Fsica 1Fsica 1DINMICAJaime E. VillateFsica 1. DinmicaJaime E. VillateFaculdade de EngenhariaUniversidade do Portohttp://www.villate.org/livrosFsica 1. DinmicaCopyright c 2009, 2010 Jaime E. VillateE-mail: villate@fe.up.ptVerso: 5 de Janeiro de 2010ISBN: 978-972-99396-1-7Este livro pode ser copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos da LicenaCreative Commons Atribuio-Partilha (verso 2.5 Portugal). Para obter uma cpia destalicena, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford,California 94305, USA.ContedoPrefcio vii1 Cinemtica 11.1 Graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Velocidade e acelerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Equaes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Resoluo numrica das equaes de movimento . . . . . . . . . . . . . 8Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Dinmica 152.1 Movimento em duas ou trs dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Lei da inrcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Fora e acelerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Lei de aco e reaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Foras de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Atrito esttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Atrito cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3 Fora de resistncia nos uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Clculo numrico das trajectrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Trabalho e energia 373.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Trabalho e energia cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Coordenada tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Foras conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.1 Grcos de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 O peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.3 Foras elsticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Movimento harmnico simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51iv Contedo4 Rotao e movimento curvilneo 534.1 Movimento dos corpos rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Movimento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Coordenadas normal e tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Vectores livres e vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Adio de foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Rotao plana do corpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 Sistemas dinmicos 715.1 Variveis de estado e espao de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Campo de direces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.1 Opes do programa plotdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Pontos de equilbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.1 Ciclos e rbitas homoclnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2 Equilbrio estvel e instvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Sistemas autnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 Sistemas lineares 896.1 Equaes de evoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Sistemas autnomos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Estabilidade dos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 Classicao dos pontos de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4.1 Pontos de sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4.2 Ns estveis e instveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4.3 Focos e centros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.4 Ns prprios e imprprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5 Osciladores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.1 Osciladores amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 Sistemas no lineares 1097.1 Aproximao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 O pndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Aproximao linear do pndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Contedo v8 Mtodos numricos 1238.1 Mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2 Sistemas dinmicos com vrios graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . 1278.2.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.2 Pndulo de Wilberforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379 Ciclos limite e sistemas de duas espcies 1399.1 Ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.1.1 Equao de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.1.2 Existncia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.1.3 Inexistncia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2 Coexistncia de duas espcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.2.1 Sistemas predador presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.2 Sistemas com competio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510 Bifurcaes e caos 15710.1 rbitas homo/heteroclnicas atractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.2 Comportamento assimpttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.2.1 Teorema de Poincar-Bendixson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2.2 Critrio de Bendixson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.3 Bifurcaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.4 Sistemas caticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.4.1 Bola elstica sobre uma mesa oscilatria . . . . . . . . . . . . . . 16610.4.2 Equaes de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173A Python e VPython 175A.1 Idle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.2 O Python como calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.3 Blocos iterativos e condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.4 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.5 Mdulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180B Tutorial do Maxima 181B.1 A interface do Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181B.2 Entrada e sada de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182B.3 Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183B.4 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184vi ContedoB.5 Expresses e equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.6 Grcos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.7 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190B.8 lgebra e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B.9 Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193B.10Equaes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194B.11Guardar informao entre sesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196C Programas auxiliares 199D Formulrio 203E Crditos fotogrcos 205Solues das perguntas e problemas 207Bibliograa 219ndice 221PrefcioEste livro o texto de apoio para a disciplina de Fsica 1 (EIC0010) do primeiro ano doMestrado Integrado em Engenharia Informtica e Computao (MIEIC), na Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto. A verso deste livro aparece referida pela data, nacontracapa, e a verso mais recente pode ser obtida no stio: http://fisica.fe.up.pt/pub/villate/fisica1.Com a reforma de Bolonha, no ano acadmico 2006/2007 desapareceu a antiga disciplinado segundo ano do MIEIC, sobre sistemas dinmicos. O programa dessa disciplina foiadaptado para a disciplina de Fsica 1, do primeiro ano, tornando o seu contedo menosmatemtico e mais relacionado com a fsica elementar.O tema central deste livro a dinmica, numa abordagem elementar, mas tratando temasavanados e contemporneos, que no costumam ser tratados em disciplinas introdutriasde fsica. O tratamento desses temas mais avanados, sem abdicar do nvel elementar, conseguido com o recurso a ferramentas computacionais (Maxima); outra ferramenta desoftware (VPython) usada para simular sistemas fsicos ilustrando o movimento dessessistemas em trs dimenses.Devo agradecer os meus alunos pela sua valiosa ajuda na correco de muitos erros egralhas, e pelo seu entusiasmo e interesse que tm sido fonte de inspirao para escrevereste livro. So muitos alunos para listar os seus nomes aqui. Agradeo tambm aos meuscolegas com quem lecciono a disciplina de Fsica 1, Joo Carvalho, Francisco Salzedas eHelder Silva.Jaime E. VillatePorto, Junho de 20091CinemticaA cinemtica inversa consiste em determinar os ngulos que devem rodar as articulaesde um sistema de barras articuladas para alcanar uma posio determinada, e a formaptima como devem ser modicados esses ngulos, para mudar de uma posio paraoutra. Esse tipo de estudo muito importante na robtica, na programao de jogosde computador e nas tcnicas de animao em 3 dimenses. O tipo de movimento querealizamos quando, por exemplo, agarramos uma lmpada e colocmo-la numa tomada, trivial para uma pessoa mas muito complexo quando tem de ser descrito no programaque acciona um brao robtico. A cinemtica aborda um problema mais elementar queconsiste em determinar como variam os