FolhasApoioEB1_Unidade1

7/29/2019 FolhasApoioEB1_Unidade1

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ESTRUTURAS DE BETO I

FOLHAS DE APOIO S AULAS

Coordenao: Jos Noronha da Camara

Ano Lectivo 2013/2014


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Introduo

Estas folhas de apoio s aulas tm como objectivo facilitar o seuacompanhamento e correspondem, em geral, sequncia e organizao da

exposio incluindo, ainda, a resoluo de problemas. So apontamentos de snteseque no dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e dabibliografia proposta, onde deve ser realado o recente livro sobre Estruturas de Betoda autoria do Prof. Jlio Appleton.

Estes apontamentos resultaram da experincia de ensino e de textos anteriores dadisciplina para os quais contriburam os docentes que tm vindo a leccionar o BetoEstrutural, sob a orientao do Prof. Jlio Appleton, que foi, nesta escola, nos ltimos

30 anos e at ao ano lectivo 2010/2011, o responsvel por esta rea da engenharia deestruturas.

Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Jlio Appleton com a Eng Carla Marcho,organizaram a 1 verso destas folhas de apoio s aulas . A estas foram sendointroduzidas vrias contribuies, mais directamente, dos Profs. Jos Camara, AntnioCosta, Joo Almeida e Srgio Cruz.

Deve-se realar que o essencial do ensino do beto estrutural a transmisso doconhecimento sobre as caractersticas do comportamento estrutural efundamentao dos modelos de clculo , aspectos que se repercutem depois,naturalmente, nas prescries normativas, com algumas variaes.

Ao longo destes ltimos anos tm sido referidas na disciplina, em geral, as normaseuropeias (Eurocdigos ), j aprovados na verso definitiva (EN). Refira-se que, noentanto, no houve ainda uma aprovao formal, sendo possvel utilizar, no mbitoprofissional, em alternativa, a regulamentao nacional (REBAP Regulamento deEstruturas de Beto Armado e Pr-Esforado) ou a regulamentao europeia(Eurocdigo 2 Projecto de Estruturas de Beto).

Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na rea da engenharia de estruturas , fundamental que os alunos tenham uma boa percepo do comportamento dasestruturas, em geral, e, de uma forma quase imediata, das estruturas isostticas. Asmatrias tratadas na Resistncia dos Materiais, referentes ao comportamento depeas lineares em traco, flexo, esforo transverso, toro e em zonas onde a

hiptese de Bernoulli no vlida (Princpio de Saint-Venant), por exemplo, junto dosapoios de vigas e/ou de zonas de actuao de cargas concentradas) so uma base


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fundamental. tambm importante relembrar o comportamento elstico-plstico dasestruturas, para se poder compreender a influncia das caractersticas docomportamento no linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto particularmente importante para os elementos de beto estrutural e,consequentemente para o estudo das Estruturas de Beto.

Tambm os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Esttico e Cinemtico, que naverso curricular actual so apresentados na disciplina de Estruturas Metlicas, sofundamentais (principalmente o Esttico) para a boa compreenso das metodologiasde dimensionamento e verificao da segurana das estruturas e, em particular dasEstruturas de Beto.

Finalmente refira-se que no ano lectivo 2013/2014 os docentes que acompanharo a

disciplina so:

Jos N. da Camara (Coordenador da disciplina)Eduardo JlioJoo F. de AlmeidaAntnio CostaRui Rodrigues

IST, Setembro de 2013


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NDICE

1 INTRODUO AO COMPORTAMENTO DO BETO ESTRUTURAL 1

1.1. ELEMENTO DE BETO SEM INCLUSO DE ARMADURAS 1

1.2. ELEMENTO DE BETO ARMADO 4 1.2.1 C LCULO DAS TENSES NUMA SECO APS FENDILHAO 5 1.2.2 C LCULO DO MOMENTO DE CEDNCIA DA SECO 9

1.3. DIFERENA DO COMPORTAMENTO SECO/ESTRUTURA 10

2 CONCEITO DE SEGURANA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 12

2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL 12

2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOSESTADOS LIMITESLTIMOS 14

2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOSESTADOS LIMITESDE UTILIZAO 16

3 MATERIAIS 24

3.1 C ARACTERIZAO DOS BETES 24

3.1.1 TENSES DE ROTURA DO BETO 25

3.1.2 MDULO DE ELASTICIDADE DO BETO 25

3.1.3 V ALOR CARACTERSTICO DA TENSO DE ROTURA DO BETO COMPRESSO FC 25

3.2 C ARACTERIZAO DAS ARMADURAS 26

3.2.1 CLASSIFICAO DAS ARMADURAS PARA BETO ARMADO 26

4 VERIFICAES DE SEGURANA ROTURA POR FLEXO 28

4.1 RELAES TENSO-EXTENSO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAO DA SEGURANA AOSE.L. LTIMOS 28

4.1.1 BETO 28 4.1.2 AO 29

4.2 ANLISE DA SECO. MTODOGERAL 30

4.3 MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR 31

4.3.1 C LCULO DE M R D 31 4.4 RESISTNCIA FLEXO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS 39

4.5 DIMENSIONAMENTO FLEXOSIMPLES GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 41

4.5.1 M TODOGERAL 41 4.5.1.1 GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 42

4.5.2 M TODO DODIAGRAMAR ECTANGULAR SIMPLIFICADO 43 4.5.2.1 GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 43

4.5.3 U TILIZAO DE T ABELAS 44

4.5.3.1 DETERMINAO DA CAPACIDADE RESISTENTE(ANLISE) 44 4.5.3.2 DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS 44


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4.6 ESTIMATIVA DOMOMENTORESISTENTE 46

4.7 DIMENSIONAMENTO DE SECES COM OUTRAS FORMAS 49

4.7.1 L ARGURA EFECTIVA DE UMA SECO EMT 49

4.7.1.1 AVALIAO DA LARGURA EFECTIVA 50

4.7.2 DIMENSIONAMENTO DE SECES EMTPOR TABELAS 51

4.7.3 SIMPLIFICAO DE SECES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO FLEXO SIMPLES53

5 DISPOSIES CONSTRUTIVAS GERAIS 57

5.1 RECOBRIMENTO DAS ARMADURAS 58

5.2 DISTNCIA LIVRE ENTRE ARMADURAS(S) 58

5.3 AGRUPAMENTOS DE ARMADURAS 59

5.4 DOBRAGEM DE VARES 60

5.5 POSICIONAMENTO DAS ARMADURAS 61

5.6 PRINCPIOS A TER EM ATENO NA PORMENORIZAO DAS ARMADURAS 61

5.7 DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXO 62 5.7.1 QUANTIDADES MNIMA E MXIMA DE ARMADURA 62

5.7.2 ARMADURA LONGITUDINAL SUPERIOR NOS APOIOS DE EXTREMIDADE 62

6 INTRODUO AO COMPORTAMENTO NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETO 64

6.1 ANLISEELSTICA SEGUIDA DEREDISTRIBUIO DEESFOROS 65

6.2 APLICAO DIRECTA DO CLCULO PLSTICO(TEOREMA ESTTICO) 68

6.3 EXEMPLOS DE APLICAOPRTICA DAN OLINEARIDADE NAVERIFICAO DASEGURANADASESTRUTURAS 69


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Estruturas de Beto I

1

1 Intr od uo ao Com po rtam ent o do B eto Estr ut ur al

Nesta introduo ao comportamento do beto armado resume-se de uma formasimplificada, mas muito abrangente, as principais caractersticas do seufuncionamento em flexo. importante que, desde logo, se compreenda o essencialdas caractersticas da resposta do beto estrutural e se as enquadre na base doaprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistncia deMateriais.

Iremos comear por discutir o comportamento de uma pea de beto simples e, depoisintroduzir as armaduras em ao, que vm dar contedo e eficincia a este materialcompsito que, durante o Seculo XX e at actualidade, tem sido o responsvel pelodesenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de

organizao da sociedade.

Comecemos por referir algumas notaes correntes na engenharia de estruturas, emgeral, e no beto estrutural, em particular, que so internacionalmente aceites.

Notaes:

f resistncia do material

f c tenso de rotura do beto compresso

f ck tenso caracterstica de rotura do beto compressof ct tenso de rotura do beto traco

Ec mdulo de elasticidade do beto

f y tenso de cedncia do ao

f yk tenso caracterstica de cedncia do ao

f u tenso de rotura do ao

Es mdulo de elasticidade do ao1.1. ELEMENTO DE BETO SEM INCLUSO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de beto simples ilustrada na figura seguinte, bem como osdiagramas de esforos correspondentes a uma carga pontual genrica P aplicada ameio vo.


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M

1 / R

EI (rigidez de flexo)

P

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material beto:

f c

f ct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

3.5

Ec ( 30 GPa)

ndice c concrete

f c tenso de rotura do beto compressof ct tenso de rotura do beto traco

Ec mdulo de elasticidade do beto

Atravs da anlise da relao constitutiva do beto pode concluir-se que este ummaterial que possui um bom comportamento e resistncia compresso, com umaresposta quase linear para nveis de tenses baixos a mdios, e uma baixaresistncia traco (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistncia compresso). Estaltima caracterstica responsvel pela rotura do beto simples, como ilustrado noexemplo anterior, e pela formao de fendas no beto armado, como se ir estudar nadisciplina.

Clculo do momento de fendilhao

Admita-se que: f ct = 2.0 MPa

E, como,

= MWc =M vIc e Wc =

bh2 6 (para uma seco rectangular)

O momento de fendilhao pode ser avaliado pela expresso:

Mcr = f ct Wc = 2 103 0.20 0.502

6 = 16.7 kNm

A carga P, que est associada ao momento de fendilhao, pode ser estimada, paraaquela estrutura e carregamento, atravs da seguinte relao:

Mcr = PL4 P = 4Mcr L = 4 16.75 = 13.4 kN


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Concluso: Uma viga de beto simples no explora, minimamente, a capacidaderesistente do material em compresso, pois a mxima tenso que sepode mobilizar igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistncia traco. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa

capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e,na sequncia, uma rotura frgil .

