Curso de Cálculo de uma variável

Curso de Calculode Uma Variavel

Terceira Edicao

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Marco Cabral

Curso de Clculo de Uma Varivel

Terceira Edio

1 de Agosto de 2013

Marco Aurlio Palumbo Cabral

PhD em Matemtica pela Indiana University EUA

Professor do Instituto de Matemtica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Matemtica Aplicada

Instituto de Matemtica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro - Brasil

Cpias so autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o stio

www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com o autor em

mapcabral(at)ufrj(dot)br.

ii

Este trabalho est licenciado sob uma Licena Creative Commons Atribui-

o (BY) Uso No-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licena (SA) 3.0

Unported. Para ver uma cpia desta licena, visite

creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/

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California 94105, USA.

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adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem ns comerciais, contanto que atribuam

crdito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licena, ou sob uma licena

similar presente.

Ficha Catalogrca

Cabral, Marco A. P.

Curso de Clculo de Uma Varivel / Marco Cabral - Rio de Janeiro: Instituto de

Matemtica, 2010.

1. Clculo I. Ttulo

CDD: 512.5

516.3

ISBN XX-XXXX-XXX-X

Sobre o AutorMarco Aurlio Palumbo Cabral carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor do

uminense).

Fez o Bacharelado em Informtica na UFRJ, o Mestrado em Matemtica Aplicada na

UFRJ e o Doutorado em Matemtica na Indiana University (Bloomington, EUA).

professor no Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio de Janeiro desde

1996, atuando na graduao e na ps-graduao. Suas reas de interesse so equaes

diferenciais parciais (EDP), Anlise Numrica e Finanas.

iii

iv SOBRE O AUTOR

Agradecimentos

Primeiro aos alunos dos cursos de Clculo, pelas erros detectados e pelas perguntas em

sala de aula que inspiraram vrias ideias para este livro. Aos alunos Jos Guilherme T.

Monteiro (Engenharia de Controle e Automao UFRJ turma 2011) e Joshua Silveira Kritz

(Matemtica Aplicada UFRJ turma 2013) pelas inmeras correes de erros.

Aos professores do IMUFRJ que colaboraram de forma direta e indireta para este projeto.

Aos programadores que criaram os programas que permitiram a produo deste material.

Este produto herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de cdigo

fonte. Agradecemos:

em primeiro lugar, Douglas Knuth pelo TE

X, software que permite que este material

seja to bonito;

Leslie Lamport pelo LATE

X, pacote baseado no T

E

X;

Linus Torvalds pelo kernel do sistema operacional GNU-Linux;

Richard Stallman, responsvel pelo projeto GNU, pelos diversos programasdo sistema operacional GNU-Linux e milhares de pessoas por dezenas de softwares

utilizados: tar (compactao de arquivos), make (gerenciador de programa), aspell

(corretor ortogrco), grep, find, ghostview, xpdf, . . . ;

Mark Shuttleworth criador da distribuio do Linux que uti-lizei para produzir este livro;

Bram Moolenaar pelo (editor de texto);

Till Tantau pelo TikZ e PGF e Supoj Sutanthavibul, Brian Smith, Paul King e outrospelo Xfig, que possibilitaram a gerao de grcos to bonitos;

Raimundo dos Santos Moura pelo vero (Vericador Ortogrco em portugus);

v

vi AGRADECIMENTOS

a e seus milhes de colaboradores, por algumas guras e ideiasutilizadas em vrios exemplos.

PrefacioTodo aspecto deste livro foi inuenciado pelo desejo de apresentar o Clculo no

somente como um preldio, mas como um primeiro encontro real com a Matem-

tica. (. . . ) Alm de desenvolver a intuio do estudante sobre os belos conceitos

de Anlise, certamente igualmente importante persuadi-los que a preciso e o

rigor embora no sejam um m em si mesmo so o meio natural para

formular e pensar sobre questes matemticas. (Prefcio do livro de Clculo do

Spivak [Sp], em traduo livre)

Para o estudante

Este livro tem como foco o aluno e suas diculdades, tratando-os de forma inteligente. No

texto colocamos em destaque, dentro de uma caixa de texto:

(a) dvidas de Pr-Clculo incorporadas diretamente aos conceitos de Clculo, ao invs

de apresentadas em Captulo inicial de reviso, recurso didtico desmotivante para o aluno (e

para o Professor);

(b) Erros Comuns cometidos pelos alunos.

Alm de diversos livros modernos de clculo, recomendamos a consulta e leitura de livros

(mais antigos) clssicos de Clculo:

(a) Courant [Co]: Dierential and Integral Calculus vol. 1(1934);

(b) Spivak [Sp]: Calculus (1967);

(c) Apostol [Ap2]: Calculus Vol. 1 (1967).

Recomendo fortemente que os alunos que tenham seu interesse despertado utilizem

o livro de Clculo do Spivak. interessante tambm folhear sem compromisso o livro do

Courant. Experimente ler o captulo sobre limites do livro do Spivak. Experimente ler sobre

a frmula de Stirling (fatorial) no livro do Courant. Voc corre o risco de car fascinado pelo

Clculo.

(c) Livros de Anlise Real, a teoria que fundamenta a matemtica: Neri e Cabral [NC]

Curso de Anlise Real (disponvel online em www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros).

Para a fundamentao terica do Clculo necessrio estudar anlise, curso que alguns de

vocs podem querer fazer depois do Clculo.

(d) Livros de Divulgao Matemtica:

Courant, R.; Robbins, H.. O que Matemtica? Editora Cincia Moderna, 2000.

Polya, G.; A arte de resolver problemas. Editora Intercincia.

Kasner, E.; Newman, J.; Matemtica e Imaginao. Jorge Zahar.

Davis, Philip J.; Hersh, Reuben; A Experincia Matemtica. Editora Francisco Alves

(1985).

Estas leituras vo abrir um pouco os horizontes. So todos clssicos. Incluem todo tipo

de Matemtica, passando por lgica, nmeros, topologia, teoria da computao, losoa da

vii

viii PREFCIO

matemtica.

parte fundamental do aprendizado de Matemtica resolver exerccios, tantos quanto for

possvel. Deve-se tentar resolver os Exemplos que aparecem ao longo do texto. Ao nal de

cada captulo existem exerccios, todos com soluo e resposta no nal do livro, divididos em

4 grupos:

Exerccios de Fixao: Devem ser feitos imediatamente aps a leitura do texto. So deresposta curta. No saber resposta correta sugere um retorno ao texto. Deve-se fazer

todos antes de seguir adiante.

Problemas: So os principais exerccios do captulo. Todos (ou quase) devem ser feitos. Problemas Extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas e deseje mais prtica. Desaos: Para se aprofundar na disciplina. So opcionais.Sees marcadas por uma estrela ? so opcionais.

Para o Professor

Com a massicao do ensino de Clculo necessrio mudar os paradigmas de avaliao. Para

isto, a escolha do tipo de exerccio importante. comum cobrar em avaliaes exerccios

do tipo Determine o cilindro com maior volume inscrito . . . . Para avaliao em massa

melhor separar em itens independentes a modelagem (determine a funo e o intervalo onde

ela deve ser maximizada) da resoluo (determine o mximo da funo f no intervalo). Maisainda, deve-se cobrar a aplicao dos Teoremas corretos que garantem a existncia do mximo

(Teorema do Valor Extremo) em intervalos fechados e limitados e mtodos para determinar

mximo em intervalo aberto ou ilimitado.

O mesmo vale para clculo de reas e volumes. Deve-se pedir a integral (ou soma de

integrais) que determinam a rea ou volume. A integrao em si deve ser um exerccio

parte.

No esboo de grcos de funes racionais melhor fornecer a derivada e a derivada

segunda. Embora seja fcil calcular, fcil errar um sinal ou outro, prejudicando toda a

questo. Deve-se cobrar derivar em questo parte.

Alm disso, deve-se colocar mais nfase na formao de conceitos e entendimento dos

Teoremas. Isto passa por exerccios de natureza conceitual: Verdadeiro ou Falso, d exemplo

ou contraexemplo, etc.

Por que um novo livro?

A escolha da licena do tipo copyleft (o contrrio do copyright) parte funda-mental deste projeto. A licena Creative Commons Atribuio (BY)

Uso No-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licena permite que ou-

tros possam copiar ou redistribuir esta obra sem ns comerciais, adaptar e criar obras

derivadas sobre esta obra sem ns comerciais, contanto que atribuam crdito ao autor

e distribuam a obra resultante sob a mesma licena, ou sob uma licena similar pre-

sente. Desta forma este livro poder ser aperfeioado daqui por diante, ao invs de todo

esforo envolvido se perder caso o livro pare de ser editado. Para detalhes consulte:

ix

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/. Isto incentiva tam-

bm a colaborao com o projeto, pois o esforo investido ser revertido para toda

humanidade. Mande sugestes, erros e solicite o fonte (latex) para o autor Marco

Cabral em mapcabral (at) ufrj (dot) br.

Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fcil (internet) e grtis; O material de pr-clculo est disseminado ao longo do texto, dentro dos captulos delimite, derivada e integral. A soluo usual de incluir um captulo inicial somente com

pr-clculo pouco motivante, o que faz com que frequentemente seja ignorado pelos

alunos e professores. nosso desejo tambm que o aluno comece a aprender clculo

desde o primeiro dia de aula.

Os exerccios so por captulo, evitando exerccios desintegrados. Exerccios por Seotendem a cobrir pouco material e treinar o aluno numa nica tcnica.

fundamental que o livro seja pequeno para que alunos leiam o texto e que a quantidadede exerccios seja razovel, para no desencorajar os alunos. A tentao grande de

colocar muitos tpicos. Por esta razo os livros de Clculo chegam a ter 500 ou mais

pginas. Mas hoje em dia desnecessrio colocar detalhes de tpicos pois podemos

remeter os alunos para a internet. Levantamos diversos tpicos em observaes ao

longo do texto e nos Desaos de nal de captulo.

Criar um pacote completo, com livro texto, exerccios (com respostas) e transparnciaspara um curso de Clculo.

Como foi escolhido o material?

Determinamos os tpicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Alm

disso o componente esttico foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Mate-

mtica. Algumas escolhas importantes foram feitas:

material de pr-clculo est disseminado pelos diversos captulos do livro, ao invs decolocado no primeiro captulo. Por exemplo, optamos por colocar os tpicos:

modelagem: na Seo de max/min;

composio e inversa de funes: na Seo de regra da derivada da cadeia e da

inversa;

equao da reta: no incio do Captulo de Derivada;

anlise de sinal de funes (desigualdades): no Captulo de Limites, na seo de

limites no innito;

translao de grco, funo denida por partes: no Captulo de Limites;

log/exp: na parte de Limites e de novo na de derivada da composta e funo

inversa.