parmetros que denem um movimento observado.2 Cinemtica1.1Graus de liberdadeA cinemtica a caracterizao do movimento, sem considerar as suas causas. Comea-remos por estudar sistemas com apenas um grau de liberdade; nomeadamente, objectosque s se podem deslocar ao longo de uma trajectria determinada. Um exemplo omovimento dum automvel numa autoestrada; a distncia que o automvel percorre aolongo da estrada muito maior do que a distncia que possa percorrer mudando de faixa.Assim, o movimento aproximadamente em uma dimenso; se o automvel tiver umaavaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, bastar dar uma coordenadapara identicar a sua posio: o quilmetro em que se encontra na autoestrada.Figura 1.1: O movimento ao longo de uma auto-estrada pode ser considerado um movi-mento em uma dimenso.Se em vez de estarmos a telefonar para um reboque na autoestrada, estivssemos aciden-tados algures nas montanhas, com um aparelho de GPS, para indicar a nossa posio equipa de resgate bastava dar a nossa latitude e longitude (duas coordenadas). Admitindoque temos os ps na terra, o nosso movimento est limitado a dois graus de liberdade.1.2Velocidade e aceleraoVamos designar com a varivel s, a posio num sistema em uma dimenso. Repare que spode ser positiva ou negativa e que o sistema em uma dimenso no tem que ser uma recta;pode ser qualquer curva xa. Dene-se a velocidade mdia,1num intervalo de tempoentre t1 e t2, igual a variao da posio, dividida pelo intervalo de tempo:1Alguns autores preferem reservar os termos posio e velocidade para designar os vectores da posioe da velocidade. Ns usaremos o termo velocidade no sentido da linguagem quotidiana, nomeadamente,sem indicao da sua direco ou sentido, e posio neste caso indica a distncia ao longo da trajectriado objecto, referida a uma origem sobre a mesma trajectria.1.2 Velocidade e acelerao 3Figura 1.2: A superfcie do terreno um sistema em duas dimenses. Um objecto emmovimento nessa superfcie ter dois graus de liberdade. v12 = s2s1t2t1(1.1)admitimos sempre que t2 >t1; assim, a variao da posio medida sempre em relao aum instante anterior. As unidades da velocidade so unidades de distncia sobre tempo:m/s, km/h, ...A velocidade mdia num intervalo no d informao sobre o movimento num instantedeterminado. O objecto pode ter se deslocado em forma uniforme desde s1 at s2, ou terparado em algum instante e andado mais rapidamente em outros instantes.Para denir a velocidade num instante t, calcularemos a velocidade mdia no intervaloentre t e um instante posterior t, no limite em que o intervalo de tempo t for muitopequeno, aproximadamente nulo:v(t) =limt0s(t +t) s(t)t(1.2)Esse limite designado de derivada da funo s em ordem a t. outra forma abreviada deescrever esse limite :v =limt0st(1.3)ou aindav = dsdt(1.4)outra notao usada em mecnica : v = s, em que o ponto indica a derivada em funo det.4 CinemticaEm forma anloga, podemos denir a acelerao tangencial no instante t igual variaoda velocidade nesse instante:at(t) =limt0v(t +t) v(t)t(1.5)Usando a notao abreviada com os pontos:at = dvdt(1.6)A acelerao mede-se em unidades de distncia sobre tempo ao quadrado: m/s2, km/h2,etc. Usando a notao abreviada pode escrever-se a derivada da velocidade com at = v; ecomo a velocidade a derivada da posio s, podem tambm escrever-se: at = s; os doispontos por cima duma funo indicam a sua segunda derivada em ordem ao tempo.1.3Equaes de movimentoAs duas equaes 1.4 e 1.6 so designadas de equaes de movimento. Como veremosnos exemplos nesta seco, se uma das variveis cinemticas s, v ou a, for conhecida emtodos os pontos de um intervalo de tempo, as outras duas variveis podem ser calculadascom as equaes de movimento. possvel tambm eliminar o tempo entre as duas equaes, na forma seguinte:atv=limt0vtst=limt0vs(1.7)A equao obtida :atv= dvds(1.8)Exemplo 1.1A posio de uma partcula, ao longo de um percurso dada pela funo s = 3t3t2.Calcule a velocidade e acelerao tangencial em funo do tempo.Resoluo: derivando a funo da posio, obtemos a velocidade:v = s = 9t22te derivando novamente, obtemos a acelerao tangencial:at = v = 18t 21.3 Equaes de movimento 5Exemplo 1.2Se a velocidade de uma partcula ao longo de um canal for v =3t2+5t, calcule a aceleraotangencial e a posio em funo do tempo.Resoluo:A acelerao pode ainda ser calculada igual que no exemplo anterior, porderivao:at = v = 6t +5para calcular a posio em funo do tempo, substitumos v na equao s = vdsdt= 3t2+5tPodemos concluir j que a posio a primitiva da funo 3t2+5t, mas em vez disso,vamos explicar o mtodo da separao de variveis que poder ser usado tambm emoutros casos mais complicados.O mtodo consiste em considerar a derivada como umquociente e agrupar num lado da equao todo o que depender de s, e no outro lado todo oque depender de t; neste caso, seria assim:ds = (3t2+5t)dta seguir, integram-se os dois lados da equao, especicando limites respectivos a cadavarivel:s_s0ds =t_t0(3t2+5t)dtOnde s0 o valor inicial da posio, no instante inicial t0, e s a posio em qualquerinstante t. Normalmente, podemos arbitrar t0 = 0 e s0 = 0, mas vamos deix-los comoparmetros arbitrrios, para obter o caso mais geral. O resultado dos dois integrais d aposio em funo do tempo:s s0 =t3+ 52t2t3052t20 de salientar que para podermos resolver uma das equaes de movimento, como temosfeito nos exemplos anteriores, preciso termos uma equao com apenas duas variveisdas quatro possveis variveis (t, s, v, at). O mtodo que usmos, separao de variveis,s funciona em alguns casos; em muitos problemas impossvel separar as duas variveis.Para esses casos existem outros mtodos de resoluo, que no vamos explorar aqui, poisusaremos um mtodo aproximado de resoluo numrica.6 CinemticaExemplo 1.3Uma esfera cai em queda livre, a partir do repouso, desde um prdio com 5 m de altura.Admitindo que o atrito com o ar desprezvel, a acelerao constante, para baixo e iguala 9.8 m/s2(acelerao da gravidade). Calcule o tempo que a bola demora a cair at o choe a velocidade que ter nesse instante.Resoluo: O movimento da esfera em queda livre ser na direco vertical. Se designar-mos o eixo vertical por y, com origem no cho, a posio inicial y0 = 5 (unidades SI) e aacelerao dever ser negativa. at =9.8, por apontar no sentido oposto ao aumento de y.Substituindo o valor da acelerao na equao 1.8, :9.8v= dvdy possvel usar o mtodo de separao de variveis e integrar desde o ponto inicial (y0 = 5,v0 = 0) at o ponto nal y = 0 com velocidade v a ser determinada:0_59.8 ds =v_0v dvo resultado dos integrais d:9.85 = v22portanto, a velocidade nal com que a esfera bate no cho 9.90 m/s.Para calcularmos o tempo da queda, substituiremos o valor da acelerao na equao 1.4:9.8 = dvdtSeparando as variveis e integrando temos:t_09.8 dt =9.90_0dv9.8t =9.90 t = 1.01 sRepare que esta segunda equao s podia ser resolvida aps ter-se calculado a velocidadenal em y = 0.O exemplo anterior podia ter sido resolvido usando equaes que so vlidas apenas paramovimentos com acelerao constante, por exemplo, a equao y = v0t +gt2/2, masno vale a pena tentar memorizar essas equaes, que so apenas vlidas no caso daacelerao ser constante. prefervel, num exemplo especco, partir sempre das equaesde movimento, com os valores concretos conhecidos.1.3 Equaes de movimento 7Observe tambm que neste caso foi possvel integrar at, em ordem a t ou em ordem a y,pelo facto de at ser uma constante. Se assim no for, seria preciso saber a forma funcionalde at, e substituir, antes de poder separar as variveis.Exemplo 1.4A acelerao de uma esfera pendurada numa mola vertical dada pela funo: a =2y,onde y a altura, medida a partir da origem na posio de equilbrio da esfera na mola.Calcule a altura e a velocidade em funo do tempo.y0Resoluo: Tendo em conta que neste caso a posio est a ser designada por y, em vezde s, podemos substituir a expresso da acelerao na equao a = v dv/dy, cando comuma equao com duas variveis:2y = vdvdy possvel separar as variveis; vamos arbitrar que y0 = 0:2y_0y dy =v_v0v dvonde v0 = v(y = 0). Integrando e simplicando obtemos a velocidade em funo da altura:v =_v202y2(1.9)Observe que a altura y dever estar dentro do intervalo A y A, em que:A =v0Como v dever ser uma funo contnua e derivvel, nos intervalos em que y aumentadesde A at A, dever usar-se o sinal positivo na expresso 1.9. Nos intervalos em que y decrescente, dever usar-se o sinal negativo.8 CinemticaPara encontrar a altura em funo do tempo, substitumos as expresses 1.9 na equaov = y e usamos o mtodo da separao de variveist_0dt =y_01_v202y2dyfoi arbitrado que t = 0 em y = 0. A escolha do sinal positivo ou negativo depender dosinal de v0; lembre que o limite superior no poder ultrapassar o valor mximo de y.Deixa-se como exerccio demonstrar que, para v0 > 0, obtm-se o seguinte resultado:y = Asin(t) (1.10)e para v0 < 0 o resultado semelhante, mas com sinal negativo.A velocidade em funo do tempo obtm-se derivando a expresso anterior; independente-mente do sinal de v0, o resultado