um ângulo é 35o. Qual é a medida desse ângulo?R: 20o

05) Os ¾ da medida do suplemento de um ângulo valem 75o. Qual é a medida desse ângulo?R: 80o

06) Determine a medida do suplemento do ângulo 69o 40’.R: 110o 20’

07) Dois ângulos são suplementares. A medida do maior está para 7 assim como a medida do menor está para 5. Determine as medidas desses dois ângulos usando um sistema de duas equações com duas incógnitas.

R: 75o e 105o

08) Dois ângulos complementares têm sua medidas expressas em graus por: 3x + 25o e 4x - 5o . Quanto medem esses ângu- los?

R: 55o e 35o

09) Um ângulo excede o seu complemento de 48o. Determinar o suplemento desse ângulo.R: 111o

10) Determinar o complemento de um ângulo sabendo que a razão entre o ângulo e seu complemento é igual a 5/4.R: 40o

POLÍGONOS DEFINICÃO: Quando uma figura é formada por segmentos consecutivos, não colineares, dois a dois, dizemos que estas figuras são polígonos.

A A, B, C e D são os vértices do polígono.AB , BC , CD e DA são os lados do polígono.

B

Todo polígono que possui os lados e ângulos congruentes é denominado polígono

regular.

C D

NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO:

O número de diagonais d de um polígono de n lados ( n 3 ) é dado por:

B

C

A D Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vérti-

ces não consecutivos do polígono.

E

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS:

Considere o polígono de n lados.

A1 e1 A2

i1 i2 e2 Si = i1 + i2 + i3 + ... + in Si = (n - 2).180o n 3

e6

A6 i6 i3 A3 Se = e1 + e2 + e3 +...+ en Se = 360o

e3

i4

e5 i5 Si é a soma dos ângulos internos e4 A4 Se é a soma dos ângulos externos

Os ângulos internos e externos de um polígono regular são congruentes.

ai é o ângulo interno do polígono.ae é o ângulo externo do polígono.

A soma do ângulo interno com o externo de um mesmo vértice mede 180o.

Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.Todo polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero. Todo polígono que possui os ângulos congruentes é eqüiângulo.

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.

R: Quadrado e duodecágono

02) Determinar o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.R: undecágono (11)

03) Qual é o polígono , cuja soma dos ângulos internos vale 1800o?R: duodecágono (12)

04) Qual o polígono que tem o número de lados iguais ao número de diagonais?R: pentágono (5)

05) A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é 9. Determinar o número de lados do polí- gono? R: 20

06) Determine o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 4/3 da medida de um ângulo reto.R: hexágono (6)

EXERCÍCIOS DE CASA

01) Num polígono regular, ai - ae = 60o. Qual é esse polígono?R: hexágono (6)

02) O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Determine o número de diagonais des se polígono.

R: Zero

03) A soma dos ângulos internos com os ângulos externos de um polígono regular vale 1800o. Determine o número de diagonais do polígono.

R: 35

04) Três polígonos convexos tem n , n + 1 , n + 2 lados respectivamente. Sendo 2700o a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.

R: 6

05) Dados dois polígonos com n e n + 6 lados, respectivamente, calcular n sabendo-se que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.

R: 5

06) Três polígonos tem o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o polígono com maior número de diagonais.

R: 7

07) Determine o número de lados de um polígono convexo regular cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo.R: 12

08) O ângulo interno de um polígono regular vale 1,5 vezes o seu ângulo externo. Determine o número de lados do polígono.

R: 5

09) Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180 o.R: quadrilátero

10) Num polígono regular, o ângulo interno mede o triplo do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?R: octógono (8)

11) Um polígono convexo tem 5 lados mais que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o nú- mero de diagonais de cada polígono.

R: 14 e 54TRIÂNGULOS

DEFINICÃO: É o polígono que possui três lados.

CLASSIFICAÇÃO: Podemos classificar os triângulos quanto aos lados e aos ângulos.

Eqüilátero: os três lados são congruentes.Quanto aos lados Isósceles: somente dois lados congruentes.

Escaleno: as medidas dos três lados são diferentes.

Acutângulo: os três ângulos são agudos ( menor que 90o )Quanto aos ângulos Retângulo: tem um ângulo reto ( 90o )

Obtusângulo: tem um ângulo obtuso ( maior que 90o ) dois agudos.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas de um triângulo cruzam-se num ponto G , denominado baricentro do triângulo.

