1

Integral indefinido de funções de variável real. 1. A definição e as propriedades do integral indefinido. Definição 1. Seja a função )(xf definida num intervalo I (limitado ou não limitado). A função derivável )(xF , definida no intervalo I , diz-se primitiva da função )(xf

em I se para qualquer Ix∈ temos )()(' xfxF = . Exemplo 1:

1) 3

)(3x

xF = é primitiva de 2)( xxf = , porque Rxxx

xF ∈∀=

= ,

3)( 2

'3' .

2) xoscxF −=)( é primitiva de xensxf =)( porque,

RxsenxosxcxF ∈∀=−= ,)()( '' .

3) 34)( xxF = é primitiva de 3 23

4)(

xxf = porque

( ) { }0\,3

4

3

14

3

14444)(

3 2

3

21

3

1

31

31

3 Rxx

xxxxxxF ∈∀=⋅=⋅=′

=

′

=

′=′

−−.

Teorema 1. Se )(xF é uma primitiva para a função )(xf em I , então

)()( RCCxF ∈+ também é primitiva para )(xf . Definição 2. O conjunto das todas primitivas da função )(xf no intervalo I diz-se

integral indefinido da função )(xf sobre I e escreve-se ∫ dxxf )( .

Assim dizer que a função )(xF pertence ao conjunto ∫ dxxf )( equivale a afirmar que

)()( xfxF =′ ou, em notação diferencial , que dxxfxdF )()( = . Portanto se )(xF é uma primitiva para a função )(xf em I , então

RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,,)()( . (1)

Nesta designação )(xf chama-se função sob o sinal soma ou função a integrar;

dxxf )( , expressão sob o sinal soma, e o sinal ∫ , sinal de integração ou sinal soma.

Portanto o integral indefinido representa uma família de funções

)()( RCCxFy ∈+= .

Nota 1. Na designação do integral indefinido o símbolo dx não é inútil. Ele indica a variável de integração. Por exemplo, se sob o sinal de integração temos a expressão senyx ⋅ , então sem explicações suplementares não sabemos qual é a variável de integração. Mas das

designações ∫ ⋅⋅ dxsenyx e ∫ ⋅⋅ ydsenyx vemos que no primeiro caso y toma um

valor fixo e x no segundo caso.

Portanto RCCsenyx

xsenydx ∈+=∫ ,2

2

, ∫ ∈+−= RCCyxxsenydy ,cos .

2

Nota 2. Segundo a definição a fórmula (1) devia ser escrita na forma

{ }RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,:)()( . Na prática as chavetas omitem-se, mas se

considera que em ambas partes da igualdade (1) temos conjuntos de funções. Nota 3. A constante C de (1) deve tomar todos os valores de R , mas pode ser representada em qualquer forma, por exemplo, 21 CC + , Cα , Cln e outras. O integral indefinido goza de propriedades: 1º A derivada de um integral indefinido é igual a função a integrar, isto é, se

)()( xfxF =′ , então ( ) ( ) )()()( xfCxFdxxf =′+=′

∫ .

2º RCIxCxFxdF ∈∈+=∫ ,,)()( .

3º ( ) Ixdxxfdxxfd ∈=∫ ,)()( .

4º Se as funções )()( 21 xfexf têm primitivas em I , então a função )()( 21 xfxf ±

tem primitiva em I e ∫∫∫ ±=± dxxfdxxfdxxfxf )()())()(( 2121 .

5º ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( , com constk = .

6º Se )(xF e )(xG são duas primitivas da função )(xf num intervalo I então )(xF e

)(xG diferem por uma constante em I , isto é, CxGxF =− )()( (ou CxGxF += )()( ). É útil recordar as regras seguintes:

R1. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCaxFa

dxaxf ∈∈+=∫ ,,)(1

)( .

R2. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCbxFdxbxf ∈∈++=+∫ ,,)()( .

R3. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCbaxFa

dxbaxf ∈∈++=+∫ ,,)(1

)( .

Exemplo.

∫∫ ∫∫ =−+

+=−+

+ xdxsendxx

xdxdxxsenx

x 4352

32)43

52

32(

=+⋅++⋅+=−+

+= ∫∫ ∫ Cxxx

xdxsendxx

xdx 4cos4

13)52ln(

2

13

2243

52

132

2

Cxxx ++++= 4cos4

3)52ln(

2

32 .

3

2. Tabela dos integrais.

Da definição resulta que a operação de determinação do integral indefinido, denominada integração, é inversa a operação de derivação. Portanto para as fórmulas básicas da tabela das derivadas escritas na forma )()( xfxF =′ deduziremos as fórmulas correspondentes de integração escritas na forma

RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,,)()( , obtendo uma tabela dos integrais.

1. .0 Cdu =⋅∫

2. 1,1

1

−≠++

=+

∫ αα

αα C

uduu .

2¹. .1 Cudu +=⋅∫

3. .ln Cuu

du +=∫

4. .ln

Ca

adua

uu +=∫

4¹. .Ceude uu +=∫

5. .cos Cudusenu +−=∫

6. .cos Csenuduu +=∫

7. .cos2

Ctguu

du +=∫

8. .2

Cctguusen

du +−=∫

9. .cosln Cutgudu +−=∫

10. .ln Csenuctgudu +=∫

11. .Cchudushu +=∫

12. .Cshuduchu +=∫

13. .2

Cthuuch

du +=∫

14. .2

Ccthuush

du +−=∫

15. .11

22C

a

uarcctg

aC

a

uarctg

aau

du +−=+=+∫

16. .ln2

122

Cau

au

aau

du ++−=

−∫

17. .arccos22

Ca

uC

a

uarcsen

ua

du +−=+=−

∫

18. .arccos22

Ca

uC

a

uarcsen

ua

du +=+−=

−−∫

4

19. .ln 2

2Ckuu

ku

du +±+=±

∫

20. .secsec Cudutguu +=∫

21. .coscos Cecuductguecu +−=∫

22. .cos 2 Ccthuduuech +−=∫

23. .sec 2 Cthuduuh +=∫

Nesta tabela u pode ser considerado como uma variável ou uma função. Caso u é função temos dxxuxud )()( ′= . 3. Métodos de integração. 3.1. Integração imediata. O problema de integração é muito mais difícil do que o problema de calcular a derivada de uma função. O problema consiste em ausência de fórmulas para calcular um integral de um produto ou de um quociente de duas funções e de uma função composta. Todos estes problemas devem ser tratados separadamente. Cada vez o cálculo de um integral começa com as perguntas: há alguma semelhança entre a função sob o sinal de integração e alguma função da tabela dos integrais? Se não há semelhança: é possível transformar a função para obter a semelhança com alguma função da tabela? Portanto aqui não falamos de um método de integração mas de uma tentativa de integrar. Cálculo dos integrais com utilização directa das fórmulas da tabela dos integrais é denominado integração imediata. Exemplo 2. 1)

