UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

ECUACIONES DIOFANTINAS

PREPARADO POR:

SAMUEL PÉREZ DENIS

8 – 767 – 1788

MONOGRAFÍA PARA OPTAR

AL TÍTULO DE LICENCIADO

EN MATEMÁTICA.

CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDEZ PEREIRA

PANAMÁ, 2011

2

ÍNDICE GENERAL

Dedicatoria………………………………………………………………………………..4

Agradecimiento…………………………………………………………………………...5

Introducción………………………………………………………………………………6

CAPÍTULO 1. HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………….7

1.1 Introducción Histórica……………………………………………………………...8

1.2 Biografía de Diofanto de Alejandría……………………………………………...11

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………………………………..14

2.1 Generalidades……………………………………………………………………..15

2.2 Solución de una ecuación diofántica lineal con dos incógnitas…………………..15

2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas……………………………………………...21

2.4 Ecuaciones de la forma x2− y2=a …………………………………………....22

2.5 La ecuación x2+ y2=z2………………………………………………………..23

2.6 Ecuaciones de la forma y2=x3+a…………………………………………….24

2.7 Ecuaciones de la forma xn+ yn=zn…………………………………………...24

2.8 Ecuaciones de la forma x=dy2+1…………………………………………….24

3

CAPÍTULO 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS…………...26

3.1 Compra de una bufanda…………………………………………………………..27

3.2 Una revisión en la tienda………………………………………………………….31

3.3 Compra de sellos de correos………………………………………………………34

3.4 Compra de frutas………………………………………………………………….36

3.5 Adivinar el día del nacimiento……………………………………………………37

Conclusiones……………………………………………………………………………..40

Recomendaciones………………………………………………………………………..41

Bibliografía……………………………………………………………………………....42

4

DEDICATORIA

Dedico con todo mi amor este trabajo a mi madre Enith Denis Patiño y a mi padre Egidio

Pérez, quien en el continuo esfuerzo de cada día, me concedió una educación y con sus

consejos me inspiraron a superarme en momentos de mis flaquezas.

5

AGRADECIMIENTO

Agradezco primeramente a Dios por darme salud y sabiduría, y por darme fuerzas,

una vez más, para alcanzar una de mis tantas metas.

De igual manera le doy gracias a mis padres por el apoyo incondicional que me han

ofrecido siempre.

Así mismo le doy gracias al profesor Jaime Gutiérrez por el tiempo que me ha brindado

para la buena realización de este trabajo.

6

INTRODUCCIÓN

Supongamos que se te pide que des las soluciones de la ecuación 3 x+14 y=20;

seguramente dirás que es un problema muy sencillo, que la solución es y=20−3 x14

,

donde x puede tomar cualquier valor. Otra cuestión mucho menos obvia es que halles las

soluciones con x e y enteros. Este tipo de ecuaciones, cuyas soluciones se exigen que

tomen valores enteros, o más en general valores racionales, es lo que se conocen como

ecuaciones diofánticas, en honor a Diofanto, matemático griego del año 275 que las

estudió extensivamente y dio soluciones a algunas de ellas. La teoría de las ecuaciones

diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las más bellas y difíciles áreas de las

matemáticas; tanto es así que el gran matemático y físico Gauss llegó a decir que la

Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética (llamada modernamente Teoría de

Números) es la reina de las matemáticas.

En este trabajo menciono algunas ecuaciones diofantinas, algunas de ellas muy

conocidas como el último teorema de Fermat, hablar de ella estaríamos hablando de

desarrollar otro trabajo más como éste. En el último capítulo de este trabajo se puede

hallar algunas aplicaciones de las ecuaciones diofantinas, resueltas con sumo cuidado,

para que así sea de fácil comprensión para el lector. Las ecuaciones Diofantinas caen

dentro del marco de la teoría de números y de hecho es ésta la disciplina encargada de

estudiarla.

Este trabajo ha sido realizado como alternativa de trabajo de graduación para

obtener el título de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Panamá.

La Teoría de números como las otras ramas de la Matemática comprende una gran

cantidad de temas que resulta de interés para aquellos que estudian matemática.

7

CAPÍTULO 1.

HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS

8

1.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Los matemáticos en la India se interesaron en encontrar soluciones enteras a las

ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer uso geométrico de las

ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los

siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros

positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan

ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.)

usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.

La Teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los

matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C., quienes tenían

conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer

matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.

