Efecto de la variación temporal del contenido de frecuencias de un sismo en la respuesta dinámica de obras geotécnicas

Effect of temporal variation of the frequency content of an earthquake in the dynamic response of geotechnical works

Roberto MAGAÑA DEL TORO1 y Armando HERMOSILLO1

1Instituto de Ingeniería, UNAM. Sección Geotecnia

RESUMEN: En este trabajo se analiza el efecto que la variación del contenido de frecuencias de los sismos tiene sobre el comportamiento de diferentes obras geotécnicas, en las que se considera el comportamiento no lineal de los suelos. Los sismos se modelan mediante procesos estocásticos no estacionarios. El análisis se realiza de acuerdo a la teoría de las vibraciones aleatorias. Asimismo, se comentan algunos aspectos físico-matemáticos del problema en estudio, como son los de respuesta dinámica de sistemas, el de respuesta compleja, el de transformada corta de Fourier y algunos conceptos de procesos estocásticos no estacionarios. Por otra parte, se da un resumen del algoritmo de cálculo empleado en el programa de elementos finitos utilizado en los análisis en el dominio de la frecuencia (que es un método alternativo al de integración paso a paso en el dominio del tiempo). En particular se presentan análisis dinámicos no lineales sobre un modelo teórico de presa tridimensional sujeta a diferentes sismos reales. Con dichos análisis se estudia como varía el abatimiento del módulo de elasticidad al cortante G, en diferentes regiones del cuerpo de la presa. Finalmente se presentan las conclusiones correspondientes acerca de los resultados obtenidos.

ABSTRACT: This paper analyzes the effect that the variation with time of the earthquake frequency content has on the behavior of various geotechnical works take in to account nonlinear behavior of soils. Earthquakes are modeled by non-stationary stochastic processes. The analysis is performed according to the random vibration theory. Also, some physical and mathematical aspects of the problem under study are discussed, for instance: dynamic response of system, the complex response, the short Fourier transform and some concepts of non-stationary stochastic processes. Moreover, a summary of the calculation algorithm (frequency domain analysis) used in the finite element program used is given (alternative to the step by step integration in time-domain). Also, nonlinear dynamic three dimensional analysis of a theoretical dam model subject to four earthquakes are presented. With such analysis the reduction of the shear modulus G, in different regions of the dam is studied. Finally the corresponding conclusions about the results obtained are presented.

1 INTRODUCCIÓNEn este trabajo se analiza el efecto que la variación del contenido de frecuencias de los sismos tienen sobre el comportamiento de diferentes obras geotécnicas (presas, problemas de interacción suelo-estructura, etc.), en las que se considera el comportamiento no lineal de los suelos. En este caso los sismos se modelan mediante procesos estocásticos no estacionarios y por tanto el análisis se realiza de acuerdo a la teoría de las vibraciones aleatorias. Asimismo, se comentan algunos aspectos físico-matemáticos relacionados con el problema en estudio, como son los de respuesta dinámica de sistemas y sus métodos de análisis, entre ellos el de respuesta compleja, el de transformada corta de Fourier y algunos conceptos básicos de procesos estocásticos no estacionarios. Por otra parte se da un breve resumen del algoritmo de cálculo empleado en el programa de elementos finitos que se usó para los análisis en el dominio de la frecuencia, un

método alternativo al de integración paso a paso en el dominio del tiempo.

En particular se presentan análisis dinámicos no lineales sobre un modelo teórico de presa tridimensional sujeta a diferentes sismos reales. Con dichos análisis se estudia como varía el abatimiento del módulo de elasticidad al cortante G, en diferentes regiones del cuerpo de la presa. Asimismo se ve el efecto que tiene en los espectros de respuesta para los diferentes casos analizados la no linealidad del material constitutivo de la presa. Finalmente se presentan las conclusiones correspondientes acerca de los resultados obtenidos.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

2 Título del trabajo

2 FUNDAMENTOS FÍSICO-MATEMÁTICOS

2.1 Generalidades sobre análisis dinámico Es el estudio del cambio de comportamiento de un sistema con el tiempo, al cambiar su entorno y sus características.2.2 Método del elemento finitoComo se sabe este es un método numérico variacional útil para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y por tanto para problemas de mecánica del medio continuo. Mediante discretización de la región en estudio, para análisis bidimensionales y tridimensionales.

