Formulario cap 4
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FORMULÁRIO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Cap. 4 Distribuições Importantes Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X∩Bin(n, p) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − .c , 0 ,..., 2 , 1 , 0 se , ) 1 ( ) ( c n k p p k n k X P k n k Teorema 4.2 Se X é uma v.a com distribuição Binomial de parâmetros n e p então E[X]=np e var(X)=npq Teorema 4.3 Se X 1 ,X 2 ,...,X k são variáveis aleatórias independentes com X i ∩Bin(n i , p), i=1, 2,...,k, então, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∩ ∑ ∑ = = k i i k i i p n X 1 1 , Bin . Distribuição de Poisson de parâmetros λ, X∩P(λ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − .c. , 0 ,... 2 , 1 , 0 se , ! ) ( c x x e x X P x λ λ e λ>0. Teorema 4.4 Se X é uma v.a com distribuição de Poisson de parâmetros λ então E[X]= λ e var(X)= λ Teorema 4.5 Se X 1 ,X 2 ,...,X k são variáveis aleatórias independentes com X i ∩P(λ i ), i=1, 2,...,k, então, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ ∩ ∑ ∑ = = k i i k i i P X 1 1 . Teorema 4.6 A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando n→∞ e p→0, mantendo-se λ=np constante. Em geral, quando n> 20 e p<0,05. Teorema 4.8 Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ e desvio padrão σ. Então a v.a. Z= σ µ − X tem distribuição normal standard, isto é, Z= σ µ − X ∩N(0,1). Aproximação da distribuição binomial à distribuição normal Se X∩Bin(n,p) com n→∞ e 0,1<p<0.9 então X ∩ & N(np, npq ). Aproximação da distribuição de Poisson à distribuição normal Se X∩P(λ) com λ→∞ então X ∩ & N(λ, λ ).
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FORMULÁRIO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Cap. 4 Distribuições Importantes
Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X∩Bin(n, p)
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
−
.c ,0
,...,2,1,0 se ,)1()(
c
nk ppkn
kXPknk
Teorema 4.2 Se X é uma v.a com distribuição Binomial de parâmetros n e p então E[X]=np e var(X)=npq Teorema 4.3 Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩Bin(ni, p), i=1, 2,...,k,
então, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∩ ∑∑
==
k
ii
k
ii pnX
11,Bin .
Distribuição de Poisson de parâmetros λ, X∩P(λ)
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
−
.c. ,0
,...2,1,0 se ,!)(
c
x x
exXP
xλλ
e λ>0.
Teorema 4.4 Se X é uma v.a com distribuição de Poisson de parâmetros λ então E[X]= λ e var(X)= λ Teorema 4.5 Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩P(λi), i=1, 2,...,k,
então, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛λ∩ ∑∑
==
k
ii
k
ii PX
11.
Teorema 4.6 A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando n→∞ e p→0, mantendo-se λ=np constante. Em geral, quando n> 20 e p<0,05. Teorema 4.8 Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ e desvio padrão σ. Então
a v.a. Z=σµ−X tem distribuição normal standard, isto é, Z=
σµ−X∩N(0,1).
Aproximação da distribuição binomial à distribuição normal
Se X∩Bin(n,p) com n→∞ e 0,1<p<0.9 então X∩& N(np, npq ).
Aproximação da distribuição de Poisson à distribuição normal
Se X∩P(λ) com λ→∞ então X∩& N(λ, λ ).