Soluo: Introduzir um material com boa resistncia traco nas regies onde necessrio, ou seja, nas zonas traccionadas das peas. Ao se adoptar aarmaduras de ao explora-se muito melhor a capacidade resistente doelemento de beto, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar compresses mais elevadas no beto atravs das traces que passam a

se poder mobilizar nas armaduras. Alm disso, por via da ductilidadeassociada ao ao, temos tambm um comportamento dctil na rotura.Tem-se, assim, o Beto Estrutural (beto + armaduras de ao).

Esta anlise realizada para um elemento de beto simples submetido flexopode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situao mais simples daResistncia dos Materiais que a de um tirante (esforo axial simples).

1.2. ELEMENTO DE BETO ARMADO

Analisemos, ento as principais caractersticas do comportamento do beto armado resultante da introduo das armaduras de ao nas peas de beto.

O ao um material dctil com uma boa resistncia traco, mas tambm compresso (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposio em vares permiteum bom envolvimento pelo beto e, consequentemente, condies para uma boaaderncia entre os materiais.

2.5 a 10%

E s ( 200 GPa)

(200 a 800 MPa)f uf y

f y

ndice y yeld (cedncia)

f y+ f y-

Com a introduo destas armaduras no beto obtm-se um comportamento conjuntocom boa ligao e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto,


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Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar aresposta flexo de uma seco de beto armado, tomando-se o exemplo seguinte:

0.20

0.50d

Admita-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura til da armadura)

Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Avaliao simplificada da quantidade de armadura mnima necessria parasubstituir o papel das traces no beto quando se forma uma fenda (Anlise em

Estado no fendilhado - Estado I desprezando as armaduras, como razovel, em geral, em termos prticos)

A fora de traco disponibilizada pelas armaduras deve ser superior fora detraco no beto que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma formasimplificada (admitindo f ct = 2MPa e f y = 400 MPa):

f ct

h/2

b

Fct

Fc

(antes de fendilhar)

Fs Fct As, min f y b h

2 1

2f ct

As, min 0.2 0.54 2 10

3 1400 103 104 = 1.25 cm2

(Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida

superior a este valor, pois: As = 10cm2>> 1.25cm2)

Vejamos, agora, a avaliao da distribuio de tenses numa seco fendilhada

(denominada por Estado II) de acordo com as hipteses usualmente admitidas.(ii) Clculo do estado de tenso nas seces, aps a fendilhao do beto

Hipteses consideradas para o denominado Estado II

O beto no resiste traco

As seces mantm-se planas aps a fendilhao


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c

LN

c

(-)

(+)

s s (F s )

(Fc)

b

x

d z Mcr

Clculo da posio da linha neutra

Atravs da determinao do centro de gravidade da seco homogeneizada,

x = Ai xi

Ai= bx x/2 + As Es/Ec dbx + As Es/Ec x

bx + As Es Ec = bx

x2 + As

Es Ec d

bx2 + As Es Ec x =bx2 2 + As

Es Ec d

bx22 = As

Es Ec (d - x)

(equao que traduz a igualdade de momentos estticos)

Para a seco em estudo,

0.2x2 2 = 10 10

-4 x 20030 (0.45 - x) 0.1x2 + 6.67 10-3x - 0.03 = 0 x = 0.143 m

z (brao das foras resultantes) = d - x3 = 0.45 -0.143

3 = 0.40 m

Avaliemos, agora para o momento de fendilhao, anteriormente estimado (pargrafo1.1) a distribuio de tenses na seco, aps fendilhao:

Clculo da tenso no beto ( c)

Por equilbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm Fc =Mcr z =

16.70.40 = 41.8 kN

Fc = cx b2 c =

2Fc bx =

2 41.80.20 0.143 = 2923 kN/m

2 2.9 MPa

Clculo da tenso nas armaduras ( s)

Fs = s As s =Fs

As =41.8

10 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa


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Clculo das extenses mxima no beto e nas armaduras ( c e s)

= Ec = c

Ec =

292330 106 = 0.097 10

-3 0.1

s =s

Es =41800

200 106 = 0.2

ou c s =

xd - x s =

d - xx c=

0.45 - 0.1430.143 0.097 10

-3 = 0.2

M = 16.7 kNm

0.143

[MPa]

-2.9

s = 0.2 (+)

(-)

c = 0.1

LN

41.8

Verifica-se que, para a quantidade de armadura da seco (10 cm2), bastante superior mnima estimada (1.25cm2), o nvel de tenses nas armaduras (41.8 MPa), depoisde se formar a fenda, muito inferior ao da cedncia caracterstica (400MPa), ou seja,h, neste caso uma reserva muito grande at se atingir a cedncia.

Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das seces depois e antes dafendilhao.

Clculo da curvatura em Estado II

1R =

c + s d =

0.1 10-3 + 0.2 10-3 0.45 = 6.67 10

-4 m-1

Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras:

M = 16.7 kNm

[MPa]

(+)

(-)

c

c2.0

2.0

c = c

Ec =2.0

30 103 = 6.67 10-5

1

R= 2 6.67 10

-5

0.5=2.67 10-4 m-1


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Verifica-se, assim, que, para esta seco e com esta armadura, se verifica uma perdade rigidez considervel quando se perde a participao do beto traccionado, de:1/RII 1/RI 2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de

armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2considerados.

Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelasrigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:

Estado I sem considerar as armaduras: 1Rc =M

Ec Ic

Estado I com considerao das armaduras: 1R =M

Ec I

Estado II: 1R =M

Ec I

M

R/1

III

E c I

Ec I Ec I

Ic, I e I , so, respectivamente, a inrcia de seco s de beto, de beto e armaduras

homogeneizada no beto em situao no fendilhada (valor de I Ic) e fendilhada (I )sem considerar o beto traco.1.2.2 CLCULO DO MOMENTO DE CEDNCIA DA SECO

Em estado II (seco fendilhada sem participao de beto traco) a linha neutra ea rigidez da seco nica, como avaliada anteriormente. Assim, a um acrscimo domomento flector ir somente corresponder um aumento de curvatura comconsequente aumento de tenses, i.e., com o brao entre as resultantes das foras decompresso e traco a se manter constante.

M

s1s

(+)

(-)

c1

LN

c

M1 M2 M1

c2

s 2


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a) Seco

III

b) Elemento

M

R/1

Mcr

III

My

(1)

(2) (3)

Mcr

My(1)

(2) (3)

MM

R

Este efeito de atenuao da importncia da perda de rigidez, a quando da fendilhao, ainda mais notrio, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. Defacto, ao nvel da deformao global da estrutura, no se chega a notar um aumentopontual da deformao. Verifica-se, isso sim, uma diminuio da rigidez para cargassuperiores s do incio do processo de formao de fendas (zona do diagrama carga-

deslocamento de (1) para (2)) ver figura seguinte. Nesta relao, a perda de rigidezpor abertura de fendas numa ou noutra seco, dilui-se em termos da resposta global,mas, mesmo assim, com implicaes na deformao da viga.

P

(1)

(2) (3)

Para nveis de carga superiores a zona da viga passvel de ter fendas aquela emque os esforos sejam superiores aos de incio da fendilhao, como se mostra nafigura seguinte.

DMF

Mmx

P

Regio onde ocorrefendilhao para P mx

Mcr

Refira-se que, como referido anteriormente, medida que se verifica o incremento de

carga as tenses nos materiais aumentam at que se atinge, em princpio na secomais esforada, a cedncia do ao, ou seja o momento de cedncia - (ponto (2) dos


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diagramas). Este nvel de carga corresponde, grosso modo , capacidade mxima daseco, verificando-se, a partir da, s um ligeiro aumento at ao momento ltimo,associado a um grande aumento de deformaes. a zona de comportamentoassociada explorao da capacidade ltima da seco flexo, que se verifica, em

geral, com desenvolvimento de uma resposta dctil. Evidentemente que, em estruturashiperstticas, as zonas principais das estruturas no entram, em geral,simultaneamente em cedncia. Assim, a partir do seu incio numa determinadaseco, h lugar, ainda, para incrementos de carga at se mobilizar a capacidademxima da estrutura.

2 Conceito de Segurana no Dimension amento de Estruturas

O conceito de segurana a exigir s estruturas no obviamente especfico ao betoestrutural, sendo aplicado a estruturas construdas em qualquer material, em particular s estruturas metlicas e/ou mistas (beto/ao). Na sequncia, apresenta-se umresumo dos princpios fundamentais das metodologias de verificao da seguranaque reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para secompreender o enquadramento das preocupaes dos engenheiros na concepo eprojecto das Estruturas de Beto.

2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

H dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas paraassegurar, sociedade em geral, um nvel de segurana adequado s construes.Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cadaum deles, o tipo de verificaes em causa.

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situao de servio, ouseja, na sua utilizao corrente

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurana aosEstados Limite de Utilizao:

Limitar a deformao (Para as estruturas, em geral, e no s de beto)

De acordo com as recomendaes mais recentes, e para o caso de pisos de edifcios,a deformao final ou o incremento de deformao aps a execuo de paredes dealvenaria, deve ser limitada, para as aces com carcter de permanncia,respectivamente, a:

servio admissvel L250 ou L500


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Traco ou Compresso

Flexo

Esforo Transverso

Toro

Qualquer combinao destas

Zonas particulares de apoios e/ou introduo de cargas

Seja global , por perda de equilbrio conjunto da estrutura, como o derrubamentode um muro de suporte.