∫ ∫∫ ∫∫∫ =−−+=−−+=−−+ −−−dxxdxx

x

dxxdxdx

xx

xxdx

x

xxx 22

3

22

3

2

3

32)3

21

(32

.34

ln21

3

2

12ln

2

212

12

Cxx

xx

Cxx

xx ++++=+

−−

−−+=

−−

2)

.)4(4

1)4()4cos(

4

1

4

)4()4cos()4cos( Cxsenxdx

xdxdxx +===∫ ∫ ∫

3)

∫ ∫ +=+= +++ .)1(2 1211 222

Cetdedtte ttt

5

3.2 Integração por substituição de variável num integral indefinido. Em muitos casos a substituição de variável de integração permite-nos passar para a integração imediata.

Teorema 2. Se a função ,,,: RJIJIu ⊂→ é derivável no intervalo I e a função

RJf →: admite a primitiva F no intervalo J ( RJF →: ) então a função

)())(( ' xuxuf ⋅ admite primitiva no intervalo I e

∫ ∈+=′ .,))(()())(( RCCxuFdxxuxuf . (2)

A fórmula (2) é denominada fórmula de substituição de variável num integral indefinido. Exemplo 3.

1) Calcular ∫ +dx

x

x5

2

)3(.

Efectuemos a mudança de variável 3−= tx ; então dtdx= . Com aplicação da fórmula (2), obtemos:

∫∫∫∫∫ ∫ =+−=+−=+−=− −−−−−− dttdttdttdttttdtt

ttdt

t

t 543543

5

2

5

2

96)96(96)3(

.4

92

2

1

49

36

2 432

432

Cttt

Cttt +−+−=+−

+−

−−

=−−−

Fazendo a substituição inversa 3+= xt obtemos

.)3(4

9

)3(

2

)3(2

1

)3( 4325

2

Cxxx

dxx

x ++

−+

++

−=+∫

Nota 4. Por vezes é preferível escolher a mudança de variável sob a forma )(xt ϕ= em vez de )(tx ψ= .

2) Calcular ∫+− 623 2 xx

dx.

Transformando, primeiramente, o trinómio de sob radical temos

+

−=

+−

−=+−=+−9

17

3

132

9

1

3

13)2

3

2(3623

2222 xxxxxx .

Denotamos xdtdxt =−= ,3

1 e obtemos

=+++=+

=

+

−

=+−

∫∫∫ Ctt

t

dt

x

dx

xx

dx

9

17ln

3

1

9

173

1

9

17

3

13

1

623

2

222

6

CxxxCxx ++−+−=++

−+−= 23

2

3

1ln

3

1

9

17

3

1

3

1ln

3

1 22

.

3.3. Integração por partes num integral indefinido.

Teorema 3. Se as funções )()( xvexu são deriváveis no intervalo RI ⊂ e neste intervalo a função )()( xuxv ′⋅ tem primitivas, então e a função )()( xvxu ′⋅ tem primitivas no intervalo I e

∫ ∫ ′⋅−⋅=′⋅ dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()( . (3)

A fórmula (3) é denominada fórmula de integração por partes num integral indefinido. Exemplos.

1) Calcular ∫ dxxarctg .

Denotando dxdvarctgxu == , temos .,1 2

xvx

dxdu =

+= Por conseguinte,

=+

−⋅=+

−⋅= ∫∫∫ 2

2

2 1

)(2

1

1 x

xdarctgxx

x

xdxarctgxxdxxarctg

Cxnlarctgxxx

xdarctgxx ++−⋅=

++

−⋅= ∫2

2

2

12

1

1

)1(

2

1.

2) Calcular ∫ xdxex cos .

Denotando dxxdveu x cos, == temos senxvdxedu x == , . Por conseguinte,

dxesenxsenxexdxe xxx

∫∫ ⋅−=cos

Aplicamos mais uma vez o método de integração por partes ao último integral: dxsenxdveu x == , , então xvdxedu x cos, −== .

Por conseguinte

( ) .coscos)cos()cos(cos xdxexesenxedxexxesenxexdxe xxxxxxx

∫∫∫ −+=−−−−=

Designando ∫= xdxeI x cos temos .cos IxesenxeI xx −+= Daqui vem

.2/)cos( CxesenxeI xx ++= Nota 5. Quando determinamos v a partir do seu diferencial dv, podemos tomar uma constante arbitrária, visto que ela não figura no resultado final (o que é fácil de verificar, substituindo na igualdade (3) v por Cv + ). Portanto é preferível escolher esta constante igual a zero ( 0=C ). Integração por partes emprega-se frequentemente ao cálculo de integrais de seguintes classes de funções:

a) função logarítmica, funções trigonométricas;

7

b) produto de um polinómio por uma função das classes de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas;

c) produto de uma função exponencial com outras funções. 4. Integração de funções racionais.

Definição 3. Função racional é qualquer função )(xf representável por um quociente

de dois polinomios, )(

)(

xQ

xP

n

m .

Podemos, supor sem restringir a generalidade, que estes polinómios não têm raizes comuns. Se o grau do polinómio ao numerador e inferior ao do denominador, diz-se que a fracção é regular. No caso contrário diz-se que ela é irregular. Se a fracão é irregular, dividindo o numerador por denominador (segundo a regra de divisão dos polinómios) pode-se representar a fracção inicial (iregular) como soma de um polinómio e uma fracção regular:

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxT

xQ

xP

nn

m += ,

em que )(xT é um polinómio e )(

)(

xQ

xR

n

uma fracção regular.

Exemplo 4.

1) 23

22

23

5

2

12842

2

12

xx

xxxx

xx

xx

−−++++=

−−+

;

2) 1

333

1

32

2

2

4

+−−+=

+− xx

xxx

xx

x.

Por conseguinte a integração de uma fracção irregular reduz-se a integração de um polinómio e uma fracção regular. Como a integração de um polinómio não representa dificuldades o nosso trabalho consiste em integrar as fracções racionais regulares. 4.1. Decomposição das funções racionais em fracções elementares. Na álgebra demonstram-se : Teorema 4. Qualquer polinómio, cujos coeficientes são números reais, pode ser representado na forma

sk tss

trk

rrn qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()( 2

112

21121 ++++−−−= ααα . (4)

onde kααα ,...,, 21 são as raizes reais do polinómio;

nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++∈∈ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 .

