Fluxo de Potência Newton-Raphson

Fluxo de Potncia via Mtodo de Newton-Raphson

Joinville, 2 de Maio de 2013

Fluxo de Potncia via Mtodo de Newton-Raphson

Viso Genrica

Escopo dos Tpicos Abordados Soluo do Fluxo de Potncia via mtodo de

Newton-Raphson

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema do fluxo de potncia de

grande importncia no planejamento, projeto e operao de Sistemas Eltricos de Potncia (SEP);

As principais grandezas eltricas obtidas via fluxo de potncia so: Tenses, mdulo e ngulo em cada barra (n); Potncia ativa e reativa em cada linha de transmisso ou

ramo;

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Soluo do Fluxo de Potncia Confinaremos os estudos utilizando somente:

Representao da rede na forma monofsica (sequncia positiva) (assume-se que o sistema equilibrado e que todas as linhas de transmisso so tranpostas), geradores e cargas apresentam potncia constante;

Matriz de admitncia; Mtodo de Newton-Raphson;

Para que o problema de fluxo de potncia possa ser formulado, so necessrias informaes como: Impedncias srie e shunt das LTs; Dados de transformadores: potncias, impedncias,

valores de taps; Elementos como: capacitores, reatores, cargas, dentre

outros;4

Soluo do Fluxo de Potncia A partir da matriz de admitncia, obtm-se:

G: representa a condutncia (siemens ou mho); B: representa a susceptncia (siemens ou mho);

As tenses e correntes em uma dada Barra i so dadas por:

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Soluo do Fluxo de Potncia A potncia aparente em uma Barra i pode ser obtida

via:

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Como:

Soluo do Fluxo de Potncia A potncia aparente em uma Barra i pode se

reescrita:

Separando as partes real e complexa, tem-se:

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Soluo do Fluxo de Potncia Separando a parte real na forma retangular:

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Separando a parte complexa na forma retangular :

Soluo do Fluxo de Potncia De forma alternativa, pode-se escrever tambm a

potncia na forma complexo-conjugada na forma Polar: :

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Separando as partes reais e complexas, na forma Polar:

Soluo do Fluxo de Potncia As equaes constituem as equaes do fluxo de

potncia e fornecem os valores a serem calculados de potncia para a barra i

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Soluo do Fluxo de Potncia Composio do balano de potncia nas barras do sistema:

Potncia programada scheduled:

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Balano de potncia ativa.

Balano de potncia reativa.

Soluo do Fluxo de Potncia Composio do balano de potncia nas barras do sistema:

Erros ou mismatches :

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,P Q

Soluo do Fluxo de Potncia Balano de potncia nas barras do sistema:

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Soluo do Fluxo de Potncia Balano de potncia nas barras do sistema:

No havendo carga ou gerao na barra i, os respectivos termos podem ser zerados

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Cada barra do sistema possui as duas referidas equaes para o balano de potncia.

Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia

consiste em: dadas as equaes de potncia ativa e reativa, com as tenses desconhecidas:

Encontre P e Q que satisfaam as condies de contorno do balano de potncia:

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Quatro grandezas associadas barra i podem ser calculadas:

P, Q, |V| e :

No mximo existem duas equaes iguais s do balano de potncia para cada barra:

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Se no houver potncia programada (scheduled) P ou Q

para a barra i, os erros ou mismatches no podem ser definidos e os requisitos das respectivas condies de contorno no precisam ser satisfeitos: Se , no necessrio satisfazer:

Se , no necessrio satisfazer:

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, 0i schP =

, 0i schQ =

Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Desta forma, necessrio conhecer quais as variveis podem

ser eliminadas do problema para barra a fim de satisfazer as equaes disponveis: Para isto, so definidos trs tipos de barras que compem

um SEP: Para cada barra i, duas das quatro grandezas (P, Q, |V| e ) so especificadas e as outras duas restantes devem ser determinadas;

As grandezas so escolhidas de acordo com os seguintes tipos de barra:

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Tipos de barra: Barras de carga ou PQ:

No existe gerao; As potncias ativa P e reativa Q so especificadas

conhecidas via dados histricos, previso de carga ou medies; Comumente somente P conhecido e estipula-se um FP de 0,85 ou maior para estimar Q;