As caractersticas de comportamento do beto estrutural, prximo da rotura, e ashipteses admitidas para avaliao das capacidades resistentes dos elementosestruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, sero analisadas nosCaptulos seguintes.

2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOSESTADOSLIMITESLTIMOS

Para garantir o objectivo acima enunciado, da no rotura, a regulamentao dasestruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia desegurana que, tendo em conta a variabilidade das caractersticas dos materiais, dovalor das aces e da avaliao da resposta estrutural, assegura uma probabilidadede rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula.

Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliao de valorescaractersticos para os materiais e aces, e ainda adopo de coeficientes parciaisde segurana adequadamente definidos. Vejamos, ento, com algum pormenor, essavalorao.

1) Definio devalores caractersticos para:

Valores das aces S sk (95% de probabilidade de no serem excedidos)

Resistncias dos materiais S Rk (95% de probabilidade de serem superiores).

2) Adopo de coeficientes de segurana parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de aco:

Aces permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida

g = 1.0 ou 1.35 (consoante a aco for ou no favorvel)


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No caso do exemplo anterior, e considerando s a sobrecarga ( q = 1.5), tem-se(tomando o brao de foras, z, avaliado para o comportamento elstico):

M = PL4 Msd = 1.5 P 54 MRd = 10 10

-4 4001.15 103 0.40

Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada estrutura, com um nvelde segurana adequado em relao rotura por flexo (ou seja, verifica a seguranaao Estado Limite ltimo de Flexo):

P 74.2 kN

O procedimento de verificao da segurana acima resumido pode ser ilustrado combase nos diagramas de distribuio probabilstica dos efeitos das aces e daavaliao das resistncias, como indicado na figura seguinte. A partir de valorescaractersticos, superiores e inferiores, respectivamente para as aces e materiais,majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurana,para s depois estabelecer a condio de segurana.

Percebe-se que a margem de segurana disponvel que se obtm com esteprocedimento muito grande. Repare-se na diferena entre os valores mdiosexpectveis das aces e das resistncias. No entanto, a justificao da garantia daprobabilidade de no rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, est fora do mbito

destas folhas, e desta disciplina.

S sm S sk S Rk S RmS sd S Rd

Aces ou efeitos das aces Resistncia

2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAO DA SEGURANA EM RELAO AOSESTADOSLIMITES DEUTILIZAO

Para assegurar o comportamento adequado nas condies de servio, pretende-seavaliar, agora, to bem quanto possvel, a resposta efectiva da estrutura quando emutilizao. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de aces que se esperamefectivamente actuem a estrutura (e no valores caractersticos superiores e/oumajorados) e valores mdios para o comportamento dos materiais (certamente queno valores caractersticos inferiores e/ou minorados).


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Esta formulao conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valoresadmissveis seja da ordem de 1 x 10-1.

Vejamos ento, em termos prticos, com que bases se fazem estas verificaes:

1) Definio dos valores da aco que actuam na estrutura adoptando, por um lado,para os pesos prprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentosutilizados densidades mdias e, por outro lado, valores de sobrecargas comprobabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas dovalor caracterstico tm mais probabilidade de ocorrerem).

2) Estabelecimento de combinaes de aces, conforme preconizado no RSA:

Combinao quase permanente de aces: Estado limite de longa durao

( 50% do tempo de vida da estrutura) S cqp = G + 2iQi Combinao frequente aces: Estado limite de curta durao ( 5% do

tempo de vida da estrutura) S freq = G + 1 Q + 2iQi

Combinao caracterstica: Estado limite de muito curta durao (algumas

horas no perodo de vida da estrutura) S raro = G + Q + 1iQi

2 < 1 < 1.0)

Q aco varivel de base

Qi restantes aces variveis

3) A avaliao dos efeitos das aces deve ser realizada considerando, em geral, aspropriedades mdias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsvel. importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hiptese de comportamentolinear razovel e usual, para a obteno de esforos, mas j no para avaliaodas deformaes, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devidoa deformaes impostas estrutura, a grandeza dos esforos depende fortemente da

rigidez da estrutura, e, ento, a rigidez elstica deve ser diminuda, logo na avaliaode esforos.

, portanto, necessrio considerar, de uma forma simplificada, os efeitos dafendilhao (perda de rigidez) e da fluncia do beto nas caractersticas da resposta ena forma de avaliar os efeitos das aces. Estes assuntos iro os alunos analisar aolongo do curso.

4) Posteriormente h que fazer as verificaes de segurana, atrs mencionadas,

como a limitao da deformao, o controlo do nvel de tenses nos materiais e ocontrolo das aberturas de fendas. Estas verificaes so estabelecidas nos


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regulamentos, para certas combinaes de aces. Refira-se que um certo limite dependente da durao de tempo em que possa subsistir.

Por exemplo, para o caso da deformao, importante garantir a sua limitao para asituao quase-permanente, mas no para a eventualidade de, numa ou vriassituaes na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:

combinao quase permanente admissvel

Por outro lado, uma abertura de fendas mxima de 0.5 mm pode ser consideradaaceitvel para a combinao caracterstica de aces, pois s acontece muitoesporadicamente, mas no para uma situao com carcter de permanncia, em quese aponta na regulamentao para um limite de 0.3 mm.


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EXERCCIO1

Considere a estrutura de um piso estrutural, que ser tomado como referncia noscaptulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as aces previstasreferidas, e que se representa na planta seguinte:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400

Aces:

Peso prprioRevestimento=2.0 kN/m2 Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majorao:

G = Q = 1.5

Coeficientes de combinao:

1 = 0.4 ; 2 = 0.2

Seco da viga: 0.30 0.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determinar, para as seces S1 e S2 da viga, os valores dos esforos, para averificao da segurana rotura.

b) Calcular, para as mesmas seces, os esforos para as combinaes em servio,rara, frequente e quase-permanente.


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RESOLUO DOEXERCCIO

No processo de verificao da segurana de uma estrutura fundamental encontrar um modelo de anlise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a prpriaestrutura. Trata-se, no essencial, de um modelo da estrutura que serve de basepara a anlise, dimensionamento e verificao de segurana, neste caso da vigacentral em causa.

1. Modelo de clculo:

Modelo para o clculo da viga

10.00 3.00

S2 S1

g, q

Corte transversal viga

rev, q

0.30

0.15

0.70

4.00

Comentrios ao modelo de clculo, escolhido, com algumas simplificaes:

Consideram-se as vigas sem continuidade na ligao aos pilares;

Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Clculo das aces na viga

2.1. Carga permanente

Peso prprio

pp = beto rea = [4 0.15 + (0.85 - 0.15) 0.30] 25 = 20.3kN/m

Revestimento

rev = 2.0 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 4.0 = 12.0kN/m


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3. Diagrama de esforos para uma carga unitria (poder-se-ia considerar logo partida considerar o valor das cargas)

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

R A RB

10.25

4.5

4.55 3.0

DMF[kNm]

(+)

(-)

DEV[kN]

(+)

(-)

(+)

5.45

x

(i) Clculo das reaces de apoio

M A = 0 10 RB- 1.0 13132 = 0 RB = 8.45kN

F = 0 R A + RB = 13 R A = 13 - 8.45 = 4.55kN

(ii) Clculo do momento flector a vo

MB = - 1 33

2= - 4.5kN/m

Mvo = 1102 8 -

4.52 = 10.25kNm L/2 L/2

pL /82

(iii) Clculo do momento flector mximo

4.55 + 5.454.55 =

10.0x x = 4.55m

Mmx =4.55 4.55

2 = 10.35kNm

Mvo Mmx


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ALNEA A)

Seco S1 Seco S2

MS1G = 4.5 28.3 = - 127.35 kNm MS2G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q = 4.5 12.0 = - 54 kNm MS2Q = 10.25 12.0 = 123.0 kNm

VS1G = 5.45 28.3 = 154.2 kN

VS1Q = 5.45 12.0 = 65.4 kN

Valores de clculo dos esforos

MS1sd = 1.5 ( )MS1G + MS1Q = 1.5 (-127.35 - 54) = -272.0 kNm

MS2sd = 1.5 ( )MS2G + MS2Q = 1.5 (290.1 + 123) = 619.7 kNm

VS1Sd = 1.5 ( )VS1G + VS1Q = 1.5 (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Considerao de alternncia de sobrecarga A sobrecarga, sendo uma aco varivel, pode actuar em qualquer tramo. Assim, paracada caso, h que verificar a hiptese de carga mais desfavorvel.

Chama-se, desde j a ateno, para que na consola e sobre o apoio adjacente, osesforos s dependem das cargas na prpria consola e, portanto, os valores mximosso os avaliados anteriormente.

Por outro lado, se se considerar apenas a actuao da sobrecarga no tramo apoiado,

o momento flector obtido a meio vo desse tramo ser superior ao calculadoconsiderando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).

Deste modo,

gq

MS2Q =12 102

8 = 150 kNm ; MS2G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS2sd = 1.5 (290.1 + 150) = 660.2kNm


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Refira-se que, sendo a viga isosttica, a distribuio de esforos para uma qualquer combinao de aces nica. Ora isto diferente do que acontece nas estruturashiperstticas onde so possveis distribuies de esforos distintas que equilibram asmesmas aces... e que so compatveis com o comportamento, efectivamente no

linear, dos materiais.

Alnea b)

Seco S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4 54 = -149.0kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = -127.35 - 0.2 54 = 138.2kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN

Vcfreq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4 65.4 = 180.36kN

Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2 65.4 = 167.3kN

Seco S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4 123 = 339.3kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2 123 = 314.7kNm

Verifica-se tambm que o nvel de esforos considerados para a verificao dasegurana rotura so significativamente superiores aos correspondentes dascombinaes de aces em servio, e que estes ltimos so to menores, quo aprobabilidade de ocorrncia seja maior.