obtido :v = v0cos(t) (1.11)1.4Resoluo numrica das equaes demovimentoEm problemas reais, nem sempre obtemos equaes to simples como as da seco anterior.Um mtodo mais geral de resoluo consiste na obteno de solues aproximadas emforma numrica. Nos captulos nais deste livro usaremos esse tipo de mtodos pararesolver problemas complexos que no podem ser resolvidos em forma exacta. Pararesolver problemas simples, semelhantes aos exemplos da seco anterior, bastar usar ummtodo numrico com pouca preciso; conseguiremos comparar com as solues exactaspara avaliar a validade desse mtodo numrico.Consideremos o caso em que conhecida a acelerao, para quaisquer valores de t, s e v.O mtodo numrico mais simples consiste em admitir que as variveis cinemticas novariam contnuamente, mas variam apenas em instantes de tempo t0, t0 + dt, t0 +2dt, ...Com os valores iniciais de t0, s0, e v0, que devero ser conhecidos, calcula-se a0. Comos valores de v0 e de a0, e admitindo que permanecem constantes durante o intervalo dt,calculam-se s1 e v1, para o instante seguinte, t1 =t0 + dt, usando as equaes:s1 = s0 +v0 dt (1.12)v1 = v0 +a0 dt (1.13)1.4 Resoluo numrica das equaes de movimento 9o procedimento repete-se iterativamente, quantas vezes for necessrio: a partir dos valoresdas variveis em t1 calculam-se os seus valores em t2 =t1 + dt, e assim sucessivamente.O valor de dt dever ser sucientemente pequeno para que a aproximao seja vlida.Exemplo 1.5Escreva um programa para imprimir uma tabela com valores do tempo, altura e a velocidadepara uma esfera em queda livre, a partir do repouso, desde um prdio com 5 m de altura.Admita que a acelerao da gravidade 9.8 m/s2.Resoluo: Este problema j foi resolvido em forma analtica no exemplo 1.3. Pararesolv-lo em forma numrica,usaremos intervalos de tempo de 0.01 s. O programa se-guinte, na linguagem Python, imprime uma tabela com os valores o tempo a altura emmetros e a velocidade em m/s.programa 1.11 g = -9.8 # aceler. da gravidade2 y = 5 # altura inicial3 vy = 0 # velocidade inicial4 dt = 0.01 # intervalos de tempo5 t = 0 # valor inicial do tempo6 while y > 0: # queda enquanto no atingir o cho (y=0)7 t = t + dt # novo tempo8 y = y + vy*dt # nova altura9 vy = vy + g*dt # nova velocidade10 print y, vy # apresenta resultadosAs 3 ltimas linhas na lista produzida pelo programa so as seguintes:1.0 0.149 -9.81.01 0.051 -9.8981.02 -0.04798 -9.996Isso quer dizer que a esfera bate no cho passados aproximadamente 1.01 segundos e comuma velocidade de 9.90 m/s. Estes resultados concordam bem com os resultados obtidosno exemplo 1.3.Para visualizar melhor os dados no exemplo anterior, vamos desenhar a esfera e o cho,usando o mdulo visual que faz parte do pacote VPython:1 from visual import*2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)A funo sphere cria um objecto que uma esfera com centro, raio e cor especicadospelos 3 atributos pos,radius e color. O centro tem trs coordenadas (x,y,z), que10 Cinemticacorrespondem aos eixos de esquerda para direita, de baixo para cima, e do ecr para fora.A funo box desenha uma caixa com o tamanho dado, e com centro na posio dada.Figura 1.3: Janela grca do mdulo Visual, mostrando a esfera e o cho.Premindo o boto direito do rato por cima da imagem, enquanto se desloca o rato, podemosrodar a imagem a 3 dimenses. Premindo o boto do meio e deslocando o rato para cima,o ponto de vista aproxima-se dos objectos; deslocando para baixo o rato, o ponto de vistaafasta-se.A posio da esfera que criamos pode ser obtida em qualquer parte do programa atravsda varivel bola.pos, que representa o atributo pos do objecto bola, que da classesphere. Essa posio ser um vector com 3 componentes. No caso do nosso programa,interessa-nos apenas a componente y, que obtida com bola.pos.y. Os objectos daclasse sphere no tm associado, por omisso, nenhuma velocidade; mas podemos criarum novo atributo para a velocidade, com valor inicial 0, atravs do comando: bola.vy=0.O programa completo que desenha a bola a cair ser:programa 1.21 from visual import*2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)4 g = -9.85 bola.vy = 06 dt = 0.011.4 Resoluo numrica das equaes de movimento 117 while bola.pos.y > bola.radius:8 rate (100)9 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy*dt10 bola.vy = bola.vy + g*dtO comando rate foi usado para controlar a velocidade com que so feitas as iteraes(100 por segundo); sem esse comando, o programa seria executado mais rapidamente e aqueda demorava tempos diferentes em diferentes computadores. O tamanho dos objectosmuda, devido a que o VPython muda automaticamente o ponto de vista quando os objectosmudam de posio.Para manter a escala do desenho xa, podemos dar umvalor nulo ao atributo scene.autoscale.Podemos tambm fazer com que a bola seja projectada de volta para cima aps o impactocom o cho, e usar um ciclo sem m, para fazer com que o movimento continue indeni-damente:programa 1.31 from visual import*2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)4 scene.autoscale=05 g = -9.86 bola.vy = 07 dt = 0.018 while True:9 rate(100)10 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy*dt11 if bola.pos.y < bola.radius:12 bola.vy = -bola.vy13 else:14 bola.vy = bola.vy + g*dtA condio while True sempre vlida, assim que o ciclo nunca termina. Para terminaro programa preciso eliminar a janela grca.12 CinemticaPerguntas1. A acelerao de uma partcula ao longode uma trajectria a = 4t (unidades SI).Se num instante inicial a velocidade forigual a 4 m/s, qual ser a velocidade 3segundos mais tarde?A. 22 m/sB. 18 m/sC. 40 m/sD. 36 m/sE. 4 m/s2. Umapartculadesloca-seaolongodoeixo dos x com uma acelerao que au-menta em funo do tempo: a = 6t (uni-dades SI). No instante t = 0, a partculaencontra-se em repouso no ponto x =2 m.Calcule a posio da partcula em t = 2 s.A. x = 10 mB. x = 8 mC. x = 14 mD. x = 12 mE. x = 26 m3. Uma partcula desloca-se ao longo dumpercurso linear. Dene-se como sentidopositivo o sentido da velocidade inicial.Nos pontos em que o declve no grcoda velocidade em funo do tempo fornegativo, podemos armar que:A. A acelerao no sentido oposto velocidade inicial.B. A acelerao no sentido oposto velocidade.C. A acelerao faz aumentar a veloci-dade.D. A acelerao diminui em funo dotempo.E. A acelerao constante e no mesmosentido da velocidade.4. Num grco onde est representada a ve-locidade, nummovimentoemumadi-menso, em funo da posio, o declveem cada ponto representa:A. A acelerao instantnea.B. A velocidade instantnea.C. Aacelerao instantnea divididapela velocidade instantnea.D. A velocidade instantnea vezes a ace-lerao instantnea.E. Avelocidade instantnea divididapela acelerao instantnea.5. Num programa em Visual Python, a tra-jectria de uma partcula est a ser actua-lizada com os comandos:part.pos.z=part.pos.z+part.v.z*dtpart.v.z=part.pos.z*dt+part.v.zPodemos armar que no movimento a serestudado:A. A acelerao constante.B. A acelerao depende da posio.C. A acelerao directamente proporcional velocidadeD. A posio directamente porporcional velocidade.E. A posio directamente porporcionalao tempo.Problemas1. O movimento de uma partcula est denido pela relao x = 2t36t2+10 (unidadesSI). Determine o tempo, posio e acelerao quando v = 0.1.4 Resoluo numrica das equaes de movimento 132. A acelerao de uma partcula que se desloca no eixo dos x a = 4 m/s2. Se emt = 0, v = +24 m/s e x = 0, determine a velocidade e a posio em t = 8 s, e a distnciatotal percorrida entre t = 0 e t = 8 s.3. A acelerao de uma partcula que se desloca num percurso a uma dimenso, estdenida pela relao a = 9 3t2, onde t medido em segundos, e a em cm/s2. Apartcula parte do repouso no ponto s = 5 cm, em t = 0. Calcule: (a) o tempo quando avelocidade novamente nula, (b) a posio e a velocidade quando t =4 s, (c) a distnciatotal percorrida pela partcula desde t = 0 at t = 4 s.4. A acelerao de uma partcula est denida pela relao a =k/x2. A partcula partedo repouso em x = 800 mm, e em x = 500 mm a sua velocidade 6 m/s. Calcule: (a) ovalor de k, (b) a velocidade da partcula em x = 250 mm.5. A acelerao de uma partcula que oscila no eixo dos x est denida pela relaoa =kx. Calcule: (a) o valor de k para que a velocidade seja v = 15 m/s quando x = 0e a posio seja x = 3 m quando v = 0, (b) o mdulo da velocidade da partcula quandox = 2 m.6. A acelerao de uma partcula est denida pela relao a = 4s(1 +ks2), onde a medida em m/s2e a posio s em metros. Sabendo que v = 17 m/s quando s = 0,determine a velocidade quando s = 4 m, para os seguintes valores da constante k: (a)k = 0, (b) k = 0.015, (c) k =0.015.7. O quadrado da velocidade v de um objecto, ao longo de uma trajectria, diminuilinearmente em funo da distncia ao longo da trajectria, s, tal como se mostra nogrco. Calcule o deslocamento s durante os dois ltimos segundos antes de o objectochegar at ao ponto B.0s (m)v2 (m/s)2100 4002500900AB8. A acelerao de uma partcula ao longo de uma trajectria xa a =0.4v, onde a medida em mm/s2e v em mm/s. Sabendo