A expressão (4) diz-se decomposição do polinómio em factores do primeiro e segundo grau.

8

Teorema 5. Se a fracção )(

)(

xQ

xP

n

m é regular e o polinómio )(xQn é na forma (4), então

esta fracção pode ser representada num modo unívoco na forma

+−

++−

++−

++−

+−

++−

=k

k

r

r

kr

r

r

r

n

m

x

C

x

C

x

B

x

B

x

A

x

A

xQ

xP

)(......

)(...

)(...

)(

)( 1

22

1

11

1

2

2

1

1

αααααα

s

ss

tss

tt

sst

tt

qxpx

VxU

qpx

VxU

qxpx

NxM

qxpx

NxM

)(......

)(...

22

11

112

112

11

1

11

++

+++

+++

++++

+++

+++

+ ; (5)

com 04

,,,...,,,,,...,,,...,,...,2

111111 <−∈ jj

isstt qp

eRqpqpVUNMBAss

α para todos

sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .

A expressão (5) representa o desenvolvimento de uma fracção regular em fracções elementares. Ela tem significado para qualquer kx ααα ,...,, 21≠ . Os coeficientes

stVAA ,...,, 21 calculam-se pelo método dos coeficientes indeterminados:

1) Multiplicamos ambas partes do (5) por )(xQn e de fazemos as operações de

multiplicação e redução na parte direita obtendo uma igualdade entre dois polinómios; 2) igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau de x obtemos um sistema de equações lineares em relação a

stVAA ,...,, 21 ,

3) resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientes

stVAA ,...,, 21 .

Exemplo 5. Desenvolver a fracção racional regular xxx

x

44

12835

3

++−

em fracções

elementares. Representemos o denominador em produto de factores (ver (4)). 222435 )2()44(44 +=++=++ xxxxxxxx . Segundo o teorema 5 obtemos:

22235

3

)2(244

128

+++

+++=

++−

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

x.

Multiplicando ambas as partes por 22 )2( +xx obtemos

xEDxxxCBxxAx )()2()()2(128 2223 ++++++=− ou

AxECxDBACxxBAx 4)2()24()(128 2343 ++++++++=− . Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:

9

−=

=+

=++=

=+

.124:

,02:

,024:

,8:

,0:

0

1

2

3

4

Ax

ECx

DBAx

Cx

BAx

Resolvendo este sistema obtemos 16,6,8,3,3 −====−= EDCBA e por conseguinte

22235

3

)2(

166

2

833

44

128

+−+

+++−=

++−

x

x

x

x

xxxx

x.

4.2. Integração de fracções racionais elementares. Na decomposição de funções racionais em fracções elementares (ver (5)) podemos evidenciar quatro tipos de fracções elementares:

T1. ;α−x

A

T2. );,1(,)(

Nrrx

Ar

∈>− α

T3. ;04

,2

2

<−

+++

qp

qpxx

BAx

T4. ;04

,,1,)(

2

2

<−∈>

+++

qp

Nrrqpxx

BAxr

Os integrais das fracções de tipos T1 e T2 são imediatos:

T1: .ln)(

CxAx

xdAdx

x

A +−=−−=

− ∫∫ ααα

α

T2: .))(1(1

)()()(

)( 1

1

Cxr

AC

r

xAxdxAdx

x

Ar

rr

r+

−−−=+

+−−=−−=

− −

+−−

∫∫ αααα

α

T3: Para integrar uma fracção de terceiro tipo separamos o quadrado perfeito em denominador:

.42

222 q

ppxqpxx +−

+=++

Substituindo 22

42aq

pet

px −=−=+ vem .

2dtdxe

ptx =−=

Por conseguinte

10

=+

−++

=+

+−=

+++

∫∫∫∫ 2222222 22

at

dtApB

at

tdtAdt

at

BAp

Atdx

qpxx

BAx

=+

−++

= ∫∫ 2222 2

2

2 at

dtApB

at

tdtA =+

−+++

∫∫ 2222

22

2

)(

2 at

dtApB

at

atdA

.2

1

2ln

2

1

2ln

2222 C

a

p

a

xarctg

a

ApBqpxx

AC

a

tarctg

a

ApBat

A +

+

−+++=+

−++=

T4: Calculemos o integral de uma fracção de quarto tipo. Analogamente como acima

.42

222 q

ppxqpxx +−

+=++ 22

42aq

pet

px −=−=+

.2

dtdxep

tx =−=

Por conseguinte

.)(2)()(

2)( 2222222 ∫∫∫∫ +

−++

=+

+−=

+++

rrrr at

dtApB

at

tdtAdt

at

BAp

Atdx

qpxx

BAx

Para calcular o primeiro integral fazemos a substituição )(2

1 22 atddtt += .

Então

.))(1(2

1)()(

2

1

)(

)(

2

1

)( 122

2222

22

22

22C

atratdat

at

atd

at

tdtr

r

rr+

+−=++=

++=

+ −

−

∫∫∫

Calculemos o segundo integral .)( 22

2

∫ + rat

dta Escrevemos o segundo integral na forma

.)(

122

2

2 ∫ + rat

dta

a

Na continuação fazendo em numerador a substituição 2222 tata −+= obtemos:

=+

−++=

+−+=

+=

+ ∫∫∫∫∫ dtat

t

adt

at

at

adt

at

tat

aat

dta

aat

dtarrrrr )(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)( 22

2

222

22

222

222

222

2

222

2

=+

−+

= ∫∫ − dtat

t

adt

ata rr )(

1

)(

1122

2

21222 (*)

Calculemos o segundo integral aplicando a integração por partes:

∫∫ −= VdUUVUdV .

Fazendo

rat

tdtdVtU

)(,

22 +==

obtemos

11

,dtdU =

.)(

1

)1(2

1

)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

)(

2

2

1

)( 12222

22

22

2

2222 −+⋅

−=

++=

+=

+=

+= ∫∫∫∫ rrrrr atrat

atd

at

td

at

tdt

at

tdtV

Portanto na continuação temos:

(*)= =

+−−

+−−

+ ∫∫ −−− 12212221222 )(22

1

))(22(

1

)(

11rrr at

td

ratr

t

adt

ata

.)(22

32

))(22(

11221222

Cat

dt

r

r

atr

t

a rr+

+−−+

+−= ∫ −−

Obtemos a fórmula de recorrência

Cat

dt

r

r

atr

t

aat

dtrrr

+

+−−+

+−=

+ ∫∫ −− 122122222 )(22

32

))(22(

1

)( (6)

que permite diminuir o grau da expressão do denominador no integral ∫ + rat

dt

)( 22.