O limite fundamental trigonomtrico (sen(x)/x quando x 0) apresentado no naldo Captulo de Limites como uma das aplicaes do Teorema do sanduche (ou con-

fronto). um resultado bonito que merece o devido destaque, ao invs da opo usual

de apresent-lo como mero passo de clculo da derivada do seno.

x PREFCIO

Denimos o nmero e (base do logaritmo natural) atravs do limite (1 + h)1/h quandoh 0 no nal do Captulo de Limite. Conectamos com aplicaes da exponencial:juros compostos contnuos, crescimento populacional, decaimento radioativo. um

resultado bonito que merece o devido destaque, ao invs da opo usual de apresent-lo

como mero passo de clculo da derivada do logaritmo ou da exponencial. Outra opo,

ainda menos feliz, adiar isto, juntamente com a denio do logaritmo, para depois

do Captulo de Integral. Isto no impede que se faa a denio do log com integral

depois.

Esboo de grco de funo aparece logo no incio, no Captulo de Limites (com focoem funes racionais). Vai reaparecer depois no Captulo de Aplicaes da Derivada.

O clculo de volume de slidos feito com somente uma tcnica: Cavalieri. A tcnicapara slidos de revoluo uma mera aplicao de Cavalieri.

Provamos (ou indicamos a prova) de todos os Teoremas interessantes, com padro derigor varivel, acessvel aos estudantes.

Apresentamos atravs de Lemas e Teoremas, com demonstrao, as tcnicas de in-tegrao, no somente por substituio e por partes como tambm para substituio

trigonomtrica e fraes parciais. Creio que o Teorema de integrao trigonomtrica

no tenha aparecido anteriormente em livro algum de Clculo.

Sobre a Segunda Edio

Na segunda edio (outubro de 2011) acrescentamos no Captulo de Integral sees de integra-

o e substituio trigonomtrica e da teoria da decomposio por fraes parciais. Tratamos

de Integrao Trigonomtrica atravs de um Teorema, ao invs do modo usual, atravs de

truques. Reescrevemos a Seo de Integrao de Funes Racionais. Acrescentamos muitos

exerccios de Desao. Alm disso corrigimos os erros detectados no texto.

Sobre a Terceira Edio

Na terceira edio (agosto de 2013) foram retirados pequenos erros, gerado pdf com links,

melhorado o sistema de numerao dos exerccios e includo ndice remissivo. Foi reescrita a

Seo Funes Transcendentes e Raiz. Colocamos a Seo de Derivao Implcita no Captulo

de Derivada. Foi includo exerccios de integrao por cascas cilndricas.

Sumario

Sobre o Autor iii

Agradecimentos v

Prefcio vii

Sumrio xiv

1 Limite 1

1.1 Softwares Gratuitos e o Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Limites e Innito: Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Indeterminaes do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Esboo de Grcos (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7 Exerccios de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Continuidade 45

2.1 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Teorema do Valor Intermedirio (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 ?Funes Transcendentes e Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.1 Funo Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.2 Funes Exponencial e Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.3 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.4 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.5 Outras Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 ?Introduo Anlise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.1 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.2 O que R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.3 Racionais, Irracionais, Algbricos, Transcendentes . . . . . . . . . . . 58

2.4.4 Denio de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.5 Denio de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5 Exerccios de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


2.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

xi

xii SUMRIO

2.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Derivada 65

3.1 Denio de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Derivada de Funes Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Propriedades Bsicas da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 Derivada da Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Derivada da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 ?Derivao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7 Teorema do Valor Mdio (TVM): Crescimento e Decrescimento . . . . . . . 81

3.8 Exerccios de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


3.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.8.4 ?Problemas (Derivao Implcita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.8.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Aplicaes da Derivada 93

4.1 L'Hospital e Hierarquia dos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 ?Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Aproximando Funo Localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Mximo e Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.1 Mximo e Mnimo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.2 Mximo e Mnimo Global e o TVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 Esboo de Grcos (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.7 Exerccios de Aplicaes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


4.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.7.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 Integral 133

5.1 Denio e Propriedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1.1 Denio (informal) de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1.2 Propriedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2 Teorema Fundamental do Clculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3 Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4 ?Denio (com rigor) de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.5 Tcnicas Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.1 Integrao por Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.5.2 Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.6 Tcnicas Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6.1 Integrao Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6.2 ?Substituio Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.7 ?Tcnica para Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.1 Integrao de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

SUMRIO xiii

5.7.2 Teoria da Decomposio por Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . 158

5.8 Exerccios de Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160


5.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.8.4 ?Problemas (Integrao e Substituio Trigonomtrica) . . . . . . . . . 1655.8.5 ?Problemas (Integrao de Funes Racionais) . . . . . . . . . . . . . 1665.8.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6 Aplicaes da Integral 171

6.1 rea no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2 Volume de Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.3 Valor Mdio de Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4 ?Comprimento de Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5 ?rea de Superfcie de Slido de Revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.6 ?Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.7 ?Srie de Fourier e MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.8 Exerccios de Aplicaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188


6.8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.8.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.8.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 1926.8.5 ?Problemas (rea de Superfcie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 1926.8.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A Respostas dos Exerccios 195

A.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A.1.1 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

A.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.1.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


A.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

A.2.4 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205


A.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

A.3.4 ?Problemas (Derivao Implcita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.3.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A.4 Aplicaes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212


A.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

A.4.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225A.4.5 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

A.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

xiv SUMRIO


A.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

A.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

A.5.4 ?Problemas (Integrao e Substituio Trigonomtrica) . . . . . . . . . 234A.5.5 ?Problemas (Integrao de Funes Racionais) . . . . . . . . . . . . . 235A.5.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

A.6 Aplicaes da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237


A.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

A.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

A.6.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano) . . . . . . . . . . . . . 242A.6.5 ?Problemas (rea de Superfcie de Slido de Revoluo) . . . . . . . . 242A.6.6 Desaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Bibliograa 245

ndice Remissivo 246

Captulo 1LimiteO conceito de limite certamente o mais importante e provavelmente o mais

difcil de todo o Clculo. (. . . ) O que denimos neste Captulo no a palavra

limite, e sim a noo de uma funo se aproximando de um limite. [Sp, p.72]

Objetivos: Apresentar o conceito de limite e diversos tipos de funes: exponencial,

logaritmo, raiz e translaes destas; funes denidas por partes; funes mais complicadas

como IQ (funo indicadora dos racionais) e sen(1/x).

Apresentar o material de pr-clculo integrado com limites por ser mais motivador e

funcional com prtica de sala de aula. Introduzir assntotas (verticais e horizontais) e ensinar

a esboar grcos de funes racionais logo no primeiro captulo.

Destacar, apresentando como um lema, a tcnica de mudana de variveis do limite, que

uma prvia da mudana de variveis na integral. Apresentar limite fundamental do seno e

da exponencial (o limite que dene o nmero e).

1.1 Softwares Gratuitos e o Clculo

interessante utilizar softwares para aprender Clculo. Apresentamos alguns softwares gra-

tuitos que podem ser utilizadas no Windows e no Linux (Ubuntu, Debian, etc.):

fooplot um site com software que permite visualizar grcos.

KmPlot: Software de visualizao de grcos de funes nativo do Linux.

Winplot: Software de visualizao de grcos de funes nativo do Windows mas queroda com emulao do Wine no Linux. Pode-se visualizar grcos 2D e 3D dados por

funo, parametrizao explicita e implcita. Pode-se fazer animaes.

WxMaxima: Software de computao algbrica. Calcula, de forma exata, limites, deriva-das e integrais (entre outras centenas de coisas). Um exemplo o limite fundamental:

limit(sin(x)/x, x, 0);. Calcula tambm limites laterais: limit(exp(1/x), x,

0,minus); (esquerda) limit(exp(1/x), x, 0,plus); (direita).

Utilize estes softwares para visualizar funes que apresentamos nos exemplos.

1

2 CAPTULO 1. LIMITE

1.2 Denio de Limite

Dada uma funo real f estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f(x)quando x se aproxima de um ponto c sem, entretanto, assumir este valor. A denio delimite formaliza isto. O resto do captulo ser dedicado a entendermos a denio de limite.

Denio 1.1 (limite) Seja f uma funo real denida perto de c R (mas no necessa-riamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c igual a L R,denotado por lim

xcf(x) = L, se f(x) ca to prximo de L quanto quisermos para todo x

sucientemente prximo de c mas x 6= c. Escreve-se tambm que f(x) L quando x c.

Na denio de limite nos aproximamos de c pelos dois lados. Podemos denir o limitelateral, esquerda e direita, restringindo o lado em que camos prximos de c.

Denio 1.2 (limite lateral pela direita (esquerda)) Considere uma funo real f de-nida perto de c R (mas no necessariamente denida em c). Dizemos que o limite def(x) quando x tende a c pela direita (esquerda) igual a L, denotado por lim

xc+f(x) = L

( limxc

f(x) = L), se f(x) ca to prximo de L R quanto quisermos para todo x sucien-temente prximo de c R mas x > c (x < c).

Das denies acima segue o seguinte lema.

Lema 1.3 (limites e limites laterais) Existe limxc

f(x) se, e somente se, existem os limites

laterais e limxc+

f(x) = limxc

f(x).

'

&

$

%

Observao 1.1 Valor da funo no ponto no importa para o clculo do limite. Desta

forma o limxc

f(x) no necessariamente igual a f(c). Pode ocorrer ainda:

(a) do limite no existir; (b) da funo no estar denida em c.Muitas vezes f(x) se aproxima de f(c) com x prximo de c. Neste caso, quando lim

xcf(x) =

f(c) (o limite existe e igual ao valor da funo no ponto), dizemos que a funo f contnua em c (veja Denio 2.1 da p.45). So contnuas as funes que aprendemosno ensino mdio f(x) = x2 3x 4, senx, tanx, arcsenx, 10x, log10 x . . .Em Anlise utilizamos o termo vizinhana de c ao invs de prximo de c.

Denio 1.4 (vizinhana) Dado um c R, uma vizinhana de c um intervalo abertoV = (a, b) contendo c, isto , tal que c V .

Observao 1.2 (vizinhana e limite) Com a denio de vizinhana pode-se ver

limxc

f(x) = L signica: Dada vizinhana V qualquer de L, existe vizinhana W de c

tal que se x W , mas x 6= c, ento f(x) V .

Observao 1.3 (denio rigorosa) Apresentamos a denio informal (no-

rigorosa, intuitiva) de limite. Veja Denio 2.16 da p.59 para denio rigorosa.

Exemplo 1.1 Esboce o grco e determine (caso exista):

(a) limx2

x

x; (b) lim

x0x

x; (c) lim

x3x2

x; (d) lim

x0x2

x; (e) lim

x2x

x2; (f) lim

x0x

x2.