Este tipo de ecuaciones se conoce, en matemáticas, desde muy antiguo, pero fue tras

la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.: 210 - 290) que

comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas. Se trata de Aritmética, un tratado de 13

libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fue encontrado en Venecia por Johann

Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán), hacia 1464. Esta obra de

Diofanto fue preservada por los árabes y traducida al latín en el siglo XVI. Desde

entonces, muchos matemáticos han realizado diversos tipos de solución de las ecuaciones

Diofantinas.

Dentro de tal grupo de matemáticos puede citarse a: Bhaskara, Fermat, Lagrange,

Euler, Hilbert, Gauss, Thue, Baker, Peano, Pell, cuyos aportes han jalonado no sólo el

campo de las ecuaciones Diofantinas sino también el de otras áreas de las matemáticas.

Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las

ecuaciones lineales indeterminadas, ecuaciones en las que falta información suficiente

para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuación x+ y=5 es un

ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser

9

reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a

través de una solución que no lo es.

Diofanto conoció y empleó los números negativos y a él se atribuye la norma empírica de

menos por menos da más, y menos por más da menos, aplicada en Aritmética y en

Álgebra moderna. Sin embargo la notación algebraica de Diofanto fue sustituida más

tarde, en el siglo XVII, por la que propuso el matemático francés Francois Viete (1540 -

1603), que es la que se sigue actualmente. Sobre las ecuaciones Diofantinas de orden 2 y

superiores se han realizado prolijos estudios, algunos de los cuales son:

• Solución de la ecuación cuadrática diofantina A x2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0 para la

cual Lagrange en 1769 encontró un algoritmo completo.

• Ecuación de Pell. Es un caso especial de la ecuación cuadrática diofantina de la forma

x2−D y2=N , donde D es un entero positivo que no es un cuadrado, N es un entero

diferente de cero. Para el caso general de la ecuación de Pell (cualquier) hay por lo menos

cinco buenos métodos de solución: 1. Búsqueda de “Fuerza Bruta”, que es la base de los

otros métodos; 2. El algoritmo de Lagrange-Matthews-Mollin (LMM); 3. Sistema de

reducciones de Lagrange; 4. El método cíclico; 5. El uso de formas cuadráticas binarias.

• Dificultades en la elaboración de un algoritmo para resolver ecuaciones Diofantinas.

• Un ejercicio consistente en analizar una ecuación Diofantina desde diversas

perspectivas: x2+7=8 pn, con p primo.

• ¿Qué es el Método del descenso Infinito? (propuesto por Lagrange).

• El problema multigrados Tarry-Escott: dado un entero positivo n, hallar dos conjuntos

de enteros a1 , …, ar y b1 , …, br, con r tan pequeño como sea posible, tal que

suma(a j)k=suma(b j)

k, para k=1 ,2 ,…,n. Conjetura r=n+1 paratodo n.

• El problema multigrados (hallar conjuntos de enteros cuyas sumas sean iguales; sumas

de cuadrados, sumas de cubos,...).

• Nueva solución del problema Prouhet-Tarry-Escott para k=11; otras restricciones.

10

• Sugerido por el ordenamiento de números en un torneo de baloncesto: resolver

ab=c+d , cd=a+b en enteros.

• El rompecabezas Times: Hallar soluciones racionales x3+ y3=6. (Una curva elíptica).

• Cuestiones relativas a una conjetura de Erdös: que 4n=1

x+ 1

y+1

z tiene solución para

todo número natural n.

• Soluciones para a6+5 a4 b+6 a2 b2+b3=1 en enteros.

• Generar todas (pequeñas) ternas Pitagóricas.

• Triángulos enteros con un ángulo de 120 grados.

• Teorema de Runges: límite en el número de soluciones para ciertas ecuaciones

Diofantinas en dos variables.

• Un par de ecuaciones se convierten en una sola ecuación en enteros Gaussianos.

• Ecuación de Fermat.

• Resolver xn+d yn=c: Ecuación de Thue.

• Ecuaciones Diofantinas Exponenciales.

• Completa parametrización de la superficie cúbica de Fermat: w3+ x3+ y3+z3=0. Este es

un famoso problema Diofantino.

Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los

matemáticos hindúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente

métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en el año 499 da la

primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal

ax+by=c la cual aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es considerado

como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas

puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas

11

lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la

solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.

Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el

método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo

aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que 61 x2+1= y2. Su Brahma Sphuta

Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación 61 x2+1= y2 fue

propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución

general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde

por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100

años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes,

la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión

modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de

otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas

cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de

Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara

encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas,

cuárticas y polinómicas de mayores grados. Narayana Pandit perfeccionó aún más las

demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.