Altura: É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto.As três alturas de um triângulo cruzam-se num mesmo ponto, denominado ortocentro do triângulo.

Bissetriz: É o segmento que parte do vértice e divide este ângulo em duas partes congruentes. As três bissetrizes de um triângulo cruzam-se num mesmo ponto I, denominado incentro do triângulo. O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO

“ A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto segmentos proporcionais aos ladospertencentes aos do ângulo considerado”.

A

AD é bissetriz do ângulo Â

B D C

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Seja AD uma bissetriz interna do triângulo ABC. Sendo AB = x + 8 , AC = 2x , BD = 10 e CD = 12 , determine x.R: 12

02) Na figura abaixo, CD é a bissetriz do ângulo C. Determine a medida x.

C

12 20 R: 10

6 X

A D B

03) Num triângulo ABC , AD é bissetriz interna do ângulo Â. Sabendo-se que BD = 18 , DC = 27 , AB = (5x - 1) e AC = (7x + 1). Calcule o perímetro do triângulo ABC.

R: 10504) Calcule x e y no triângulo, sabendo-se que AD é bissetriz interna do ângulo Â. ( Dado x + y = 45)

A

X Y R: 18 e 27

12 18

B D C

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA

01) Na figura, BD é a bissetriz, AD = 12 cm , CD = 16 cm . Sendo AB = 2x + 6 e BC = 3x, determine o valor de x.

B

2X + 6 3X

R: 24 12 16

A D C

02) O perímetro de um triângulo ABC é igual a 45 cm. A bissetriz do ângulo A divide o lado oposto em dois segmentos, respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Calcule os lados do triângulo.

R: 18 cm ; 15 cm e 12 cm

03) Os lados de um triângulo, medem 10 ; 15 e 20 m. Calcule a medida do menor dos segmentos em que a bissetriz inter na divide o lado maior.

R: 8 cm

04) Determinar os valores de x e y na figura, sabendo que AD é bissetriz interna do triângulo ABC.

A

2,5 cm 5 cm R: 2 cm e 4 cm

B

X D Y C

6 cm

05) Na figura, AD é bissetriz do triângulo ABC. Sabendo-se que AB = 6 cm , AC = 4 cm e BC = 5 cm , determine as medidas dos segmentos BD e DC .

A

6 cm

4 cm R: 3 cm e 2 cm

B D C 5 cm

06) Um triângulo RST tem os lados medindo RS = 9 cm , ST = 6 cm e TR = 4 cm . Determine as medidas dos segmentos determinados no lado maior, pela bissetriz do ângulo oposto.

R: 3,6 cm e 5,4 cmTEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA DE UM TRIÂNGULO

“A bissetriz do ângulo externo de um triângulo determina, sobre o lado oposto, dois segmentos subtrativos proporcionais aos outros dois lados”.

A

c b B a C n

D AD é bissetriz do ângulo A.

m

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Nos triângulos ABC , AC é bissetriz externa. Determine em cada caso do valor de x.

AC

20

10 X 10

B 15 C X D

30 20

D B A

R: 15 R: 602) UCG - Na figura a seguir, AB = 30 cm, AC = 20 cm, BC = 40 cm, AD é bissetriz interna do ângulo BÂC , AE é bissetriz externa do ângulo Â . Pode-se então afirmar que DE = 96 cm

A

R: Verdadeira

B D C E

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS “Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corresponden-

tes são proporcionais”.

Caso AA “Se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então esses triângulos são semelhantes”.

Caso LAL “Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congrue- tes, então os triângulos são semelhantes”.

Caso LLL “Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são seme-

lhantes”.

A

c b A’

c’ b’

B C B’ C’ a a’

2p = perímetro do triângulo

k = razão de semelhança dos triângulos EXERCÍCIOS DE SALA

01) Os lados de um triângulo medem 8,4 cm , 15,6 cm e 18 cm. Esse triângulo é semelhante a um triângulo, cujo períme- tro mede 35 cm. Calcular o maior lado do segundo triângulo.

R: 15 cm

02) Determine o valor de x:

a) b) r1 = 3r2 = 5

2

Calcule x. 4

X O

2 3

O

1

3 A X B C

R: 3/2 R: 3 15

02) Determine x e y na figura, sendo MN // BC

B X C

M 12 N

Y 45 R: x = 36 e y = 27 9 15

A

EXERCÍCIOS DE CASA

01) O raio da circunferência de centro O mede 5 cm e o do centro O’ mede 3 cm . Qual a medida de O’P?