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3.1.1 TENSES DE ROTURA DO BETO

A partir dos valores caractersticos das tenses de rotura compresso ou traco,

definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de clculo rotura :

f cd =f cil.ck

c, f ctd =

f ctk c com c = 1.5 ( )f cil.ck 0.8 f cubosck

O valor mdio da tenso de rotura do beto traco pode ser estimado pelaexpresso:

f ctm = 0.30 f 2/3ck

Nota: o valor de f cd definido a partir da resistncia em cilindros, dado que estes provetes somais representativos da resistncia do beto em peas longas.

3.1.2 MDULO DE ELASTICIDADE DO BETO

Na anlise de estruturas usual admitir um comportamento elstico, como atrs jreferido, considerando-se, em geral, o mdulo de elasticidade secante do beto aos 28dias de idade. Este mdulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,

encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 f ck. Refira-se a propsito, que este tipo dehiptese adoptada, na prtica da engenharia, com muita frequncia, considerando-

se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em considerao o efectivocomportamento no linear do beto armado , quer em condies de servio, quer,por maioria de razo, prximo da rotura.

f cm

c

c

Ec

0.4 f ck

3.1.3 VALOR CARACTERSTICO DA TENSO DE ROTURA DO BETO COMPRESSO FC

A partir de um certo nmero de resultados de ensaios, possvel avaliar o valor caracterstico do beto.


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Assim:

f ck = f cm - Sn , Sn desvio padro das resistncias das amostras

parmetro que depende do nmero de ensaios

n 6 10 15

1.87 1.62 1.48

3.2 CARACTERIZAO DAS ARMADURAS

As armaduras a utilizar no beto estrutural podem dividir-se em:

armaduras para beto armado

armaduras de pr-esforo

As primeiras so tambm denominadas de armaduras passivas, pois s sosolicitadas em resposta a aces exteriores.

As armaduras de pr-esforo so compostas por aos com capacidade resistente daordem de 3 a 4 vezes superiores s passivas e so chamadas de activas, pois sotraccionadas antes da actuao das solicitaes exteriores.

Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pr-esforo introduzidona disciplina de Estruturas de Beto II.

3.2.1 CLASSIFICAO DAS ARMADURAS PARA BETO ARMADO

Os aos so classificados tendo em considerao o processo de fabrico, a rugosidadeda superfcie e a sua capacidade resistente. Assim temos:

processo de fabrico

ao natural (laminado a quente) (N) ao endurecido a frio (E)

aderncia

alta aderncia (superfcie rugosa ou nervurada) (R)

aderncia normal (superfcie lisa) (L)

resistncia

(A235), A400, A500


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4 Ver if ic aes d e Seg ur an a Ro tu ra p o r Fle xo

Para a avaliao das capacidades resistentes das seces de beto flexo, no

mbito da filosofia de segurana em relao rotura, comea-se por mostrar como secaracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliao.Posteriormente, e a partir de hipteses admitidas para a deformao da seco narotura, mostra-se como se avaliam os esforos resistentes de flexo.

4.1 RELAES TENSO-EXTENSO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAO DA SEGURANAAOS E.L. LTIMOS

4.1.1 BETO

A partir da relao tenso-extenso caracterstica do beto, referida anteriormente, definida uma relao simplificada, com base numa parbola e num rectngulo com umvalor mximo de resistncia, o qual obtido do valor caracterstico, pela aplicao docorrespondente coeficiente parcial de segurana de 1.5.

c

c

f cd

c2

f ck

cu2

(Diagrama parbola rectngulo)

f cd =f ck

c , c = 1.5 0.8 1.0

para 0 c c2

c = f cd para c2 c cu2

Para as classes de resistncia at C50/60,

c2[] cu2[]

2.0 3.5

Para uma definio analtica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografiareferida para a disciplina.

Na avaliao do valor de f cd, para alm do coeficiente parcial de segurana, aparece o

coeficiente . Este parmetro tem em considerao a diminuio da tenso de roturado beto quando sujeito a tenses elevadas prolongadas. De facto, se o beto for solicitado com constncia, durante um certo perodo de tempo, a uma tenso umpouco inferior mxima (entre 85% a 100% de f c) acaba por atingir a rotura. Deacordo, por exemplo, com o REBAP , a tenso mxima no beto est limitada a 0.85

f cd, ou seja considerando = 0.85. No entanto, o EC-2 prope, para casos correntes,


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1.0 f cd, pois nas condies de carregamento com persistncia o beto estar, emgeral, solicitado a nveis de tenses bem inferiores s acima referidas, tendo-seconsiderado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificao da segurana rotura. Na disciplina, e na prtica da engenharia em geral no futuro, tender a utilizar-

se a hiptese proposta no EC2. No entanto, e para j, o mais importante perceber arazo do sentido fsico deste coeficiente.

4.1.2 AO

Para a verificao da segurana aos E.L. ltimos pode ser considerada uma das duasrelaes constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,considerando ou no (hiptese muitas vezes admitida como simplificao) algumincremento de resistncia a partir da cedncia, quantificado pelo coeficiente k.

k f yk

f yd

1

ukyd

ykf

E =200 GPas

2s

sud

k f yd

f yd =f yk

s , s = 1.15

ud = 0.9 uk

Classe f yk [MPa]f yd

[MPa]yd

[ 10-3]

A235

A400

A500

235

400

500

205

348

435

1.025

1.74

2.175

O valor da extenso mxima convencional do ao, ud (igual a 90% do valor

caracterstico uk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. Noquadro seguinte so indicados os valores caractersticos das extenses ltimas, paraas diferentes classes de ductilidade, que so da ordem dos 25 a 75 , portanto, muitosuperiores aos do beto de 3.5 .

Classe deductilidade A B C

k 1.05 1.081.15


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repercurses em termos da avaliao das capacidades resistentes flexo, sopraticamente nulas, como se ver no sub-captulo seguinte.

Em Portugal os aos so denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em3.2.1, onde explicada a simbologia e a forma como se pode proceder suaidentificao superficial. Para a construo corrente normal utilizarem-se ferros NR,sendo em zonas de maior sismicidade, a utilizao de aos SD fundamental. Estasclassificaes actuais dos aos em Portugal, correspondem s caractersticas deductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.

4.2 ANLISE DA SECO. MTODOGERAL

Definidas as caractersticas dos materiais, a capacidade resistente flexo simples,mas tambm traco e compresso isoladas e/ou estas em sobreposio com aflexo, resultam do estabelecimento das condies de equilbrio e do estabelecimentodas condies de deformao da seco e das condies limite. No que se segue vaise analisar a situao de flexo simples mas importante que os alunos estabeleam,por si, as situaes de traco e compresso simples. A flexo composta ser tratadaposteriormente no curso.

Hipteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento

1- Apesar da complexidade do estado de deformao do beto armado, prximo da

rotura, a Hiptese de Bernoulli considerada.

2- A situao ltima limite atingida, quando se verifica uma dasextenses ltimas seguintes:

- -c = 3.5 (Deformao mxima de encurtamento no beto)

- s = ud (Deformao mxima de alongamento nas armaduras)

3- A participao dobeto traco no considerada:

- c = 0 se c> 0 o beto traco tem tenso nula

LN

Fs

z MRd

Fc

x

(+)

(-)

c 3.5

s ud


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31

Com base nas relaes constitutivas dos materiais e das hipteses anteriores,estabelecem-se as equaes de equilbrio na seco. Assim, se as expressarmos emfuno das resultantes das tenses de traco e compresso, tem-se:

Equaes de Equilbrio (sendo Fs e Fc as resultantes das tenses de traco ecompresso, respectivamente.):

Equilbrio axial (Esforo axial nulo): Fs = Fc

Equilbrio de momentos: MRd = Fs z

4.3 MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Neste mtodo simplifica-se a forma de distribuio das compresses no beto edespreza-se a participao do ao compresso, o que permite resolver as equaesanteriores, de forma simples.

0.8xx

f cdf cdc

(-)

f cd

c

3.5 c0.7

Deste modo,

s

c

Fs

z = d - 0.4x

x (-)

(+)

Fc

LNd

f cd

0.8x0.4x

4.3.1 CLCULO DEMRD Se forem conhecidos a geometria da seco, a quantidade de armadura e asresistncias dos materiais, a avaliao da capacidade resistente segue os seguintespassos (trata-se um problema dito de anlise pois a seco e armaduras estototalmente definidas):

i) Admitir que s = f yd ( s yd), ou seja, que as armaduras esto em cedncia

ii) Determinar posio da linha neutra

Por equilbrio axial, Fc = Fs f cd Ac (x) = As f yd x = ?


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iii) Calcular o momento resistente

Por equilbrio de momentos, MRd = As f yd (d - 0.4x)

iv) Verificar hiptese inicialmente admitida: s yd

Rotura convencional: c = 3.5 ou s = ud

A partir da posio da linha neutra anteriormente calculada, seadmitirmos que a rotura se d pelo beto, obtm-se aextenso ao nvel da armadura.

c = 3.5

(+)

(-)

s

x

Se s yd a hiptese considerada inicialmente, de admitir o ao em cednciaest correcta.

Se s < yd Fs < As f yd, trata-se de uma situao no desejvel pois nem seestaria a tirar partido da resistncia mxima do ao.

A posio da Linha Neutra para essa situao limite pode ser avaliada para os aos A400 e A500 por:

Posio da LN para c = 3.5 e s = yd (incio da cedncia do ao)

dx

s = yd

(+)

(-)

c = 3.5

A400 : yd = 1.74 x

3.5 =d

3.5 + 1.74 x = 0.67 d A500 : yd = 2.175

x3.5 =

d3.5 + 2.175 x = 0.62 d

Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar ao A400, ou se x 0.62 d no casode se utilizar ao A500, pode se concluir, desde logo, que o ao est em cedncia.