1.2 BIOGRAFÍA DE DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

Diofanto, a menudo conocido como el “padre del algebra”, es mejor conocido por su

Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los

números.

Nacimiento: alrededor del 200 d.C.

Murió: alrededor del 284 d.C.

12

Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del último periodo alejandrino

tardío. Sus mayores logros fueron de carácter eminentemente geométricos. Durante este

periodo, cuando la ciencia griega y la filosofía como un todo estaba en decadencia, con

esta su matemática y los métodos algebraicos ocuparon un primer plano. Po este tiempo

Diofanto, el más reconocido exponente del álgebra griega, vivió en Alejandría.

Prácticamente no se conoce nada sobre su vida y ha existido mucho debate respecto de la

fecha en que vivió.

Existe una colección de problemas griegos escritos en forma poética, la Antología

Palatina, que fue probablemente compilada en la primera centuria después de la muerte

de Diofanto. Contiene ciertos problemas que pueden ser resueltos mediante ecuaciones.

Entre ellos se encuentra el siguiente que contiene toda la información acerca de Diofanto.

“Aquí ves la tumba que contiene los restos de Diofanto, se pude notar:

ingeniosamente se cuenta la medida de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida.

Después, durante la doceava parte se le creció la barba. Pasó aún una séptima parte de

su vida antes de tomar esposa, y en el quinto año fue padre. Elas, su hijo, un querido

pero desafortunado niño, vivió la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte

desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo

esto se deduce su edad.”

x6+ x

12+ x

7+5+ x

2+4= xdonde x es la edad quevivió Diofanto

De modo que se casó a la edad de 26 y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, años

antes de que el propio Diofanto muriese a la edad de 84 años.

El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Aritmética. La Aritmética es

una colección de 130 problemas dando soluciones numéricas de determinadas ecuaciones

(ésas con una solución única) y de ecuaciones indeterminadas. El método para resolver

estas últimas es conocido como el análisis Diofantino.

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional

(ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de

13

problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los

símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo

importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida

y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita.

Se cree que sólo seis de los 13 libros originales se conservaron y también se cree que los

otros deben haberse perdido muy pronto después de haber sido escritos. Existen muchas

traducciones arábigas, por ejemplo de Abu'l-Wafa, pero únicamente el material de estos

seis libros apareció.

Sin embargo, un manuscrito en árabe en la biblioteca Astan-i Quds (La biblioteca del

Templo Sagrado) en Meshed, Irán lleva un título reivindicando y que es una traducción

hecha por Qusta ibn Luqa, quien murió en el año 912, de los libros IV al VII de

Aritmética de Diofanto de Alejandría. F Sezgin hizo este notable descubrimiento en 1968.

Rashed compara los cuatro libros en esta traducción al árabe con los seis libros Griegos

conocidos y sostiene que este texto es una traducción de los libros perdidos de Diofanto.

La traducción latina más famosa de la Aritmética de Diofanto se debe a Bachet en

1621, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat

incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los

márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas

anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat. En el precioso

ejemplar de la edición de Bachet que Fermat poseía él dijo "haber encontrado una gran

luz."

14

CAPÍTULO 2.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

15

2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS

2.1 Generalidades

Como se dijo anteriormente, estas ecuaciones reciben este nombre en honor a

Diofanto, matemático que trabajó en Alejandría a mediados del siglo III a.C. Fue uno de

los primeros en introducir la notación simbólica en matemática y escribió seis libros sobre

problemas en las que consideraba la representación de números anterior como suma de

cuadrados.

2.1.1 Definición

Una ecuación diofántica tiene la forma general

a1 x1+a2 x2+…+an xn=b

donde a1 , a2 ,…,an son enteros y se exige soluciones también enteras.

La ecuación diofántica más simple es la ecuación diofántica lineal con dos incógnitas,

ax+by=c donde a y b son enteros dados, no ambos cero.

2.2 Solución de una Ecuación Diofántica Lineal con dos incógnitas

Veremos un teorema que nos permite saber cuándo una ecuación de este tipo tiene

solución y aporta un método para calcular una solución particular de la misma.

2.2.1 Solución Particular de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas

Sean a ,b y c tres números enteros. La ecuación lineal ax+by=c tiene solución entera si,

y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c.