A

B P

O’ R: 12 cm O

02) A razão de semelhança de dois triângulos eqüiláteros é 2/5. O lado do menor mede 8 m. Calcule a medida do lado do outro triângulo.

R: 20 m

03) Um triângulo, cujos lados medem 12 m, 18 m e 20 m, é semelhante a outro cujo perímetro mede 10 m. Calcule a medida dos lados do triângulo menor.

R: 2,4 m , 3,6 m e 4 m

04) UCG - Se dois triângulos possuem os três ângulos congruentes, então eles são congruentes.

R: VerdadeiraRELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

“Em todo triângulo retângulo, podemos demonstrar por semelhança de triângulos as relações”:

A a = m + n a2 = b2 + c2

c b b2 = a.mh

c2 = a.n n m

B D C a h2 = m.n

Outras relações que podem ser usadas:

b.h = c.m c.h = b.n a.h = b.c

Elementos:

BC = a = hipotenusaAB = c = catetoAC = b = catetoBD = n = projeção ortogonal do cateto

c sobre a hipotenusaCD = m = projeção ortogonal do cateto

b sobre a hipotenusaAD = h = altura relativa a hipotenusa

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Em relação ao ângulo Bsen

cos

Bba

medida do cateto oposto ao angulo Bmedida da hipotenusa

Bca

medida do cateto adjacente ao angulo Bmedida da hipotenusa

tg Bbc

medida do cateto oposto ao angulo Bmedida do cateto adjacente ao angulo B

Em relação ao ângulo Csen

cos

Cca

medida do cateto oposto ao angulo Cmedida da hipotenusa

Cba

medida do cateto adjacente ao angulo Cmedida da hipotenusa

tg Cca

medida do cateto oposto ao angulo Cmedida do cateto adjacente ao angulo C

ARCOS NOTÁVEIS:

ÂNGULOS / 6 / 4 / 3

FUNÇÕES 30 45 60

SENO

COSSENO

TANGENTE

12

22

32

32

22

12

33

1 3

EXERCÍCIOS DE SALA

01) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo medem ( ) cm e ( ) cm. Calcule a medida da hipotenusa.

R: 3 2 cm

02) Determinar o perímetro de um losango sabendo que suas diagonais medem 12 cm e 16 cm.R: 40 cm

03) Um triângulo retângulo tem hipotenusa de 60 cm, e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 48 cm. Calcule a altura relativa a hipotenusa.

R: 24 cm

04) A altura de um triângulo eqüilátero mede cm. Quanto mede o seu lado?R: 20 cm

EXERCÍCIOS DE CASA

01) Determine a medida da hipotenusa e o perímetro do triângulo:

3X + 3 7X + 1 R: 15 cm e 36 cm

8X - 4

02) O perímetro de um triângulo eqüilátero é 18 cm . Calcule a altura do triângulo.R: 3 3 cm

03) A altura de um triângulo eqüilátero mede cm. Calcule o perímetro do triângulo.R: 48 cm

04) Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre o terreno horizontal, é quebrado num certo ponto pela força do vento. Sua extremidade vem tocar a terra a 16 côvados do seu pé. A quantos côvados do pé ele se quebrou?

R: 12 côvados05) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 40 cm e a razão entre os catetos é de ¾ . Calcule as medidas dos catetos.

R: 24 cm e 32 cm

06) Um gavião está no alto de uma árvore vertical de 6 m de altura, ao pé da qual fica a toca de uma cobra, que se encontra a 18 m da toca. A cobra também vê o gavião, e corre para a toca. O gavião faz um vôo em linha reta e alcança a cobra

antes que ela atinja a toca. Sabendo-se que o gavião voou a mesma distância percorrida pela cobra, diga a quantos metros da toca a cobra foi alcançada.

R: 8 m

07) Nesta figura, a reta t é tangente às três circunferências, que também se tangenciam mutuamente. As duas circunferências

maiores tem raio R ; a circunferência menor raio r . Mostre que ,

A B

C

08) Na figura seguinte, O é o centro da circunferência, ST é tangente à circunferência, ST = cm e TSO = 45o. Calcule a medida de SO.