Por outro lado, conhecida a posio da Linha Neutra, possvel confirmar se a rotura

convencional se d pelo beto. Exemplifica-se, seguidamente, para aos das classesB (NR) e C (NR SD).

Para um ao de Classe C: Posio da LN para c = 3.5 e ud = 0.9 75 = 67.5

x

c = 3.5

(-)

(+)

ud

d

x3.5 =

d71 x = 0.05 d


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importante referir que no dimensionamento rotura dos elementos estruturais sedeve sempre avaliar as vertentes de resistncia e de ductilidade .

A situao mais corrente com que o engenheiro se defronta na prtica, depois de ter feita a anlise estrutural, ter avaliado a distribuio de esforos actuantes, ter definidouma geometria para a seco e escolhido os materiais, a de querer avaliar aquantidade de armadura a considerar para verificar a segurana (trata-se um problemadito de dimensionamento ).

Dimensionamento das armaduras:

Dados: geometria da seco, f cd, f yd, Msd

0.8x

cd

d

LN

Fcx

z

Fs

Msd

A s

b

i) Admitir que s = f yd ( s yd), ou seja, que as armaduras esto em cedncia

ii) Determinar posio da linha neutra

Por equilbrio de momentos, Msd = Fc z = f cd b 0.8 x (d - 0.4x) x = ... Fc = ...

iii) Calcular a rea de armadura necessria

Por equilbrio axial, Fc = Fs f cd b 0.8x = As f yd As= ?

iv) Verificar hiptese inicialmente admitida: s y


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Exerccio 2

Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5

q

5.00

0.55

0.303 20

Materiais: C25/30 (f cd = 16.7MPa) A400 (f yd = 348MPa)

Calcule a mxima sobrecarga q que pode actuar com segurana sobre a viga.

Resoluo

Mtodo do diagrama rectangular simplificado

0.4x0.8x

0.85 f cd

d

LN

F cx

z

F s

MRd

1. Clculo do MRd

Equaes de equilbrio (flexo simples)F = 0 Fc = Fs (1)

M = 0 MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x) (2)

(Este exerccio est resolvido com = 0.85)

Fc = 0.8x b 0.85 f cd = 0.8x 0.30 0.85 16.7 103 = 3406.8x

Fs = As f yd = 9.42 10-4 348 103 = 327.8kN (As(3 20) = 9.42cm2)

(1) Fc = Fs x = 327.83406.8 = 0.096m z = d 0.4x = 0.55 0.4 0.096 = 0.51m


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(2) MRd = Fs z = 327.8 0.51 = 167.2kNm

Verificao da hiptese de cedncia do ao ( s yd )

0.454

s

(+)

(-)

c = 3.5

0.096

0.55

s

0.454= 3.5

0.096s = 16.6>> yd

yd =f yd

s =348

200 103 = 1.74

xd =

0.0960.55 = 0.175

Ductilidade da seco (como critrio mnimo desejvel que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,

equivalentemente, s >~ 4 a 5,

3. Clculo da sobrecarga mxima (Msd MRd)

Msd =psd L2

8 167.7kNm psd 8 167.7

52 = 53.7kN/m

psd = 1.5 (g + q) q =53.71.5 - 0.30 0.60 25 = 31.3kN/m


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Exerccio 3 (mesma base do exerccio 1)

Considere a mesma estrutura de piso e considere os clculos j realizados:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1


Aces:

Peso prprio

Revestimento = 2.0kN/m2

Sobrecarga = 3.0kN/m2

Coeficientes de majorao:

G = Q = 1.5

Coeficientes de combinao:

1 = 0.4 ; 2 = 0.2

Seco da viga: 0.30 0.85m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexoda viga (Seces S1 e S2)

a.1) utilizando o mtodo do diagrama rectangular simplificado

a.2) Fs z

a.3) com recurso a tabelas

a.4) pormenorize as armaduras de flexo


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RESOLUO DAALNEA A):

1. Modelo de clculo:

10.00 3.00

S2 S1

g, q

0.85

0.30

2. Envolvente do diagrama de esforos

660.2

(+)

DMF[kNm]

(-)

272.0

S2

S1

ALNEA A.1)

Seco S2 (M+sd = 660.2 kNm)

0.30

As

M sd

F s

z

F c0.85 f cd

0.8xLN

x

0.80

Resoluo com = 0.85:

Fc = 0.85 f cd 0.8x b = 0.85 16.7 103 0.8x 0.3 = 3406.8x

Fs = As f yd = As 348 103

Equilbrio de momentos:

M AS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 660.2 x = 0.282m

Fc = 3406.8 0.282 = 960.7kN

Equilbrio de foras:

Fs = Fc As 348 103 = 960.7 As =960.7

348 103 104 = 27.6 cm2

Verificao da hiptese de cedncia do ao


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39

0.282

0.518

s

c = 3.5

(-)

(+)

Admitindo que c = 3.5

c = 3.5s

= 0.2820.518 s = 6.43 > yd = 1.74

xd = 0.35

A armadura est em cedncia e a seco tem um nvel de ductilidade aceitvel.

Seco S1 (M-sd = 272.0 kNm)

M sd

0.8xF c

F s As

0.30

0.80

x

LN

0.85 f cd

z

Equilbrio de momentos:

M AS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 272.0 x = 0.105m Fc = 357.7kNEnto x/d = 0.13 Bom em termos de ductilidade disponvel

Equilbrio de foras

Fs = Fc As 348 103 = 357.7 As =357.7

348 103 104 = 10.28cm2

Verificao da hiptese de cedncia do ao

Admitindo que c = 3.5 tem -se:s

3.5 =0.6950.105 s = 23.2 >> yd

4.4 RESISTNCIA FLEXO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS

Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformao de uma seco debeto armado, para quatro reas de armadura distintas (rea de armadura crescente).


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40

x1

MRd

As s(+)

(-)

c

M Rd,1

(As muito pequeno) (A s maior)

x2

MRd,2c

(-)

(+)

s

(...)

x3

MRd,3

s

(+)

(-)

c

(...)

MRd,4

x4

c

(-)

(+)s

1 2 3 4

Apresentam-se, em seguida, as relaes constitutivas do ao e do beto, comindicao qualitativa da evoluo das tenses e extenses dos dois materiais, com avariao da armadura.

f cd

c

syd ud s

s

f syd

2 3.5 c

43 e2

1

e1 23

4

Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos nveis de armadura, existeproporcionalidade entre a rea de armadura e o momento resistente da seco. medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relao deixa de ser linear, ouseja, o aumento da armadura traduz-se em acrscimos menores de momentoresistente. Este comportamento deve-se sucessiva diminuio do brao do binrio(z) com o aumento da rea de armadura, at que a armadura deixa de poder estar emcedncia (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficincia.

321

MRd

As4

M1

M2

M3M4


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41

4.5 DIMENSIONAMENTO FLEXOSIMPLES GRANDEZASADIMENSIONAIS

4.5.1 MTODOGERAL

s1

c

(-)

(+)

xFc

M

Fs1

LN

s2

As1

As2d2

d

Fs2 x

b

c

Fc = f cd b x

Fs2 = s2 As2

Fs1 = s1 As1

f cd = Ac c dA

bx ; x = c y dA c dA

coeficiente que define a relao da resultante das tenses de compresso nobeto pela fora de uma compresso uniforme com f cd, em toda a zona comprimida.

coeficiente que define a posio da resultante das tenses de compresso nobeto, funo de x.

Equaes de Equilbrio

Equilbrio axial: Fc = Fs f cd bx + s2 As2 = s1 As1 (1)

Equilbrio de momentos: M As = M M = f cd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)

(Equaes no lineares)

Clculo por iteraes

i) Fixar c = 3.5 e um valor de x (por exemplo , tal que,xd = 0.5)

ii) Calcular as foras axiais F

Se |F c + Fs2| > Fs1

a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma dasextenses, c ou s, o valor mximo e, a outra, umvalor igual ou inferior ao limite .

s ud

d

x

c 3.5

(-)

(+)

necessrio diminuir o valor de x at que F = 0


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43

Definem-se, assim, os parmetros , w e k, de uso corrente na concepo edimensionamento de estruturas de beto:

= Mb d2 f cd (Momento flector reduzido);

= As1 f yd b d f cd (Percentagem mecnica de armadura)

k = xd (Posio da L. Neutra adimensional)

4.5.2 MTODO DODIAGRAMARECTANGULARSIMPLIFICADO

4.5.2.1 Grandezas adimensionais

b

Fc

MRd

Fs

x

(+)

(-)

c

s

d

As

LN

0.4x

z

0.8x

MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x)

Admitindo que o ao est na cedncia, MRd = As f yd (d - 0.4x)

Transformando a equao anterior numa forma adimensional, resulta

MRdb d2 f cd =

As f ydb d f cd

1 - 0.4 xd =

Asb d

f ydf cd

1 - 0.4 xd Rd = (1 - 0.4k)

Rd =MRd

b d2 f cd (momento flector reduzido); k =xd

= As b d

f yd f cd (percentagem mecnica de armadura)

Fc = Fs 0.8 (kd) b f cd=Asf yd k = 1.47 Asb d

f ydf cd = 1.47 ( =0.85)085).85)

Visto que Rd = (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtm-se a seguinteexpresso para clculo do momento flector reduzido em funo da percentagemmecnica de armadura:

Rd = (1 - 0.588 )


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44

4.5.3 UTILIZAO DETABELAS

As tabelas podem ser utilizadas para:

i) Determinar o momento resistente de uma seco, dadas as armaduras;

ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante

4.5.3.1 Determinao da capacidade resistente (Anlise)

Dado As1 e As2 determina-se eTabelas

( ) MRd = b d2f cd

4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras

Dado Msd determina-se =Msd

b d2 f cdTabelas

( ) 1 As1 = 1 bd

f cdf yd As2 = As1

Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para = 0.85

Notas:

(i) No dimensionamento de uma seco, a posio da L.N. deve ser controlada por forma a que se tenha a garantia de um nvel de ductilidade adequado.