Demostración

16

Supongamos que los enteros x0 e y0 son soluciones de la ecuación ax+by=c, es

decir, ax0+by0=c. Pues bien, si d=m.c .d .(a ,b), entonces

d=m.c .d .(a ,b)⟹d∨a y d|b⟹d|(a x0+b y0)⟹d∨c

Recíprocamente, supongamos que d=m.c .d .(a ,b) es divisor de c. Entonces,

m . c . d . ( a ,b )=d⟹m. c . d .( ad

,bd )=1

⇔ ∃ p , q∈Z :ad

p+ bd

q=1

⟹ acpd

+bcqd

=c

Siendo c/d entero ya que, por hipótesis, d es divisor de c. Ahora bastaría tomar

x0=cpd

e y0=cqd

y tendríamos que

a x0+by0=c

es decir los enteros x0 e y0 son soluciones de la ecuación.

La solución encontrada se llamará Solución Particular del sistema.

Obsérvese que este teorema además de asegurar la existencia de solución para una

ecuación de este tipo, ofrece un método para calcularla. El siguiente ejemplo aclarará

estas cuestiones.

Ejemplo 2.1 Encontrar una solución para la ecuación diofántica

525 x+100 y=50

Solución

- Veamos si existe solución entera para la ecuación.

Calculamos el máximo común divisor de 525 y 100 mediante el algoritmo de Euclides

525 = 5(100) + 25

100 = 4(25) + 0

Es decir,

m.c.d. (525, 100)= 25

17

y como 25 divide a 50, el teorema anterior asegura la existencia de solución entera para la

ecuación.

- Calculamos una solución para la ecuación.

Siguiendo el método indicado en la demostración del teorema, hallamos los coeficientes

de la combinación lineal del máximo común divisor de 525 y 100. Bastaría seguir el

algoritmo de Euclides hacia atrás.

25= 1(525) + (-5)100

Por tanto, los coeficientes buscados son p=1 y q=−5 y según el citado teorema una

solución para la ecuación sería

x0=cpd

e y0=cqd

Donde c es el término independiente de la ecuación y d el máximo común divisor de los

coeficientes de x e y. Consecuentemente,

x0=50 (1 )

25=2 e y0=

50 (−5 )25

=−10

2.2.2 Solución General de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas

Sean a ,by c tres números enteros no nulos tales que el máximo común divisor de a y b

divide a c. Entonces la solución general de la ecuación ax+by=c es

x=x0+k .bd

y= y0−k .ad

18

Donde x0 e y0 es una solución particular de la misma y k es cualquier número entero.

Demostración

Sea d el máximo común divisor de a y b. Por hipótesis d divide a c luego el teorema

2.3.1 asegura la existencia de una solución particular x=x0 e y= y0 para el sistema.

Entonces,

ax0+by0=c

Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de a y

b, tendremos,

ad

x0+bd

y0=cd

Siendo cd

entero y ad

,bd

números enteros primos entre sí, luego el máximo común divisor

de ambos es 1 y como 1 divide a cd

, el teorema 2.3.1 asegura la existencia de una solución

particular x1 , y1 para esta ecuación, luego

ad

x1+bd

y1=cd

Pues bien,

ad

x1+bd

y1=cd

ad

x0+bd

y0=cd}⟹ a

d( x1−x0 )+ b

d( y1− y0 )=0

⟹ ad

( x1−x0 )= bd

( y0− y1 )

⇔ bd∨a

d(x1−x0)

19

Y al ser bd

primo con ad

, dividirá a x1−x0, luego

bd∨x1−x0 ⇔ ∃ k∈Z : x1−x0=k .

bd⟹ x1=x0+k .

bd

Sustituimos el valor de x1−x0 en ad(x¿¿1−x0)+

bd( y1− y0)=0¿ y resulta

ad

. k .bd

+ bd

( y1− y0 )=0⟹ ad

. k+ y1− y0=0⟹ y1= y0−k .ad

Veamos, finalmente, que x1 e y1 es solución de la ecuación ax+by=c .

En efecto,

ax1+by1=a(x0+k .bd )+b( y0+k .

ad)

¿ax0+a . k .bd+by0−b . k .

ad

¿ax0+by0

¿c

luego,

x=x0+k .bd

y= y0−k .ad

es solución de la ecuación ax+by=c cualquiera que sea k∈Z. La llamaremos Solución

General de dicha ecuación.

Nota: En el ejemplo anterior, teníamos que

x0=2 e y 0=−10

20

era una solución particular para la ecuación

525 x+100 y=50

luego una solución general de la misma será:

x=2+k .10025

=2+4 k

y=−10−k .52525

=−10−21 k

siendo k cualquier número entero.