1.2. DEFINIO DE LIMITE 3

Soluo: Para (a) e (b) f(x) = x/x uma funo que vale 1 em todos os pontos a no serem zero, pois f no est denida em 0 (f(0) = 0/0!), mas isto no afeta o valor do limite(veja o grco). Assim, os dois limites valem 1. Na verdade o limite 1 para qualquer valorque x tenda.

x

y

y = 1

2

Para (c) e (d), de forma similar ao anterior, f(x) = x2/x = x para todo x 6= 0. Emx = 0 a funo f no est denida. Assim o grco (veja gura) uma reta com um furona origem. Assim, (c) 3 e (d) 0.

x

y

y = x

3

3

Para (e) e (f), f(x) = x/x2 = 1/x para x 6= 0. Novamente, f(0) no est denida(veja o grco). Assim (e) 1/(1/2) = 1/2. Para (f) o limite no existe pois assumevalores muito grandes e positivos, se tendermos pela direita, e muito grande e negativos, se

tendermos pela esquerda.

x

y

y = 1/x

21/2

'

&

$

%

Observao 1.4 Quando empregar f ou f(x)? Tem diferena?A funo f , f(x) o valor da funo calculada em x. Mais exatamente, f funo, f(x) um nmero. Frequentemente abusamos a linguagem e dizemos a funo f(x) = x2+3xquando o correto seria a funo f denida por f(x) = x2 + 3x.Na linguagem C este erro no seria perdoado pelo compilador: confundir f (ponteiro para

funo) com f(x) (valor retornado pela funo) ( ^ ).

4 CAPTULO 1. LIMITE

Pr-Clculo: Recorde o signicado e como esboar o grco de uma funo denida

por partes como por exemplo f(x) =

{2; x > 1;

3; x 1.

Exemplo 1.2 Para cada item abaixo, esboce o grco de f(x) e determine (caso existam)limxc+

f(x), limxc

f(x) e limxc

f(x).

(a) c = 0, c = 1, c = 0.9999, c = 1.0001 de f(x) =

{2; x < 1;

3; x 1.

(b) c = 2, c = 0 de f(x) =

{xx

; x 6= 0;2; x = 0.

(c) c = 0.0001, c = 0.0001, c = 0, f(x) ={1; x 6= 0;3; x = 0.

(d) c = 0.99, c = 1.01, c = 1 de f(x) =

{x; x 1;4 x; x > 1.Soluo: (a) A funo vale 2 at x = 1 e depois vale 3 (veja grco abaixo). Assimquando x 0, que longe de 1, tanto pela esquerda quando direita, f(x) 2. Agora,limx1

f(x) = 2, limx1+

f(x) = 3 e portanto limx1

f(x) no existe pois f(x) difere quando

nos aproximamos pela esquerda ou direita do 1. Como 0.9999 < 1, a funo prxima (bemprxima mesmo!) de 0.9999 constante igual a 2 pois estamos a esquerda do 1. Assim

limx0.9999+

f(x) = limx0.9999

f(x) = limx0.9999

f(x) = 2. De forma anloga, limx1.001+

f(x) =

limx1.001

f(x) = limx1.001

f(x) = 3.

x

y

y = 2

y = 3

1

(b) Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 2)para efeito do calculo do limite (veja grco abaixo). Assim o limite (incluindo os laterais)

quando x 2 ou x 0 sempre 1.

x

y

y = 1

y = 2

(c) Note que f(x) = 1 para todo x 6= 0. No x = 0 no interessa o valor (que f(0) = 3) para efeito do calculo do limite (veja grco abaixo). Assim o limite (incluindo oslaterais) quando x 0.0001 ou x 0.0001 ou x 0 sempre 1.


x

y

y = 1

3

(d) Como 0.99 < 1, f(x) para x prximo (bem prximo mesmo!) de 0.99 vale x (vejagrco abaixo). Assim lim

x0.99+f(x) = lim

x0.99f(x) = lim

x0.99f(x) = 0.99. Analogamente,

como 1.01 > 1, f(x) para x prximo (bem prximo mesmo!) de 1.01 vale 4 x. Assim,lim

x1.01+f(x) = lim

x1.01f(x) = lim

x1.01f(x) = 4 1.01 = 2.99.

x

y

1 4

y = xy = 4 x

1

3

#

"

!

Observao 1.5 A diviso 0/0 gera limites interessantes. De forma geral deve-se eliminarrazes em comum do numerador e denominador. O limite pode ser qualquer coisa. Compare,

por exemplo o valor de cada um destes limites entre si: limx0

x

x, limx0

x2

x, limx0

x

x2. Pode-se

eliminar razes comuns no caso de quociente de polinmios ou ento racionalizar.

Pr-Clculo: Manipular expresses algbricas, fatorar razes, dividir polinmios e Teo-

rema D'Alembert

1

: se c raiz de um polinmio ento x c fator do polinmio (vejaTeorema 5.20 da p.158). Ao invs do algoritmo de Briot

2

-Runi

3

, utilize a diviso de

polinmios por ser algoritmo fcil de se recordar, similar ao de diviso de inteiros.

Exemplo 1.3 Determine os limites:

(a) limx2

x2 3x+ 2x2 4 ; (b) limx1

x3 + 1

x+ 1; (c) lim

y3

1y 1

3

y 3 ; (d) limh0(x+ h)3 x3

h;

(e) limt1

t2 t3 + t 1t2 2t+ 1 ; (f) limx1 f(x) se f(x) =

x6 1x+ 1

; x 6= 1;4; x = 1.Soluo:

(a) Como 2 raiz do numerador e denominador, pode-se dividir por (x 2) ambos,obtendo-se

(x 2)(x 1)(x 2)(x+ 2) . Eliminando o fator comum, obtemos limx2

x 1x+ 2

=2 12 + 2

= 1/4.

(b) Dividindo-se x3 + 1 por x + 1 obtemos x2 x + 1. Logo, para x 6= 1, x3 + 1

x+ 1=

x2 x+ 1. Logo o limite vale (1)2 (1) + 1 = 3.1

Jean Le Rond d'Alembert: ?1717 Paris, Frana 1783 Paris, Frana.2

Charles Auguste Briot: ?1817 Doubs, Frana 1882 Bourg-d'Ault, Frana.3

Paolo Runi: ?1765 Valentano, Itlia 1822 Modena, Itlia.

6 CAPTULO 1. LIMITE

(c) Primeiro expandimos o numerador obtendo 1/y 1/3 = 3 y3y. Portanto,

1y 1

3

y 3 =3 y

3y1y3 . Simplicando o fator y 3 do numerador e denominador obtemos

13y. Quando

y 3 obtemos 1/9.(d) Expandindo (x + h)3 e subtraindo x3 obtemos 3hx2 + 3h2x + h3. Dividindo por h(para h 6= 0) obtemos 3x2 + 3hx+ h2. Quando h 0, obtemos 3x2.(e) Dividindo-se ambos por t 1 obtemos (t 1)(1 t

2)

(1 t)2 =(t 1)(1 t)(1 + t)

(1 t)2 =(1)(1 + t) para t 6= 1. Logo o limite (1)(1 + 1) = 2.(f) O valor da funo em x = 1 irrelevante para efeito do clculo do limite. Como

x = 1 anula o numerador e o denominador, x(1) = x+1 fator comum pelo Teorema deD'Alembert. Seguindo como em (b), dividindo x61 por x+1 obtemos x5x4+x3x2+x1.Quando x 1 obtemos (1)5 (1)4 + (1)3 (1)2 + (1) 1 = 6.Pr-Clculo:

9 6= 3! Sempre, x 0, portanto, 9 = 3 e 9 = 3. Com isso,

x2 6= x, pois falso para x < 0. Na verdade, x2 = |x|. Mas (x)2 = x se x > 0 (sex < 0 a raiz quadrada no est denida).

Pr-Clculo: O que mdulo de x?

(a) algebricamente, |x| ={x; x 0;x; x < 0.(b) geometricamente, a distncia entre x e 0. De forma geral, |x c| = |c x| adistncia entre x e c. Pode ser escrito como |x c| = (x c)2. Isto generalizadopela distncia entre dois pontos (x1, y1), (x2, y2) R2 por

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 quedenotamos (veja livro de geometria analtica) por (x1, y1) (x2, y2).(c) gracamente, obtm-se o grco de y = |f(x)| reetindo no eixo x os pontos do grcode y = f(x) abaixo do eixo x (pontos onde f(x) < 0).

Exemplo 1.4 Esboce o grco e determine (caso exista):

(a) limx0

x

|x| ; (b) limx0+x

|x| ; (c) limx0 |x29|; (d) lim

x3|x29|; (e) lim

x3|x2 9|x+ 3;

(f) limxpi+

sen(x)

| sen(x)| ; (g) limx2pi+sen(x)

| sen(x)| ; (h) limx0 f(x) se f(x) ={|x2 1|; x > 0x+ 1; x 0.Soluo: (a) e (b): como x/|x| vale 1 para x > 0 e 1 para x < 0 (veja grco abaixo),(a) 1 e (b) 1.

x

y

y = 1

y = 1

f(x) =x

|x|(c) e (d): Obtemos o grco de |x29| (veja gura abaixo) reetindo no eixo x o grcoda parbola x2 9 (indicada por linha pontilhada). Para calcular o limite, observe que em


torno dos pontos x = 0 e x = 3 basta substituir o valor da funo: (c) |029| = |9| = 9.(d) |(3)2 9| = |9 9| = 0.

x

yf(x) = |x2 9|

3 3

(e) Primeiro esboamos o grco da parbola x2 9.

x

yf(x) = x2 9

3 3

Assim para x 6 (3, 3), |x2 9| = x2 9 (pois a funo positiva) e para x (3, 3),|x2 9| = (x2 9) = 9 x2 (pois a funo negativa). Portanto para x 6 (3, 3),|x2 9|x+ 3

=x2 9x+ 3

=(x+ 3)(x 3)

x+ 3= x 3 e para x (3, 3), |x

2 9|x+ 3

=9 x2x+ 3

=

(3 + x)(3 x)x+ 3

= 3 x. Portanto o grco de |x2 9|x+ 3:

x

y

f(x) =|x2 9|x+ 3

3 3

y = x 3

y = 3 x

Note o salto que ocorre no grco em x = 3. Neste ponto a funo no est denidapois aparece uma diviso por zero. Gracamente claro que os limites laterais neste ponto

so distintos. Como para x prximo de 3 mas x < 3 a funo vale x 3, o limite quandox 3 vale (3) 3 = 6. Como para x prximo de 3 mas x > 3 a funo vale3 x, o limite quando x 3+ vale 3 (3) = 6. Como os limites laterais so distintos,o limite no existe.

(f) e (g): a funo alterna entre 1, se sen(x) > 0, e 1, se sen(x) < 0 conforme indicadono grco abaixo. Nos pontos onde sen(x) = 0 ela no est denida. Assim (f) 1, (g) 1.

8 CAPTULO 1. LIMITE

x

y

f(x) =sen(x)

| sen(x)|

pi pi 2pi 3pi

y = 1

y = 1

(h) Obtemos o grco (vide gura) reetindo no eixo x o grco de x2 1 para x > 0 ecom a reta 1 x para x < 0. O limite quando x 0+ |02 1| = 1 e quando x 0 0 + 1 = 1. Como os limites laterais existem e so iguais, o limite 1.

x

y

Pr-Clculo: Racionalize expresses multiplicando o numerador e o denominador pelo

conjugado: o conjugado de

a b a + b. Veja no Exemplo 1.37 da p.35 como fazerracionalizao trigonomtrica.