que em t = 0 a velocidade 30 mm/s, calcule(a) a distncia que a partcula percorrer antes de parar, (b) o tempo necessrio para apartcula parar, (c) o tempo necessrio para que a velocidade diminua ate 1 por centodo seu valor inicial.14 Cinemtica9. A acelerao de uma partcula em queda livre na atmosfera, tendo em conta o atrito,verica a equao a = g(1k2v2). Sabendo que a partcula parte do repouso em t = 0,(a) demonstre que a velocidade num instante posterior t v = (1/k)tanh(kgt), (b)escreva uma equao que dena a velocidade da partcula aps ter cado uma distnciay. (c) Porqu chamada a velocidade vt = 1/k velocidade terminal?10. Uma pedra lanada verticalmente para cima desde uma ponte que est 40 m porcima da superfcie da gua. Sabendo que a pedra cai na gua 4 segundos depois de serlanada, calcule (a) a velocidade com que a pedra foi lanada, (b) a velocidade comque a pedra entra na gua.11. (a) Modique o programa que mostra a bola a cair e a subir novamente, para que apscada colisso com o cho, a bola s recupere 0.9 da velocidade que trazia (coecientede restituio igual a 0.9). (b) No programa feito na alnea anterior, introduza umacondio para que quando a bola esteja praticamente esttica no cho, com |vy| < 0.01,o programa termine.12. (a) Crie um programa que desenhe o movimento da esfera do exemplo 1.4. Admita que2= 4 s2, e que a esfera parte do repouso, em y0 = 1. Observe vrias oscilaes daesfera. (b) No programa da alnea anterior, mude a ordem dos comandos que actualizamos valores da altura e da velocidade e observe novamente vrias oscilaes da esfera.Discuta os resultados.2DinmicaAos 23 anos Isaac Newton teve uma ideia inovadora que foi a inspirao para a sua teoriada gravitao e da mecnica em geral. Newton pensou que assim como uma ma cai,devido atraco gravitacional da Terra, a Lua tambm se encontra em queda livre sob aaco gravitacional da Terra. A razo pela qual a queda livre da Lua no faz diminuir a suadistncia Terra, como no caso da queda da ma, porque a Lua tem uma velocidadehorizontal muito elevada, de forma que em cada instante a distncia horizontal percorridae a distncia vertical da queda descrevem um arco de crculo com raio constante. Com osdados conhecidos na poca, para a distncia entre a Terra e a Lua e o perodo orbital da Lua,Newton calculou a distncia vertical que a Lua cai, por unidade de tempo; comparandocom a distncia da queda de uma ma, descobriu que a fora de atraco gravitacionaldecresce inversamente proporcional distncia ao quadrado.16 Dinmica2.1Movimento em duas ou trs dimensesAntes de estudar as leis da dinmica , comearemos por estender a anlise cinemtica docaptulo anterior para o caso de duas ou trs dimenses.Uma forma conveniente de representar a posio, velocidade e acelerao de sistemas commais do que um grau de liberdade consiste em usar vectores. As operaes com vectores(soma, derivao, etc) so mais simples se usarmos um sistema de coordenadas cartesianas.x yzrexeyeztFigura 2.1: Vectores unitrios que denem o sistema de coordenadas cartesianas e vectorposiao.Um sistema de coordenadas cartesianas em 3 dimenses denido por uma origem O etrs versores (vectores unitrios) ex, ey e ez perpendiculares entre si. A posio de umapartcula em qualquer instante t dada pelo vector posio:r = xex +yey +zez(2.1)em que (x, y, z) so as coordenadas cartesianas da posio da partcula. Em duas dimensesescolhem-se dois versores perpendiculares, por exemplo, ex e yey e o vector de posio xex +yey.O vector velocidade denido como a derivada do vector de posio em funo do tempo:v = drdt(2.2)Em coordenadas cartesianas, a derivada de um vector calcula-se derivando cada uma dascomponentes; assim, derivando os dois lados da equao 2.1 obtm-se as componentes dovector velocidade:vx = dxdtvy = dydtvz = dzdt(2.3)2.2 Leis de Newton 17O vector acelerao igual derivada do vector velocidade em funo do tempo:a = dvdt(2.4)e as 3 componentes da acelerao so as derivadas das 3 componentes da velocidade:ax = dvxdtay = dvydtaz = dvzdt(2.5)As equaes 2.2 e 2.4 so as equaes de movimento em 3 dimenses, escritas em formavectorial. Escritas em forma escalar, as equaes de movimento so as 6 equaes 2.3 e2.5.Igual que zemos no caso de uma dimenso, podemos combinar as equaes de movimentopara eliminar o tempo e obter outra equao que relaciona a posio com a velocidade e aacelerao. Assim, obtemos mais 3 equaes escalares:axvx= dvxdxayvy= dvydyazvz= dvzdz(2.6)Outra grandeza vectorial que usaremos nas seces seguintes a quantidade de movi-mento,p, denida como o produto entre a massa da partcula, m, e a sua velocidadevectorial:p = mv (2.7)a quantidade de movimento tambm costuma ser designada de momento linear.2.2Leis de NewtonAs trs leis de Newton, so a base da mecnica clssica, que permite estudar desde omovimento dos objectos nossa volta, at o movimento dos planetas, estrelas e outrosobjectos distantes. As 3 leis foram enunciadas em forma clara numa nica pgina do livroescrito por Newton em 1687 (Princpios Matemticos da Filosoa Natural).Vale a pena lermos o texto original do sculo XVII, que bastante claro. Na pginaseguinte apresentamos uma traduo da pgina do livro de Newton onde introduz as 3 leis,baseada na traduo inglesa do original em latim.18 DinmicaPrimeira lei. Qualquer corpo continua no seu estado de repouso, ou de movimentorectilneo uniforme, a no ser que seja obrigado a mudar esse estado devido aco deforas aplicadas.Os projcteis mantm os seus movimentos, enquanto no forem retardados pela resistnciadoar, oupuxadosparabaixopelaforadagravidade. Umpio, cujaspartessocontinuamentedesviadasdoseumovimentorectilneouniformedevidosforasdecoeso entre as partes, no perde o seu estado de rotao, a no ser pelo efeito retardadordo ar. Os corpos mais volumosos como os planetas e os cometas, por encontrarem menorresistncia nos seus espaos mais livres, mantm os seus movimentos, tanto progressivocomo circular, por perodos mais longos de tempo.Segunda lei. A variao da quantidade de movimento proporcional fora motrizaplicada e d-se na direco da recta segundo a qual actua essa fora.Se uma fora qualquer produzir uma quantidade de movimento, uma fora igual ao dobroproduzir quantidade de movimento duas vezes maior, uma fora trs vezes maior triplicaa quantidade de movimento e assim sucessivamente. E essa quantidade de movimento (queser sempre dirigida no mesmo sentido da fora que a gerou), adicionada ou subtrada quantidade de movimento que o corpo j tiver anteriormente, segundo os dois movimentosestiverem em concordncia ou forem opostos, ou sero combinados em forma oblqua,para produzir uma nova quantidade de movimento composta pelas duas quantidades demovimento.Terceira lei. A toda a aco sempre se ope uma reaco igual: ou, as aces mtuas dedois corpos so sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.Qualquer coisa que empurre ou puxe outra, igualmente empurrada ou puxada por essaoutra coisa. Se empurrar uma pedra com o seu dedo, o dedo tambm empurrado pelapedra. Se um cavalo puxar uma pedra atada por uma corda, o cavalo ser igualmentepuxado de volta para a pedra (usando aqui o termo puxar num sentido geral); j que acorda esticada, pela sua tendncia prpria de recuperar a sua forma, puxar por igual ocavalo em direo da pedra e a pedra em direco do cavalo, e obstruir o movimento deum, na mesma medida que faz avanar o outro. Se um corpo bater noutro, e pela fora doimpacto alterar a quantidade de movimento do outro, esse corpo (devido igualdade daspresses mtuas) tambm sofrer uma alterao igual na sua quantidade de movimento,dirigida em sentido oposto. As alteraes feitas por essas aces so iguais, no emvelocidade mais sim na quantidade de movimento dos corpos; isto , se os corpos notiverem outros impedimentos. J que, se as quantidades de movimento so alteradaspor igual, as alteraes das velocidades ocorridas em sentidos opostos so inversamenteproporcionais s massas dos corpos. Essa lei tambm se verica no caso das forasatractivas, como ser demonstrado a seguir...2.2 Leis de Newton 192.2.1Lei da inrciaA primeira lei de Newton denominada lei da inrcia . Um sistema em que se veriqueessa lei, designado por sistema inercial.Consideremos um exemplo; numa esfera em repouso sobre uma mesa horizontal actuamduas foras: o seu peso e a reaco normal, para cima, produzida pela mesa. A resultantedas duas foras zero e a esfera permanece no seu estado de repouso; assim, a mesa umsistema inercial.Se a mesa estiver dentro de um comboio que se desloca a alta velocidade, se o movimentodo comboio for rectilneo e uniforme, a esfera ainda permanecer em repouso. O comboiocom movimento rectilneo com velocidade constante um sistema inercial.Se o comboio acelera, abranda a sua marcha ou entra numa curva, a esfera no permaneceem repouso. Em qualquer um desses casos em que a velocidade do comboio muda, estedeixa de ser um sistema inercial.2.2.2Fora e aceleraoA forma como a segunda lei de Newton enunciada no seu livro expressa em termosmatemticos pela seguinte equao:tf_t0