Exemplo 6.

Calcular xdxxx

xxxxx∫ ++

−++++44

12412435

23456

.

Resolução. O grau do polinómio no numerador é superior ao grau do polinómio no denominador. Dividindo os polinómios obtemos:

xxx

xx

xxx

xxxxxx

44

1281

44

124412435

3

35

23456

++−++=

++−+++++

.

O desenvolvimento em fracções elementares da fracção regular obtida é

22235

3

)2(

166

2

833

44

128

+−+

+++−=

++−

x

x

x

x

xxxx

x.

Portanto

∫ ++−+++++

dxxxx

xxxxxx

44

124412435

23456

= =++

−++∫ dxxxx

xx )

44

1281(

35

3

( =+−+

+++−+= ∫ dx

x

x

x

x

xx )

)2(

166

2

8331

222

dxx

xdx

x

xdx

xdxx ∫∫∫∫ +

−++++−+=

222 )2(

166

2

833)1( .

12

Calculemos separadamente os integrais obtidos.

1

2

2

)1()1()1()1( C

xxdxdxx ++=++=+ ∫∫ ;

∫∫ +== 2ln333

Cxx

dxdx

x;

=+

+++=

++

+=

++

∫∫∫∫∫ 28

2

)2(

2

3

28

23

2

8322

2

222 x

dx

x

xd

x

dx

x

xdxdx

x

x

32

22

82ln

2

3C

xarctgx +++= ;

Para o quarto integral, com a aplicação da fórmula de recorrência (6)

(com 22 2 == aer ), obtemos:

=+

−+

=+−

∫∫∫ 222222 )2(16

)2(6

)2(

166

x

dx

x

xdxdx

x

x =

+−

++

∫∫ 2222

2

)2(16

)2(

)2(

2

6

x

dx

x

xd

=

++

+⋅−

+−= ∫ 22

1

)2(22

116

2

3222 x

dx

x

x

x

422 222

1

)2(28

2

3C

xarctg

x

x

x+

+

+−

+−= .

Finalmente obtemos:

+−−++=++

−+++++∫ 21

2

35

23456

ln32

)1(

44

1244124CxC

xdx

xxx

xxxxxx

32

22

82ln

2

3C

xarctgx ++++ =+

+

+−

+− 422 222

1

)2(28

2

3C

xarctg

x

x

x

+−+= xx

ln32

)1( 2

−++22

82ln

2

3 2 xarctgx

=+−+

−+

− Cx

arctgx

x

x 22

4

2

4

2

322

+−+= xx

ln32

)1( 2

−++22

42ln

2

3 2 xarctgx C

x

x ++

+2

432

.

Nota 6. O esquema de cálculo do integral indefinido de uma função racional é seguinte: 1. a) Se o grau do numerador é superior ao do denominador, representemos a função

como soma de um polinómio e uma fracção regular )(

)()(

)(

)(

xQ

xRxT

xQ

xP

nn

m += , e

executemos o ponto 2.

13

b) Se o grau do numerador é inferior ao do denominador, isto é, a função dada é

uma fracção regular de forma )(

)(

xQ

xR

n

, então executemos o ponto 2.

2. a) Representemos o polinómio )(xQn em produto de factores de primeiro e segundo

grau.

b) Desenvolvemos a fracção regular )(

)(

xQ

xR

n

em fracções elementares com

coeficientes indeterminados e determinemos os valores dos coeficientes. 3. O integral da função dada é soma dos integrais de todos termos do desenvolvimento da função.

14

5. Integração de certas classes de funções transcendentes. A função de forma

),...,(

),...,(),...,(

1

11

n

nn uuQ

uuPuuR = , (*)

onde P e Q são polinómios de variáveis nuu ,...,1 (isto é, P e Q são de forma n

n

n

kn

k

kkkkk uua ...1

1

1 1...

,...,∑≤++

) diz-se função racional de variáveis nuu ,...,1 .

Se na fórmula (*) as variáveis nuu ,...,1 são funções de variável x

nixu ii ,...,2,1),( == ϕ , então a função ))(),...,(( 1 xxR nϕϕ diz-se função racional de

)(),...,(1 xx nϕϕ .

Por exemplo a função

3

2

324

214)(

−++++=

xx

xxxf é função racional de 32 32 e ,1 , −+ xxxx , isto é,

)32 , ,1,()( 32 −+= xxxxRxf .

Aqui 43

214321 4

24),,,(

uu

uuuuuuR

+++

= , com

343

221 32 e ,1 , −==+== xuxuxuxu .

5.1. Integrais de tipo dxxsenxR∫ )cos,( .

Definição 4. A expressão

++++== ∑=+

xsenaxasenxaaxxsenaxsenxPn

ji

jiijn

220011000

0

coscos)cos,(

+++++++ xaxsenxaxxsenaxsenaxaxsenxa 303

212

221

330

20211 coscoscoscoscos

xaxsenxaxxsenaxsena n

nn

nn

nn

n coscoscos 01

1,11

1,10 ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ −−

−− , (7)

com { }nnji ,1,...,2,1,0, −∈

diz-se polinómio em xesenx cos de grau n .

Denotamos

)cos,(

)cos,()cos,(

xsenxP

xsenxPxsenxR

m

n=

e consideramos o integral

dxxsenxR∫ )cos,( . (8)

Mostremos que o integral (8) pode ser reduzido a um integral de uma função racional

pela mudança de variável tx

tg =2

.

15

Efectivamente, como se sabe

21

21

cos,

21

22

2

2

2 xtg

xtg

xx

tg

xtg

senx+

−=

+=

e então 2

2

2 1

1cos,

1

2

t

tx

t

tsenx

+−=

+= .

Além disso 21

2,2

t

dtdxarctgtx

+== .

Finalmente obtemos 22

2

2 1

2

1

1,

1

2)cos,(

t

dt

t

t

t

tRdxxsenxR

+

+−

+= ∫∫ , isto é, um integral

de uma função racional.

Exemplo 7. Calcular ∫ + senx

dx

1.

Fazemos a mudança de variável tx

tg =2

.

