Funções de mais de uma variável

Derivadas Parciais

Everton Lopes

Derivadas Parciais

• Dada uma função de duas variáveis z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas

funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante.

• g1(x) = f(x,yo)

• g2(y) = f(xo,y)

Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

Derivadas Parciais

Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à variável x é uma função denotada por , tal que,

seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por ,

se esse limite existir

Analogamente, a derivada parcial de f em relação à variável y é definida como

xf

x)y,x(f)y,xx(f

lim)y,x(xf

0x

y)y,x(f)yy,x(f

lim)y,x(yf

0y

Derivadas ParciaisObservemos que, no primeiro caso, para , demos um

acréscimo à variável x, mantendo y constante e no

segundo caso, para , demos um acréscimo à variável y,

mantendo x constante.

Também são usadas as seguintes notações:

xf

yf

)y,x(f)y,x(fD)y,x(xf

x1

)y,x(f)y,x(fD)y,x(yf

y2

Derivadas ParciaisPodemos usar também as seguintes expressões para as

derivadas parciais num ponto (xo,yo):

Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y

Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy

o

ooo

oxxoo xx

)y,x(f)y,x(flim)y,x(

xf

o

ooo

oyyoo yy

)y,x(f)y,x(flim)y,x(

yf

Derivadas Parciais Observemos que teríamos o mesmo resultado se

tivéssemos derivado f, supondo y constante para e derivado f supondo x constante para .• Todas as regras para funções de uma variável se

aplicam nesse caso.• De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas

parciais para funções de mais de duas variáveis• Exercícios no quadro

xf

yf

Derivadas ParciaisInterpretação Geométrica:• Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando

interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). A equação de C1 é dada por :

)y,x(fzyy

:Co

o1

yo

xo

zo

C111

t1

Derivadas Parciais

Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e )x(g)y,x(xz

ooo

é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).

Assim, t1 tem as seguintes equações

)xx)(y,x(xfzz

yy

oooo

o

Derivadas Parciais

Consideremos agora a curva que é o traço da superfície z = f(x,y) sobre o plano x = xo

)y,x(fzxx

:Co

o2

Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e )y(g)y,x(yz

ooo

é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )

Assim, t2 tem as seguintes equações

)yy)(y,x(yfzz

xx

oooo

o

Derivadas ParciaisExemplos:1) Encontre as equações da reta tangente à curva de

intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ).2) Determine as equações da reta tangente à curva que é

intersecção da superfície com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.

22 y2x10z

Derivadas ParciaisInterpretação FísicaUma derivada parcial também pode ser interpretada como

uma taxa de variação. Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em

relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada por

x)y,x(f)y,xx(f

xz

x x+x

y

Derivadas Parciais

)y,x(xz

oo

)y,x(yz

oo

Assim,

no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y constante, isto é, y = yo.Interpretação análoga é dada para

dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y)

Exercícios no quadro

Derivadas Parciais de ordem superior

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em

D R2, tal que e

As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estasderivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem e são em número de 4

xf

yf

existam em D.

xx2

2f

x

fxf

x

( Deriva-se duas vezes em relação a x )

Derivadas Parciais de ordem superior

yy2

2f

y

fyf

y

( Deriva-se duas vezes em relação a y )

xy2

fxyf

xf

y

( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y )

yx2

fyxf

yf

x

( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x )

Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.

Derivadas Parciais de ordem superior

Observações:• Analogamente, define-se as derivadas parciais de2a ordem para funções de mais de duas variáveis• Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a,

n-ésima ordem.Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas1) f(x,y) = x2 + y3; fxx; fyy; fxy; fyx

2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx

3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx

Derivadas Parciais de ordem superior

• Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então fxy = fyx.

Derivadas Parciais de ordem superior

• As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma

função harmônica u(x,y) = yxln 22

Derivadas Parciais de ordem superior

• A equação da onda , sendo a uma

constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada.

2

22

2

2

x

uat

u

u(x,t)

x