Ejemplo 2.2 Calcular las soluciones enteras de la ecuación diofántica 66 x+550 y=88.

Solución

66 x+550 y=88

- Veamos si la ecuación admite solución entera.

Calculamos el máximo común divisor de 66 y 550 por el algoritmo de Euclides.

550 = 8(66) + 22

66 = 3(22) + 0

luego,

m.c.d. (66, 550) = 22

y como 22 divide a 88, término independiente de la ecuación, por el teorema 2.2.1 se

sigue que la ecuación propuesta admite una solución particular x=x0 , y= y0 .

- Calculamos esta solución particular.

Volviendo hacia atrás en el algoritmo de Euclides, tendremos

22 = (-8) (66) + (1) (550)

21

luego,

x0=88 (−8 )

22=−32

y0=88 (1 )

22=4

es una solución particular de la ecuación.

- Calculemos ahora la solución general.

Según lo visto en el teorema 2.2.2 si una solución particular de la misma es x0=−32 e

y0=4, entonces la solución general es:

x=−32+k .55022

=−32+25 k

y=4−k .6622

=4−3k

siendo k cualquier número entero.

2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas

Las ecuaciones diofánticas cuadráticas se encuentran, por ejemplo en problemas

tales como el siguiente: Encuentre un entero b tal que sea posible expresar, mediante una

ecuación cuadrática “factorizable” en el sentido del álgebra elemental; esto es mediante

una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean números racionales, la siguiente

ecuación

1x−1

+ bx−4

=1.

Simplificando tenemos

x2−x (6+b )+b+8=0.

22

Si se pide que esta ecuación tenga soluciones racionales, su discriminante debe ser un

cuadrado perfecto, es decir, para algún entero s,

s2=b2+8 b+4=(b+4 )2−12.

Por tanto necesitamos resolver en términos de b la ecuación diofántica

12=( b+4 )2−s2

En consecuencia, un factor de 12 debe ser b+4+s y el otro, b+4−s

En símbolos,

r=b+4+s

t=b+4−s

donde rt=12. Por tanto, r+t=2(b+4 ) y r−t=2 s . Debido a que el factor 2 aparece en el

segundo miembro en ambas ecuaciones, ésta pueden resolverse en términos de los enteros

b y s, si y sólo si, r y t son pares ambos, o ambos impares. Ya que al intercambiar r y t no

cambia b, podemos escoger a r como menor que t en valor absoluto y tener los siguientes

pares de valores posibles para r y t:

r=±1 , t=±12 ;r=±2 , t=± 6 ;r=± 3 , t=± 4

Sin embargo, r y t deben tener la misma paridad y, por tanto, los únicos valores por

considerarse son:

r=2 ,t=6 y r=−2 ,t=−6 ,

que darán

b=0 y b=−8.

2.4 Ecuaciones de la forma x2− y2=a

Como x2− y2=(x+ y)(x− y). La ecuación queda ( x+ y ) (x− y )=a.

23

Ahora hacemos a=bc, b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de

dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces

x+ y=b

x− y=c

Resolviendo el sistema se obtiene:

x=b+c2

y=b−c2

2.5 La Ecuación x2+ y2=z2

Supondremos x , y , zprimos entre sí ya que six , y , z es solución de la ecuación también lo

es ax , ay , azpara cualquier a. De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.

Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x , y , z primos entre sí no puede

haber dos pares.

Transformamos la ecuación en

z2− y2=x2

Como

z2− y2=( z+ y ) ( z− y )

( z+ y ) (z− y )=x2

El problema se reduce a descomponer xcomo producto de dos números primos entre sí.

Sean u y v estos números

24

( z+ y ) (z− y )=u2 v2

obtenemos

y=u2−v2

2, z=u2+v2

2

Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un

número par.

2.6 Ecuaciones de la forma y2=x3+a

Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.

Con a cualquier número natural.

Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un

número finito de soluciones enteras.

2.7 Ecuaciones de la forma xn+ yn=zn

La ecuación xn+ yn=znno tiene solución para n>3, siendo n un número entero.

Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos

cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras

dos similares.

Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó

en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet "Para esto he descubierto una

demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado

pequeño para contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia.

El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.

25

Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas

elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios.

2.8 Ecuaciones de la forma x=dy2+1

Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell,

aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación.