Exemplo 1.5 Determine os limites: (a) limh0

h+ 1 1

h; (b) lim

x9x 9x 3 .Soluo: (a) Para h perto de 0, h + 1 > 0. Logo (

h+ 1)2 = h + 1. Multiplicando onumerador e denominador por

h+ 1 + 1 obtemos que

h+ 1 1

h=

(h+ 1 1)(h+ 1 + 1)

h(h+ 1 + 1)

=(h+ 1)2 12

h(h+ 1 + 1)

=

=h+ 1 1

h(h+ 1 + 1)

=h

h(h+ 1 + 1)

=1

h+ 1 + 1.

Quando h 0 obtemos 1/2.(b) Para x prximo de 9, x > 0 e portanto (

x)2 = x. De modo anlogo, multiplicamospor

x+ 3 e obtemos

(x 9)(x+ 3)(x 3)(x+ 3) =

(x 9)(x+ 3)(x)2 32 =

(x 9)(x+ 3)x 9 =

x+ 3.

Quando x 9 obtemos 9 + 3 = 3 + 3 = 6.Pr-Clculo: O grco de y =

r2 x2 somente meio crculo de raio r (porque?). Ogrco de r2 x2 outra metade. O grco parte do crculo pois y2 = r2 x2, eportanto x2 + y2 = r2.

Exemplo 1.6 Esboce o grco de f(x) =

9 x2; |x| 3,x; x > 3,

0; x < 3.e determine (caso existam)

limxc+

f(x), limxc

f(x) e limxc

f(x) para: (a) c = 3; (b) c = 3.


Soluo: O grco da funo :

x

y

3 3

3

(a) limx3

f(x) =

9 32 = 0 e limx3+

f(x) = 3. Como os limites laterais so distintos, o

limx3

f(x) no existe. (b) limx3

f(x) = 0 e limx3+

f(x) =

9 (3)2 = 0. Como os limiteslaterais so iguais, o lim

x3f(x) = 0.

Pr-Clculo: Grco da funo inversa: como esboar y =x e y = log x?Reetindo em torno da reta y = x os grcos de y = x2 e y = ex.

Observao 1.6 log(x) em clculo sempre na base e = 2.718 . . . (natural, veja Ob-servao 1.20 da p.38). Assim, log(x) = ln(x) = loge(x) 6= log10(x). Quando quisermoso log na base dez (uma nica vez no texto) escrevemos log10.

Exemplo 1.7 Esboce o grco e determine limx0

f(x) e limx1

f(x) para

f(x) =

ex; x 0;x; 0 < x < 1;

log(x); x 1.Soluo: Juntando os trs grcos em cada parte indicada, obtemos o grco da funo

denida por partes abaixo.

x

y

1

1 log(x)

ex

x

Como limx0

f(x) = e0 = 1 e limx0+

f(x) =

0 = 0, o limx0

f(x) no existe. Como

limx1

f(x) =

1 = 1 e limx1+

f(x) = log(1) = 0, limx1

f(x) no existe.

Pr-Clculo: Fazer translao de grcos de funes: tanto vertical quanto horizontal.

Por exemplo, obtemos o grco de y = f(x + 3) 7 transladando o grco de y = f(x)em 3 unidades para esquerda (no direita!) e 7 unidades para baixo.

10 CAPTULO 1. LIMITE

Exemplo 1.8 Esboce o grco e determine:

(a) limx0

f(x) para f(x) =

{x+ 1; x > 0;

sen(x) + 1; x 0.

(b) limx1

f(x) e limx1

f(x) para f(x) =

x2 2; x < 1;x+ 1; 1 x 1;

log(x 1); 1 < x.Soluo: (a) Aplicando translaes apropriadas obtemos o grco da gura abaixo. Como

limx0

f(x) = sen(0) + 1 = 1 igual ao limx0+

f(x) =

0 + 1 = 1, limx0

f(x) = 1.

x

y

y = 1

y = 2

(b) Aplicando translaes apropriadas obtemos o grco da gura abaixo. Como

limx1

f(x) =

1 + 1 =

2 e limx1+

f(x) = log(11) = log(0) = , limx1

f(x) no existe.

Como limx1

f(x) = (1)2 2 = 1 e limx1+

f(x) =1 + 1 = 0, lim

x1f(x) no existe.

x

y

1 1 2

Apresentamos funes (estranhas) interessantes para o teoria do clculo e anlise.

Exemplo 1.9 Considere f(x) = sen(

1x

).

(a) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 0.(b) Determine todos os valores de x tais que f(x) = 1 e f(x) = 1.(c) Usando isto, esboce o grco da funo f .

(d) Calcule limx0

sen

(1

x

).

Soluo: (a) para que sen(y) = 0 basta que y = kpi. Assim y = 1x

= kpi. Logo, se x = 1kpi

para k Z ento f(x) = 0.(b) Analogamente, f(x) = 1 se x = 1

2kpi+pi/2e f(x) = 1 se x = 1

2kpipi/2 .(c) partindo destes pontos obtemos o grco abaixo.


x

y

f(x) = sen( 1x)

1pi

12pi

1pi

12pi

y = 1

y = 1

(d) o limite no existe pois f(x) oscila entre 1 e 1 quando x 0.

Exemplo 1.10 A funo indicadora de Q denida por IQ(x) =

{1, x Q,0, x 6 Q.Ela indica (por 0 ou 1) se x Q ou no e conhecida tambm como funo caracterstica.Calcule o lim

xpiIQ(x).

Soluo: O grco desta funo formada por duas retas pontilhadas: uma em y = 0,nos irracionais e outra no y = 1, acima dos racionais (vide gura abaixo). Como existemracionais to prximos de pi quanto se queira (como por exemplo 3.14, 3.141, 3.1415 . . . ), olimite no existe. De fato o limite no existe em ponto algum.

x

y

y = 1

y = 0f(x) = IQ(x)

Exemplo 1.11 A funo parte inteira (ou menor inteiro ou oor) de x, denotada por bxc denida como sendo o nico inteiro n tal que n x < n+ 1. Exemplos: b1, 5c = 1, b1c = 1e b1, 5c = 2. Esboce o grco de f(x) = bxc e determine:(a) lim

x1+bxc; (b) lim

x1bxc; (c) lim

x1bxc; (d) lim

x0+bxc; (e) lim

x0bxc;

Soluo: Veja grco na gura abaixo. (a) 1; (b) 0; (c) como laterais so distintos, limiteno existe. (d) 0; (e) 1.

x

y

f(x) = bxc

3 2 1 1 2 3

1

2

3

Seguem as propriedades dos limites com relao a soma, produto, multiplicao e diviso.

A demonstrao remetida para o Desao 2.10 da p.63 e [NC].


Lema 1.5 Considere f(x) = k (uma funo constante) e g(x) = x (a funo identidade).Ento dado c R qualquer,

limxc

f(x) = k e limxc

g(x) = c.

Teorema 1.6 (propriedades bsicas do limite) Considere f e g duas funes e c, k R.Se os limites lim

xcf(x) e lim

xcg(x) existem, ento tambm existem os limites:

(a) limxc

(f(x) + g(x)) = limxc

f(x) + limxc

g(x) (limite da soma igual soma dos limites);

(b) limxc

(f(x) g(x)) = limxc

f(x) limxc

g(x) (limite da diferena igual diferena dos

limites);

(c) limxc

(f(x) g(x)) = limxc

f(x) limxc

g(x) (limite do produto igual ao produto dos

limites);

(d) limxc

f(x)

g(x)=

limxc

f(x)

limxc

g(x)(limite do quociente igual ao quociente dos limites) se

limxc

g(x) 6= 0 .

importante o aluno entender a demonstrao do Corolrio abaixo para apreciar como

poucas propriedades podem gerar novas proposies.

Corolrio 1.7 (limites de polinmios) Se p(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn para n N(ou seja, p um polinmio de grau n) ento lim

xcp(x) = p(c) .

Prova: Aplicando n+ 1 vezes o Teorema 1.6 (a) (limite da soma) obtemos que limxc

p(x) =

limxc

a0 + limxc

a1x + + limxc

anxn. Pelo Lema 1.5, lim

xca0 = a0 (limite de constante). Pelo

Teorema 1.6 (limite do produto), limxc

a1x = limxc

a1 limxc

x. Aplicando o Lema 1.5, limxc

a1 limxc

x = a1c. Agora podemos fazer algo similar em cada termo. Para o termo x3, por exemplo,

basta aplicar seguidamente o Teorema 1.6 (c) (limite do produto): limxc

x3 = limxc

x limxc

x limxc

x = c c c = c3. Complete o argumento.

Exemplo 1.12 Aplique o Teorema 1.6 para determinar limx2

6x2 + 3x

x+ 1.

Soluo: Deixamos para o leitor aplicar com cuidado cada uma das propriedades. Basta

fazer um mutatis mutandis

4

na prova do Corolrio 1.7.

Denio 1.8 (funo racional) Dizemos que f uma funo racional se for o quoci-

ente entre dois polinmios, isto , se f(x) =p(x)

q(x), onde p e q so polinmios.

4

latim para modique o que tem que ser modicado


Conclumos que podemos calcular o limite de uma funo racional qualquer contanto que

o denominador no se anule. Caso o denominador se anule precisamos de mtodos especiais

para os casos onde, por exemplo, obtemos 3/0 ou 0/0.

No prximo exemplo apresentamos (gracamente) possibilidades de comportamento de um

funo quando x se aproxima de um ponto.

Exemplo 1.13 Determine, em cada um dos itens abaixo, caso exista: os limites lateraisquando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare com o valor da funo emx = 1.

x

y

1

2

3

(a)

x

y

1

1

2

(b)

x

y

x = 1

y = 1

(c)

x

y

11

2

(d)

Soluo: (a) limite quando x 1 2, limite quando x 1+ 3, limite quando x 1no existe (laterais so distintos), f(1) = 2.(b) limite quando x 1 1 , limite quando x 1+ 1, limite quando x 1 1(limites laterais so iguais), f(1) = 2.(c) limite quando x 1 no existe (funo oscila), limite quando x 1+ 1, limitequando x 1 no existe (um dos limites laterais no existe), f(1) = 1.(d) limite quando x 1 1, limite quando x 1+ 2, limite quando x 1 noexiste (limites laterais so distintos), f(1) = 2.Pelo teorema abaixo podemos trocar o limite com a composio caso os limites existam.

Teorema 1.9 (limite e composio) Se limyL

f(y) = f(L) (dizemos que f contnua em

L) e limxc

g(x) = L, ento limxc

f(g(x)) = f(

limxc

g(x))

= f(L).


Prova: Veja prova em [NC].

Denio 1.10 (funo algbrica e transcendente) Dizemos que f uma funo al-gbrica se pode ser expressa como soma, diferena, produto, quociente ou raiz de funes

polinomiais. Caso contrrio dita transcendente.

Exemplo 1.14 So funes algbricas:

4x2 + 1 x6 + 11 +x+ x3,

1 x2

(3 x)3 .

So funes transcendentes: sen

(x+ 1

x 1), e3x+4, log(x2 + 1).

