Fluxo de potência pelo Método de Newton Raphson
29
Fluxo de potência pelo Método de Newton Raphson
Transcript of Fluxo de potência pelo Método de Newton Raphson
Fluxo de potência pelo Método de Newton Raphson
Método de Newton Raphson
Com uma variável: determinar o valor de x para f(x) = 0
xo
f(xo )
f(xo )/x
x1
f(x1 )
x2
x3 x4
o
oo1
1o
oo
x´f
xfxx
xx
xfx´ftg
Método de Newton Raphson
Genericamente:
xo
f(xo )
f(xo )/x
x1
f(x1 )
x2
x3 x4
k
kk1k
x´f
xfxx
Método de Newton Raphson
Exemplo: f(x)=x2-5x+6=0
5x2
6x5xxx5x2x´f
x´f
xfxx
k
k2kk1k
k
kk1k
k xk f(x) f́ (x) delta x x_k+1
0 10 56 15 -3,73333 6,266667
1 6,266667 13,93778 7,533333 -1,85015 4,416519
2 4,416519 3,423046 3,833038 -0,89304 3,523482
3 3,523482 0,797515 2,046964 -0,38961 3,133873
4 3,133873 0,151795 1,267746 -0,11974 3,014137
5 3,014137 0,014337 1,028274 -0,01394 3,000194
Método aplicado a n variáveis
0x,...,x,...x,xf
...
0x,...,x,...x,xf
...
0x,...,x,...x,xf
0x,...,x,...x,xf
ni21n
ni21i
ni212
ni211
Método aplicado a n variáveis
0xx
f...x
x
f...x
x
fx,...,x,...xf
xx,...,xx,...xxf
nn
ii
i
i1
1
ini1i
nnii11i
Aplicando para as n funções:
onn
n
ni
i
n1
1
n
oin
n
ii
i
i1
1
i
o1n
n
1i
i
11
1
1
fxx
f...x
x
f...x
x
f
...
fxx
f...x
x
f...x
x
f
...
fxx
f...x
x
f...x
x
f
ooo
ooo
ooo
x
x
x
xxx
xxx
xxx
ton
oi
o1
o ]x...x...x[x
Método aplicado a n variáveis
on
oi
o1
n
i
1
n
n
i
n
1
n
n
i
i
i
1
i
n
1
i
1
1
1
f
...
f
...
f
x
...
x
...
x
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f
x
x
x
ox
Matriz Jacobiano Vetor de
variações em x
Vetor de
funções em xo
Método aplicado a n variáveis
on
oi
o1
1
n
n
i
n
1
n
n
i
i
i
1
i
n
1
i
1
1
1
n
i
1
f
...
f
...
f
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f
x
...
x
...
x
x
x
x
o
1o
o1xf
x
fxxx
e, genericamente, p/ n variáveis:
)k(
1)k(
)k()1k(xf
x
fxx
k
kk1k
x´f
xfxx
p/ 1 variável:
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
1jj11jj1
j
j11
1jj11jj1
j
j11
cosBsenGVVQ
senBcosGVVP
2 1
2112211221112
1jj11jj1
j
j11
2112211221112
1jj11jj1
j
j11
cosBsenGVVBVcosBsenGVVQ
senBcosGVVGVsenBcosGVVP
1
1
112121121112
1
11211121112
1
cosBVsenGVBVQ
senBVcosGVGVP
1
1
y=(1-j2)pu S=-(0,1+j0,05) pu
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
0)x,x(f
0)x,x(f.var2eqs2sistemaéque
0Q),V(Q
0P),V(P
ou
0QcosBVsenGVBV
0PsenBVcosGVGV
212
211
1111calc,1
111calc,1
111211121112
111211121112
1
1
1kk
calc,1
1kk
calc,1
1
1111
1111
)k(
1
1
)1k(
1
1
)k(
1)k(
)k()1k(
Q)V,(Q
P)V,(P
VQQ
VPP
VV
ou
11
11
xfx
fxx
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
1kk
calc,1
1kk
calc,1
1
11211211111211121
11211211111211121
)k(
1
1
)1k(
1
1
Q)V,(Q
P)V,(P
cosBsenGBV2senBVcosGV
senBcosGGV2cosBVsenGV
VV11
11
k teta v p1calc q1calc j11 j12 j21 j22 d i11 i12 i21 i22 teta= v=
0 0 1 0 0 2 1 -1 2 5 0,4 -0,2 0,2 0,4 -0,03 0,96
1 -0,03 0,96 -0,09556 -0,04714 1,89034 0,860459 -1,01716 1,870895 4,411853 0,424061 -0,19503 0,230552 0,428469 -0,03133 0,957751
2 -0,03133 0,957751 -0,09999 -0,04999 1,884565 0,853352 -1,01728 1,863305 4,379614 0,42545 -0,19485 0,232275 0,430304 -0,03133 0,957745
3 -0,03133 0,957745 -0,1 -0,05 1,884549 0,853333 -1,01727 1,863283 4,379522 0,425454 -0,19485 0,23228 0,430309 -0,03133 0,957745
4 -0,03133 0,957745 -0,1 -0,05 1,884549 0,853333 -1,01727 1,863283 4,379522 0,425454 -0,19485 0,23228 0,430309 -0,03133 0,957745
Algoritmo
Fixa vo=1, o=0
Calcula Pcalc Qcalc
|P|,|Q|
Calcula J=
VQQ
VPP
Calcula
Q
PJ
V
1
Calcula
VVV k
k
1k
1k
k=k+1
No caso genérico
m barras de carga, tipo PQ
n-m barras de geração, tipo PV
1 (ou mais) barra(s) swing
Número de eqs. em P:
m + n – m = n
Número de eqs. em Q:
m
Caso genérico
m,....,1i0QcosBsenGVV
n,....,1i,0PsenBcosGVV
ijiijjiij
j
ji
ijiijjiij
j
ji
Equações: n+m não lineares,
Variáveis: n valores de ângulo e m valores de mod tensão
Q)V,(Q
P)V,(P
VQQ
VPP
VV
ou
kkcalc
kkcalc
1)k()1k(
)k(
1)k(
)k()1k(
xfx
fxx
Exemplo
P1,Q1-carga 2 1
3
P2,V2-geração
V3,3-swing
m=1 barra de carga
n=2 barras (carga + ger.)