Lagrange demostró que la enésima solución ( xn , yn )se puede expresar en términos de la

primera de esta forma:

xn+ yn √d=(x1+ y1 √d )n

Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x1 e y1.

2.8.1 Fracciones Continúas

Definición: Una función continúa es una fracción escrita en la forma

a1+b1

a2+b2

a3+b3

a4+b4

a5 …….

con ai≠ 0 , i=2 ,3 ,…

a i , bi∈Z

Si los a i son enteros positivos y b i=1 para todo i=1 , … entonces la fracción se llama

Fracción Continúa Simple.

26

Ejemplo:

52=1+2

3=1+ 1

32

=1+ 1

1+12

177

=2+ 37=2+ 1

73

=2+ 1

2+13

CAPÍTULO 3.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS

27

3. Aplicaciones de Ecuaciones Diofánticas

3.1 Compra de una bufanda

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres

rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la

compra, y cómo hacerlo?

La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben

entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19

rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el

número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

3 x−5 y=19

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere

decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos

(recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha

elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de

haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta

28

ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se

llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

Solución

En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar

el valor de x y de y en la ecuación

3 x−5 y=19

sin olvidar que tanto x como y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita

cuyo coeficiente es menor, es decir, 3 x tendremos:

3 x=19+5 y

de donde

x=19+5 y3

=6+ y+ 1+2 y3

Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que

1+2 y3

sea también un número entero. Expresémosle con la letra t . Entonces

x=6+ y+ t ,

donde

t=1+2 y3

y, por tanto,

3 t=1+2 y⟹2 y=3 t−1.

De la última ecuación despejaremos la y

y=3 t−12

=t+ t−12

29

Comoquiera que y y t son números enteros, t−1

2debe ser un número entero t 1. Por

consiguiente,

y=t+t 1

y, además,

t 1=t−1

2

de donde

2 t1=t−1

t=2 t1+1.

Sustituyamos el valor de t=2 t1+1 en las igualdades anteriores:

y=t+t 1=2 t1+1+t 1=3 t1+1

x=6+ y+ t=6+(3 t 1+1 )+ (2 t1+1 )=8+5 t1

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

x=8+5 t 1

y=1+3 t 1

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

8+5 t 1>0

1+3 t1>0

De estas desigualdades resulta que

5 t1>−8 y t 1>−85

30

3 t1>−1 y t 1>−13

Con esto el valor t 1 está acotado.

De aquí que la magnitud t 1 es mayor que −13

, (y claro, mucho mayor que −85

). Más,

como t 1 es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

t 1=0 ,1 ,2 , 3 , 4 , …

Los valores correspondientes de x y de y son:

x=8+5 t 1=8 , 13 , 18 ,23 ,…

y=1+3 t 1=1 , 4 , 7 , 10 , …

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3

rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

(8 ) (3 )−5=19

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

(13)(3) – (4) (5)= 19

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número

es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de

billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede

efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como

vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas.

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva

por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador

no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las

siguientes soluciones:

x = 5, 8, 11,....

31

y = 2, 7, 12,....

En efecto,

5 * 5 - 2 * 3 = 19

8 * 5 - 7 * 3 = 19

11 * 5 - 12 * 3 = 19

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central

mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco

rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar

billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación

planteada en el problema central:

3x - 5y = 19

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

x = 8 + 5t 1

y = 1 + 3t 1

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

8 + 5t 1< 0

1 + 3t 1< 0

y, por consiguiente,

t 1<−85

Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes

valores para x e y

32

t 1=−2⟹x=−2 ,t 1=−3⟹ x=−7 , t1=−4⟹ x=−12

y=−5 y=−8 y=−11

El primer par de solucionesx=−2, y=−5, significa que el comprador "paga menos dos

billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al

idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como

vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás

soluciones.

3.2 Una revisión en la tienda

Al revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de

tinta, presentando este aspecto:

No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste

no era un decimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas

cifras y establecer que, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora

averiguar qué cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos?

Solución

Representemos el número de metros con la x y el importe de la venta, expresado en

kopeks, con el número 4.936x .

33

Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una y. Esto, sin duda, expresa

la cantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será:

1.000y + 728.

Tenemos la ecuación

4.936x = 1.000y + 728.

Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta

617x - 125y = 91

En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por

cuanto no puede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes:

125y = 617x – 91

y=5 x−1+ 34−8 x125

=5 x−1+2 (17−4 x )

125=5 x−1+2 t

(Aquí hemos tomado 617125

=5− 8125

, ya que nos conviene que haya el menor residuo

posible. El quebrado

2 (17−4 x )125

es un número entero, y como 2 no se divide por 125, 17−4 x

125, x debe ser un número

entero, que representaremos con la t. Después, de la ecuación

(17−4 x )125

=t

se obtiene

17 - 4x = 125t

34

x=4−31t +1−t4

=4−31t +t 1

donde

t 1=1−t

4

por lo tanto

4 t1=1−t

t=1−4 t 1

x=125 t 1−27

y=617 t1−134

Se sabe que

100 ≤ y<100.

Por consiguiente

100 ≤ 617 t1−134<1000,

de donde

t 1≥234617

y

t 1=1134617

Es evidente que para t 1 existe solamente un valor entero: t 1=1, de dondex=98 , y=483;

es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos 28 kopeks. El

libro auxiliar, pues, ha sido restablecido.

3.3 Compra de sellos de correos

35

Se dispone de 1 rublo para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12 kopeks. ¿Cuántos

sellos de cada uno de estos precios deberán comprarse?

Solución

En este caso tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas:

x+4 y+12 z=100 ,

x+ y+z=40 ,

donde x es el número de sellos de 1 kopeks; y, el de 4 kopeks, y z, el de 12 kopeks.

Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos

incógnitas:

3 y+11 z=60

Despejemos la y:

y=20−11∗z3

Es evidente que 3 es un número entero. Indiquémosle con la t . Tenemos:

y=20−11 t

z=3 t

Sustituyamos la y y la z en la segunda de las ecuaciones iniciales:

x+20−11 t +3 t=40 ;

de aquí que

x = 20 + 8t

Como x≥ 0 , y ≥0 , y z≥ 0, no es difícil establecer los límites de t:

0 ≤ t ≤1911

36

de donde se deduce que para t son posibles sólo dos valores enteros: t = 0 y t = 1.

Los valores correspondientes de x , y , y z son:

t = 0 1

x = 20 28

y = 20 9

z = 0 3

Prueba:

y = 20 * 1 + 20 * 4 + 0 * 12 = 100

z = 28 * 1 + 9 * 4 + 3 * 12 = 100

En la compra de sellos, como vemos, son posibles dos variantes (si van a exigir que se

compre aunque sea un solo sello de cada valor, es posible una sola variante).

Pasemos al segundo problema de este mismo tipo.

3.4 Compra de frutas

Por 5 rublos se compraron 100 unidades de diferentes frutas. Sus precios son los

siguientes:

Sandía 50 kopeks cada una

Manzanas 10 kopeks cada una

Ciruelas 1 kopeks cada una

¿Cuánta fruta de cada clase fue comprada?

Solución

37

Indicando el número de sandías con la x, el de las manzanas con la y y el de las ciruelas

con la z, establezcamos dos ecuaciones:

{50 x+10 y+1 z=500x+ y+z=100

Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos

incógnitas

49x + 9y = 400.

El anterior desarrollo del problema será el siguiente:

y= 400−9 x9

=44−5 x+4 (1−x )

9=44−5 x+4 t

t=1−x9

⟹ x=1−9 t

y=77−5 (1−9t )+4 t=39+49 t

De las desigualdades

1−9t ≥ 0 y 39+49 t ≥ 0

se deduce que

19

≥ t ≥−3949

por consiguiente, t = 0. Por eso.

x=1 , y y=39

Sustituyendo los valores de x y de y en la segunda ecuación, deduciremos que z = 60.

Se compraron 1 sandía, 39 manzanas y 60 ciruelas.

3.5 Adivinar el día de nacimiento

38

Las ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el siguiente truco matemático. Se

propone a una persona que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12, y el

número del mes, por 31. Con la suma de los productos de esos datos puede calcularse la

fecha del nacimiento de la persona dada. Si por ejemplo nació el 9 de febrero, se

efectuarán las siguientes operaciones:

9 (12 )=108 , 2 (31 )=62 , 108+62=170

¿Cómo se deducirá el día del nacimiento conociendo esa suma?

Solución

La tarea se reduce a resolver la ecuación indeterminada

12x + 31y = 170

en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del

mes, x, no es superior a 31, y el número del mes, y, no pasa de 12.

x=170−31 y12

=14−3 y+2+5 y12

=14−3 y+t

2+5 y=12 t

y=−2+12 t5

=2 t−2∗1−t5

=2 t−2 t1

1−t=5 t 1, t=1−5 t 1

y=2∗(1−5t 1 )−2 t 1=2−12 t1

x=14−3∗(2−12 t 1)+1−5 t1=9+31 t1

Se sabe que 31 ≥ x>0 y 12≥ y>0, por lo que los límites para t 1:

−931

<t1<16

Por lo tanto,

39

t 1=0 , x=9 , y=2.