O

R: 12 cm

S T

09) Um robô, percorrendo os lados AB e BC de um quadrado, andou 15 m. Quantos metros andaria a menos se tivesse ido diretamente a A para C ?

R: m

10) Calcule x e y. 45

Y

60

X

9

11) Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60o. Se ele afastar do edifício mais 30 m passará a vê-lo sob ângulo de 45o. Calcular altura do edifício.

R: m

12) ITA - O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p . Nesse triângulo, calcule a altura relativa à hipotenusa.R: p .(

ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA ÂNGULO CENTRAL : “É aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência”.

O

A = AB

B

ÂNGULO INSCRITO: “É aquele cujo vértice pertence à circunferência e pelo menos um dos lados é uma semi-reta secante a essa circunferência”.

A

V

B

ÂNGULO DE VÉRTICE INTERNO: “É aquele que tem o vértice interior à circunferência e não coincidente com o centro”.

C

B

D A

ÂNGULO DE VÉRTICE EXTERNO: “É aquele que tem o vértice exterior à circunferência e os lados são semi-retas que possuem pelo menos um ponto comum com essa circunferência”.

B

C

D

A

C comprimento da circunferência R raio da circunferência A área do círculo

Quadrilátero convexo inscrito numa circunferência Quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência b

A A + C = 180o A B

B

B + D = 180o C a + c = b + d a C

C D d D

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Calcule x nas figuras abaixo:

a) b)

X 150 30 100 30

c) d)

60 X 56

60

20 X

e) f)

X 80 25

30

X X 75

g) h)

45

30 X 60

X

i)

60

80

X

RESPOSTAS:- a) 35o b) 90o c) 40o d) 64o e) 130o f) 30o g) 60o h) 75o i) 40o

RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO

POTÊNCIA DE UM PONTO

A D PA . PB = PC . PD A

P

B

B

P

C D C

Ponto P interno Ponto P externo (Relação entre cordas) (Relação entre secantes)

T

P PT 2 = PA . PB

B

A

Ponto P esterno (Relação entre secante tangente)

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Calcule o valor de x.

a) b) c)

2 X 3 X

2X

3 6 14 - X X

3 3X

8

d) e) f)

3X X

X

X + 12

4X - 1 X + 1

3 X

4 4 4

15

RESPOSTAS: a) 4 b) 2 ou 12 c) 2 d) 4 e) 20 f) 2ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS

ÁREA DOS QUADRILÁTEROS

FIGURA PERÍMETRO ÁREA

h

b

retângulo

a

a

quadrado

b c

h

a triângulo semiperímetro

a

b b h

a

paralelogramo

b

c h d

B

trapézio

a a

a a d

D

losango

OBSERVAÇÕES E ÁREAS IMPORTANTES ( Para Vestibulandos )

FIGURAS PERÍMETROS / OBSERVAÇÕES ÁREAS

c A

B b (perímetro)

a

C

R

TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO (semiperímetro)

A

c b

R R

R

B a C

TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO FÓRMULA DE HERÃO

A

NUM TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO VALE:

M

Q A M = A Q

R B M = B N

B N C

C N = C Q

TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO

OA MEDIANA E RAIO A

OB e OC RAIO

=

B // O

// C “TODO TRIÂNGULO INSCRITO EM UM SEMI-

CÍRCULO É RETÂNGULO E SUA MEDIANA É

RAIO”.

TRIÂNGULO INSCRITO EM UM SEMICÍRCULO

LEI DOS SENOS LEI DOS COSSENOS

A

b c

C a B R = RAIO DO CÍRCULO CIRCUNSCRITO AO

TRIÂNGULO QUALQUER TRIÂNGULO

FÓRMULAS QUE PODEM AJUDAR NO VESTIBULAR

PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

A MEDIANAS

c ma b

Analogamente: mc

G

B D

a C

ma = mediana relativa ao lado a

O PONTO DE ENCONTRO G DAS MEDIANAS É CHAMADO DE

“BARICENTRO”

ALTURAS

A

H

c b

ha hc

B D C

ha = altura relativa ao lado a h a.senB.senC senAa

O PONTO DE ENCONTRO H DAS ALTURAS É CHAMADO DE h b.senA.senC senBb

“ORTOCENTRO”. h c.senA.senB senCc

A BISSETRIZES

sa = bissetriz relativa

c sa b ao ângulo Â

S

B

D

C

a

O PONTO DE ENCONTRO S DAS BISSETRIZES É CHAMADO Analogamente: ( bissetriz externa )´INCENTRO”.