Conhecidos os valores de P e Q programados, as condies de contorno podem ser definidas;

As grandezas desconhecidas (a serem determinadas) so: |V| e

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Tipos de barra: Barras de tenso controlada ou PV:

Qualquer barra do sistema em que a tenso pode ser controlada;

So as barras de gerao (P controlado pela potncia da mquina primria) e V controlada pela tenso de excitao do gerador, por exemplo;

Havendo carga na barra, os erros ou mismatches de potncia podem ser estabelecidos;

Q do gerador necessrio para manter a tenso controlada na barra no pode ser conhecido de antemo, assim calcula-se somente e em seguida Q; 20

Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Tipos de barra: Barras de tenso controlada ou PV:

Aps a soluo do fluxo de potncia, Q determinado via equao:

Existem tambm outros tipos de barras onde a tenso pode ser controlada. Em tais barras, a potncia ativa gerada nula.

Nas barras PV, P e V so especificados e calculado no fluxo de potncia. Somente depois Q calculado. 21

Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Tipos de barra: Barra de folga ou de referncia ou V ou Slack Bus ou Swing:

Serve para fechar o balano de potncia, assumindo perdas em LTs, transformadores, capacitores, reatores que compem a rede, pois as correntes em cada LT ou ramo no so conhecidas.

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Soluo do Fluxo de Potncia A soluo do problema de Fluxo de Potncia: Tipos de barra: Barra de folga ou de referncia ou V ou Slack Bus ou Swing:

Aps convergido o problema do fluxo de potncia, as perdas so atribudas barra de folga do sistema;

Determina-se assim P e Q da barra de folga. Tais grandezas so funes dependentes do sistema, assim como Q das barras controladas e as Perdas no sistema;

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Resumo das equaes do Fluxo de Potncia:

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Soluo do Fluxo de Potncia

Resoluo via mtodo de Newton-Raphson: o mais utilizado para a soluo de sistemas de

equaes algbricas no-lineares; Consiste em aplicar a srie de Taylor, truncada no

primeiro termo, no sistema de equaes, a ser resolvido e por aproximaes sucessivas, dado um valor arbitrrio inicial, encontrar a soluo do problema.

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Resoluo via mtodo de Newton-Raphson: Equaes a serem resolvidas:

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Resoluo via mtodo de Newton-Raphson: Passo 1 linearizar as equaes (obter a matriz

jacobiana do sistema):

Para um sistema de 4 barras:

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jacobiana do sistema): Multiplica-se e divide-se pelas magnitudes das tenses

para se obter um jacobiano mais simples e simtrico:

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jacobiana do sistema):

Para um sistema de 4 barras:

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Resoluo via mtodo de Newton-Raphson: Passo 2 equao para realizao de aproximaes

sucessivas: exclui-se da barra de folga.

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1 1P e Q

Resoluo via mtodo de Newton-Raphson: Passo 3: aps calculadas todas as grandezas ou

variveis de estado, calculam-se as funes dependentes do sistema, tais como Q das barras controladas, as Perdas no sistema e P e Q na barra de referncia;

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Resoluo das Equaes Nodais Exemplo do mtodo de Newton-Raphson ltima aula: Dado a equao algbrica:

Aplique a srie de Taylor, e elimine os termos de ordem superior (trunque a srie):

Assuma:

Com:32

Resoluo das Equaes Nodais Exemplo do mtodo de Newton-Raphson: Assuma:

Dado X0, a primeira aproximao dada por:

Realizando sucessivas aproximaes:

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Resoluo das Equaes Nodais Exemplo do mtodo de Newton-Raphson: Resolva:

Dado X0 =6, encontre a raz mais prxima de X0:Passo 1:

Graficamente:

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Mtodo de Newton-Raphson para uma Equao Exemplo do mtodo de Newton-Raphson:

Dado X0 =6, graficamente, tem-se a soluo:

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Mtodo de Newton-Raphson para uma Equao Algoritmo no Matlab:

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Mtodo de Newton-Raphson para uma Equao Resposta no Matlab:

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