FORMULÁRIO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

Cap. 4 Distribuições Importantes

Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X∩Bin(n, p)

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−

.c ,0

,...,2,1,0 se ,)1()(

c

nk ppkn

kXPknk

Teorema 4.2 Se X é uma v.a com distribuição Binomial de parâmetros n e p então E[X]=np e var(X)=npq Teorema 4.3 Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩Bin(ni, p), i=1, 2,...,k,

então, ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∩ ∑∑

==

k

ii

k

ii pnX

11,Bin .

Distribuição de Poisson de parâmetros λ, X∩P(λ)

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

−

.c. ,0

,...2,1,0 se ,!)(

c

x x

exXP

xλλ

e λ>0.

Teorema 4.4 Se X é uma v.a com distribuição de Poisson de parâmetros λ então E[X]= λ e var(X)= λ Teorema 4.5 Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩P(λi), i=1, 2,...,k,

então, ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λ∩ ∑∑

==

k

ii

k

ii PX

11.

Teorema 4.6 A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando n→∞ e p→0, mantendo-se λ=np constante. Em geral, quando n> 20 e p<0,05. Teorema 4.8 Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ e desvio padrão σ. Então

a v.a. Z=σµ−X tem distribuição normal standard, isto é, Z=

σµ−X∩N(0,1).

Aproximação da distribuição binomial à distribuição normal

Se X∩Bin(n,p) com n→∞ e 0,1<p<0.9 então X∩& N(np, npq ).

Aproximação da distribuição de Poisson à distribuição normal

Se X∩P(λ) com λ→∞ então X∩& N(λ, λ ).