O INCENTRO DE UM TRIÂNGULO É O CENTRO DA

CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA NESSE TRIÂNGULO

OBSERVAÇÃO: O PONTO DE ENCONTRO DAS MEDIATRIZES É CHAMADO DE CIRCUNCENTRO . O CIRCUNCENTRO É O CENTRO DA CIRCUN-

FERÊNCIA CIRCUNSCRITA AO TRIÂNGULO.

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Num paralelogramo, a medida de um lado é 2/3 da medida do outro. Sabendo que seu perímetro é 120 cm, calcule o comprimento de cada lado.

R: 24 cm e 36 cm

02) Num trapézio retângulo, o menor ângulo é 5/7 do maior. Determine a medida dos seus ângulos internos.R: 75o ; 90o ; 90o e 105o

03) Qual é a área de um losango cujas diagonais medem juntas 30 cm, sendo uma delas o dobro da outra?R: 100 cm2.

04) Um pátio em forma de trapézio isósceles, cujas dimensões estão indicadas na figura, deve ser cimentado. Sendo R$ 200 o preço do metro quadrado cimentado, qual será o custo final da obra em reais?

7 m

15 m R: 34.200

31 m

05) As diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares e medem 12 cm e 18 cm . Qual a área do quadrilátero?

R: 108 cm2

06) UCG-94-2 - O trapézio ABCD indicado na figura a seguir é isósceles. Sua área mede então, m2.

D 4 m C

= = 10 m

60

A B

R: falso ( 45 3 m2)

07) UCG-94-2- Na circunferência da figura a seguir, O é o centro, CD = 8 m e AD = 12 m . A medida x do segmento OD é , então igual a 10/3 m.

C

A O D B

R: Falsa (16/3)

08) UCG - 95-1- Na figura a seguir MNP é um triângulo eqüilátero e MP = MQ. Então , x = 40o.

M

30

Q

R: Falso ( x = 45o )

X N P

09) Num triângulo retângulo, um cateto mede 5 m e a altura relativa a hipotenusa mede 2 5 m. Determine a área do triângulo.

R: 25m2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA

01) UFG - 95 - Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado igual a 10 cm e os arcos indicados tem centros, respectivamente, nos pontos A e C , com raios iguais a 10 cm e em EFG e H , com raios iguais a 5 cm. Então , a medida da

área da região hachurada é igual a cm2.

D G C

H F R: Falsa [ 25( - 2) cm2 ]

A E B

02) UFG - Abaixo estão representadas duas circunferências de raio r . A primeira com centro no ponto A e a outra com centro no ponto B (que a primeira). Determine a área da região hachurada.

A B

R: r 2

62 3 3

03) Calcule a área da lua hachurada, sabendo que o círculo maior tem centro A e raio de 10 cm; o triângulo ABC é retân- gulo, com hipotenusa BC ; o círculo menor tem centro no ponto médio de BC.

B

M

A

C R: 50 cm2

04) Um quadrado ABCD tem lados de 20 cm. Com centro nos pontos médios dos lados AD e BC , traçamos os arcos AD e BC. Qual é a área da região hachurada?

A B

R: 100.(4 - ) cm2

D C

05) Calcule a área das regiões hachuradas nas figuras abaixo:

a) A é centro do círculo maior. b) O quadrado ABCD tem lados 4 cm. Com centro

em D, traçamos o arco AC. A B

A 4 cm

D C

R: 12 cm2 R: 4.(4 - ) cm2

c) O quadrado ABCD tem lados de 4 cm, d) O quadrado ABCD tem lados de 8 cm. Com cen- Com centros em B e D traçamos os tros em EFGH , traçamos os arcos AB, BC, CD

arcos AC. E AD. A B A E B

H F

D C DG

C

R: 8.( - 2) cm2 R: 32.( - 2) cm2

e) A circunferência maior tem raio R. As duas f) Na figura temos duas semicircunferências uma tem menores se tangenciam em O . centro A e diâmetro 8 cm, e outra tem centro B.

