Fotografía de página completa - Dr. Myron EvansTeoría tridimensional completa. Las ecuaciones de...

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3. R

esul

tado

s co

mpu

taci

onal

es y

grá

fico

s.

3.1

Teo

ría

trid

imen

sion

al c

ompl

eta.

Las

ecu

acio

nes

de m

ovim

ient

o de

l la

gran

gian

o (4

) y

de l

as e

cuac

ione

s de

Lag

rang

e (5

)-(7

) so

n:

Ade

más

, β s

e de

fine

med

iant

e la

ecu

ació

n di

fere

ncia

l de

prim

er o

rden

��

β�

= √

���

+ ���

sen

(θ)

2

(39)

Par

a un

pot

enci

al q

ue s

ólo

depe

nde

de l

a co

orde

nada

rad

ial

r, s

e de

duce

un

mov

imie

nto

en

un p

lano

. Par

a la

s co

ndic

ione

s in

icia

les:

��

(0)

= 0

,

(4

0)

θ(0

) =

π/ 2

(

41)

obte

nem

os u

n m

ovim

ient

o en

el p

lano

XY

. En

gene

ral,

las

cons

tant

es d

e m

ovim

ient

o so

n lo

s m

omen

tos

angu

lare

s

L

= m

r2 �� =

mr2 √

���

+ ���

sen

(θ)2

,

(

42)

L

ϕ= m

r2 �� s

en (

θ)2 .

(4

3)

Si

la c

ondi

ción

inc

ial

para

�� e

s di

fere

nte

de c

ero,

apa

rece

una

órb

ita

plan

a ob

lícu

a. L

os

resu

ltad

os s

e re

pres

enta

ron

gráf

icam

ente

en

las

Figs

. 1 a

5.

La

peri

odic

idad

en

las

gráf

icas

m

uest

ra q

ue t

enem

os u

n m

ovim

ient

o pe

riód

ico,

es

deci

r un

a el

ipse

. E

n pa

rtic

ular

, r

osci

la

entr

e un

val

or m

ínim

o y

uno

máx

imo

(Fig

. 2).

A

par

tir

de l

a Fi

g.3

pued

e ob

serv

arse

que

el

ángu

lo β

es

idén

tico

a ϕ

par

a m

ovim

ient

o pl

ano

( β s

e ha

des

plaz

ado

a tr

avés

del

em

pleo

de

un v

alor

ini

cial

dif

eren

te d

e ϕ

).

Est

o si

gnif

ica

que

no s

e ob

tien

e m

ás i

nfor

mac

ión

inic

ial

a pa

rtir

de

β. E

sto

podr

ía s

er d

ifer

ente

par

a ór

bita

s no

pla

nas.

La

órbi

ta e

n 3D

se

repr

esen

ta e

n la

Fig

. 4, m

ostr

ando

una

eli

pse

rota

da c

ontr

a el

pla

no

XY

. L

a Fi

g. 4

mue

stra

las

cons

tant

es d

e m

ovim

ient

o L

y L

ϕ co

mpu

tada

s a

part

ir d

e la

órb

ita

resu

ltan

te. C

omo

era

de e

sper

ar, s

on c

onst

ante

s, y

par

a un

a ór

bita

en

el p

lano

XY

se

obti

ene

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L

= L

ϕ

(44

) ta

l com

o se

esp

erar

ía. H

asta

aho

ra h

emos

alc

anza

do u

n es

tado

con

sist

ente

del

cál

culo

nu

mér

ico.

3.2

Pot

enci

ales

dep

endi

ente

s de

l áng

ulo.

L

as ó

rbit

as n

o pl

anas

se

obti

enen

a p

arti

r de

pot

enci

ales

dep

endi

ente

s de

áng

ulos

. En

prim

er

luga

r ut

iliz

amos

un

pote

ncia

l dep

endi

ente

del

áng

ulo

pola

r:

U1

= −

� se

n (θ

) .

(45)

Est

o co

nduc

e a

la ó

rbit

a ob

teni

da e

n la

Fig

. 6.

La

órbi

ta o

scil

a en

alt

ura.

Se

ven

impa

ctad

as

las

cons

tant

es d

e m

ovim

ient

o, e

l m

odul

o de

l m

omen

to a

ngul

ar (

42)

ya n

o es

una

con

stan

te

de m

ovim

ient

o, c

omo

se o

bser

va a

par

tir

de la

Fig

. 7.