Caso isso no acontea, ser conveniente dispor de armaduras de compressoespecficas ou modificar a seco da viga (aumentar a altura mais eficiente que

adaptar a largura, no entanto, na prtica do projecto, a altura est muitas vezes maiscondicionada).

(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compresso, por

razes construtivas, em geral, com um nvel no inferior a = 0.1.

Directamente atravs dos valores adimensionais do momento ( ), e no considerandoo papel da armadura de compresso, possvel ter, para uma dada seco, umanoo do nvel de esforo actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado k prximo de 0.668 (A400) s prximo de yd

0.30 (seco pouco dctil)

Momento mdio k < 0.5 (seco dctil, dimensionamento adequado)

0.10 a 0.25

Momento pequeno 0.10 (situao aceitvel, a seco estar folgada)

IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referncia para umdimensionamento adequado e no como imposies regulamentares ou outras. Por


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exemplo, possvel ter valores de mais elevados e ter-se, ainda, um nvel deductilidade adequado, com utilizao de armadura de compresso .

No quadro seguinte, e para a flexo simples, apresentam-se as relaes de

dimensionamento - relativas aplicao do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1)com relaes constitutivas dos aos de acordo com as Classes A, B e C.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

EC2 - k=1,00EC2 - Classe A - k=1,05EC2 - Classe B - k=1,08EC2 - Classe C - k=1,15EC2 - Classe C - k=1,35REBAP

Verifica-se que as diferenas nos valores resistentes so pouco significativas, sendo amaior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de ao C com k = 1.35(linha superior).

As diferenas mais importantes so devidas considerao do aumento da resistnciado ao para alm da cedncia (coeficiente k). Refira-se que na prtica seria sempredesajustado tomar para o ao C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo apossibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.

O facto de se adoptar para o beto o coeficiente 0,85 (em vez do 1), s teminfluncia relevante para esforos elevados, pois a comea a ter alguma influncia adiminuio do brao das foras, devido ao aumento da zona das compresses.


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4.6 ESTIMATIVA DOMOMENTORESISTENTE

d

F c

Mz

F s As

Para momentos de ordem de grandeza pequena a mdia verifica-se que, para

seces rectangulares, razovel admitir, de umas forma simplificada: z 0.9 d.

M = Fs z Asf yd 0.9 d As =M

0.9 d f yd

De facto, pela observao das tabelas de flexo simples (pg. 9), com = 0, verifica-se que:

para = 0.15, z (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

para < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hiptese anterior conservadora para odimensionamento da armadura.

para > 0.15, z < 0.9 d, ento a hiptese referida, com pouca armadura de

compresso, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor de da ordem de 0.25 e para um = 0.4 tem-se tambm k = 0.247, e, por

conseguinte, z 0.9 d.

CONCLUSO IMPORTANTE:

Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntementerecomendados e utilizados na prtica, esta hiptese simplificativa permite uma rpidae eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.

Para a resoluo de problemas em geral e para a prtica de projecto, formas simplesde avaliao e controlo de resultados so de inestimvel valor.


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RESOLUO DOEXERCCIO3 (CONT.)

ALNEA A.2)

Fs = As f ydz 0.9d

M 0.9 d f yd As As =M

0.9 d f yd

M+sd = 660.2kNm As =660.2

0.9 0.8 348 103 104 = 26.34cm2

M-sd = 272.0kNm As =272.0

0.9 0.8 348 103 104 = 10.86cm2

ALNEA A.3)


= Msdb d2 f cd=660.2

0.3 0.82 16.7 103 = 0.206 = 0.241; k = 0.351

As = bdf cd f yd = 0.241 0.30 0.80

16.7348 10

4 = 27.76 cm2


= 272.00.3 0.82 16.7 103 = 0.085 = 0.091; k = 0.163

As = bd f cd f yd = 0.091 0.30 0.80 16.7348 104 = 10.48cm2

importante comparar os resultados obtidos pelos dois mtodos, e perceber,

como referido no texto, que se for limitado, razovel assumir a metodologiasimplificada.


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Classe do beto F c

MRd

F sF s A s

z z

F c

As

A influncia do aumento da classe do beto tem uma influncia equivalente dosparmetros anteriores, largura da seco e/ou armadura de compresso, portanto sse torna importante para esforos mais significativos, alis de uma forma equivalente

ao facto de se considerar ou no o coeficiente = 0.85.

4.7 DIMENSIONAMENTO DE SECES COM OUTRAS FORMAS

4.7.1 LARGURA EFECTIVA DE UMA SECO EMT

No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligao a lajes, pode tirar-separtido da existncia dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimidada seco.

b 1 b 2b w

h f

d 0

Neste caso, a distribuio de tenses no banzo no uniforme: as zonas lateraisdeformam-se menos que a zona central da alma (devido deformao por corte) efeito de shearlag, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados deseguida.

Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef ) onde se admite que adistribuio de tenses uniforme

F c


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50

M

x,max

b ef

4.7.1.1 Avaliao da largura efectiva

(i) Banzo comprimido

bw

h f

bef

bef1 bef2

b1b1 b2 b2

b

Para o caso genrico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtidaatravs da expresso:

bef = befi + bw b

Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:

befi = 0.2 bi + 0.1 L0 0.2 L0, com befi b

L0 representa a distncia entre pontos de momento flector nulo e pode ser avaliado por:

0.7 L 2

L2

L0 L1+0.15L 2

L1 L3

0.15(L 2+L3) 0.85 L 3

Evidentemente que, em termos prticos possvel simplificar esta avaliao, desdeque se estime um valor inferior, pois conservativo e pouco significativo em termos doresultado.

(ii) Banzo traccionado

No caso de se tratar de um banzo traccionado, proposto tomar, para alm da almada viga, uma largura funo da espessura do banzo dada por 4h f (hf espessura do


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banzo) em que as armaduras de traco podem ser distribudas. No entanto, se for possvel, em termos de pormenorizao, uma soluo com todas as armaduras declculo na largura da alma prefervel. De qualquer maneira, deve se procurar sempreter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de clculo na alma.

4.7.2 DIMENSIONAMENTO DE SECES EMT POR TABELAS

Esta metodologia verifica-se ser, em geral, um pouco fastidiosa, pois exige a consultade vrias tabelas e realizao de interpolaes, podendo em geral ser evitada, emparticular se se verificar que a Linha Neutra se encontra no banzo comprimido.

Exemplo com indicao do processo de interpolao:

bbw = 5 ;

hf d = 0.125

bbw = 4

hf /d = 0.10 1 a

hf /d = 0.15 2

bbw = 6

hf /d = 0.10 3 b

hf /d = 0.15 4

Casos particulares:

Dado que se considera que o beto no resiste traco, o dimensionamento de umaseco em T pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma seco

rectangular nos seguintes casos:

(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece nageneralidade dos casos) seco rectangular de largura b ef ;

b ef

b w

LN

As

M

F s

F c

As

LN

b ef

M

F c

F s


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53

= 0.023 = 0.024 As = b df cdf yd = 0.024 2.74 0.8

16.7348 10

4 = 24.77cm2

importante comparar este resultado com o obtido anteriormente e verificar que nestecaso se obteve um valor inferior, em aproximadamente 10%, em relao ao daconsiderao da viga rectangular. Isto deve-se ao facto de neste caso se poder dispor de um brao maior. Note-se, que a hiptese de considerar a seco como rectangular, conservativa em termos de verificao da segurana.

4.7.3 SIMPLIFICAO DE SECES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO FLEXOSIMPLES

1) Seco real

b

b'

b w

b

b'

2b w

2) Seco real

b w

b

b

2b w

3) Seco real

b w

b

b w

b


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Seces a considerar no dimensionamento flexo

1)

b'

b

2b w

M M

bb'

(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)

Nota: Se a LN estiver na alma da seco, o dimensionamento poder ser efectuadocom base numa seco em T (considerando a existncia do banzo que estiver comprimido, e desprezando o banzo traccionado)

2) e 3)

b w

b

b w

M

b

M

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)


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Exerccio 4

Considere a estrutura da figura seguinte:

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15


Aces: pp + revest. = 20.0 kN/m

sobrecarga = 40.0 kN/m

Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5

a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexoda viga (seces S1 e S2)

b) Pormenorize as armaduras de flexo.


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RESOLUO DOEXERCCIO4

ALNEA A)

1. Esforos de dimensionamento

10.003.50 3.50

p sd

DMF[kNm]

(+)

(-) (-)

551.3

573.8

551.3

psd = 1.5 (20 + 40) = 90 kN/m

MsdS1 = -psd L12

2 = -90 3.52

2 = -551.3 kNm

MsdS2 =psd L22

8 - MsdS1 = 90 10

2 8 - 551.3 = 573.8 kNm

2. Determinao das armaduras (E.L.U. flexo)


0.200.20

1.00 M sd

LN LN

1.00

0.40

= Msd bd2 f cd =573.8

0.40 0.952 13.3 103 = 0.120 = 0.131

As = bdf cd f yd = 0.131 0.40 0.95

13.3348.0 10

4

= 19.03 cm2


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Hiptese: a LN encontra-se no banzo da seco

M sd

1.00

1.00

LNLN

1.00

= Msd bd2 f cd =551.3

1.0 0.952 13.3 103 = 0.046 k = 0.112

k = xd x = k d = 0.112 0.95 = 0.106 LN est no banzo

= 0.046 w = 0.048

As = bdf cd f yd = 0.048 1. 0 0.95

13.3348.0 10

4 = 17.42cm2

5 Disp os ies Con stru tivas Gerais

As disposies das armaduras nas peas de beto armado so de extremaimportncia quer para a boa resposta estrutural do beto estrutural, quer paraassegurar que durante a construo, em particular no processo de betonagem, seassegura o posicionamento previsto para os ferros. Referimos agora, e na sequnciaas bases relativas a estas disposies.