2.2.1Funciones de forma y espacio vectorial de la solución

Pn (Ω)⊂ X (1)El espacio vectorial es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por funciones de forma, que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

N i( ξ j )=1 si i= j ; N i( ξ j )=0 si i≠ j (2)Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema: Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:

∀ ξ∈Ω : N i (ξ j )=N i(e )oF(e ))( ξ ) (3)

2.3 Método de superposición modalDentro de los métodos de análisis dinámico, el método de superposición modal se basa en el hecho físico de que los sistemas responden a excitaciones dinámicas de acuerdo con sus frecuencias y modos naturales de vibración.

2.4 Integración paso a pasoEl fundamento de muchos de estos métodos de integración paso a paso es el mismo: dado el valor del desplazamiento, velocidad y aceleración en el instante tn = t (y en instantes anteriores según algunos métodos), determinar el desplazamiento, velocidad y aceleración en el instante tn+1 = t+Dt.

2.5 Método de la respuesta complejaEste se emplea para transformar problemas en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, y con ello muchas veces se logran simplificaciones en la resolución de problemas. Romo y Villarraga (1988),

desarrollaron un modelo analítico para estudiar el comportamiento sísmico de la presa El Infiernillo. En su trabajo aplican la teoría de las vibraciones causales para estudiar la respuesta de sistemas lineales a excitaciones aleatorias, siendo con ello posible establecer la relación entre espectros de respuesta y el de potencia.

2.6 Respuesta de un sistema lineal

[M {u1 }]+ [C ] {u1 }+[ K ] {u1}={Q1 } (4)Para calcular la solución de la ecuación de movimiento

y ( t )=Re{∑s=0

N

y seiωs t}

u=Re∑

S=0

N

useiωs t

(5)Al reemplazar este valor de u en la ecuación de movimiento se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales para cada frecuencia ws. De este sistema se determina la función de transferencia compleja de los desplazamientos para esta frecuencia

¿¿ (6)

2.7 Método lineal equivalente1Empleando unas curvas (que relacionan el módulo de elasticidad al cortante con nivel de deformación) estándar o bien obtenidas con métodos de campo o laboratorio, (por ejemplo las propuestas por (Seed e Idriss, 1970) se obtiene nuevos módulos y amortiguamiento. El procedimiento es iterativo y se repite hasta que existe congruencia entre propiedades y nivel de deformación.

2.8 Comparación de métodos no lineales en los dominios del tiempo y la frecuenciaEn este caso se utilizó el programa de computadora NONSAP, desarrollado en la Universidad de Berkeley en California (Bathe et al., 1974). Luego con la metodología del elemento finito se pueden ir obteniendo el estado de esfuerzos y deformaciones en toda la malla del sistema estructural en estudio, y con ello puede irse modificando los módulos de elasticidad (E, G o K) Por otra parte, en la modelación probabilista clásica, el ajuste de propiedades mediante el método lineal equivalente se hace después de haberse completado la historia de movimiento, pero haciendo iteraciones.

2.9 Concepto de proceso estocástico desde un enfoque físicoEs el análisis de los procesos estocásticos desde dos ejes, el probabilístico y el temporal. Las

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 3

diferentes opciones en el aspecto probabilístico se denominan estados. Por su parte a la variable tiempo se le denomina parámetro del fenómeno.

Figura 1. Aspecto de un proceso estocástico no estacionario. En el eje de las abscisas se muestra el tiempo (parámetro), en el de las ordenadas se presentan los estados posibles. La figura muestra claramente que en un proceso no estacionario puede variar hasta el número total de estados posibles.

2.10 Análisis espectral de procesos estocásticos no estacionariosPriestley (Priestley, 1965) presentó el concepto de espectro de potencia instantáneo, con el cual se pretende dar una explicación físico- matemática aceptable, en términos energéticos. Mediante este concepto se incluye la idea de una densidad espectral variable con el tiempo. En este caso es bien conocido que Rs,t tiene una representación de la forma siguiente:

R s, t=∫e iω( s−t)dF (ω ) (7)dF(w) es una función con las propiedades de una función de distribución. Se define por tanto un espectro de potencia instantáneo

f T¿ (ω )=∫

0

T

ρt (ω )dt y

ρt (ω )= ddt

{f t¿ (ω )}

(8)