Então ,1

22t

tsenx

+= e

21

2,2

t

dtdxarctgtx

+== . Portanto

=+=+

=++

=

++

+=+ ∫∫ ∫∫∫

− dttt

dt

tt

dt

t

tt

dt

senx

dx 2

22

2

2

)1(2)1(

221

2

1

21

1

2

1

.

21

2

1

2C

xtg

Ct

++

−=++

−=

Nota 7. A mudança de variável considerada resolve o problema de integração para qualquer expressão de forma )cos,( xsenxR e é chamada mudança de variável universal para a integração de expressões trigonométricas. Na realidade esta mudança de variável conduz frequentemente às funções racionais muito complicadas. Por vezes é preferível não utilizar a mudança de variável universal para a integração de expressões trigonométricas, mas recorrer a outros métodos que conduzam mais rapidamente ao resultado.

1) Se o integral é da forma dxxsenxR cos)(∫ , então fazendo a mudança de variável

dtxdxtsenx == cos, obtemos um integral na forma dttR∫ )( .

2) Se o integral é da forma xdsenxxR∫ )(cos , então fazendo a mudança de variável

dtsenxdxtx =−= ,cos obtemos um integral na forma dttR∫− )( .

3) Se o integral é da forma dxtgxR )(∫ , efectuando a mudança de variável

21,,

t

dtdxarctgtxttgx

+=== obtemos .

1)()(

2t

dttRdxtgxR

+= ∫∫

4) Se a função a integrar é da forma )cos,( xsenxR em que xesenx cos apenas figuram nas potencias pares, empregando a mudança de variável

16

22

2

2

22

22

2

1,

11,

1

1

1

1cos,

t

dtdx

t

t

xtg

xtgxsen

txtgxttgx

+=

+=

+=

+=

+== obteremos

um integral de uma função racional.

Exemplo 8. Calcular dxsenx

x∫ +3

cos5

.

Resolução. Este integral reduz-se facilmente a um integral na forma dxxsenxR∫ cos)( .

∫∫ ∫∫ =+

−=+

=+

=+

xdxsenx

xsenxdx

senx

xxdx

senx

xdx

senx

xcos

3

)1(cos

3

)(coscos

3

cos

3

cos 222245

Efectuemos a mudança de variável ,tsenx= então dtxdx=cos e na continuação temos:

∫ ∫ ∫ =

++−+−=

++−=

+−= dt

ttttdt

t

ttdt

t

t

3

642173

3

12

3

)1( 232422

=+

+−+−= ∫ ∫∫∫∫ 3642173 23

t

dtdtdttdttdtt

=+++−+−= Cttttt

3ln64212

73

34

234

Csenxsenxxsenxsenxsen +++−+−= 3ln64212

7

4

1 234 .

5) Analisemos o caso xxsenxsenxR nm cos)cos,( = em que nem são números inteiros. Aqui consideremos três casos.

a) xdxxens nm cos∫ , em que pelo menos um dos números nem é impar.

Suponhamos, para fixar as ideias, que n é impar. Fazemos 12 += pn e transformamos o integral:

.cos)1(cos)(cos

coscoscoscos

22

212

xdxxsenxensxdxxxens

xdxxxensxdxxensxdxxens

pmpm

pmpmnm

−==

===

∫∫

∫∫∫+

Efectuemos a mudança de variável

dtxdxtsenx == cos, . Substituindo estas expressões obtemos

dtttxdxxens pmnm )1(cos 2−= ∫∫ ,

isto é, um integral de uma função racional.

17

Exemplo 9. Calcular .cos45xdxxsen∫

=−=

===

∫

∫∫∫senxdxxx

senxdxxxsensenxdxxxsenxdxxsen

422

4224445

cos)cos1(

cos)(coscos

Substituindo dtsenxdxtx =−= ,cos temos

.cos9

1cos

7

2cos

5

19

1

7

2

5

12

)2()21()1(

975

975864

864442422

Cxxx

Ctttdttdttdtt

dttttdttttdttt

+−+−=

=+−+−=−+−=

=+−−=+−−=−−=

∫∫∫

∫∫∫

b) xdxxens nm cos∫ , em que nem são números pares não negativos.

Fazemos qnpm 2,2 == e aplicamos as fórmulas

.2cos2

1

2

1cos,2cos

2

1

2

1 22 xxxxsen +=−= (9)

.2cos2

1

2

12cos

2

1

2

1cos22 dxxxxdxxens

qp

qp

∫∫

+

−

=

Efectuando as operações indicadas, obtém-se um desenvolvimento segundo as potências pares e impares de x2cos . Os termos que contêm potências impares podem ser integrados como indicámos no caso a). No que respeita aos termos que contêm potências pares, aplicamos, sucessivamente, a fórmula (9), a fim de baixar o grau destas potencias. Procedendo desta maneira, chega-se, finalmente, a termos de forma

∫ kxdxcos que se integra facilmente.

Exemplo 10.

=

++

=++

=+=

+=

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫

xxdxdxdxdxxx

dxxdxxxdx

2cos2cos24

1)2cos2cos21(

4

1

)2cos1(4

12cos

2

1

2

1cos

22

22

4

.48

12

2

3

4

14

8

1

2

12

4

1

4cos2

1

2

12

4

14cos

2

1

2

12

4

1

CxsenxsenxCxsenxxsenx

xxddxxsenxxdxxsenx

+

++=+

+++=

=

+++=

+

++

= ∫ ∫∫

18

c) Se os dois expoentes são pares e se um deles pelo menos é negativo, o método indicado no caso b) não tem efeito. Neste caso é necessário fazer ttgx= (ou tctgx= ). Exemplo 11.