O

A B

R: .R2

2R: 6 cm2

g) O quadrado ABCD tem lados de 4 cm. h)

A 2 cm 2 cm B

2 cm 2 cm 6 6

6 6 2 cm 2 cm

D C 6 6

R: 4.( - 2) cm2 R: 18 2 3.( )

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DA GEOMETRIA PLANA

01) Sabendo que r // s , calcule o valor de x. a) r b)

20

50 3X + 20

X

30 2X

15 s

R: 45o R: 32o

c) d) Na figura abaixo AD = DE = AE e ABCD é um quadrado. Calcule .

70 D C

40

130 X E

R: 20o A B

R: 105o

e) f) X

110 60

70

X / 2

120

150

R: 120o

R: 150o

g) h) Sabendo que ABCD é um quadrado e que o tri-

X ângulo BCE é eqüilátero , calcule a medida x do ângulo AEC.

A D

E X

55

40 B C

R: 30o R: 75o

02) No triângulo ABC , o lado AC mede 32 cm e o lado BC , 36 cm. Por um ponto P situado sobre AC , a 10 cm do do vértice C , traçamos uma paralela ao lado AB , a qual divide BC em dois segmentos BQ e CQ. Determine CQ.

R: 45/4

03) No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz do ângulo interno em C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e AC = 4 cm Determine o lado BC do triângulo.

R: 8/3 cm04) Um galinheiro é formado por duas partes retangulares, como mostra a figura. Usando-se 15 m de tela, qual é a área má- xima que esse galinheiro pode ter?

MURO

R: 18,75 m2

05) UCG - 96 - A área hachurada da figura a seguir vale (a b )4

2 2 .

a

b

b

a

b a R: Falso (a b )2

2 2

06) Para proteger um terreno circular com raio de 12 m , amarra-se um feroz cachorro num ponto da circunferência que contorna o terreno. A corda que prende o cão também tem 12 m , logo, só uma parte do terreno fica protegida. Determi- ne a área do terreno que está sob proteção do cão.

R: 24.(4 - 3 3 ) m2.

07) Em um triângulo ABC eqüilátero , de lado 12 cm , trace circunferências com centros em A , B e C e raios de 6 cm. Determine a área da região do triângulo limitada pela três circunferências.

R: cm2

08) Determine a área total da superfície da figura (Adote = 3,14)

E 6 m

D

8 m R: 89,13 m2

F C

3 m

A 12 m B

09) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos 4 cantos da folha são corta dos 4 quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento.

a) Calcule a área do retângulo inicial.b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos 4 cantos, seja igual a 1725 cm2.

R: 2.625 cm2 e 15 cm

10) No retângulo ao lado, as regiões I e II representam quadrantes de círculos. Qual a área da parte hachurada? a a

a I II a

R: a4

(4 - )2

a a

11) A figura mostra um quadrado de lado 8 cm. Se AM = 6 cm , calcule x e y . A M D

X Y R: x = 10 cm e y = 2 17 cm

B C

12) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3 .R : quadrado e dodecágono (12)

13) Traçando-se as mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular, forma-se um ângulo de 36o. Quantas diagonais possui este polígono?

R: 35

14) Determinar a base e a altura de um retângulo, sabendo-se que o perímetro vale 288 m e que a base excede de 4 m o triplo da altura.

R: 109 m e 35m

15) Na figura, ABCD é um retângulo. AB = 4 , BC = 1 e DE = EF = FC . Calcule BG. G

D E F C

R: 5/2

A B

16) No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3 , o segmento DM é perpendicular a diagonal AC. Quanto mede o segmento AM?

D C

R: 9/5

M

A B

17) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m , BC = 8 m e AC = 6 m , calcule a medida do lado do losango.

A

D

F R: 4 m

B E C

18) Um retângulo R tem lados medindo x e y com x > y . Retira-se desse retângulo um quadrado de lado y. Seja S o re-

tângulo remanescente. Provar que se os retângulos R e S são semelhantes, então

19) Observe os quadrados da figura e calcule x .

R: 4

9 6 X

20) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3 . Quanto mede o lado do quadrado?

B

D E

R: 3/4

A F C

21) Qual a área da figura hachurada, formada pelo triângulo eqüilátero inscrito no círculo de raio 12?

R: 12.(4 - 33 )

22) Sendo a área de um círculo igual a de um quadrado. Qual a razão entre o raio do círculo e o lado do quadrado.

R:

23) Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC , como mostra a figura. Sendo AC = 16 , calcule AD.

F

C

D

A O B

E

24) O quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. Calcule a soma, em radianos, dos ângulos e .