3 MODELO MATEMÁTICO

3.1 MetodologíaEl algoritmo utilizado en el programa PTLUSHEV, para aplicarlo a procesos estocásticos no estacionarios, como es el caso de sismos, se basa en conceptos análogos a la transformada corta de Fourier y por otra parte en algunas ideas vinculadas al concepto de correlación estadística. En este caso el análisis se hace con ventanas, que incluyen muchos puntos del acelerograma, lo que implica que en el intervalo de tiempo de la ventana, el proceso estocástico se considera estacionario. Lo interesante de este algoritmo es que se empleó todo el archivo del programa original PTLUSH (el cual aplica el

método lineal equivalente para cada “ventana de tiempo”, para tomar en cuenta aspectos no lineales del comportamiento de los materiales), de manera semejante a una subrutina, insertándose dentro del nuevo programa de computadora. Se presenta además un planteamiento para justificar matemáticamente el criterio propuesto, que sirve para estudios donde cambian las propiedades del material durante procesos dinámicos, es adecuado para estudiar el efecto de la variabilidad con el tiempo del contenido de frecuencias de procesos estocásticos no estacionarios, como son los sismos.Para el estudio de procesos estocásticos no estacionarios, en años recientes se ha empezado a utilizar la transformada de Fourier de tiempo corto, dada por

STFT {x( t )}≡X ( τ ,ω )=∫−∞

∞

x ( t )ω ( t−τ )e−iωt dt(9)

3.2 Hipótesis contenidas en la elaboración del algoritmoSe supondrá que el proceso es estacionario en el intervalo de tiempo que dura cada ventana, por tanto se aplicará la lógica del programa original PTLUSH (Romo y Villarraga, 1988), en lo que se refiere a la estimación de la respuesta a partir de la densidad espectral de potencia como dato de entrada (obtenido con el criterio propuesto para cada ventana). En cada una de las ventanas (en el caso no elástico) se irá tomando en cuenta la variación de propiedades del material conforme avanza el proceso.

3.3 Formulación del modelo matemático

3.3.1Determinación de la variación de densidad espectral de potencia.Se trata por tanto de encontrar un procedimiento, con el cual al fragmentar una señal de tiempo dada, se obtengan resultados semejantes (en lo que se refiere a contenido de energía) a cuando se trabaja con la señal completa. Así que si f(t) es la señal completa, si esta se divide por ejemplo en dos, se tendrá f(t) = f1(t) + f2(t)Entonces la correlación de la señal completa es

R( τ )= 1t 2−t0

∫t 0

t 2

f (t ) f ( t−τ )dt(10)

Ahora suponiendo que el algoritmo de la correlación de la señal fragmentada sea semejante al producto de polinomios, lo cual se demostró en el estudio, se tendrá

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

4 Título del trabajo

R( τ )= 1t 2−t 0

∫t 0

t 2

( f 1( t )+ f 2( t ))( f 1(t−τ )+ f 2( t−τ ))dt

(11)Por tanto, la correlación por tramos es igual a las autocorrelaciones de cada tramo más las correlaciones cruzadas.

R( τ )=R11(τ )+R12( τ )+R21(τ )+R22( τ ) (12)Ahora aplicando la transformada de Fourier a cada correlación se tiene:

S(ω )= 1√2π∫t 0

Δt

R11e−iωt dt+ 1

√2 π∫to

Δt

R12 e−iωt dt +

+ 1√2π∫to

Δt

R21 e−iωt dt+ 1

√2π∫t0

Δt

R22 e−iωtdt

(13)

S(ω )=S11(ω )+S12(ω )+S21(ω)+S22(ω ) (14)

3.4 Empleo del concepto de transformada corta de Fourier en el modelo matemáticoAhora si las funciones se pueden considerar fragmentadas por tramos se tendrá, tomando en cuenta que la transformada de Fourier de tiempo reducido (Okamura, 2011) está dada por

X ( τ ,ω)=∫−∞

∞

X (t )V ( t−τ )e−iωt dt(15)

Donde V(t) es una función ventana

V ( t )=¿ {0 para −∞≤t≤0 ¿ {V 1( t ) para 0≤t≤t1 ¿ {V 2(t ) para t1≤t≤t 2 ¿ {V 3(t ) para t2≤t≤t 3 ¿¿¿¿(16)

Entonces la integral queda

X ( τ ,ω)=0+∫0

t1

X ( t )V 1( t−τ )e−iωt dt+

∫t1

t2

X ( t )V 2( t−τ )e−iωt dt+∫t 2

t 3

X ( t )V ( t−τ )e−iωt dt+0

(17)