.)(cos

)cos

cos

)cos(

cos46

6

246

6

224

6

4

dxxtgxtgdxx

xxsenxsendx

x

xxsenxsendx

x

xsen∫∫∫∫ +=+=+=

Fazemos .1

,,2t

dtdxarctgtxttgx

+===

Então .5

1

5

1

1

)1(

1)(

cos554

2

24

2

46

6

4

CxtgCtdttdtt

tt

t

dtttdx

x

xsen +=+==++=

++= ∫∫∫∫

6) Integrais de forma .,cos,coscos dxsenmxsennxnxdxsenmxnxdxmx ∫∫∫

Aplicando as formulas

);)cos()(cos(2

1coscos xnmxnmnxmx −++=

);)()((2

1cos xnmsenxnmsennxsenmx −++=

).)cos()(cos(2

1xnmxnmsenmxsennx +−−=

Substituindo e integrando obtém-se

;)(2

)(

)(2

)())cos()cos((

2

1coscos C

nm

xnmsen

nm

xnmsendxxnmxnmnxdxmx +

−−+

++=−++= ∫∫

;)(2

)cos(

)(2

)cos())()((

2

1cos C

nm

xnm

nm

xnmdxxnmsenxnmsennxdxsenmx +

−−−

++−=−++= ∫∫

.)(2

)(

)(2

)())cos()cos((

2

1C

nm

xnmsen

nm

xnmsendxxnmxnmdxsenmxsennx +

++−

−−=+−−= ∫∫

Exemplo 12.

a) ;2

cos

26

13cos)13(

2

16cos7 C

xxdxsenxxsenxdxxsen +−−=+= ∫∫

b) ;26

13

10

5)13cos5cos(

2

149 C

xsenxsendxxxxdxxsensen +−=−= ∫∫

c) ;6

3

14

7)3cos7cos(

2

12cos5cos C

xsenxsendxxxxdxx ++=+= ∫∫

19

5.2. Integração de funções transcendentes com aplicação de integração por partes. Consideremos, agora, os integrais

∫∫∫∫∫

∫ ∫∫

∫∫

;ln,,,arccos,)

;,,cos)

;,cos)

xdxxarcctgxdxxarctgxdxxxdxxarcsenxdxxc

dxexsennxdxxnxdxxb

sennxdxenxdxea

kkkkk

mxkkk

mxmx

com k inteiro positivo. ● Para calcular os integrais do grupo )a aplicaremos duas vezes integração por partes.

=== ∫ ∫ n

sennxdenxdxeI mxmx cos

Fazemos n

sennxV

n

sennxddVdxmedUeU mxmx ==== ,,, e aplicamos a fórmula

∫ ∫−= VdUUVUdV .

∫∫ =+=−=n

nxde

n

m

n

sennxesennxdxe

n

m

n

sennxe mxmx

mxmx cos

Agora fazemos n

nxV

n

nxddVdxmedUeU mxmx cos

,cos

,, ==== .

Na continuação temos:

.cos

coscos

2

2

2I

n

m

n

nxme

n

sennxexnxde

n

m

n

nxe

n

m

n

sennxe mxmxmx

mxmx

−+=

−

+= ∫

Por conseguinte .cos

2

2

2I

n

m

n

nxme

n

sennxeI

mxmx

−+=

E daqui resolvendo em relação a I obtemos:

,cos

2222C

nm

nxme

nm

sennxneI

mxmx

++

++

=

.)cos(

22C

nm

nxmnsennxeI

mx

+++= (10)

∫ sennxdxemx calcula-se analogamente.

Exemplo 13. ● Calcular ∫= senxdxeI x

1 ;

=−== ∫∫ )(cos1 xdesenxdxeI xx

Fazemos xVxddVdxedUeU xx cos),(cos,, ====

=−−=−−= ∫∫ ))(cos(coscos( senxdexexdxexe xxxx

20

Fazemos senxVsenxddVdxedUeU xx ==== ),(,,

).(cos senxdxesenxexe xxx∫−+−=

Por conseguinte .2

)cos(1

xsenxesenxdxeI

xx −== ∫

● Calcular ∫= xdxeI x cos2 ;

=== ∫∫ )(cos2 senxdexdxeI xx

Fazemos .),(,, senxVsenxddVdxedUeU xx ====

=+=−= ∫∫ ))(cosxdesenxesenxdxesenxe xxxx

Faemos .cos),(cos,, xVxddVdxedUeU xx ====

.coscos xdxexesenxe xxx

∫−+=

Por conseguinte .2

)cos(cos2

xsenxexdxeI

xx +== ∫

● Para calcular os integrais do grupo )b fazemos dxkxdUxU kk 1, −== e

respectivamente dxedVsennxdxdVnxdxdV mx=== ,,cos . Integrando por partes chegaremos ao um integral do mesmo tipo em que o valor do expoente de x é com uma unidade menor do que no integral inicial . Aplicando este método, sucessivamente, k vezes chegaremos ao integral em que 0=k . Evidentemente, o último integral é do quadro de integrais. Exemplo 14.

=−= ∫∫ )cos(22 xdxsenxdxx

Fazemos ;cos),cos(;2,2 xVxddVxdxdUxU −=−===

=+−=+−= ∫∫ )(2coscos2cos 22 senxdxxxxdxxxx

Fazemos ;),(;, senxVsenxddVdxdUxU ====

.cos22cos22cos 22 Cxxsenxxxdxsenxxsenxxx +++−=−+−= ∫

Nota 8. Empregando o cálculo destes dois tipos (a e b ) de integrais podemos calcular

integrais mais complicados: .,cos sennxdxexnxdxex mxkmxk

∫∫

Por exemplo calculemos ∫= nxdxexI mxk cos . Integrando por partes façamos

nxdxeVnxdxedVdxkxdUxUmxmxkk cos,cos;, 1

∫==== −

Por conseguinte 22

)cos(

nm

nxmnsennxeV

mx

++= , (ver (10)).

Então

21

.coscos

)cos(cos

1

22

1

2222

22

nxdxexnm

kmsennxdxex

nm

kn

nm

nxmnsennxex

nm

nxmnsennxedxnxdxexI

mxkmxkmxk

mxkmxk

−−

∫∫

∫∫

+−

+−

++=

=

++==

Os integrais obtidos são do mesmo tipo e o valor do expoente de x é com uma unidade menor do que no integral inicial. Aplicando este método, sucessivamente,

chegaremos aos integrais de tipo ∫∫ .,cos sennxdxenxdxe mxmx

Exemplo 15. Calcular .∫ senxdxxex

Utilizando os resultados do exemplo 13 e integrando por partes temos:

.2

)cos(,;,

xsenxesenxdxeVsenxdxedVdxdUxU

xxx −===== ∫

.cos2

1

2

cos

2

cos

2

1

2

cos

2

1

2

cos

cos2

1

2

1

2

cos

2

cos

2

cos

Cxexsenx

xe

Cxsenx

exsenx

exsenx

xe

xdxesenxdxexsenx

xe

dxxsenx

exsenx

xesenxdxxe

xx

xxx

xxx

xxx

++−=

=+++−−−=

=+−−=

=−−−=

∫∫

∫∫

● Para calcular os integrais do grupo )c façamos dxxdV k= e U , respectivamente, igual a uma das funções transcendentes, conforme o caso. Integrando por partes obteremos, finalmente, um integral de uma função algébrica. Exemplo 16. ● Calcular ∫ xdxx ln3 .