R: rad.

25) ITA - Se num quadrilátero convexo de área S , o ângulo agudo entre as diagonais mede /6 rad.. Determine o produto das diagonais deste quadrilátero.

R: 4S26) O pentágono ABCDE abaixo está inscrito em um círculo de centro O . O ângulo central CÔD mede 60o. Calcule o valor de x + y .

A

B

X Y

E

R: 210o

60

C D

27) Na figura, o retângulo OACE está inscrito num setor circular de 90o e raio R. OA = 23

R . Qual a medida de AC.

E C

R: 53

R

O A

28) Calcule a área do quadrado sobreado. 7 1

1

7 R: 50 7

1

1 7

29) No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz do ângulo interno em C. Se AD = 3 , DB = 2 e AC = 4 , quanto mede o lado BC .

C

R: 8/3

A D B

30) ABC é eqüilátero. AM = MC = 2 , AP = 3 e PB = 1. Quanto mede o perímetro do triângulo APM.

A

M

P

R: 5 7

B C

31) UFG- O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm . Calcule os lados desse triângulo em cm.R: 5 ; 5 e 8

32) Em um trapézio isósceles, a altura é igual a base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma com a base.R: 45o

FEIXE DE PARALELAS:

“Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais”.

Existem formas equivalentes de escrever o teorema de Tales.Considere o feixe de paralelas a // b // c :

Pelo teorema de Tales temos:

A A’ a

B

B’ b

C C’ c

EXERCÍCIOS DE SALA

01) Considere o feixe de paralelas a // b // c . Calcular a medida dos segmentos x e y.

a b c t

10

6

R: y = 12,5 e x = 7,5

Y

X r

20

02) Considere as retas paralelas r // s e as transversais t e t’. Determine a medida de x.

A 16

r B D

24 20 X R: 100/3

s

C E

t t’

03) Nesta figura, temos :

D

X 4 cm

C

B R: 15 cm 5 cm

E

12 cm

A

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA

01) As retas a, b e c são paralelas. Determine as medidas de a b c

Q

15

9

P

O

R: 6 E 10 respect. A B

X C

2X - 2

02) Calcule , sabendo-se que

D C

27

R: 56 15 B

A 36

E

03) t e t’ são retas transversais ao feixe de paralelas. Determine AB.

t t’ A A’

X 10

R: 5B B’

X - 3 4

C C’

04) Determine AC’ e CC’ , sabendo-se que é paralelo a . A

25 X - 10

50

X R: 10 e 10 B’ C’

B C

05) Nesta figura, temos , determine AB’ e B’C’.

A

3,5 X + 3

B B’ R: 14 e 10 respect. 2,5 X - 1

C C’

06) Nesta figura, temos , sabendo-se que AC = 40 , determine AB e BC.

C

Y

B

X

A R: 18,95 e 21,0518

D

20

E

07) Sendo a // b // c , calcule x e y.

a 6 4

R: 2 e 10/3 respect. X 3

b Y 5

c

08) Na figura temos a // b // c , calcule x + y.

a b c

5

6

2 R: 17/4

3

Y + 3

2X + 1

09) Na figura DE é paralelo a base BC do triângulo ABC. Calcule o perímetro do triângulo ABC.

A

X + 1 3

D E R: 24

2X - 1 4

B 13 / 2 C

10) Calcule o valor da incógnita nas figuras abaixo. As unidades estão em cm.

a) X - 2 6

R: 6 cm

6 X + 3

b)

X - 8 3

R: 12 cm

12 X - 3

c)

5 X

16 + X X + 12 R: 4 cm

d) 2

m + 3

R: 3 cm

m + 1 12

11) Calcule o valor de x , sabendo que // (As unidades estão em cm) B

X - 1 P

2 X + 2 R: 4 cm X

A

Q C

11) Calcule o valor de x , sabendo-se que ( As unidades estão em cm ) A

4 X - 5

M N

X 6 R: 8 cm

B C

GEOMETRIA

PLANA

PROF. A1000CAR

“Estou certo de que as sugestões ou dúvidas de alunos irão enriquecer ainda mais este trabalho, que teve

como principal finalidade ser útil. Agradeço antecipadamente todas as sugestões e

obser- vações que me forem enviadas”.

PROF. AMILCAR TIMACHI GOIÂNIA - GO

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