Ahora, si también se considera que la señal está formada por el promedio de las tres funciones ventana, se tendrá

X ( t )=V 1( t ) p+V 2( t ) p+V 3( t ) p (18)Entonces se tendrá finalmente

X ( τ ,ω)=S1(ω ) p+S2(ω ) p+S3 (ω ) p (19)

X ( τ ,ω)=p (S1(ω )+S2 (ω )+S3(ω )) (20)Es decir la función X(t, w) estará dada por tres espectros para cada intervalo de tiempo, y donde el factor p, representa que se toma el promedio de ellos. Este razonamiento se puede generalizar a N sumandos. Se encontró que aún con cuatro ventanas se pueden obtener mejores resultados, con una reducción en el tiempo de cálculo con respecto a este tipo de análisis del orden del 25%.

3.5 Implementación del modelo matemático al algoritmo de cálculoPara programar todo el proceso implícito en el modelo matemático, se le hicieron las modificaciones correspondientes al programa PTLUSH y se generó un programa que incluye al programa mencionado como subrutina. A este nuevo programa se le denomino PTLUSHEV. Las letras E y V agregadas son por las palabras espectro variable.

3.5.1Algoritmo de ventanasEn primer lugar se obtiene la densidad espectral de potencia variable en el tiempo, a partir de un acelerograma, se obtiene mediante ventanas de tiempo sucesivas hasta completar la duración total del sismo. A continuación con la densidad espectral de potencia obtenida para cada ventana de tiempo, se aplica la formulación para procesos estacionarios y se obtiene el espectro de respuesta para cada una de las ventanas de tiempo, almacenándose en memoria, cada uno de ellos. Cabe destacar que en cada ventana de tiempo se realizan cambios en las propiedades de los materiales, al aplicar el método lineal equivalente (Bardet et al., 2000), se aproxima a un método paso a paso.

3.5.2Procedimiento mediante ventanas de tiempo para considerar la variación temporal de la densidad espectral de potencia y en general para n ventanas

ST (ω ,t i )=H i(ω)H i(ω )S ii(ωi ,t i)+

∑j=1

n

H i (ω )H j(ω )S ij(ω j , t i)(21)

Este algoritmo implica por tanto que se está considerando la aplicación de la energía dinámica

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 5

por etapas (es decir la ventana de tiempo) y que en cada etapa se permite el cambio de propiedades de los materiales que constituyen el cuerpo del sistema estructural que se esté analizando.

4 VERIFICACIONES

En este capítulo se analizan los resultados que proporciona el programa, empleando una malla de un modelo teórico tridimensional de una presa de boquilla rectangular. El objetivo de este estudio es poder saber la influencia que tiene la variabilidad del contenido de frecuencias de las excitaciones sísmicas consideradas como procesos estocásticos no estacionarios, sobre el cambio de propiedades que ocurre en materiales no lineales, como son los suelos. Se hicieron análisis para cuatro sismos reales, uno registrado en la presa El Infiernillo, otro en Papanoa, Gro, el siguiente en la Central de Abastos y otro en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes, Distrito Federal. La malla de la presa consta de 3360 elementos y 4125 nudos, se presentan casos inelásticos (con cambio de propiedades) para una boquilla de sección rectangular.

4.1 Datos acerca de los sismos empleadosEn relación a las señales (de sismos reales) empleadas los datos correspondientes a cada una de ellas se presentan a continuación.

4.1.1Sismo IN128509.191Sismo del día 19 de septiembre de 1985, registrado en la cortina de la presa “El Infiernillo”. La clave de la estación es IN12 (figura 2). En la figura 3 se presenta su espectro de respuesta.

Figura 2 Acelerograma IN128509.

Figura 3 Espectro de respuesta, sismo IN128509.191

4.1.2Sismo PAPN8509.191Sismo del día 19 de septiembre de 1985, registrado en Papanoa, Gro. Clave da la estación: PAPN (figura 4). En la figura 5 se presenta su espectro de respuesta.