Teorema 1.11 (limites de funo raiz e algumas transcendentes) Se f(x) igual anx, sen(x), cos(x), tan(x), log(x), ex, arcsen(x), arccos(x), ou arctan(x), ento paratodo c R onde f(c) existe, lim

xcf(x) = f(c).

Prova: Leia a Seo 2.3, p.52.

Exemplo 1.15 Aplique os teoremas acima para determinar:

(a) limx1

log

(x2 1

2(x 1)); (b) lim

x0sen(pix

2x

); (c) lim

x14

4x+ 1(x+ x2).

Soluo: (a) Como limx1

(x2 1

2(x 1))

= 1, o limite vale log(1) = 0.

(b) Como limx0

(pix2x

)=pi

2, o limite vale sen(pi/2) = 1. (c) 2 4

5.'

&

$

%

Observao 1.7 Combinando os Teoremas 1.6 (propriedades bsicas do limite), 1.9 (li-

mite e composio) e 1.11 (funo raiz e transcendente) conclumos que sabemos calcular

o limite de funes bem complicadas (se denominador no se anula). Por exemplo:

limxpi

x3esen(x2pi2)log x

cos(2x+ pi)=pi3esen(0)log pi

cos(3pi)= pi2.

1.3 Limites e Innito: Assntotas Verticais e Horizon-

tais

Nesta seo estendemos a denio de limite para x prximo de, isto , x grande e positivoe para x prximo de , isto , x grande (em mdulo) e negativo. Alm disso, denimosquando o valor do limite ou para x prximo de c (Veja na Observao 1.16 da p.28como enxergar o innito).

Denio 1.12 (limite igual a ()) Considere uma funo real f denida perto dec R (mas no necessariamente denida em c). Dizemos que o limite de f(x) quando xtende a c (), denotado por lim

xcf(x) = (), se f(x) ca to grande e positivo(negativo) quanto quisermos para todo x sucientemente prximo de c R mas x 6= c.

1.3. LIMITES E INFINITO: ASSNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 15

#

"

!

Observao 1.8 Deixamos para o leitor denir os limites laterais limxc+

f(x) = ,limxc

f(x) = , limxc+

f(x) = , limxc

f(x) = de forma anloga ao que j foifeito no incio deste captulo. Basta fazer um mutatis mutandis

5

. Veja denio rigorosa

no Exemplo 2.14 da p.59.

Observao 1.9 (innito: ou +?) Alguns livros usam + ao invs de .Denio 1.13 (assntota vertical) Se, quando x c+ ou x c, f(x) ou ,dizemos que a reta x = c uma assntota vertical do grco de f .

Exemplo 1.16 Esboce o grco, determine os limites e as assntotas verticais:

(a) limx0

1

x3; (b) lim

x0 1x2; (c) lim

x01

x4; (d) lim

x0+ 1x3;

(e) limx3 1

(x 3)3 ; (f) limx21

(x 2)2 ; (g) limx11

(x 1)9 ;

Soluo: Os grcos de (a), (b), (c) e (d) so:

x

y

y =1

x3

(a)

x

y

y = 1x2

(b)

x

y

y =1

x4

(c)

x

y

y = 1x3

(d)

Nesses quatro itens a assntota vertical x = 0. Observando-os obtemos os limiteslaterais: (a) ; (b) ; (c) ; (d) .Com translao podemos obter os grcos de (e), (f) e (g):

x

y

y = 1(x 3)3

(e)

x = 3

x

y

y = 1(x 2)2

(f)

x = 2

x

y

y =1

(x 1)9

(g)

x = 1

(e) o limite no existe pois pela direita vale e pela esquerda (mesmo sinal que1/x perto do 0). Assntota vertical x = 3.(f) o limite (mesmo sinal que 1/x2 perto do 0). Assntota vertical x = 2.(g) o limite no existe pois pela direita vale e pela esquerda (mesmo sinal que

1/x perto do 0). Assntota vertical x = 1.

5

latim para modique o que tem que ser modicado


Pr-Clculo: Fazer a anlise de sinal do numerador e denominador o chamado quadro

de sinais para determinar o comportamento do grco perto da assntota.

Exemplo 1.17 Determine para quais x R verdade que f(x) = 16 x2

(x+ 1)(3 x) 0.

Soluo: Faremos a anlise de sinal de cada um dos elementos: 16 x2, x + 1, 3 x ecombinamos tudo numa tabela do sinal de f(x). Os pontos de troca de sinal so: 4,1, 3.Agora cuidado com a interpretao do zero. Os pontos onde f(x) = 0 so os pontos onde onumerador se anula 4. Nos pontos onde o denominador se anula (1 e 3), f(x) .

4 1 3 416 x2 + + + x+ 1 + + +3 x + + +

0 0f(x) + + +Assim Portanto f(x) 0 para x 4, x (1, 3), x 4.

Observao 1.10 Poderamos no exemplo anterior (e em todos os exemplos) decompor

o termo quadrtico 16 x2 em dois termos lineares 4 x e 4 + x, o que aumentaria otamanho da tabela. Na prtica, se o termo quadrtico simples, da forma a bx2 oubx2 a, analisamos o sinal diretamente.

Exemplo 1.18 Faa quadro de sinais e esboce grco de p(x) = (x 2)(25 x2)(x2 x).Soluo: (a) Faremos a anlise de sinal de cada um dos elementos: x 2, 25 x2, x2 xe combinamos numa tabela do sinal de p(x). Faremos a anlise dos termos quadrticosdiretamente. Note que um (25 x2) possui concavidade para baixo e outro (x2 x) possuiconcavidade para cima. Os pontos de troca de sinal so: 5, 0, 1, 2.

5 0 1 2 5x 2 + +

25 x2 + + + + x2 x + + + + +

0 0 0 0 0p(x) + + + Assim obtemos o grco abaixo. Esta funo, um polinmio de grau 5, possui 5 razes.

x

y

p(x)


Pr-Clculo: Como determinar sinal de um polinmio ax2 + bx+ c com razescomplexas (no-reais)?

O grco da parbola estar inteiramente acima do eixo x ou abaixo do eixo x, pois senoteramos razes reais. Assim basta olharmos para o sinal de a: se a > 0, ax2 + bx+ c > 0para todo x, se a < 0, ax2 + bx+ c < 0 para todo x.Exemplos:

(a) x23x+3. = (3)24 1 3 = 3 < 0. Logo razes complexas. Como a = 1 > 0,x2 3x+ 3 > 0 para todo x R.(b) x2 + 4x 5. = 42 4 (1) (5) = 4 < 0. Logo razes complexas. Comoa = 1 < 0, x2 + 4x 5 < 0 para todo x R.

Exemplo 1.19 Faa anlise de sinal e determine os limites:

(a) limx3

2x2

9 x2 ; (b) limx29 x2

(x 2)(x2 5x+ 6) ; (c) limx1x3 x 1(1 x)3 .

Soluo: (a) Faremos o quadro de sinais. Os pontos onde numerador ou denominador se

anulam: 3, 0. A funo f(x) = 0 onde o numerador se anula (0). Nos pontos onde odenominador se anula (3), f(x) .

3 0 32x2 + + + +

9 x2 + + 0

f(x) + + Assim a funo tem sinal negativo quando x 3 e sinal positivo quando x 3+.Logo quando x 3 o limite e quando x 3+ o limite . Portanto o limitequando x 3 no existe.(b) Faremos o quadro de sinais. Como x2 5x + 6 = (x 2)(x 3), o denomina-dor (x 2)2(x 3). Os pontos onde numerador ou denominador se anulam: 3, 2. Nox = 3 o numerador e o denominador se anulam. Neste ponto, caso queira pode calcular

o limx3

9 x2(x 2)(x2 5x+ 6) = 6. Assim a indeterminao 0/0 = 6 neste caso. A fun-o f(x) = 0 onde o somente o numerador se anula (3). Nos pontos onde somente odenominador se anula (2,3), f(x) .

3 2 39 x2 + + x 3 +

(x 2)2 + + + +0 6

f(x) + Logo o limite quando x 2 .Outra Soluo: Perto de 2 o numerador positivo (9 22 = 5). Como x2 5x+ 6 =

(x2)(x3), devemos analisar o sinal do denominador que (x2)2(x3). O primeiro termo sempre positivo e o segundo, perto de 2 negativo (2 3 = 1). Assim o denominador negativo. Logo o limite quando x 2 .(c) Neste caso no temos como analisar o sinal do numerador em detalhes pois um

polinmio do terceiro grau que no conhecemos as razes (na realidade possui duas razes

complexas). Podemos, no entanto calcular o limite analisando o sinal prximo do 1. Perto de


1 o numerador sempre negativo (1311 = 1). O denominador (1x)3 possui o mesmosinal que (1 x). Assim, o denominador tem sinal positivo quando x 1 e sinal negativoquando x 1+. Logo, combinando sinais do numerador (sempre negativo) e denominador,quando x 1 o limite e quando x 1+ o limite . Portanto o limite quandox 1 no existe.Erro Comum: Nos limites do exemplo anterior, tentar calcular o limite sem fazer quadro

de anlise de sinais caminho quase certo para cometer um erro.

Em resumo, se f(x) =p(x)

q(x) uma funo racional (Denio 1.8 da p.12) e se no limite o

denominador q(x) se anula sem que o numerador p(x) se anule ou seja, quando x ca funo f(x) k

0com k 6= 0 existem quatro possibilidades para o comportamentoda funo perto de c conforme representado nas guras abaixo. Precisamos fazer quadrode anlise de sinais para determinar qual delas ocorre.

x

x = c

(I)

x

x = c

(II)

x

x = c

(III)

x

x = c

(IV)

Erro Comum: No prestar ateno nestas 4 possibilidades e concluir de forma errada

que o limite pois o denominador se anula. Um exemplo deste erro o aluno dizer queo limx2

1 + x

x 2 pois o denominador se anula em x = 2.

Exemplo 1.20 Determine o comportamento da funo perto de c e calcule o limite quando

x c para: (a) y = 3 x4 + x, c = 4; (b) y = x

2 9x2 4x+ 4 , c = 2.Soluo: Deixo para o leitor fazer o quadro de sinais de cada exemplo.

(a) perto de x = 4, o numerador positivo prximo de 3 (4) = 3 + 4 = 7. Odenominador negativo para x < 4 e positivo para x > 4. Assim temos que perto dox = 4 a funo negativa para x < 4 e positiva para x > 4. O limite no existe poisos limites laterais diferem. O comportamento :

x

x = 4


(b) perto de x = 2 o numerador negativo prximo de 22 9 = 5. O denominador igual a (x 2)2, que sempre no-negativo. Assim temos que perto do x = 2 a funo negativa O limite quando x 2 O comportamento :

x

x = 2

Se a funo no racional temos que analisar com cuidado os sinais.

Exemplo 1.21 Esboce o grco perto do ponto do limite e calcule:

(a) limxpi

1

sen(x); (b) lim

x0e1/x; (c) lim

x0log(|x|); (d) lim

x0+| log(x)|.