La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede

proponer otra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra

a=12 x+31 y. Puesto que 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7 y y a,

después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Al multiplicar por 7 resulta que

49 y y 7 a, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Pero 49 y=48 y+ y, y

48 y se divide entre 12. Resulta que y y 7 a al ser divididos entre 12 tienen restas

iguales.

Con otras palabras, si a no se divide entre 12, en este caso y es igual a la resta de la

división del número 7 a entre 12; pero si a se divide entre 12, entonces y = 12. Este

número y (número del mes) se determina enteramente. Sabiendo y ya es muy fácil

determinar x.

Un pequeño consejo: antes de determinar la resta de la división del número 7 a entre 12,

cambie el mismo número a por su resta de la división entre 12 - será más fácil calcular.

Por ejemplo, si a=170, Ud. tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos:

170 = (12) (14) + 2 (entonces la resta es 2)

2 * 7 = 14; 14 = (12) (1) + 2 (entonces y = 2)

x '=170−31 y12

=170−31 (2 )

12=180

12=9

entonces

x=9

Ahora Ud. puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos

que el truco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo

sus valores enteros y positivos. Representemos por a el número que se nos comunica. En

este caso, la fecha

40

del nacimiento vendrá expresada por la ecuación

12 x+31 y=a

Razonemos "por reducción al absurdo". Supongamos que esta ecuación tiene dos

soluciones diferentes enteras y positivas, concretamente: la solución x1 , y1 y la solución

x2 , y2; además, tanto x1 como x2 no son superiores a 31; y1 y y2 tampoco son mayores

que 12. Tenemos:

12 x1+31 y1=a

12 x2+31 y2=a .

Restando la segunda ecuación de la primera, tendremos:

12 ( x1−x2)+31 ( y1− y2)=0

De esta igualdad se desprende que el número 12(x1−x2) es divisible por 31. Como x1 y x2

, son números positivos que no superan 31, su diferencia, x1−x2 es una magnitud menor

que 31. Por eso, el número 12(x1 x2) puede dividirse por 31 sólo cuando x1=x2, es decir,

si la primera solución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de que

existen dos soluciones diferentes conduce a una contradicción.

CONCLUSIONES

Las ecuaciones diofánticas han sido un tema de mucho interés para los matemáticos

de todos los tiempos y es por eso que, como matemáticos que somos, lo es también para

nosotros.

Una de las características de la teoría de números es la facilidad con que surgen gran

cantidad de problemas muchos de los cuales pueden ser abordados, en principio, sin

necesitar grandes requisitos.

41

Estudiamos que este tipo de ecuaciones se conoce, en Matemática, desde muy

antiguo, pero fue tras la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III

d.C.: 210 - 290) que comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas.

Hemos aprendido lo que es una ecuación diofántica, y también hemos aprendido a

resolver algunas de ellas, concretamente las ecuaciones diofánticas lineales con dos

incógnitas (Solución Particular y Solución General), con a ,b ,y c números enteros.

Finalmente, aprendimos a cómo resolver problemas de aplicación mediante ejemplos.

La teoría de números es tan importante en la Matemática como la Matemática en

todas las demás disciplinas.

RECOMENDACIONES

1. Este trabajo de investigación, es realizado con la finalidad de que sirva de motivación

para los lectores, para seguir realizando trabajos en el campo de la investigación, y así

poder dar aportes al campo de la Matemática.

42

2. Las Ecuaciones Diofantinas son tan importantes que desde las ecuaciones más simples

hasta las más complejas se pueden verse como una ecuación diofántica. Así que animo al

lector a seguir investigando más sobre estas ecuaciones diofantinas.

3. Para nosotros que somos los estudiantes de Matemática, debería ser de mucha

importancia, estudiar temas relacionados a la Teoría Elemental de Números.

BIBLIOGRAFÍA

http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf

43

http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2011/alg-recre/cap04.pdf

http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/EcuDio.htm

http://matematica.lacoctelera.net/post/2006/03/20/ecuaciones-diofanticas

http://www.astroseti.org/articulo/3629/

BARRANTES, HUGO, y otros. 1998. Introducción a la Teoría de Números. San José,

Costa Rica; Págs. 39 – 40.