Figura 4 Acelerograma PAPN8509.191

Figura 5 Espectro de respuesta, sismo PAPN8509.191

4.1.3Sismo CDAO8509.191Sismo del día 19 de septiembre de 1985, registrado en la Central de Abastos, Distrito Federal. Clave da la estación: CDA1 (figura 6). En la figura 7 se presenta su espectro de respuesta.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

6 Título del trabajo

Figura 6 Acelerograma correspondiente al sismo CDAO8509.191

Figura 7 Espectro de respuesta del sismo CDAO8509.191

4.1.4Sismo SCT18509.191.Sismo del día 19 de septiembre de 1985, registrado en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes, Distrito Federal. Clave da la estación: SCT1 (figura 8). En la figura 9 se presenta su espectro de respuesta.

Figura 8 Acelerograma correspondiente al sismo SCT18509.191

Figura 9 Espectro de respuesta del sismo SCT18509.191

4.1.5Resultados de los análisis para la presa de boquilla rectangular.

En la figura 10 se muestra la malla empleada para modelar la presa teórica, consta de dos materiales, material uno para el corazón y material 2 para el resto de la cortina (G1= 5339.56 lb/ft2, n=0.35, 1 = 134.84 lb/ft3, G2= 5009.80 lb/ft2, n=0.35, 2 =95.500 lb/ft3). Los análisis se hicieron con una, dos y cuatro ventanas para las señales mencionadas anteriormente.

Figura 10 Malla tridimensional de presa teórica de boquilla rectangular

4.1.6Sismo 1 IN128509.191En este análisis se consideró un incremento de tiempo de 0.02 segundos analizándose 1000 puntos, por tanto la duración fue de 20 segundos. En las gráficas de la figura 11 se presentan los espectros de respuesta para dicha señal usando una, dos y cuatro ventanas. En la figura 12 se presenta la distribución de los módulos de cortante G al final del análisis con cuatro ventanas.

Figura 11 Espectro de respuesta debido a un sismo registrado en la presa El Infiernillo cuya identificación es IN128509.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 7

Figura 12 . Distribución de módulos de cortante G al final del análisis con 4 ventanas

Comentarios. En este caso se observa en las figuras anteriores, la variación de los espectros de respuesta con el número de ventanas empleado

Al comparar el espectro de respuesta que aparece en la figura 11 (en el análisis de cuatro ventanas), con el del acelerograma correspondiente en la figura 3, se ve que estos son parecidos, pero con una reducción (figura 11) en la amplitud para frecuencias altas, lo cual se debe a la no linealidad del material que induce un mayor amortiguamiento.

4.1.7Sismo 2 PAPN8509En esta sección se presentan los análisis con cambio de propiedades para dicha señal. En las gráficas de la figura 13 solo se presentan los espectros de respuesta para esta señal usando cuatro ventanas. En la figura 14 se presenta la distribución de los módulos de cortante G al final del análisis con cuatro ventanas.

Figura 13 Espectro de respuesta debido a un sismo registrado en Papanoa, Gro. cuya identificación es PAPN8509.

Figura 14. Distribución de módulos de cortante G al final del análisis con 4 ventanas

Comentarios. En este caso, al igual que en el sismo anterior, se observa en las figuras anteriores, la variación de los espectros de respuesta con el número de ventanas empleado.

Comparando ahora el espectro de la figura 13 con el del acelerograma correspondiente en la figura 5,

se ve que el pico máximo se encuentra ahora cerca de la frecuencia de 7 Hz, en ambos casos, pero con una reducción en la amplitud (figura 13), para valores altos de frecuencia, debido a que se tiene un mayor amortiguamiento para estas frecuencias.

4.1.8Sismo 3: CDAO8509Aquí se presenta, el análisis con cambio de propiedades para la señal CDAO8509.

Primero se muestran los espectros de respuesta para cuatro ventanas, en la figura 15; después se muestra la distribución de módulos de cortante G en la figura 16.

Figura 15 Espectros de respuesta en el nodo central superior de la presa, para una, dos y cuatro ventanas. Sismo CDA0850919

Figura 16. Distribución de módulos de cortante G al final del análisis con 4 ventanas

Ahora al comparar el espectro de la figura 15 con el del acelerograma correspondiente en la figura 7, se nota que aparecen tres picos en frecuencias en el rango de 0 a 2 Hz, en ambos espectros, teniendo una amplitud similar. En este caso no se percibe abatimiento en la amplitud de los picos (figura 15), ya que se tienen frecuencias bajas, donde el amortiguamiento por efectos no lineales del material es pequeño.