Soluo: (a) Se x pi+, o seno negativo prximo do pi e portanto o limite . Sex pi a situao oposta e o limite . Como os limites laterais diferem, o limite quandox pi no existe.

x

x = pi

(b) Se x 0+, 1/x . Portanto, e1/x e = . Se x 0, 1/x .Portanto, e1/x e = 1/e = 1/ = 0. Como os limites laterais diferem, o limitequando x 0 no existe.

x

x = 0

(c) Se x 0, |x| 0. Como log(0) = , o limite .x

x = 0

(d) Pelo item anterior log(x) . Aplicando o mdulo conclumos que o limite .No podemos calcular o limite quando x 0 pois log no est denida para x < 0!


x

x = 0

Denio 1.14 (limite quando x tende a ()) Considere uma funo real f de-nida para todo x grande e positivo (negativo). Dizemos que o limite de f(x) quando x tendea () igual a L, denotado por lim

xf(x) = L ( lim

xf(x) = L), se f(x) ca to

prximo de L R quanto quisermos para todo x grande e positivo (negativo) o suciente.

Observao 1.11 Este limite , por natureza, um limite lateral: somente podemos chegar

a pela esquerda e a pela direita. Logo no temos limites laterais no innito.

Observao 1.12 Deixamos s para o leitor denir (mutatis mutandis), os limites:

limx

f(x) =, limx

f(x) = , limx

f(x) =, limx

f(x) = . Veja deni-o rigorosa no Exemplo 2.14 da p.59.

Denio 1.15 (assntota horizontal) Se, quando x ou x , f(x) L R,dizemos que a reta y = L uma assntota horizontal do grco de f .

Exemplo 1.22 Esboce o grco e determine os limites e a assntota horizontal de:

(a) limx 1x6

+ 1 (b) limx

1x5 1 (c) lim

x2x+ 1

x(d) lim

x2 + sen

1

x

Soluo: (a) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. O limite 1. Obtemos o grcocom a translao vertical de 1/x6.

x

y

(a) y = 1x6

+ 1

y = 1

(b) o limite 1 e a assntota horizontal y = 1. Obtemos o grco com a translaovertical de 1/x5.


x

y

(b) y = 1x5 1

y = 1

(c) como (2x + 1)/x = 2 + 1/x, quando x a funo vai para 2 pois o segundotermo vai para 0. A assntota horizontal y = 2. O grco a translao vertical de duasunidades de 1/x.

x

y

(c) y =2x+ 1

x

y = 2

(d) 2 pois 1x 0 e portanto sen 1

x sen 0 = 0. A assntota horizontal y = 2. Ogrco a translao vertical de sen(1/x).

x

y

y = 2

(d) y = 2 + sen(1/x)

Exemplo 1.23 Determine, caso exista, os limites quando x e x e a assntotahorizontal:

x

y

(a)

x

y

(b)


x

y

y = 1

(c)

x

y

(d)

Soluo: (a) Nenhum dos dois limites existe pois a funo oscila de valor tanto para x grandee positivo como para grande e negativo. No existe assntota horizontal.

(b) limite quando x , limite quando x . Nos dois casos ela seaproxima oscilando (cada vez menos). Embora no tenha assntota horizontal, possui o que

chamamos de assntota oblqua (veja Desao 1.5 da p.43).

(c) limite quando x 1 (oscilando cada vez menos), limite quando x no existe pois funo oscila com amplitude cada vez maior. A reta y = 1 uma assntotahorizontal.

(d) limite quando x , limite quando x . Nos dois casos elase aproxima assintoticamente (sem oscilar). Embora no tenha assntota horizontal, possui

o que chamamos de assntota oblqua (veja Desao 1.5 da p.43). Possui uma assntota

vertical.

Observao 1.13 Note por um dos exemplos apresentados (qual?) que o grco de uma

funo pode cruzar a assntota horizontal uma innidade de vezes. Isto no ocorre para a

assntota vertical (porque?)

Exemplo 1.24 Determine, caso exista: os limites quando x e x ; oslimites laterais quando x 1+ e x 1; o limite quando x 1. Compare com o valorda funo em x = 1.

x

y

x = 1

1

2

(a)

x

y

x = 1

2

(b)

Soluo: (a) limite quando x , limite quando x 0, limite quando x 1 2, limite quando x 1+ , limite quando x 1 no existe (laterais so distintos),f(1) = 1.


(b) limite quando x 0, limite quando x no existe pois o valor da funooscila, limite quando x 1 , limite quando x 1+ , limite quando x 1 (laterais so iguais), f(1) = 2.

Para calcular o limite quando x ou de uma funo f(x) = p(x)q(x), comparamos

o crescimento do numerador com o do denominador. Quem crescer mais rpido ganha. Se

o denominador ganhar o limite ser zero. Se o numerador ganhar, ser ou . Sehouver empate, depender de cada caso.

Uma tcnica determinar a maior potncia do numerador e do denominador para x grande

e positivo (ou negativo). Assim teremos que f(x) =p(x)

q(x) x

p

xq. Dependendo se p > q

ou p = q ou p < q determinamos o limite. Para se aplicar esta tcnica com rigor deve-secolocar em evidncia termo de maior grau do numerador e do denominador.

Exemplo 1.25 Calcule: (a) limx

3x2 + 1

1 2x2 ; (b) limxx5 + x3 + 10

x8 x+ 1 ;

(c) limx

x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 ; (d) limx

x7 + x2 + 10

x4 x5 + 1 ; (e) limxx x2.

Soluo: (a) Colocando em evidncia os termos de maior grau,

3x2 + 1

1 2x2 =x2

x2 3 + 1/x

2

1/x2 2 =

1 3 + 1/x2

1/x2 2 =3 + 0

0 2 = 3

2.

(b) Colocando em evidncia os termos de maior grau,

x5 + x3 + 10

x8 x+ 1 =x5

x8 1+1/x2+10/x5

11/x7+1/x8 =

1x3 1+1/x2+10/x5

11/x7+1/x8 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto

dos limites:

1

x3 0 e 1 + 1/x

2 + 10/x5

1 1/x7 + 1/x8 1 + 0 + 0

1 0 + 0 = 1. Logo o limite vale 0 1 = 0.

(c) Colocando em evidncia os termos de maior grau,

x3 5x7 + 10x6 x5 + 1 =

x7

x6 1/x45+10/x711/x+1/x6 =

x 1/x45+10/x711/x+1/x6 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x e 1/x45+10/x711/x+1/x6 05+010+0 = 51 = 5. Logo o limite vale 5 = .(d) Colocando em evidncia os termos de maior grau,

x7+x2+10x4x5+1 =

x7

x5 1+1/x5+10/x7

1/x1+1/x5 =

x2 1+1/x5+10/x71/x1+1/x5 . Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto

dos limites: x2 e 1+1/x5+10/x71/x1+1/x5 1+0+001+0 = 11 = 1. Logo o limite vale(1) = .(e) Trata-se de uma indeterminao do tipo . Coloque em evidncia x: x x2 =

x(1 x). Calculando os limites separadamente utilizando a propriedade do produto doslimites: x e (1 x) obtemos que o limite vale () = . no umaindeterminao.

Erro Comum: Confundir tcnicas de x com x a. Assim o aluno calcula (deforma errada) o limite lim

x1x2 1x 1 = limx1

x 1/x1 1/x , obtendo 1 (j que erradamente o alunopensa que 1/x vai para zero).

Nos exemplos abaixo em que aparecem razes, a tcnica similar, tomando o devido

cuidado com o sinal pois, como j chamamos ateno,

x2 = |x| 6= x.


Exemplo 1.26 Calcule os limites:

(a) limx

16x+ 3

x+ 1; (b) lim

x

x2 + 3

5x 7 ; (c) limxx6 3x2 + 2x 33x3 x2 + x 1 .

Soluo: (a) O termo de maior grau do numerador

16x e do denominador x. Colocando-

os em evidncia obtemos:

16x+3x+1

=

16x

1+3/(16x)

x(1+1/x). Separando em dois limites temos que

calcular limx

16x

x= 4 lim

x1x

= 0 e limx

1 + 3/(16x)

1 + 1/x=

1 + 0

1 + 0= 1. Assim o limite

0. Pode-se ver de forma sucinta o mesmo resultado tomando os termos de maior grau,16x+ 3 16x e x+ 1 x (vlidos para x grande!). Assim,

16x+3x+1

16xx

= 4x

x=

4x. Se x ento isto tende a 0.(b) Colocando-os em evidncia

x2 = |x| e 5x e prosseguindo como no caso anteriorbasta calcular o limite lim

x|x|5x. Como x negativo, |x|

5x= x

5x= 1

5, o valor do limite.

(c) Colocando-os em evidncia

x6 = |x|3 e 3x3 e prosseguindo como no caso anteriorbasta calcular o limite lim

x|x|33x3. Como x negativo, |x|

3

3x3= x

3

3x3= 1

3, o valor do limite.

Nos prximos exemplos precisamos racionalizar antes.


x2 + 3x+ 1 x; (b) lim

x

x+xx.

Soluo: (a) Racionalizando com

x2 + 3x+ 1 + x obtemos

(x2 + 3x+ 1)2 x2x2 + 3x+ 1 + x

=x2 + 3x+ 1 x2x2 + 3x+ 1 + x

=3x+ 1

x2 + 3x+ 1 + x.

Agora podemos calcular o limx

3x+ 1x2 + 1 + x. Coloque x em evidncia no numerador e de-

nominador e obtenha

x(3 + 1/x)

x(

1 + 1/x2 + 1). O x entrou na raiz como x2. Cancelando o x

obtemos

3 + 1/x1 + 1/x2 + 1. Se x obtemos 3 + 0

1 + 0 + 1=

3

2.

(b) Racionalizando com

x+x+x obtemos

(x+x)2 (x)2

x+x+x

=x+x x

x+x+x

=

x

x+x+x.

Dividindo-se o numerador e denominador por

x (ou, o que d na mesma, colocando-se

x em evidncia) obtemos

11 +x/x+ 1

=1

1 + 1/x+ 1. Se x obtemos

11 + 0 + 1

=1

2.'

&

$

%

Observao 1.14 Quase sempre o limite no e no o mesmo. Isto verdadepara funes racionais quando o limite nito. Quando o limite innito podemos ter por

exemplo limx

x2

x+ 1= 6= lim

xx2

x+ 1= . Outro exemplo onde o limite distinto limx

ex = 6= limx

ex = 0.


Erro Comum: Escrever que limx

9x2 + 3

5x 7 = 3/5. Note que

9x2+35x7

9x2

5x= 3 |x|

5x.

Se x > 0,

9x2 = 3|x| = 3x e se x < 0, 9x2 = 3|x| = 3x.Assim, lim

x

9x2 + 3

5x 7 =3

5e limx

9x2 + 3

5x 7 = 3

5.

Nos exemplos abaixo (e alguns que j apareceram) no existe tcnica geral pois envolvem

funo transcendente (Denio 1.10 da p.14) como por exemplo: senx, cosx, ex, log x.