Sin

emba

rgo,

el m

ovim

ient

o al

rede

dor

del e

je Z

con

serv

a el

mom

ento

ang

ular

Lϕ c

omo

ante

rior

men

te.

Fina

lmen

te

intr

oduc

imos

un

a de

pend

enci

a ad

icio

nal

resp

ecto

de

ϕ

de

l po

tenc

ial:

U2

= −

� se

n (θ

) co

s (ϕ

).

(46)

Ent

once

s ap

arec

e un

a di

fere

ncia

ent

re ϕ

y β

(Fi

g. 8

). L

a ór

bita

no

es p

erió

dica

, per

o la

mas

a qu

e gi

ra e

n ór

bita

cae

hac

ia e

l cen

tro,

don

de c

esa

el m

ovim

ient

o, e

n la

par

te s

uper

ior i

zqui

erda

en

la

Fig,

9.

Am

bos

mom

ento

s an

gula

res

ya n

o so

n co

nsta

ntes

de

mov

imie

nto,

tal

com

o pu

ede

apre

ciar

se a

par

tir

de la

Fig

. 10.

3.3

. Sol

ució

n de

la e

cuac

ión

radi

al d

e S

chro

edin

ger.

L

a ec

uaci

ón r

adia

l de

tip

o S

chro

edin

ger

(22)

se

reso

lvió

num

éric

amen

te.

El

mét

odo

trad

icio

nal

en f

ísic

a co

mpu

taci

onal

es

el d

e in

tegr

ar l

a ec

uaci

ón p

ara

una

red

de v

alor

es d

e en

ergí

a (r

epre

sent

ada

aquí

por

L, α

y a

) y h

alla

r sol

ucio

nes

no d

iver

gent

es p

ara

r �

∞.

Est

os

son

los

eig

en e

stad

os r

adia

les.

Uti

liza

mos

aqu

í la

int

egra

ción

dir

ecta

con

Max

ima,

par

a al

guno

s pa

rám

etro

s pr

e-de

fini

dos.

Pue

de o

bser

vars

e qu

e la

s so

luci

ones

div

erge

n en

gen

eral

. E

n la

s Fi

gs. 1

1 y

12 s

e m

uest

ran

dos

solu

cion

es p

ara

L =

1 y

L =

5. E

stos

val

ores

(arb

itra

rios

) co

rrep

onde

n en

for

ma

apro

xim

ada

al n

úmer

o ex

trem

o de

ψ,

que

repr

esen

ta e

l ei

gen

est

ado

del

mom

ento

ang

ular

, co

mo

es e

l ca

so p

ara

las

solu

cion

es f

ísic

as c

onve

rgen

tes,

obt

enid

as

con

otro

s m

étod

os m

ás e

labo

rado

s.

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Figu

ra 1

: Tra

yect

oria

s ��

(t)

, �� (t

).

Fi

gura

2: T

raye

ctor

ias

de ��(t

) , r

(t).

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Figu

ra 3

: Tra

yect

oria

s θ(t

), ϕ

(t),

β(t

).

Figu

ra 4

: Órb

ita

r (X

, Y

, Z

).

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Fi

gura

5: C

onst

ante

s de

mov

imie

nto

L y

Lϕ.

Figu

ra 6

: Órb

ita

r (X

, Y

, Z

) pa

ra e

l pot

enci

al (

45).

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Fi

gura

7: M

omen

tos

angu

lare

s L

y L

ϕ pa

ra e

l pot

enci

al (

45).

Figu

ra 8

: Tra

yect

oria

s θ(t

), ϕ

(t),

β(t

) pa

ra e

l pot

enci

al (

46).

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Figu

ra 9

: Ó

rbit

a r

(X, Y

, Z)

para

el p

oten

cial

(46

).

Figu

ra 1

0: M

omen

tos

angu

lare

s L

y L

ϕ pa

ra e

l pot

enci

al (

46).

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Figu

ra 1

1: F

unci

ón d

e on

da r

adia

l �� (r

) , ψ

(r)

para

el p

arám

etro

L =

1.

Figu

ra 1

2: F

unci

ón d

e on

da r

adia

l �� (r

) , ψ

(r)

para

el p

arám

etro

L =

5.

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