Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”
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Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma
Variável”
Técnicas de Integração (Primitivação)OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
F(x)dx f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
EXERCÍCIO 01
Calcular dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du(u)50
C51
1)(xC51udu(u)
5125150
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2xdxdu
EXERCÍCIO 02
Calcular dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u)
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1dxdu
EXERCÍCIO 03
Calcular dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
duu2
C3
(x)senC3uduu
332
cos(x)dxdu
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
EXERCÍCIO 04
Calcular dxx
e x
Solução
Entãox2
1
x
121x
21x
dxd
dxdu
21
21
21
Seja u = x
Logo: = du dxx2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Ce2Ce2due2du2e xuuu
dxx2
12edxx2
21
edxx
e xxx
du2edxx2
12e ux
Ou seja: Ce2dxx
e xx
du2dxx
1dudxx2
1
outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):
EXERCÍCIO 05
Calcular dx1xx2
Solução
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
duu1)2u(u2
ou:
duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
21
23
25
21
21
21
221
2
Portanto:
C1
21u
123u2
125uduu2uu
1211
231
25
21
23
25
Cu32u
54u
72duu2uu 2
325
27
21
23
25
Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C)1(x32)1(x
54)1(x
72dx1xx 2
325
27
2
EXERCÍCIO 06
Calcular dxex x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma . dvuSeja, portanto:
dxex x
xu dxedv x
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu
xxx edxevdxedv
Então:
EXERCÍCIO 07
Calcular dxex x2
Solução
Seja:2xu dxedv x
Assim:
dx2xdu
xxx edxevdxedv Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.
ou:
dxex2exdxex xx2x2 (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x
Seja:
xu dxedv x
Assim:
dxdu
xxx edxevdxedv
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx
ou:
1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
1
xxx2
1xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:
2xA
Determinar dx
3)2)(x(x920x16x4x3x
22
234
EXERCÍCIO 08
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:
222 3)(xEDx
3xCBx
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
22222
234
3)(xEDx
3xCBx
2xA
3)2)(x(x920x16x4x3x
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
2222
222
2222
23422
3)(xEDx3)2)(x(x
3xCBx3)2)(x(x
2xA3)2)(x(x
3)2)(x(x920x16x4x3x3)2)(x(x
que resulta:
E)2)(Dx(xC)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:
E)29A(6CxE)2D3C(6BxD)2C3B(6A
xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2
34234
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:
9E26C9A20E2D3C6B16D2C3B6A
4C2B3BA
A solução deste sistema resulta:
0E4D0C2B1A
Portanto:
22222
234
3)(x4x
3x2x
2x1
3)2)(x(x920x16x4x3x
Logo:
dx3)(x
4xdx3x
2xdx2x
1dx3)2)(x(x
920x16x4x3x22222
234
C2xlnCulnduu1dx
2x1
dxdu1dxdu
2xu
dx3)(x
x4dx3x
2xdx2x
1222
C3xlnCulnduu1dx
3x2x
dx2xdu2xdxdu
3xu
22
2
C3)2(x
12u1
12u
21duu
21dxx3)(x
dxx2
dudx2x du3xu
dx3)(xxdx3)(x
x
2
12222
2
2222
dx3)(x
x4dx3x
2xdx2x
1222
E, finalmente:
C3x
23xln2xlndx3)2)(x(x
920x16x4x3x2
222
234
Sejam as identidades trigonométricas:
2cos2x1xcos
2cos2x1xsen 22
Assim,
dxcos2x21dx
21dx
2cos2x1dxxsen2
2sen2x
21
10x
21 10
Cusen21
duucos21dxcos2x
dx2
du2dxdu
2xu
dxcos2x
C42xsen
2xxsen2
EXERCÍCIOS 09INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C42xsen
2xxcos2
A integraldxxcosxsen 22
pode ser resolvida fazendo:
dxcos2x121cos2x1
21
dx2xcos141 2
dx2
cos2x12
cos2x1dxxcosxsen 22
dx2xcos141 2
dx2xcos41dx1
41 2
84xsen
2x
82usen
4u
42usen
2u
21duucos
21dx2xcos
dx2
du2xu
dx2xcos
22
2
8sen4x
2x
41
4x
C32
sen4x8x
Solução
EXERCÍCIO 10
Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
42xdxdu
dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Logo, seja: dx 2)(x 2
du
Assim,
du sen(u)21
2dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que:
Ccos(u)du sen(u) TABELA
Mas:
dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Então:
C)cos(u)(21dx 6)4xsen(x 2)(x 2
C6)4xcos(x21dx 6)4xsen(x 2)(x 22
Portanto:
Solução
EXERCÍCIO 11
Determinar dx
1xx
x2
Seja u = x2 + x + 1
Então:
12xdxdu
dx 1)(2xdu
Na integral original, fazer:
dx
1xx
112x21dx
1xx
2x21dx
1xx
x222
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Mas:
dx 1xx
121dx
1xx
12x21dx
1xx
112x21
222
1 2
uu
21
u21
121
u21du u
21du
u1
21 2
1211
21
21
C1xxdx 1xx
12x21 2
2
1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
du u
121dx
1xx
12x21
2ver detalhes na página anterior
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:
2 TABELA
Cuaulnduua
1 2222
du au
121dx
23
21x
121dx
1xx
121
22222
onde:
23a dx du
21xu
Portanto:
C21x
43
21xln
21dx
1xx
121 2
2
Então, finalmente:
C21x
43
21xln
211xxdx
1xx
x 22
2
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
EXERCÍCIO 12
Determinar dx
xx13x9x
23
3
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.
13x9x
9 9x9x
xx13xx09x
2
23
2323
23
2
23
3
xx13x9x9
xx13x9x
fração própria
dxxx
13x9x9dxxx
13x9x23
2
23
3
dxxx
13x9xdx 9 23
2
dx)1(xx13x9xdx 9 2
2
)1(xC
xB
xA
)1(xx13x9x
22
2
)1(xC)1(xx
xB)1(xx
xA)1(xx
)1(xx13x9x)1(xx 2
222
2
22
BxB)A(xC)(A13x9x 22
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
1B3BA
9 CA
A = 2 B = – 1 C = 7
dx)1(x
7x1
x2dx 9 2
dx)1(xx13x9xdx 9 2
2
dx)1(x
7dxx1dx
x2dx 9 2
C1xln7x1xln2x9
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
EXERCÍCIO 13
Determinar dx
2xxx123
2)1)(x(xx1
2)x(xx1
2xxx1
223
2)(xC
1)(xB
xA
2)1)(x(xx1
2AxC)2B(AxC)B(A1 2
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:
12A0C2BA
0CBA
Portanto:
61C
31B
21A
2)6(x1
1)3(x1
2x1
2)1)(x(xx1
E, finalmente:
Logo:
dx2x
161dx
1x1
31dx
x1
21dx
2xxx123
C2xln611xln
31xln
21dx
2xxx123