Exemplo 1.28 Calcule os limites, esboce o grco e determine todas as assntotas (verticais

e horizontais).

(a) limx

ex + 1; (b) limxpi/2

2

cos(x); (c) lim

x0e1/x

2

;

(d) limx1

1

log(x); (e) lim

x0+1

log(x).

Soluo: (a) ex e = e = 1/e = 1/ = 0. Logo, ex+ 1 1. Para o esboo,quando x aumenta o valor da funo diminui. Faa translao vertical. A nica assntota y = 1, assntota horizontal.

x

y

y = 1

(a) y = ex + 1

(b) Como cos(x) > 0 para x prximo de pi/2 mas menor que isto, o limite .Para o esboo comece com o grco do cosseno (pontilhado na gura abaixo). Quando o

valor, em mdulo, da cos, o valor de 2/ cos diminui em mdulo. Nos pontos onde cos(x) = 0,isto , nos pontos x = 2kpipi/2 para k Z, 1/ cos(x) . Assim as assintotas verticaisso nestes pontos.

x

y

x = pi2

x = pi2 x =

3pi2

x = 3pi2

x = 5pi2

x = 5pi2

y = cos(x)

(b) y =2

cos(x)

(c) quando x 0, 1/x2 . Assim, e1/x2 e = 1/e = 1/ = 0.


Para o esboo, a funo sempre positiva. Perto do zero se aproxima de zero e longe se

aproxima e0 = 1.

x

y

y = 1

(c) y = e1/x2

(d) Como log(1) = 0 e log(x) > 0 para x > 1, limx1+

f(x) = . Como log(x) < 0 parax < 1, lim

x1f(x) = . Como os limites laterais so distintos, o limite no existe.(e) Como log(x) , 1/ log(x) 0.Para o esboo de 1/ log, comece com o esboo de log (pontilhado na gura abaixo).Quando log zero, 1/ log . O que ocorre prximo do 0 que o grco cola no eixoy, embora neste grco isto no que claro. Convido o leitor a utilizar um programa (vejaSeo 1.1) que plote grcos para investigar este ponto.

x

y

x = 1

y = log(x)

(d), (e) y =1

log(x)


log(|x|); (b) limx

sen(x);

(c) limx

1

sen(x); (d) lim

x(log(3x) log(x 5)).

Soluo: (a) |x| e portanto, log(|x|) . (b) Este limite no existe pois o senooscila entre 1 e 1. (c) Este limite no existe pois como o seno oscila, 1/ sen(x) vai oscilar de1 at e de 1 at . (d) Temos um caso de indeterminao . Por propriedadedo logaritmo, (log(3x) log(x 5)) = log

(3x

x 5). Como lim

x3x

x 5 = 3, a resposta log(3).


IQ(x). (b) limxbxc.

1.4. INDETERMINAES DO LIMITE 27

Soluo: (a) Veja o grco na p.11. Limite no existe pois funo oscila entre 0 e 1.(b) Veja denio e grco da funo bxc no Exemplo 1.11 da p.11. Limite poisquando x a funo se aproxima de passando somente pelos inteiros.

1.4 Indeterminaes do Limite

As propriedades bsicas do limite (da soma, do produto, etc.) que apresentamos anterior-

mente no podem ser aplicadas quando o denominador se anula ou quando surge ou .Algumas extenses destes resultados so possveis. Alguns exemplos:

Se limxc

f(x) = limxc

g(x) =, ento limxc

(f(x) + g(x)) = limxc

(f(x) g(x)) =. Se lim

xcf(x) = e lim

xcg(x) nito, ento lim

xc(f(x) + g(x)) =.Estes teoremas podem ser apresentados atravs do seguinte quadro.

So limites determinados:

Para soma/subtrao, qualquer k R (incluindo k = 0),+ = k + =, = k = .Para produto/diviso:

= () =, () = = .Para qualquer k R (incluindo k = 0), k =

k

= 0.Se k > 0: k =

k=, k () =

k= .Se k < 0: k () =

k=, k =

k= .Para exponenciao, para k R:Se |k| < 1: |k| = 0, |k| = 1|k| =

1

0+=.

Se |k| > 1: |k| =, |k| = 1|k| =1

= 0.

=, = 1 = 0, (0+) = 0, (0+) =

1

(0+)=

1

0+=.

Indeterminaes do limite: O perigo que no nmero! Assim temos as seguintesindeterminaes:

, (), +, + () ,

0

0,

k

0,

0, 0 (), 1, 00, ()0.

'

&

$

%

Observao 1.15 A indeterminao 1, que estudaremos no limite fundamental da ex-ponencial no Teorema 1.19 da p.37, surge no modelo de juros contnuos compostos. Este

caso a fronteira do comportamento de a. Se 0 < a < 1 ento a = 0 (multipliqueum nmero positivo menor que 1 por ele mesmo uma innidade de vezes). Se a > 1 entoa =. Mais exemplos de indeterminaes no Desao 4.1 da p.130.

Exemplo 1.31 Calcule os limites abaixo (que ilustram casos de indeterminao indicados

entre colchetes):

(a) limx0

1

x2 1x4

[]; (b) limx0

1

x4 1x2

[];

(c) limx

x2 + 1

3x2 + 5[

]; (d) lim

x06x2

2x

[0

0

]; (e) lim

x06x

2x

[0

0

];


(f) limx0

x 1x4

[0 ]; (g) limx0

x 1x

[0 ].

Soluo: (a) Colocando o mesmo denominador vemos que

1

x2 1x4

=x2 1x4. Para x

prximo de zero o numerador negativo (1) e o denominador sempre positivo. Portantoo limite quando x 0 . (b) Fazendo anlise similar, o numerador ser 1 x2.Portanto o sinal ser positivo e o limite ser. (c) Divida numerador e denominador por x2:x2 + 1

3x2 + 5 =1 + 1/x2

3 + 5/x2 1 + 0

3 + 0 = 1/3. (d)6x2

2x=

6x

2 0. (e) 6x

2x=

6

2 3.

(f) Como x 1x4

=1

x3, o limite quando x 0 no existe pois dependendo do lado que sechega em zero: pela direita , pela esquerda . (g) x 1

x= 1 1.

Exemplo 1.32 Se f(x) = x2(3 + senx) e g(x) = 1/x2, determine o tipo de indeterminaoe calcule lim

xf(x)g(x).

Soluo: Como 3 + senx 2, f(x) 2x2. Como 2x2 quando x, f(x).Por outro lado, g(x) 0. Trata-se de indeterminao 0. Como f(x)g(x) = (3 + senx),o limite do produto no existe (pois oscila entre 2 e 4).

Limites que no sabemos calcular no momento: Hierarquia do innito.

Quem cresce mais rpido: x2, log x, 2x, xx, xn (n N)? Determinamos isto calculando olimite quando x do quociente entre duas funes. Com isto estabelecemos a hierarquiado innito: entre os innitos, quem mais innito. Sabemos fazer isto com

x, xn, masno com estas funes. No sabemos calcular agora mas vamos em breve (Seo 4.1 da

p.93) saberemos com a tcnica de L'Hospital limx

ex

xn, lim

xlog(x)

xn.

Exemplo 1.33 Determine quem cresce mais rpido entre: x, 3x,x, x3.

Soluo: Como

3xx

=x1/3

x1/2=

1

x1/6, limx

3xx

=1

= 0. Logox mais rpido que

3x. De forma anloga obtemos que, para x grande, 3

x = x1/3 0. Determine os limites:(a) lim

x0(1+ax)b/x; (b) lim

x

(cx2 + a

cx2 + b

); (c) lim

x

(cx2 + ax bx

);

(d) limx

(cx2 + ax

cx2 + bx

); (e) lim

x

(cx2 + ax

cx2 + bx

).

Prob 1.8:Considere os polinmios p(x) = axm + x2 3x+ 1, q(x) = bxm + 2x5 4,r(x) = cx2m + 3x7 + 2 com m > 10, a, b 6= 0 e c > 0. Determine os limites:(a) lim

xp(x)

r(x)(b) lim

xq(x)

p(x)(c) lim

xr(x)

x2p(x)

(d) limx

xmp(x)

r(x)(e) lim

x

r(x)

p(x)(f) lim

x

r(x)

xq(x)

Prob 1.9:Determine os limites laterais quando x 0 para:(a) h(x) =

1

1 + e1/x; (b) h(x) =

1

x 1|x| .Prob 1.10: Sabendo que o quadro de sinais de f(x) dado pela tabela abaixo e quelimx

f(x) = 4 e limx

f(x) = , esboce o grco de f(x) e determine todas as assn-totas verticais e horizontais.

3 2 3 40 0

f(x) + +Prob 1.11:Esboce o grco de cada uma das funes abaixo seguindo o roteiro abaixo.

(i) Faa um estudo do sinal da funo (onde ela zero, positiva e negativa).


(ii) Determine assntotas horizontais e verticais.

(iii) Baseado em (i) e (ii) esboce o grco.

(a) y =x2 1x 1 ; (b) y =

1

x2 1 ; (c) y =x

x2 + 1

(d) y =x2 1x(x 2) ; (e) y =

3x2 34 x2 ;

Prob 1.12:Considere h(x) =

{x; x Qx; x 6 Q. Esboce o grco e determine (se existir):

(a) limxpi

h(x); (b) limx1

h(x); (c) limx0+

h(x)

x2; (d) lim

xh(x)

x2; (e) lim

x0h(x)

x.

Prob 1.13: (a) Suponha que h satisfaz

x

x3 + x h(x) x

x2 + 1. Determine lim

xh(x).

(b) Suponha que f(x) satisfaz |f(x) 3| 2|x 5|4. Calcule limx5

f(x).

Prob 1.14:Calcule os limites abaixo (quando eles existirem) justicando seus passos (sem

utilizar a regra de L'Hospital): Limites trigonomtricos e exponenciais.

(a) limx0

(tan(3x))2 + sen(11x2)

x sen(5x); (b) lim

x3x2sen

(1

x2

); (c) lim

x0cosx cos3 x

3x2;

(d) limh0+

sen(h) tan(2

h)

5h; (e) lim

x1sen

(7x+ 1

sen(pix/2) 1)

(ex1 1);

(f) limh0+

(1 5h3)2/h3 ; (g) limxpi

senx

x pi ; (h) limx0senx

|x| .

1.7.3 Extras

Ext 1.1:Partindo de grco de funes simples (x2,1/x,1/x2,x, sen(x), |x|), utili-zando translaes verticais e/ou horizontais e/ou reexes, esboce o grco de:

(a) y = | sen(x)| 1; (b) y = ||x| 1|; (c) y = |x+ 2| 1.Ext 1.2:Faa um esboo de um grco de uma funo f tal que, simultaneamente:lim

xf(x) = 4, lim

xf(x) = , lim

x1f(x) = , f(1) = 1, lim

x1+f(x) = 2.

Ext 1.3:Determine limx0

sengr(x)

x, onde sengr a funo seno do ngulo x medido em graus.

Note que para a funo seno utilizada em clculo, o ngulo medido em radianos.