4.1.9Sismo 4: SCT18509Aquí se presenta el análisis con cambio de propiedades aplicando un sismo registrado en la SCT. Primero se muestran los espectros de respuesta para cuatro ventanas, en la figura 17; después, en la figura 18, se muestra la distribución de módulos de cortante G.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

8 Título del trabajo

Figura 17 Espectros de respuesta en el nodo central superior de la presa, para una, dos y cuatro ventanas. Sismo SCT1850919

Figura 18. Distribución de módulos de cortante G al final del análisis con 4 ventanas

Finalmente en este caso los espectros de la figura 17 y el de la figura 9 (del acelerograma), sólo muestran un pico relevante de magnitud muy parecida (cerca de 30 pies/seg2), para una frecuencia baja de 0.5 Hz. También en este caso el amortiguamiento es bajo por ser frecuencia pequeña.

De los cuatro casos analizados se concluye que existe mayor amortiguamiento por efectos no lineales cuando la frecuencia crece.

En lo que se refiere a la distribución de módulos al final de cada sismo, se puede decir lo siguiente: En la figura 12 (IN12509) se tiene la mayor reducción de módulos, ya que la zona en color rojo es la de menor valor de módulo (alrededor de 2.0x106 libras/pies2), en este caso el sismo tiene un pico para la frecuencia de 5.0 Hz con una magnitud de 45 pies/seg2. En los otros tres casos la reducción de módulo es menor, existiendo entre estos tres pequeñas variaciones en la distribución de módulos. Esto se debe a que los picos están en frecuencias menores a 1.0 Hz. En el caso de Papanoa se tiene un pico a 8.0 Hz de magnitud de 70 pies/seg2, pero se abatió bastante por ser frecuencia alta. En todo esto se nota que en el caso del Infiernillo se tuvo una combinación de frecuencia y amplitud más desfavorable, esto revela la importancia de las variaciones con el tiempo del contenido de frecuencias de los sismos.

De los análisis antes presentados se observa que, al utilizar distintos números de ventanas en los análisis utilizando una señal se presentará un efecto

distinto sobre los espectros de respuesta. También para cada una de las señales empleadas se obtuvo al final una distribución de módulos de cortante G distinta.

5 CONCLUSIONES

a) En los casos analizados, en lo que se refiere a espectros de respuesta, se observó que se amortiguan más los picos que tienen frecuencias altas, debido a la no linealidad del material.

b) En las distribuciones de módulos se observa que existe mayor abatimiento para cierta combinación de frecuencia y magnitud de los sismos, lo que ocurrió para el sismo IN128509, revelando con ello la importancia de la variación con el tiempo del contenido de frecuencias.

c) Tomando en cuenta los resultados observados, puede considerarse que el modelo matemático empleado como base del programa empleado en este trabajo PTLUSHEV, da resultados aceptables. Esto indica que es posible realizar análisis en el dominio de la frecuencia, considerando además la variación del contenido de frecuencias con el tiempo, es decir es una alternativa a los análisis paso a paso en el dominio del tiempo.

REFERENCIAS

Bardet, J.P., Ichii K., and Lin C.H. (2000), “EERA A Computer Program for Equivalent-linear Earthquake site Response Analyses of Layered Soil Deposits”, Department of Civil Engineering, University of Southern California

Bathe K., Wilson E., and Iding R. (1974), “NONSAP: A structural analysis program for static and dynamic response of nonlinear systems”, Department of civil engineering, College of engineering, University of California, Berkeley.

Okamura Shuhei. (2011) “The Short Time Fourier Transform and Local Signals, PHD Theses, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania

Priestley M: B: (1965), “Evolutionary Spectra and Non-Stationary Processes”, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). M. B. Priestley. Page 204 of 204-237

Romo M. y Villarraga M. (1989), “Modelo teórico del comportamiento sísmico de presas”, Basado en Investigaciones realizadas para Comisión Federal de Electricidad, Series del Instituto de Ingeniería, UNAM. No. 518, julio 1989.

Seed H. B. and Idriss I. M. (1970), “Soil moduli and damping factors for dynamic response analysis”, Report No. EERC 70-10, University of California, Berkeley.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 9

AGRADECIMIENTOS

Se agradece a la DGTIC, UNAM por los recursos de supercómputo brindados a nuestro equipo de trabajo y con los cuales se realizaron algunos de los análisis aquí presentados.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.