0cossen
0sencos
0sencos
111111
222222
111111
QBGVV
PBGVV
PBGVV
jjjj
j
j
jjjj
j
j
jjjj
j
j
1121,1
2121,2
1121,1
1)(
112111
122212
112111
)(
1
2
1
)1(
1
2
1
),,(
),,(
),,(
QVQ
PVP
PVP
VQQQ
VPPP
VPPP
VV kkk
calc
kkk
calc
kkk
calc
kkk
P1,Q1-carga 2 1
3
P2,V2-geração
V3,3-swing
Exemplo
Fluxo de potência pelo Método de Analogia por Corrente Contínua
Hipóteses
Interesse nos fluxos de potência ativa
Tensões do sistema próximas de 1 pu
Ângulos de fase próximos entre duas barras
Perdas desprezíveis nos trechos
gi desprezível
Equacionamento
jiijjij2ji
2iij
2j
2i
jiijjijiijjiijj2jji
jiijjijiijjiiji2
iij
cosgVV2gVgVg)VV(P
senbVVcosgVV)gg(VP
senbVVcosgVV)gg(VP
gi+jbi gj+jbj
gij+jbij
Vi Vj
Pij Pji Pij
i j
jiijij
jiijjiijijij
cosg2g2P
senbcosggP
Equacionamento
gi+jbi
gj+jbj gij+jbij
Vi Vj
Pij Pji Pij
i j
jiijjiijij
jiijij
jiijjiijijij
senbsenb2/PP
olog
cosg2g2P
senbcosggP
)(b)(bbP
:1sen
limcomo,e
jiijijijjiijij
0
Equacionamento
)(B)(bP jiijjiijij
i 1
j
n
Pi
Pi1
Pij
Pin
)b de menos a(Bb...b...bB
BB´BB).B(P
)(B...)(B...)(BP
iiiin1i1i
n
ik,1k
ik
n
1k
kik
n
ik,1k
kikiii
n
ik,1k
kik
n
ik,1k
iiki
niinjiij1i1ii
Equacionamento
)b de menos a(......
´).(
)(...)(...)(
i11
,1
1,1,1,1
11
iiinii
n
ikk
ik
n
k
kik
n
ikk
kikiii
n
ikk
kik
n
ikk
iiki
niinjiijiii
BbbbB
BBBBBP
BBBP
Equacionamento
n
1k
kiki BP
nnn22n11nn
nin22i11ii
nn22221212
nn12121111
B...BBP
...
B...BBP
...
B...BBP
B...BBP
0
...
BBB
BBB
BBB
P
P
...
P
n
1n
1
nn1n,n1n
n,1n1n,1n1,1n
n,11n,111
n
1n
1
Equacionamento
1n
1
1n,1n1,1n
1n,111
1n
1
...
BB
BB
P
...
P
PBθ
θBP
.
.
1
)(BP jiijij i j
Pij
Analogia CC
PBθ
θBP
.
.
1
.IYV
Y.VI
1
b12
b13 b23
P1 P2
3=0
r12=1/b12
r13 r23
I1 I2
V3=0
V2 V1
2 1
P12=B12(1- 2) I12=g12(V1- V2)
I12 P12
Coeficientes de Influência
Impacto da variação da potência injetada numa barra sobre o fluxo em uma ligação
Redespacho da geração
Corte de carga
Equacionamento
1
1
1111
1111
1
1
nn,n,n
n,
n
...
BB
BB
P
...
P
1
1
1
1
1111
1111
1
1
1
1
nnn,n,n
n,
nn
......
BB
BB
P
...
P
P
...
P
Uma variação na potência ativa injetada deve levar a variação dos ângulos:
P.ΔBΔθ1
1
1
1111
1111
1
1
nn,n,n
n,
n
...
BB
BB
P
...
P
Logo, tem-se a relação entre as variações de potências e ângulos dada por:
Equacionamento
)(BP)(BP jiijijjiijij
P.ΔXP.ΔBΔθ1
k
mk
jk
ik
k
m
j
i
m
k
nmnkn
jmjkj
imiki
mk
m
j
i
ik
P
X
X
X
X
P
P
P
XXX
XXX
XXX
XXX
,ki,ek
11
1
1
1
1
11111
:quetemos00:somenteemvariaçãofazendo e,
PP
O mesmo vale para a variação de fluxo e variações dos ângulos das barras i e j:
Lembrando que:
Equacionamento
:temos,e
sendo
kjkjkiki
jiijij
P.X,P.X
)(BP
kk,ijkjkikijij PCP)XX(BP
E, num sistema linear, com variações de potência injetada em várias barras:
k
kk,ijij PCP