Ext 1.4:Esboce o grco de: (a) y = x+ |x|; (b) x bxc.Ext 1.5:Determine os limites:

(a) limx1|x| 1|x 1| ; (b) limx1

x3 + 1

(x 1)2 ; (c) limx2x2 + 2x

x3 x ; (d) limx1x3 x

x2 3x+ 2 ;

(e) limxpi

cos

(1

x pi)

(x pi); (f) limx2

x2 + 3x 1x2 + 2x 1 ; (g) limx1

x3 1x2 1 .

Ext 1.6:Determine: (a) limx

(x4 + x x2

); (b) lim

x2x+ |x|x+ 1;

(c) limx

2x+ |x|x+ 1; (d) lim

xx+ 1

x+ |x|+ 1 .

Ext 1.7:Dado a R, determine: (a) limx

(x+ ax); (b) lim

x

(x2 + a x

).

Ext 1.8:Esboce o grco de: (a) f(x) =

{1; x Q;2; x 6 Q. (b) g(x) =

{x; x Q;x2; x 6 Q.

1.7. EXERCCIOS DE LIMITE 43

1.7.4 Desaos

Des 1.1:Considere as curvas no plano Cn = {(x, y) R2; |x|n + |y|n = 1} eC = {(x, y) R2; lim

n(|x|n + |y|n) = 1}. Esboce: (a) C2. (b) C1. (c) C.Des 1.2:A funo parte inteira de x, denotada por bxc denida no Exemplo 1.11 da p.11.(a) Calcule, se existir: lim

xx

1

x

. (b) Calcule, se existir: lim

xx

1

x

.

(c) Esboce o grco de f(x) = x

1

x

. (d) Calcule, se existir: lim

x0x

1

x

.

Des 1.3:Considere f(x) = A sen(mx) + B cos(mx). Prove que existem C (potncia dosinal) e (fase do sinal) tais que f(x) = C sen(mx+ ).

Des 1.4:Determine: (a) limx

(ex + x)1/x. (b) limx

(1 + x)/ log x, com 6= 0.Des 1.5: Como calcular assntotas oblquas e generalizaes?

Dividindo os polinmios e separando em quociente e resto.

Assim,

x2 + 3x+ 2

x 1 = q(x) +6

x 1 . Para x grande,x2 3x+ 2

x 1 q(x), sua assntotaoblqua. Plote uns grcos para ver como se parecem. O mesmo ocorre quando a diferena

entre os graus do numerador e denominador maior que 1.

Des 1.6:Determine limx0+

1

x sen(1/x). Tente esboar o grco perto do zero desta funo.

Utilize algum software para isso.

Des 1.7: (Caricatura de sen(1/x) do livro do Spivak de Clculo) Esboce o grco da funof que satisfaz:(i) f(1/n) = (1)(n+1),(ii) f linear entre [1/(n+ 1), 1/n] (segmento de reta),(iii) f(x) = 1 para x > 1,(iv) f(x) = f(x).Des 1.8:Prove que a rea do crculo de raio r pir2 seguindo o seguinte roteiro:

(a) Mostre que a rea do polgono de n-lados inscrito no crculo n

2r2 sen(2pi/n).

(b) Mostre que a rea do polgono de n-lados circunscrito no crculo nr2 tan(pi/n).(c) Faa n e conclua o argumento.Des 1.9: Sejam f e g duas funes tais que |f(x)| M para todo x R e lim

x1g(x) = 0.

Mostre que

limx1

f(x)g(x) = 0.

Des 1.10:Objetivo desta atividade aproximar a funo fatorial. fcil ver que ( ^ )

n! =

(1

2

)(2

3

)2(3

4

)3(4

5

)4 (n 1n

)n1nn.

Logo n! = nnn1j=1

(j

j + 1

)j= nn/

n1j=1

(1 + 1/j)j. J sabemos que o termo (1 + 1/j)j

tende para e quando j tende para innito. Portanto n! nn/en1 = e(n/e)n (vide [Fe]).Utilizando esta aproximao, determine os limites, quando n vai para innito, de:

(a)

n!

n; (b)

n!

n5; (c)

n!

en; (d)

n!

nn/2; (e)

n!

nn.


Obs: Podemos denir fatorial de no-inteiros (e at mesmo de complexos) com a funo

gama de Euler (ver Desao 5.13 da p.168).

Obs: Utilizando outro caminho (vide [C] p.361364 ou [Sp] p.483) obtemos a frmula

de Stirling

7

: n! =

2pin(n/e)nen com || 1/12.

Des 1.11: Dena o nmero e por e =n=0

1

n!e prove que e 6 Q ( irracional) seguindo oroteiro abaixo.

(a) Suponha por absurdo existem p, q N tais que e = p/q. Mostre que

p(q 1)!q

n=0

q!

n!=

n=q+1

q!

n!.

Dica: Multiplique e por q!.(b) Mostre que o lado esquerdo da igualdade em (a) um inteiro.

(c) Mostre que o lado direito da igualdade em (a) igual a um nmero entre 0 e 1.

Dica: Simplique o fatorial e compare com a PG de razo 1/2.(d) Conclua a prova mostrando que (b) + (c) contradiz (a).

Des 1.12: (sequncia de Fibonacci

8

) Considere a sequncia Fn denida da seguinte forma:(a) F0 = 0, (b) F1 = 1, (c) Fn+2 = Fn + Fn+1 para todo n > 1. conhecida como sequncia de Fibonacci e modela o nmero de par de coelhos depois

de n meses (ver detalhes na internet). Alguns termos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .

Supondo que o limite de Fn+1/Fn exista quando n, prove que limn

Fn+1Fn

= , onde

= (1 +

5)/2, conhecida como razo urea.Dica: Divida a relao (c) por Fn. Supondo que o limite exista, mostre que

2 = + 1.

7

James Stirling: ?1692 Garden, Esccia 1770 Edinburgh, Esccia.8

Leonardo Pisano Bigollo: ?1170 Pisa, Itlia 1250 Pisa, Itlia.

Captulo 2ContinuidadeObjetivos: Apresentar denio de continuidade em um ponto e em um intervalo. Apre-

sentar, demonstrar e aplicar o Teorema do Valor Intermedirio (TVI), o primeiro teorema

importante do Clculo. Os Teoremas bsicos de continuidade (da soma, diferena, produto,

composta de funes contnuas) so consequncia direta de Teoremas correspondentes do

limite.

Deixamos para uma seo opcional questes delicadas como o que (como denir) e

porque so contnuas: funo raiz e transcendentes (seno, cosseno, exp, log). Terminamos o

captulo com uma seo opcional de introduo anlise, disciplina que fundamenta o clculo.

2.1 Denio de Continuidade

Denio 2.1 (continuidade num ponto) Dizemos que f contnua em c R se:(a) f est denida perto de c (numa vizinhana de c, veja Denio 1.4 da p.2).(b) lim

xcf(x) = f(c) (o limite existe no ponto e igual a f(c)).

Pela Denio 1.1 da p.2, a funo f contnua em x = c se f(x) ca to prximo def(c) quanto quisermos para todo x sucientemente prximo de c.

Observao 2.1 Na linguagem de vizinhana (Denio 1.4 da p.2), dada vizinhana Vqualquer de f(c), existe vizinhana WV de c tal que se x WV , ento f(x) V . Paradenio rigorosa de continuidade veja Denio 2.17 da p.59.

Denio 2.2 (continuidade em intervalos)

Dizemos que f contnua em (a, b) se f contnua em c para todo c (a, b).Dizemos que f contnua em [a, b] se f contnua em (a, b) e alm disso os limiteslaterais so iguais ao valor da funo no extremos:

(a) limxa+

f(x) = f(a) e (b) limxb

f(x) = f(b).

Exemplo 2.1 Considere f esboada no grco abaixo.

(a) Determine se contnua ou no nos pontos a, b, c, d, e. Determine, caso no sejacontnua, qual (quais) condies so violadas.

(b) Determine se contnua ou no nos intervalos: (a, b), [a, b], [b, c], (c, d), (c, e), [c, d].

45

46 CAPTULO 2. CONTINUIDADE

x

y

a b c d e

Soluo: (a) Como limxa

f(x) existe e igual a f(a), f contnua em a.

O limxb

f(x) no existe pois o valor da funo oscila bruscamente prximo (e esquerda)

de b (um modelo deste comportamento y = sen(1/x) do Exemplo 1.9 da p.10 em x = 0).O limite direita existe e igual ao valor da funo: f(b) = lim

xb+f(x). De todo modo, como

um dos limites laterais no existe, o limxb

f(x) no existe. Portanto, f descontnua em b.

Em c os dois limites laterais existem mas so distintos entre si: f(c) = limxc+

f(x) 6=limxc

f(x). Portanto, f descontnua em c. Observe que o grco quebra em c.

Em d o limite existe mas diferente do valor da funo: f(d) 6= limxd

f(x). Portanto, f

descontnua em d. Observe que o grco pula em d.Em e os dois limites laterais existem mas so distintos entre si e do valor da funo:

f(e) 6= limxe+

f(x) 6= limxe

f(x). Portanto, f descontnua em e. Observe que o grco

quebra e pula em e.(b) contnua em (a, b) e (c, d) (comportamento de f nos extremos do intervalo noimporta). contnua em [b, c] pois lim

xb+f(x) = f(b) e lim

xcf(x) = f(c) (embora no

existam limites limxb

f(x) e limxc

f(x))).

No contnua em [a, b] pois no existe o limite quando x b.No contnua em [c, d] pois lim

xc+f(x) 6= f(c) (ou lim

xdf(x) 6= f(d)).No contnua em (c, e) pois d (c, e) e lim

xdf(x) 6= f(d).

Observao 2.2 Informalmente, uma funo f contnua em um intervalo se pudermosdesenhar o grco de f neste intervalo sem retirar o lpis do papel. Ou ainda, f contnua se o grco no contm pulos, quebras ou oscilaes bruscas.

Exemplo 2.2 Verique se so contnuas em c = 0:

(a) g(x) =

x2

x+ 3; x 6= 0

3; x = 0; (b) h(x) =

senx

|x| ; x 6= 02; x = 0;

(c) j(x) =

{x2 9; x 03x 9; x < 0 ; (d) f(x) =

{sen(1/x); x 6= 01; x = 0;

(e) k(x) =

{x sen(1/x); x 6= 01; x = 0.

Soluo: (a) Como o limite quando x 0 3 = f(0), a funo contnua no 0.(b) O limite quando x 0 no existe. Isto ocorre pois quando x 0+, |x| = x e a funo

2.1. DEFINIO DE CONTINUIDADE 47

senx

x: o limite 1 neste caso. Quando x 0, |x| = x e a funo senxx : o limite

1 neste caso. Portanto a funo descontnua no 0. (c) Como os limites laterais em 0 soambos = 9 = f(0), f contnua em 0. (d) Veja o grco na p. 11. Como esta funo nopossui limite quando x 0, a funo descontnua em 0. (e) Veja sequncia de grcos nap. 32. Como o limi

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