Poderemos, talvez, diferenciar entre armaduras principais e secundrias, mas acimade tudo preciso compreender que o importante a eficincia final do conjunto.

Armaduras principais: Asseguram a resistncia do elemento estrutural relativamente segurana rotura (no s de flexo, como vimos anteriormente, mas tambm aoutros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nascondies de servio , como vamos ver noutro Captulo do curso.

Armaduras secundrias : Tm como funo ajudar a rigidificar as malhas dearmaduras , para a sua colocao em obra, assegurando o posicionamento correcto eestvel das armaduras durante a betonagem.


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d

b

h

s c

est = 6 ou 8 mm (o dimetro de 6 muito poucoutilizado em obras de mdia ou alta dimenso)

10 a 12 mm (para vigas mais importantes)

long = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas)

= 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)

c recobrimento

Obtm-se como estimativa da altura til:

Altura til: d = h - c - est -long2

5.1 RECOBRIMENTO DAS ARMADURAS

O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funes:

(i) mecnica: Destina-se a garantir que h beto suficiente a envolver a armadura, eassim garantir a sua aderncia por forma a que se verifique uma eficiente transmisso

de foras entre o beto e o ao (c ou eq)

(ii) durabilidade: proteco contra a entrada dos agentes agressivos econsequentemente dificultando que o processo de corroso das armaduras se possaverificar (recobrimento definido em funo da agressividade do ambiente de exposioe da compacidade do beto)

Estes aspectos so mencionados e analisados no captulo referente durabilidade dobeto armado.

5.2 DISTNCIA LIVRE ENTRE ARMADURAS(S)

A distncia livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar abetonagem em boas condies, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo beto eas necessrias condies de aderncia e proteco.

No caso de armaduras para beto armado, temos, em termos regulamentares osseguintes valores:

smin = { }maior , eq maior , (dg + 5 mm), 2 cm

onde dg representa a mxima dimenso dos inertes.


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No entanto, se estes so valores mnimos, deve-se projectar, pretendendoespaamentos com folga em relao a estes.

A distncia livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmenteespaadas, pode ser calculada pela expresso:

s = b - 2c - 2 est - n long n - 1 , n nmero de vares

necessrio, na pormenorizao garantir que a distncia entre vares assegura oespao necessrio para introduo do vibrador do beto (aconselhvel: 4 a 5 cm junto face inferior e 7 a 10 cm junto face superior). Nalguns casos, em particular naface superior normal que no se adoptem espaamentos iguais entre ferros paraassegurar este objectivo.

Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorizao de uma vigaque d apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas traco nasfaces inferiores (vo) e superiores (apoio).

5.3 AGRUPAMENTOS DE ARMADURAS

Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possvel, dado queprejudicam a aderncia ao/beto. No entanto, se essa for a forma de garantir umamalha muito apertada de ferros , sem dvida, uma soluo justificvel.

Regulamentarmente definem-se algumas restries aos agrupamentos. Assim:

O agrupamento de vares com dimetros diferentes pode ser adoptado desde que oquociente dos dimetros no exceda o valor 1.7.

Relativamente ao nmero mximo de vares que possvel agrupar, temos:

- Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de

vares, n 4

- Em todos os restantes casos, n 3

Em qualquer direco no pode haver mais que 2 vares em contacto.


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O dimetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expresso

eq = 2i 55mm

Exemplos:

(mais indicado) (aceitvel) (desaconselhvel)

Evidentemente que solues que incluam vares isolados e outros agrupados sopossveis, tentando sempre seguir as indicaes gerais referidas, em especial, no

dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo beto.5.4 DOBRAGEM DE VARES

Em muitas situaes as armaduras tm de ser dobradas, como as armaduraslongitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais.

Condies a satisfazer:

- No afectar a resistncia do ao;

-

No provocar o esmagamento ou fendilhao do beto quando a armadura for traccionada.

O dimetro mnimo de dobragem para no afectar a resistncia do ao depende, noessencial, do dimetro do varo e so indicados no quadro seguinte do EC2. Estesvalores so considerados mnimos havendo que ter precaues complementares noque diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhao inconveniente do beto,em particular se as dobragen se verificarem junto superfcie da pea, como indicadocom detalhe, por exemplo, no EC2.

Quadro Dimetro mnimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura

Dimetro do varo Dimetro mnimo do mandril para cotovelos,

ganchos e laos

16 mm 4

> 16 mm 7


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5.5 POSICIONAMENTO DAS ARMADURAS

O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, assegurado pelos seguinteselementos:

Espaadores garantem o recobrimento das armaduras

c

Cavaletes garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores naslajes

h

Vares construtivos (armaduras secundrias) Colocados de tantos em tantosmetros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaamentovertical dos vares longitudinais principais, durante a betonagem.

5.6 PRINCPIOS A TER EM ATENO NA PORMENORIZAO DAS ARMADURAS

A escolha do tipo de pormenorizao no que respeita ao nmero de vares edimetros a adoptar deve ter em ateno os seguintes factores, que apontam,eventualmente para opes contraditrias:

- custo da mo de obra menor nmero de vares

- facilidade de betonagem menor nmero de vares

- liberdade de dispensa maior nmero de vares

- mais eficiente limitao da fendilhao maior nmero de vares

Na pormenorizao das armaduras longitudinais das vigas s os trs primeirosaspectos so significativos, havendo que ganhar experincia e ter bom senso nasescolhas, sendo certo que no h que procurar a soluo ptima, mas sim uma BOASOLUO.


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5.7 DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXO

5.7.1 QUANTIDADES MNIMA E MXIMA DE ARMADURA

A quantidade mnima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2,

dada pela seguinte expresso:

As,min = 0.26f ctmf yk bt d

onde b t definida, como sendo a largura mdia da zona traccionada em flexo.

Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mnimode robustez aos elementos de beto armado, em especial garantir, com uma certareserva, que, ao se dar a fendilhao, a quantidade de armadura suficiente para

reter as traces que se libertam do beto sem cedncia do ao , garantindo umcomportamento dctil.

Chama-se, desde j a ateno para que, numa viga em T, com banzo traccionado mais prtico separar, por um lado, a alma , com a sua largura, b w, ou, se esta for varivel, com seu valor mdio, para aplicar a expresso anterior e, por outro lado, osbanzos , como elementos traccionados, com uma armadura mnima, a distribuir nasduas faces do banzo, tal que;

As f sy k > Ac,banzo f ctm, ou seja As,min = Ac,banzo f ctm/f syk

A questo da armadura mnima, como forma de controlar a fendilhao, em termos docomportamento em servio, para situaes de efeitos de deformaes impostas, serretomado no Mdulo 4.

A quantidade mxima de armadura a adoptar, fora das seces de emenda, dadaem termos regulamentares por:

As,mx = 0.04 Ac

onde Ac representa a rea da seco de beto.No entanto, em termos prticos, esta limitao tem pouca relevncia , pois oscritrios de dimensionamento rotura atrs apresentados, com limitao dos valoresde momento reduzido e posio da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem aquantidades de armadura bastante inferiores.

5.7.2 ARMADURA LONGITUDINAL SUPERIOR NOS APOIOS DE EXTREMIDADE

Sempre que existir ligao monoltica entre uma viga e um pilar de extremidade, e

caso esta ligao no tenha sido considerada no modelo de clculo, dever adoptar-


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se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector iguala 15% do momento flector mximo no vo.

Deste modo,

As,apoio

= mx { } As,min, 0.15 As,vo+


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6 Intr od uo ao Com po rtam ent o No L in ear de E st ru tu ras d e Bet o

Como referido e ilustrado no Captulo 1, o comportamento do beto armado nolinear desde o incio da fendilhao, que se verifica para nveis de carga relativamentereduzidos. Verificou-se que o beto estrutural tem um comportamento dividido, noessencial, em 3 fases, antes da fendilhao, no processo de fendilhao antes dacedncia do ao e da at rotura. Da hiptese de admitir, em estruturas hiperstticas,o comportamento linear dos materiais na avaliao da distribuio de esforos resulta, desde logo, uma aproximao , para o nvel de aces de servio, e, por maioria de razo, prximo da rotura.

Para analisar os efeitos da aco de cargas , o fundamental no desenvolvimento doprojecto de estruturas tomar uma soluo de distribuio de esforos equilibrada (o

que, naturalmente, respeitado pela soluo elstica). Assim, pode ter-se comoreferncia a soluo de distribuio elstica, mas podemos tomar uma outra, dentro delimites bastante folgados, como se ver ( mantendo sempre o equilbrio ). De facto,na fase prxima do esgotamento da capacidade resistente, a distribuio de esforosdepende da distribuio das resistncias, ou seja, no caso do beto armado, dadistribuio das armaduras adoptadas no projecto. A distribuio de esforos adapta-se s resistncias disponveis, desde que haja ductilidade disponvel nas zonas maisesforadas, ou, o que equivalente, essas zonas tenham capacidade de deformaoplstica. E o beto armado dimensionado, como se analisou no captulo 3, para issomesmo.