=

= ∫∫ 4

lnln4

3 xxdxdxx

Fazemos .4

,4

,,ln44 x

Vx

ddVx

dxdUxU =

===

Cxxx

dxxxx

x

dxxxx +−=−=−= ∫∫ 164

ln

4

1

4

ln

44

ln 443

444

.

22

● Calcular ∫ ⋅⋅ dxarctgxx .

=

⋅=⋅⋅ ∫∫ 2

2xdarctgxdxarctgxx

Fazemos .2

,2

,1

,22

2

xV

xddV

x

dxdUarctgxU =

=

+==

=+

−+−=+

−= ∫∫ dxx

xarctgxx

x

dxxarctgxx2

22

2

22

1

11

2

1

212

1

2

=+

+−= ∫∫ 2

2

12

1

2 x

dxdx

arctgxx.

2

1

2

1

2

2

Carctgxxarctgxx ++−

7. Integração de funções irracionais. Não é sempre possível representar o integral de uma função irracional através de funções elementares. Vamos estudar as funções irracionais cujos integrais podem ser reduzidos por mudança de variáveis às funções racionais que sabemos integrar.

7.1. Integrais de tipo dxdcx

bax

dcx

bax

dcx

baxR

s

r

n

m

∫

++

++

++

,...,, .

Consideremos o integral de forma

dxdcx

bax

dcx

bax

dcx

baxR

s

r

n

m

∫

++

++

++

,...,,

em que R é uma função racional de s

r

n

m

dcx

bax

dcx

baxx

++

++

,...,, .

Seja k o denominador comum das fracções s

r

n

m,..., , isto é, 11,..., rk

s

rmk

n

m == ,

com 11,...,rm inteiros. Fazemos a substituição

ktdcx

bax =++

.

23

Então cada potência fraccionaria de dcx

bax

++

pode ser representada por uma potência

inteira de t e por conseguinte a função a integrar transforma-se numa função racional de t .

Além disso dttdxtcta

bdtxdtcxtbaxt

dcx

baxk

kkkk )()( 'ϕϕ =⇒=

−−=⇒+=+⇒=

++

.

Porque )(tϕ é uma função racional de t resulta que )(tϕ ′ também é uma função racional de t . Por conseguinte

( ) dtttttRdxdcx

bax

dcx

bax

dcx

baxR rmks

r

n

m

)(,...,,,...,, '11 ϕ∫∫ =

++

++

++

, isto é, temos um

integral de uma função racional de t .

Exemplo 19. Calculemos dxx

x∫ −+

++132

4323

.

=−+

++=−+++

∫∫ dx

x

xdx

x

x

1)32(

4)32(

132

432

2

1

3

13

O menor denominador comum das fracções 3

1 e

2

1 é 6. Fazemos a substituição

dttdxt

xtx 56

6 32

332 =⇒

−=⇒=+ .

Substituindo no integral obtemos:

=−

+=−+=

−

+= ∫∫∫ dtt

ttdtt

t

tdtt

t

t

1

43

1

433

1)(

4)(3

575

3

25

2

16

3

16

que é um integral de uma fracção racional irregular. Dividindo o numerador por denominador e aplicando o método dos coeficientes indeterminados obtemos:

++++

−+++=

−++++=

−+

1

57

1

5

3

14

1

44

1

42

24

3

224

3

57

tt

t

tttt

t

ttttt

t

tt.

Na continuação temos:

24

=

++

+

+

++−+++=

++++

−+

+++=

++++

−+++=

∫∫∫

∫ ∫∫∫

2

1

4

3

2

1

2

3

2

17

1ln52

34

5

3

1

57

15

31231

57

1

5

3

143

2

23

5

2

24

2

24

td

t

t

tt

tt

dttt

t

t

dt

tdtdttdttdttt

t

tttt

=

+

+

++

+

+

++−+++= ∫∫ 2222

2

23

5

2

3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

1

2

71ln5

2

34

5

3

t

td

t

td

tt

tt

=

+

+

++

+

+

++−+++= ∫∫ 2222

2

23

5

2

3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

1

2

71ln5

2

34

5

3

t

td

t

td

tt

tt

( ) .3

1322313232ln

2

7

132ln5322

3324)32(

5

3

3

123)1ln(

2

71ln5

2

34

5

3

2

32

1

3

2

2

3

2

3

2

1ln

2

71ln5

2

34

5

3

663

636 5

22

35

2223

5

Cx

arctgxx

xxxx

Ct

arctgtttt

tt

Ct

arctgttt

tt

+++++++++

+−+++++++=

=++++++−+++=

=++

⋅+

+

++−+++=

Nota 9.

Se 1 ,0 == dc temos um integral de forma ( dxbaxbaxbaxR s

r

n

m

∫

+++ )(,...,)(, .

Se 1 ,0 ,0 ,1 ==== dcba temos um integral de forma ( dxxxxR s

r

n

m

∫ ),...,, .

25

Exercícios. 1) Calcular os integrais indefinidos utilizando as propriedades básicas e as fórmulas do quadro de integrais.

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+++

++−

+

++−+

+

+

+

+++

+++++

++

+−

+−

+++−−

−−+

+−

++−

−

++

+−−−+

+−

+++++−

;1 Resp. ;1

)18

;24

1

2 Resp. ; )17

;ln Resp. ;cos

)16

;)3cos3ln(3

1 Resp. ;

3cos3

3 )15

;77ln2

1 Resp. ;7 )14

;24

1 Resp. ;

4

2 )13

;ln2

12 Resp. ;

lnx 12)

;12ln Resp. ;12

32 )11

;13ln

)3( Resp. ;3 )10

; Resp. ; )9

; Resp. ; )8

;2ln2

Resp. ;4

22 )7

;22

Resp. ;8

)6

;10

10ln

102

1 Resp. ;

10 )5

;77

1 Resp. ;

7 )4

;67

3

13

3 Resp. ;

)2)(1( )3

;1

Resp. ; )2

342 Resp. ;)386( )1

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

4

22

2

2

2

33234

3 2

22

1

332

Cxdxx

x

Cxshx

xdxsh

Ctgxxsenx

dx

Cxdxx

xsen

Cdxx

Cx

arctgdxx

xarctg

Cxxdxx

x

Cxxdxx

x

Ce

dxe

Cthxxxdxcth

Cxtgxxdxtg

Cxxx

arcsendxx

xx

Cx

arcsenx

dx

Cx

x

x

dx

Cx

arctgx

dx

Cxxxxx

dxx

xx

Cn

nx

x

dx

Cxxxdxxx

xx

xxx

n

n

n

26

2) Calcular os integrais indefinidos usando uma mudança de variável conveniente.

