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Prof. Rafael mesquita
Adpt. por Prof. Guilherme Amorim
Aula 5 – Método Iterativo Linear e Newton-Raphson2014.1 - 15/04/2014
Cálculo Numérico
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O que vimos até agora?
Zeros de função: Bisseção Falsas cordas
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E hoje...
Os métodos vistos até agora (Bisseção e Falsas cordas) são chamados de métodos de quebra.
Vamos estudar mais dois métodos para encontrar zeros de função.
Hoje, entraremos nos métodos de ponto fixo.
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Método Iterativo Linear
Idéia básica (métodos de ponto fixo) Transformar o problema de encontrar uma
raíz da equação f(x) = 0
No problema de resolver a equação
que deve possuir as mesmas soluções que a anterior
-> máquina geradora da sequência de aproximações da raíz procurada
Temos o seguinte processo iterativo:
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Método Iterativo Linear
Transformando em , ambas com as mesmas soluções Objetivo: provar que Consideramos a máquina geradora como:
Caso seja solução de f(x)=0 temos que Prova:
Como é solução de
Assim, temos que
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Método Iterativo Linear
Transformando em , ambas com as mesmas soluções Objetivo: provar que Consideramos a máquina geradora como:
Caso seja solução de , obrigatoriamente teremos que
Prova:
Como por definição
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Exemplo 1
Considerando a equação Se fizermos:
Teremos que Logo, Ou seja, temos duas funções (1) e (2) Onde (1) e (2) se encontram é a solução
f(x)=0
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Exemplo 1
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Exemplo 1
Ex: Considerando ainda a equação (que possui -3 e 2 como raízes ), vemos abaixo a aplicação da máquina geradora , tomando :
Nesse caso, está convergindo para a raiz
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OK.. Mas como resolver o problema?
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Exemplo 2E se tivéssemos considerado...
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Exemplo 2
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Exemplo 2
Ex: Considerando a equação (que possui -3 e 2 como raízes ), vemos abaixo a aplicação da máquina geradora , tomando :
Como podemos observar, não está convergindo para a raiz
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Método Iterativo Linear
Convergência Uma função de iteração deve satisfazer a
condição Dada uma equação podemos definir
diversas funções de iteração Nem todas elas serão úteis Existem certas condições para garantir a
convergência com uma certa função de iteração
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Método Iterativo Linear
Convergência Critérios de convergência: Seja um zero real da função , um intervalo de
separação de centrado em e uma função de iteração para
Se
1. e ´ forem contínuas em
Então a sequência gerada por converge para
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Revisão: Teorema do Valor Médio
Existe pelo menos um ponto entre a e b em que a derivada no ponto será igual à inclinação da reta que liga (a, f(a)) a (b, f(b)).
Fonte: [3]
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Prova...
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Prova...
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Graficamente
Convergência...
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Graficamente
Não-convergência
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Voltando ao exemplo 2
Analisando condições de convergência:
Não existe um intervalo I centrado em x=2, tal que , pois essa condição só é satisfeita entre (-1/2 e 1/2).
Logo, a condição de convergência não foi satisfeita!
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Voltando ao exemplo 1
Analisando condições de convergência:
é contínua em é contínua em
Condições de convergência satisfeitas para
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Exemplo 3
Determinar, utilizando o MIL, o valor aproximado da menor raiz real positiva de:
Graficamente, temos que Logo, x0=1,75
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Exemplo 3
Logo, podemos aplicar o método:
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Pergunta...
O Método Iterativo Linear determina as condições para a definição da função , mas não apresenta a função propriamente dita.
Como poderíamos definir de forma que as condições apresentadas fossem sempre satisfeitas?
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Método de Newton-Raphson
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Método de Newton-Raphson
Nem sempre é simples determinar uma função de iteração que satisfaça as condições do Método Iterativo Linear
Idéia método de Newton Construir uma função de iteração , tal
que
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Método de Newton-Raphson
Partindo da forma geral:
Impondo que , e sabendo que , já que é a raiz procurada, temos que
Retornando à forma geral, teremos que
O que nos leva ao seguinte processo iterativo
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Método de Newton-Raphson
Convergência do método de newton Caso , a sequência gerada pelo
processo iterativo converge para a raíz
Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que seja escolhido “suficientemente próximo” da raíz
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Método de Newton-Raphson
Interpretação geométrica
𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝛼𝑥
𝑦𝑡𝑔𝛼=
𝑓 (𝑥 𝑖)(𝑥𝑖−𝑥 𝑖+1)
𝑥𝑖+1=𝑥 𝑖−𝑓 (𝑥 𝑖)𝑓 ′ (𝑥 𝑖)
𝑓 ´ (𝑥 𝑖)=𝑓 (𝑥 𝑖)
(𝑥 𝑖−𝑥𝑖+1)
𝑥𝑖−𝑥 𝑖+1=𝑓 (𝑥𝑖)𝑓 ´ (𝑥 𝑖)
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Método de Newton-Raphson Exercício para sala: Dada a equação , encontre a raíz dentro do
intervalo [0,1]. Execute o método até que
Assim:
e já pode ser considerada uma precisão aceitável.
Solução:
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Referências
[1] Silva, Zanoni; Santos, José Dias. Métodos Numéricos, 3ª Edição. Universitária, Recife, 2010.
[2] Ruggiero, Márcia; Lopes, Vera. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª Edição. Pearson. São Paulo, 1996.
[3] Teorema do Valor Médio: https://www.youtube.com/watch?v=Da84AXj2rvA
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