Por outro lado, mesmo em condies de servio, natural haver, devido s perdas derigidez por fendilhao, variaes dos valores de momentos, por exemplo numa vigacontnua, entre o vo e apoio, de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, por simplicidade, em projecto, a distribuio elstica.

Para os efeitos de deformaes impostas , por exemplo, variaes de temperatura ou

assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez associada no linearidadedo comportamento (fendilhao e fluncia para efeitos demorados no tempo) fazdiminuir claramente os esforos em relao aos elsticos, mesmo em condies deservio. Prximo da rotura, e se houver ductilidade disponvel, o que ser o caso se oselementos forem bem dimensionados, os esforos podem quase se anular.

No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais , como e quando sepode ter em conta o comportamento no linear do beto estrutural, na definio dadistribuio de esforos para o dimensionamento rotura.


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6.1 ANLISEELSTICA SEGUIDA DEREDISTRIBUIO DEESFOROS

Como acima referido, a partir da distribuio elstica possvel, e por vezes mesmoaconselhvel, tomar para o dimensionamento da estrutura uma outra, respeitando, namesma, o equilbrio.

Na figura seguinte esquematiza-se este possvel procedimento, que permite passar ,para uma dada combinao de aces, parte dos esforos do apoio para o vo,respeitando sempre o equilbrio. Resulta, neste caso, uma menor necessidade dearmaduras sobre o apoio e um aumento no vo. Esta opo pode ser muito til naregio do apoio, pois:

Pode melhorar as condies de ductilidade .

Pode facilitar a pormenorizao de armaduras .

MELMELR = MEL

M = M EL - MEL = MEL(1 - autoequilibrado

Li+1Li

DMF

p

Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, tambm possvelconsiderar a redistribuio de esforos em sentido contrario, do vo para o apoio.

Em termos regulamentares so referidas, em geral, algunas limitaes, tais como:

Para 0.5 lili+1

2

0.44 + k2 xud para f ck 50 MPa k2 = 1.25

0.7 para os aos das classes B e C, correspondentes aos aos NR e NRSD utilizados em Portugal.

Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade dependeda posio da Linha Neutra na rotura, que, com vimos no Captulo 3, o parmetroindirecto principal de medida da ductilidade, ou da capacidade de deformao plsticadisponvel.


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1.0

xu/d0.208 0.448

Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contnua, como a redistribuio de esforos implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforos auto-equilibrado.

MEL

M

MELR

(+)

(-)(+)

(+)

(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(+)

+

=

Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicao de uma redistribuio de =0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vo de, respectivamente, (pl 2/12)e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais no vo e apoio de (pl 2/16) !! O alunodeve analisar esta afirmao, de uma forma simples, verificando, por exemplo, que,em ambos os casos a soma, em mdulo, dos esforos no apoio e vo igual a (pl 2/8).Isto mostra o relativamente largo espectro de possibilidades que so possveis, para adistribuio dos momentos de dimensionamento, e consequentemente de armadurasno beto armado. Dito isto, importante mencionar que esta possibilidade no sendo,evidentemente, obrigatria, constitui uma opo de projecto, com eventuais vantagenscomo anteriormente salientado.

A justificao desta possibilidade, pode ser compreendida, de uma formasimplificada , se se tomar a distribuio elstica e se considerar uma rtula na secoa partir da qual se quer redistribuir os esforos. Ento, aplicando a o valor do

momento a redistribuir, obtm-se o valor da rotao plstica necessria, rqd (ver afigura abaixo).


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rqd =2 M3EI

l

Assim, esta rotao tem de ser inferior capacidade de rotao plstica da zona,neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, principalmenteda posio da Linha Neutra na rotura:

rqd < adm

O valor da capacidade de rotao plstica adm no facilmente quantificvel. Nafigura do EC2 abaixo representada, so indicados esses valores em funo de x u/d, edas caractersticas do ao e beto. Estes valores so em geral conservativos, sendoresultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das ltimas dcadas ede anlises numricas com modelos no lineares.


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00

5

10

0,05 0,20 0,30 0,40

15

20

25

pl,d (mrad)

( x u/d )

30

35

0,10 0,15 0,25 0,35 0,45

C 50/60

C 90/105

C 90/105

C 50/60

Os valores de redistribuio possvel (coeficiente atrs indicado) estocalibrados de forma a respeitar estes procedimentos de verificao dacapacidade de rotao disponvel, pelo que podem ser implementados sem estetipo de avaliao directa.

6.2 APLICAO DIRECTA DO CLCULO PLSTICO(TEOREMA ESTTICO)

A regulamentao de estruturas de beto permite igualmente a utilizao directa doteorema esttico da teoria da Plasticidade, que assegura que:

i) considerando uma distribuio de esforos em equilbrio com as cargas dedimensionamento;

ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a cargade rotura superior considerada.

Evidentemente que este teorema extremamente eficiente e til , mas deve ser usado com alguma precauo nas estruturas de beto, uma vez que:

a. como anteriormente analisado, a ductilidade das seces de beto armado limitada;

b. como se discutir posteriormente, para afastamentos muito importantes emrelao soluo elstica, importante verificar o impacto deste procedimentosobre o comportamento em servio, em particular no controlo da abertura defendas.

No entanto, dentro da gama de variaes de momentos analisada, havendo o cuidado

de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Captulo 6,os princpios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados.

Classe C

Classe B


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6.3 EXEMPLOS DE APLICAO PRTICA DA NO LINEARIDADE NAVERIFICAO DASEGURANA DASESTRUTURAS

A alternncia de sobrecargas deve ser considerada na verificao da segurana,sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. A considerao daalternncia de sobrecargas implica aumento dos esforos mximos nas zonas do voe apoio e, consequentemente, nas quantidades mximas de armaduras.

No entanto, no caso de estruturas hiperstticas, a considerao de comportamentoelstico na estrutura para cada combinao de aces claramente uma hiptesebastante conservativa. Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga omomento elstico do vo mais carregado maior e o do apoio menor, quandocomparados com o primeiro (HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o

segundo caso de carga se aplicar uma redistribuio do vo para o apoio, obtm-seuma envolvente de esforos em que os esforos mximos no vo mais carregado eapoio so coincidentes com os do 1 caso de carga. Assim considerando aredistribuio de esforos, neste caso para uma das combinaes de aces, verifica-se que a alternncia das sobrecargas afecta a envolvente de esforos ao longo dovo, mas no os valores mximos no vo e apoio, valores estes que condicionam asquantidades mximas de armaduras a adoptar.

L L

pl /8

cp

sc

DM EL

2

2pl /8

1) Hiptese de carga 1 (HC1)

HC1

DM EL

L L

2) Hiptese de carga 2 (HC2)

sc

cp

M

M

DM ELR

pl /82

HC2 EL

PLHC2

HC1, HC2HC2

HC1

De referir dois aspectos em relao a este exemplo:

Se se considerasse um 3 caso de carga, carregando s o 2 vo com asobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolventesimtrica.


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Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa redistribuioadoptada no 2 caso de carga do vo para o apoio, redistribuir os momentos decada um dos casos de carga, fixando, por exemplo, um valor intermdio. Nestecaso diminua-se o nvel de redistribuio para cada um dos casos de carga eobtinha-se uma soluo de dimensionamento, talvez mais razovel.

A concluso seria, sempre, que a considerao da alternncia afectaria aenvolvente de esforos (nas zonas intermdias das vigas) mas no os valoresmximos no apoio e no vo, para alm do necessrio para garantir o equilbriopara cada combinao de aces .

Esta concluso muito importante e a justificao pela qual, em muitas situaesprticas de projecto, em que se modela com base no comportamento elstico, se

dispensa a considerao explcita da alternncia das sobrecargas. Esta concluso ,em muitos casos, aplicada directamente quando o nvel das sobrecargas poucoimportante face ao das cargas permanentes. No entanto, mesmo se este no for ocaso, a possibilidade de redistribuio de esforos nas estruturas de beto permitesempre encontrar uma envolvente com menores valores mximos de esforos no voe apoio e que garantem, na mesma, o equilbrio das cargas, para cada combinao decarga. Se no se tirar partido desta possibilidade est a se assumir uma opoconservativa.

Refira-se, por ltimo, que, para cargas verticais, a distribuio de esforos paraverificao da segurana aos Estados Limites de Utilizao deve ser a distribuioelstica. Nestas condies, h que verificar se o nvel de tenses nas armaduras emservio aceitvel, na zona onde foi aplicada a redistribuio no dimensionamento rotura, em termos do controlo da fendilhao, como atrs mencionado e se discutecom mais detalhe no Captulo correspondente.

Para a determinao da carga ltima de uma estrutura existente os princpios da

Teoria da Plasticidade so particularmente teis. Nesses casos, as capacidadesresistentes e as caractersticas de ductilidade so avaliadas com base nacaracterizao possvel dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir destes valores pode ser estimada a mxima carga que pode ser suportada pela viga,como esquematizado na figura seguinte.


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pRd L /82

L

-MRd

L

pRd = ?

MRd+

DMF

(+)

(-)

Para a avaliao da capacidade ltima admite-se que, na rotura, mobilizada, emcada tramo, a capacidade resistente mxima das seces de vo e apoio. Ento, por simples equilbrio, pode determinar-se a carga ltima, tal que:

PRd l28

M-Rd2 + M

+Rd

Rigorosamente (porque o momento mximo no ocorre a

meio vo) pRd seria obtido das equaes:

x = l2 -M-Rdpl

PRd =M+Rd - M

-Rd

xl

Lx2 -

x22

Ser, evidentemente, necessrio verificar se, a redistribuio em relao soluoelstica, razovel para a ductilidade disponvel na estrutura existente.

Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradasaplicadas nos meios vos das vigas.

-MRd

+MRd

LL

P RdP Rd

L/2 L/2

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