;112

112ln Resp. ;

12 )15

;1

3ln

4

1 Resp. ;

34 )14

;3

3

3

1 Resp. ;

126

cos )13

;5

12912 Resp. ;

1

82 )12

;543 Resp. ;54

63 )11

;5

34

2

1 Resp. ;

232 )10

;3

72

3

7)137ln(

2

1 Resp. ;

137 )9

;11

ln1 Resp. ;1

)8

;2

11

2 Resp. ;

1 )7

;11

ln Resp. ;1

)6

;cos)5(cos5

2 Resp. ;

cos )5

;1)2(3

2 Resp. ;

1 )4

;2ln2lnln2lnln Resp. ;4ln

2ln )3

;)1ln(2223

2 Resp. ;1

1 )2

;11

)52(5

12

)52(

4

1 Resp. ;)52( )1

2

2

24

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

23

2

3

111210

Cx

x

xx

dx

Cx

x

xx

xdx

Csenx

arctgdxsenxxsen

x

Cx

arcsenxxdxxx

x

Cxxdxxx

x

Cx

arcsenxx

dx

Cx

arctgxxxx

xdx

Cx

xxdx

x

x

Carcsenxxx

x

dxx

Cx

x

xx

dx

Cxxdxx

xsen

Ceedxe

e

Cxxdxxx

x

Cxxxx

dxx

x

Cxx

dxxx

xx

x

x

+++−+

+

+−−

+−

+−−+−

++−−−−−−

−

++−+−

−

+−

−+

+−++−+−

+++−++

++−−−

++++

+−

++−+

++−

+

+−+−

++

+

+−++

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

27

3) Calcular os integrais indefinidos usando a fórmula de integração por partes num integral indefinido.

( ) ( )

.)1(2

Resp. ; )10

;ln Resp. ; 9

;11ln Resp. ;1ln )8

;144

1

2 Resp. ; )7

;22

1 Resp. ; )6

;4

1

2

ln Resp. ;

ln )5

;2ln2ln Resp. ;ln )4

;9

ln3

Resp. ;ln )3

;1

Resp. ; )2

;ln Resp. ;ln )1

2

223

2

222

22

2

223

22

332

Cxe

dxex

Cxsenctgxxxsen

dxx

Cxxxxdxxx

Cxx

xarcsenxarcsenx

dxxarcsenx

Cx

xarctgx

dxxarctgx

Cxx

xdx

x

x

Cxxxxxdxx

Cx

xx

dxxx

Ce

xdx

e

x

Cxxxdxx

xx

xx

++−

++⋅−⋅

++−++⋅++

+−+−⋅⋅

+−+⋅⋅

+−−⋅

++−⋅

+−⋅

++−

+−⋅⋅

−−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

4) Integrar as expressões racionais.

.22

3

22

3

2

4ln Resp. ;

86

6 )9

;2

1

2

1

1

)52(ln Resp. ;

)52)(1(

332 )8

;1

ln Resp. ;)1(

)7

;)1(

ln)1(2

34 Resp. ;

)1(

23 )6

;)2(

ln2

3 Resp. ;

44

8 )5

;1

2ln

1

1 Resp. ;

)2()1( )4

;)2(

)2(ln4

23 Resp. ;

4

8 )3

;)1()5(

)3(ln

8

1 Resp. ;

)5)(3)(1( )2

;1

)2(ln Resp. ;

)2)(1(

12 )1

2

2

24

3

232

2

2

22

2

2

23

2

2

23

2

3

5223

3

45

5

6

3

Cx

arctgx

arctgx

xdx

xx

x

Cx

arctgx

xxdx

xxx

xx

Cx

x

xx

dx

Cx

x

x

xdx

xx

x

Cx

x

xdx

xxx

x

Cx

x

xxx

dx

Cx

xxx

xxdx

xx

xx

Cxx

x

xxx

xdx

Cx

xdx

xx

x

+−++

+++

−

+−+−

+−+−−

−−

+++

++

+++

++

+−+−+−

−

+−−+

−−−

++−+++

−−+

+++

++++

+−

−−−

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

28

5) Integrar as expressões trigonométricas.

.2cos8

14cos

16

16cos

24

1 Resp. ;32 )18

;6

36

5

5

3 Resp. ;

3cos

2cos )17

;10

5

50

25 Resp. ;1510 )16

;4

2cos

16

8cos Resp. ;5cos3 )15

;3

cosln33

3332

3 Resp. ;

33 )14

;3

1 Resp. ; )13

;2

ln8

3

8

cos3

4

cos Resp. ; )12

;4

1

2

3ln3

2

1 Resp. ;

cos )11

;223

1 Resp. ;

cos )10

;5

1

3

2 Resp. ;

cos )9

;3

Resp. ; )8

;32

4

4

2

8

3 Resp. ; )7

;5

1

3

1 Resp. ;cos )6

;cos5

1cos

3

2cos Resp. ; )5

;3

1 Resp. ;cos )4

;3

2

52ln Resp. ;

cos748 )3

;82

ln2

1 Resp. ;

cos )2

;

22

22

ln4

1 Resp. ;

cos53 )1

3243

34

245

42

2

35

3

42

53

6

3

4

4

5332

535

33

Cxxxxdxxsenenxsens

Cx

senx

sendxxx

Cxsenxsen

xdxxsensen

Cxx

xdxxsen

Cxxx

tgx

tgx

tgdxx

tgx

tg

Cxctgxxctgxdxctg

Cx

tgxsen

x

xsen

x

xsen

dx

Cxtgxtg

tgxxtgxxsen

dx

Cxctgxtgtgxxxsen

dx

Cxtgxtgtgxx

dx

Cxctg

ctgxxsen

dx

Cxsenxsenx

xdxsen

Cxsenxsenxdxxsen

Cxxxxdxsen

Cxsensenxxdx

Cx

tg

xtg

xsenx

dx

Cx

tgxsenx

dx

Cx

tg

xtg

x

dx

+−−

++

++−

++−

+++−+

+

+++−

++−−

+−−+

+−+

+++

+−−

++−

+−

+−+−

+−

+−

−

+−

+

++

+−

+

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

π