F dt =pfp0(2.8)em que F a fora total que actua sobre o sistema, pf a quantidade de movimento numinstante nal tfe p0 a quantidade de movimento no instante inicial t0.O integral da fora em funo do tempo, no lado esquerdo da equao 2.8, um vector

I, designadode impulso. Assim, seumcorpoteminicialmenteumaquantidadedemovimento p0 e sobre ele actua uma fora durante um intervalo de tempo, no m desseintervalo a quantidade de movimento do corpo ser p0 +

I.Na linguagem matemtica moderna, a combinao oblqua referida por Newton corres-ponde soma vectorial de p0 e

I usando a regra do paralelogramo: a soma dos vectores o vector na diagonal do paralelogramo obtido traando paralelas aos dois vectores(gura 2.2).Em coordenadas cartesianas, basta somar mutuamente as coordenadas dos dois vectorespara obter o vector resultante que verica a regra do paralelogramo.A equao 2.8 pode ser escrita em forma diferencial:

F = dpdt(2.9)Se existirem vrias foras a actuar sobre o corpo, a variao da quantidade de movimentodo corpo ser a soma de todas essas foras e escrevendo a quantidade de movimento em20 DinmicaIp0pfFigura 2.2: Regra do paralelogramo para somar os vectores p0 e

I.funo da velocidade temos:ni=1

Fi = d(mv)dt(2.10)a soma das foras feita como qualquer outra soma vectorial, usando a regra do paralelo-gramo.Normalmente, a massa do corpo constante podendo ser colocada fora da derivada naequao 2.10, cando a derivada da velocidade, que a acelerao:ni=1

Fi = ma (2.11)Esta a forma mais habitual em que costuma ser escrita a segunda lei de Newton.A unidade de fora no Sistema Internacional de unidades o newton, N. Uma fora de 1 N a fora que produz uma acelerao de 1 m/s2num corpo com massa de 1 kg.As experincias no laboratrio mostram que, eliminando o efeito da resistncia do ar,todos os objectos em queda livre so acelerados com a mesma acelerao: acelerao dagravidade, que tem um valor aproximadamente igual a:g = 9.8 ms2(2.12)Portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, o peso de qualquer objecto (fora dagravidade perto da superfcie terrestre) directamente proporcional sua massa:

P = mg (2.13)em que a acelerao da gravidade, g, um vector constante com direco vertical, sentidode cima para baixo e mdulo 9.8 m/s2.Assim, por exemplo, um objecto com massa de 2 kg ter um peso de 19.6 N.2.2 Leis de Newton 212.2.3Lei de aco e reacoA terceira lei de Newton designada por lei de aco e reaco. Consideremos um dosexemplos referidos por Newton: um cavalo que arrasta um bloco pesado atado por umacorda (gura 2.3). A corda exerce a mesma fora sobre o bloco e sobre o cavalo, mas emsentidos opostos.Figura 2.3: Cavalo a arrastar um bloco de 350 kg. conveniente analisarmos por separado as foras que actuam no bloco e no cavalo, comomostra a gura 2.4. Se a velocidade com que o cavalo arrasta o bloco for constante, asegunda lei de Newton implica que a soma das foras que actuam sobre o bloco e sobre ocavalo ser nula.TPbFbRbTPcF1R1F2R2Figura 2.4: Foras sobre o bloco e sobre o cavalo.22 DinmicaO peso do bloco, Pb, actua no centro de gravidade do bloco. A corda puxa o bloco nadireco em que est esticada, com uma fora T, como se mostra no lado esquerdo dagura 2.4. A resultante do peso e da fora da corda um vector que aponta para baixo epara a direita; uma vez que a resultante das foras no bloco nula (acelerao nula), ocho dever exercer uma fora para cima e para a esquerda.A componente da fora de contacto que aponta para cima chamada reaco normal e acomponente horizontal a fora de atrito entre o bloco e o cho.A corda puxa o cavalo para atrs, com a fora

Toposta fora que actua no bloco. Nasduas ferraduras do cavalo que esto em contacto com o cho haver duas reaces normais

R1 e R2 e duas foras de atrito F1 e F2. resultante dessas 5 foras e do peso do cavalo nula.As foras de atrito actuando nas ferraduras do cavalo apontam no sentido do movimento.O cavalo empurra o cho para atrs e a reaco do cho a essas foras so as foras F1 e F2que apontam para a frente. O mdulo de cada uma dessas duas foras depende da foraque exercer o cavalo em cada um dos dois ps.Sobre o cho actuam em total 8 foras de reaco (gura 2.5). As reaces aos pesosdo bloco e do cavalo,

Pb e

Pc, so as foras de atraco gravitacional do bloco e docavalo sobre a Terra. Essas foras actuam no centro de gravidade da Terra, mas foramrepresentadas perto do cho na gura. As outras seis foras so as foras exercidas sobre ocho pelo bloco e pelo cavalo. Se a velocidade do cavalo constante, a soma dessas foras nula.PcR1F1R2F2RbFbPbFigura 2.5: Foras exercidas sobre o cho.Se a velocidade do cavalo estivesse a aumentar, a resultante das foras sobre o cavalo e obloco seriam uma fora para a direita e a fora resultante sobre o cho seria igual e oposta,para a esquerda.Como salienta Newton, o resultado dessas foras sobre o cavalo mais o bloco e sobre o chono seria o de produzir velocidades iguais e de sentidos contrrios, mas sim quantidadesde movimento iguais e de sentido contrrio. A grande diferena entre as massa da Terra edo cavalo mais o bloco implica que a velocidade de recuo da Terra ser imperceptvel emcomparao com a velocidade de avano do cavalo mais o bloco.2.2 Leis de Newton 23Exemplo 2.1Sobre uma partcula com massa de 200 gramas actuam duas foras (unidades SI):

F1 = 2tex +4ey

F2 =2ex +eyem que t o tempo. A partcula parte do repouso em t = 0, na posior =ex +ey +ez.Calcule a posio da partcula em t = 3 s.Resoluo: a fora resultante a soma das duas foras

F = 2(t 1)ex +5eye dividindo pela massa, 0.2 kg, obtm-se a acelerao vectoriala = 10(t 1)ex +25eypara cada componente da acelerao podemos aplicar as equaes do movimento 2.3, 2.5e 2.6. Para a componente x temosax = 10(t 1) = dvxdtseparando variveis e integrando,t_010(t 1) dt =vx_0dvx= vx = 5t210tsubstituindo na equao 2.3,vx = 5t210t = dxdtseparando variveis e integrando obtemos a coordenada x em t = 33_0_5t210t_ dt =x_1dx = x = 1+ 5333532= 1Um processo semelhante dever ser feito para calcular a coordenada yay = 25 = dvydt=t_025 dt =vy_0dvy= vy = 25tvy = 25t = dxdt=3_025t dt =y_1dy = y = 113.5Nadirecoz, comonoexistefora, avelocidadepermanecerconstante; comoavelocidade inicial nula, a coordenada z da posio permanecer tambm constante.Portanto, o vector posio em t = 3 s ser:r =ex +113.5ey +ez24 Dinmica2.3Foras de atritoA fora de atrito a componente tangencial da fora de contacto entre duas superfcies. Afora de contacto entre as superfcies actua em vrios pontos diferentes; a resultante detodas essas foras equivalente a uma nica fora, em algum ponto da superfcie. Costumaseparar-se essa fora nas suas componentes normal superfcie, a reaco normal Rn, etangente superfcie, a fora de atrito (gura 2.6).RnFaFigura 2.6: Reaco normal Rn e fora de atrito Fa sobre um bloco na superfcie de umamesa.2.3.1Atrito estticoQuando no existe movimento relativo entre as duas superfcies em contacto, a fora deatrito designa-se de atrito esttico. A fora de atrito esttico pode ser nula, ou pode estarorientada em qualquer direco tangente s superfcies em contacto.Figura 2.7: A fora que permite que o elctrico suba uma encosta ou trave na descida afora de atrito esttico entre as rodas e os carris.2.3 Foras de atrito 25A fora de atrito esttico faz possvel colocar um veculo em movimento ou fazer com quetrave tambm a fora que nos permite caminhar: empurramos com os nossos ps o choe a reaco do cho no sentido oposto faz-nos avanar. Mas se o cho estivesse cobertopor gelo, os nossos ps escorregavam para atrs e no avanvamos para a frente.Isso acontece porque o mdulo da fora de atrito esttico no pode ultrapassar um valormximo, que proporcional reaco normal:Fe eRn(2.14)onde e uma constante prpria do tipo de superfcies em contacto, designada de coeci-ente de atrito esttico. O coeciente de atrito esttico costuma ser menor que 1.Consideremos um exemplo: as foras entre a estrada e os pneus de uma bicicleta. Asforas de atrito entre os dois pneus e a estrada so ambas foras de atrito esttico, porqueas rodas no escorregam. Na roda traseira a fora de atrito aponta para a frente, na direcodo movimento da bicicleta (gura 2.8), como resultado da reaco da estrada aco queo pneu exerce sobre a estrada no sentido oposto.A fora de atrito na roda da frente no sentido oposto ao movimento, porque nessa roda no exercida nenhuma traco pelo ciclista. Para manter essa roda em rotao, contrariandoo atrito no eixo da roda, preciso que a estrada actue com fora de atrito no sentido oposto velocidade da bicicleta.F1R1F2R2Figura 2.8: Foras de atrito entre os pneus de uma bicicleta e a estrada.Se a velocidade da bicicleta for constante, o mdulo da fora de atrito no pneu traseirodever ser igual soma dos mdulos da fora de atrito no pneu da frente e da resistnciado ar.26 Dinmica2.3.2Atrito cinticoQuando as duas superfcies em contacto deslizam entre si, a fora de atrito designa deatrito cintico.A fora de atrito cintico sempre oposta ao movimento e tem mduloconstante que depende da reaco normal:Fc = cRn(2.15)Em que c o coeciente de atrito cintico, que costuma ser menor que o coeciente deatrito esttico entre as mesmas superfcies.Por ser oposta ao movimento, a fora de atrito cintico faz sempre diminuir o valor davelocidade relativa entre as superfcies, mas nunca pode inverter o sentido da velocidade.No instante em que a velocidade seja nula, a fora de atrito cintico tambm ser nula.Assim, embora o seu mdulo seja constante, a fora de atrito cintico depende implicita-mente da velocidade. Em forma vectorial podemos escrev-la na forma seguinte:

Fc =___

0 v = 0cRnvv v = 0(2.16)Em quev a velocidade do corpo sobre o qual actua essa fora, relativa superfcie queproduz o atrito.Exemplo 2.2Calcule as foras que actuam sobre o bloco e o cavalo na gura 2.3, quando a velocidade constante, sabendo que a massa do cavalo 300 kg, a massa do bloco 350 kg, o nguloque a corda faz com a horizontal 20, o coeciente de atrito cintico entre o bloco e ocho 0.4 e o coeciente de atrito esttico entre as ferraduras do cavalo e o cho 0.5.Resoluo: A gura 2.4 mostra as foras que actuam sobre o bloco e sobre o cavalo. Comoa acelerao nula, a soma das componentes horizontais e verticais das foras sobre obloco e o cavalo dever ser nula.Comeando pelo bloco, a soma das foras horizontais e verticais :T cos(20) Fb = 0 Rb +T sin(20) mbg = 0Como a fora de atrito Fb atrito cintico, podemos substitu-la por cRb e substituindoos valores do coeciente de atrito cintico, massa do bloco e acelerao da gravidade,obtemos um sistema de duas equaes com duas incgnitas:T cos(20) 0.4Rb = 0 Rb +T sin(20) 3430 = 0a resoluo desse sistema d: Rb = 2994 N e T = 1274 N.2.3 Foras de atrito 27A soma das foras horizontais e verticais que actuam sobre o cavalo :F1 +F2T cos(20) = 0 R1 +R2T sin(20) mcg = 0repare que neste caso no existe relao entre as foras de atrito e as reaces normais,porque o atrito esttico. Substituindo o valor de Tj calculado, a massa do cavalo e aacelerao da gravidade, temos:F1 +F2 = 1198 R1 +R2 = 3376a soma das reaces normais nos pes do cavalo 3376 N e a soma das foras de atrito 1198 N. No captulo sobre rotao veremos como calcular os valores de R1 e R2 porseparado. Por enquanto s podemos calcular a sua soma.Os valores de F1 e F2 no podem ser calculados sem informao adicional; seria precisosaber a relao entre as presses que o cavalo est a exercer em cada p nesse instante. Doponto de vista da dinmica, so conseguimos calcular a soma dessas duas foras.O coeciente de atrito esttico entre as ferraduras e a estrada permite-nos conferir se ocavalo consegue de facto arrastar esse bloco mais pesado que ele ou no. A fora de atritoesttico mximo entre as ferraduras e o cho :Fmx = e(R1 +R2) = 1688 NA soma das foras F1 e F2 menor que esse valor e, portanto, a situao em que o cavaloavana com velocidade uniforme passvel.No exemplo do cavalo que arrasta um bloco de ferro (gura 2.3), existe atrito esttico entreas ferraduras do cavalo e a estrada e atrito cintico entre o bloco de ferro e a estrada. Afora de atrito cintico no bloco oposta ao movimento e a fora de atrito esttico nasferraduras no sentido do movimento e contraria a fora de atrito cintico no bloco.2.3.3Fora de resistncia nos uidosA maior parte dos movimentos que estudaremos neste livro so movimentos de um corpodentro de um uido.No exemplo do cavalo que arrasta um bloco, os dois corpos estoem movimento dentro do ar, que um uido. O ar exerce uma fora de resistncia aomovimento, que sempre em sentido oposto velocidade.Nos diagramas de foras na gura 2.4 ignoramos as foras exercidas pelo ar, admitindo queseriam muito menores que as outras foras, porque a velocidade pequena. Mas em casoscomo o a queda livre de um objecto, essas foras j no so desprezveis. A continuaoestudaremos como dependem essas foras da velocidade.A fora de resistncia ao movimento nos uidos produzida por dois mecanismos diferen-tes; o primeiro depende da viscosidade do uido e devido a que as camadas do uido28 Dinmicamais prximas colam-se ao corpo, acompanhando o seu movimento e criando atrito comoutras camadas de uido mais afastadas.O segundo mecanismo tem a ver com a diferena de presses gerada no uido frentee atrs do corpo. O uido comprimido na regio da frente. Essa diferena de pressesproduz uma fora directamente proporcional ao quadrado da velocidade.A fora de resistncia num uido, sempre no sentido oposto da velocidadev, e tem umtermo que depende linearmente em v e outro termo quadrtico em v:

Fr =kv 12CD A|v|v (2.17)onde k e CD so duas constantes aerodinmicas que dependem da forma e tamanho doobjecto, A a rea da seco transversal do objecto, o coeciente de viscosidade douido e a sua massa volmica (densidade).O termo linear em v, que depende da viscosidade, ser muito maior que o termo quadrtico,que depende da massa volmica, quando a velocidade for baixa. Quando a velocidade forelevada, o termo quadrtico ser muito maior.No caso de uma esfera de raio r, as constantes k e CD so as seguintes:k = 6 r CD = 12(2.18)e a rea da seco transversal a rea do crculo r2. Assim, para uma esfera a expressopara o mdulo da fora de resistncia :Fr = 6 r v + 14 r2v2(2.19)No caso do lanamento de projcteis no ar, a viscosidade do ar to pequena em compara-o com a sua massa volmica, que podemos ignorar o primeiro termo em comparaocom o termo que depende de v2.2.4Clculo numrico das trajectriasNo exemplo 2.1 foi possvel integrar as equaes de movimento usando o mtodo deseparao de variveis. Esse mtodo funciona unicamente em casos muitos simples.Em muitos casos impossvel integrar as equaes em forma analtica. Um exemplo tpico o lanamento de um projctil. A fora de resistncia do ar depende do quadrado davelocidade: v2x +v2y +v2z. Assim, por exemplo, a equao para a acelerao ax no podeser integrada em forma independente das equaes para as outras componentes porquedepende das 3 componentes da velocidade.Do ponto de vista numrico no existe grande diferena entre a resoluo dum problemacom fora constante ou com uma expresso complicada para a fora. Consequentemente,2.4 Clculo numrico das trajectrias 29nos captulos seguintes teremos que usar quase sempre mtodos numricos; nesta secovamos estender a 3 dimenses o mtodo numrico simples que usmos no captulo anteriorpara integrar as equaes de movimento.Em vez de usarmos as equaes de movimento 2.3 e 2.5 para as componentes cartesianas,usaremos a forma vectorial mais compacta das equaes 2.2 e 2.4. Vamos tambm melhorara preciso do mtodo numrico usando a mdia entre as velocidades inicial e nal, paracalcular a posio nal em cada intervalo:vn+1 =vn + andt (2.20)rn+1 =rn +vn + vn+12dt (2.21)substituindo a expresso para v1 na segunda equao, obtm-se:vn+1 =vn + andtrn+1 =rn + vndt +an2dt2(2.22)O termo dt2indica que o mtodo numrico de segunda ordem. Num captulo posteriorveremos um mtodo de quarta ordem que permite uma preciso muito maior. Para o tipo deproblemas que estamos a estudar, o mtodo de segunda ordem suciente. Se a aceleraofor constante, as equaes 2.22 so exactas; se a acelerao no for constante, sero umaboa aproximaa se o intervalo de tempo dt for sucientemente pequeno.Exemplo 2.3Uma esfera de 0.4 kg, com 10 cm de raio, lanada desde o cho com uma velocidadeinicial de 12 m/s inclinada 45 em relao ao plano horizontal. Elabore um programa quedesenhe a trajectria da esfera.Resoluo: Sabendo que a massa volmica do ar aproximadamente 1.2 kg/m3, o mduloda fora da resistncia do ar sobre a esfera, em funo do mdulo da sua velocidade. :Fr = 14 r2v2= 0.00942v2Em forma vectorial, tendo em conta que a fora sempre oposta ao vector velocidade,podemos escrever:

Fr =0.00942|v|vSomando o peso, e dividindo pela massa da esfera, obtemos a expresso para o vectoracelerao:a =g0.0236|v|vonde g =9.8ey a acelerao da gravidade.30 DinmicaVamos modicar o programa que usmos no captulo anterior para mostrar a queda livreda esfera. A posio, velocidade e acelerao da esfera sero agora vectores com trscomponentes. Visual Python permite criar vectores com a funo vector() que podemser somados e multiplicados.Para desenhar a trajectria, criaremos um objecto da classe curve do mdulo Visual(alnea 10 no programa 2.1). Os objectos da classe curve tm um atributo pos que umalista com os pontos que denem a curva, inicialmente vazia. O mtodo append usadopara adicionar mais pontos lista de pontos pos; na alnea 11 do programa insere-se oprimeiro ponto, que a posio inicial da bola, e na alnea 18 adiciona-se a posio dabola em cada nova iterao. Nas alneas 8 e 9 so dados os valores iniciais dos vectoresposio e velocidade.programa 2.11 from visual import*2 dt = 0.013 freq = 1./dt45 bola = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))6 chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.8,0.6,0))7 scene.autoscale = 08 bola.pos = vector(-7,0.2,0)9 bola.vel = 12*vector(cos(pi / 4), sin(pi / 4), 0)10 bola.traj = curve(color=bola.color)11 bola.traj.append(pos=bola.pos)1213 while True:14 rate(freq)15 bola.acel = vector(0,-9.8,0)-0.0236*mag(bola.vel)*bola.vel16 bola.pos += dt*bola.vel + dt**2*bola.acel/2.17 bola.vel += dt*bola.acel18 bola.traj.append(pos=bola.pos)19 if bola.vel.y < 0 and bola.pos.y < bola.radius: breakNa alnea 15 calcula-se, em cada iterao, a acelerao total dada pela expresso queobtivemos. O mdulo da velocidade da bola calculado usando a funo mag do mdulovisual. As alneas 16 e 17 correspondem s equaes 2.22, usando o operador += doPython, que permite adicionar o que estiver no lado direito ao valor que j tinha a varivelno lado esquerdo.Para comparar com a trajectria que seria obtida se ignorssemos o atrito, vamos desenhara trajectria de duas esferas idnticas, uma lanada no ar e a outra lanada no vcuo.A parte que calcula a trajectria ser colocada numa funo, deslocar, para poder serusada para cada uma das duas esferas. O argumento que ser passado funo ser oobjecto associado a cada esfera, designado por corpo, que j inclui tambm todos os seusatributos: posio, velocidade, acelerao, etc.2.4 Clculo numrico das trajectrias 31programa 2.21 # -*- coding: utf-8 -*-2 def deslocar(corpo):3 global dt4 queda = True5 corpo.pos += dt*corpo.v + dt**2*corpo.a/2.6 if corpo.v.y < 0 and corpo.y < corpo.radius:7 f = (corpo.traj.y[-1] - corpo.radius)/(corpo.traj.y[-1]8 - corpo.y)9 corpo.pos -= (1 - f)*(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])10 corpo.v += f*dt*corpo.a11 corpo.t += f*dt12 queda = False13 else:14 corpo.t += dt15 corpo.v += dt*corpo.a16 corpo.d += mag(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])17 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)18 return quedaO comentrio na alnea 1 necessrio para poder escrever caracteres acentuados maispara a frente no programa. A varivel para o intervalo de tempo, dt, no faz parte dasesferas, mas foi denida como varivel global (alnea 3). Como cada esfera bater nocho em diferentes instantes, a prpria funo deslocar indicar quando uma esferaatinge o cho, regressando ao programa uma varivel lgica, queda, que passar a serfalsa quando a queda concluir.Para podermos calcular o tempo que demora cada esfera em bater no cho (corpo.t),precisamos corrigir o ltimo intervalo, pois no m do ltimo intervalo a esfera passa porbaixo do valor mnimo (altura igual ao raio da esfera). A constante f calculada nas alneas7-8 a fraco do ltimo intervalo dt que demorou a atingir a altura mnima, e calculadausando a ltima altura do objecto (corpo.y) e a altura que ocupava na posio anterior,que j cou registada no m da lista pos da trajectria desse objecto (corpo.traj).Em python, o primeiro ndice de uma lista 0, e o ltimo ndice pode ser sempre referidocomo -1 (1 o segundo, -2 o penltimo, etc). Para deixar a esfera na posio em queest realmente na altura mnima, subtrai-se na alnea 10 uma fraco (1 f ) do que sedeslocou no ltimo intervalo dt, j que o ultimo intervalo deveria ter sido apenasf dt.Vamos denir mais duas funes, trajectoria e resultados; a primeira inicializaa trajectria de cada esfera, criando outros atributos da trajectria e do objecto associado esfera (distncia total percorrida, d, e tempo de voo, t). A outra funo ser usada paraimprimir os resultados para cada esfera; o alcance de cada esfera calcula-se na alnea 8subtraindo o ultimo e o primeiro valor da coordenada x, que esto registados na trajectriada esfera. O formato %.2f usa-se para escrever o valor da varivel a seguir ao sinal depercentagem em formato de ponto utuante, com duas casas decimais.32 Dinmicaprograma 2.2 - continuao1 def trajectoria(corpo):2 corpo.t = 03 corpo.d = 04 corpo.traj = curve(color=corpo.color)5 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)6 return7 def resultados(titulo, corpo):8 alcance = corpo.traj.x[-1] - corpo.traj.x[0]9 velocidade = corpo.d / corpo.t10 print titulo11 print Tempo de voo = %.2f s % corpo.t12 print Alcance horizontal = %.2f m % alcance13 print Distncia percorrida = %.2f m % corpo.d14 print Velocidade mdia = %.2f m/s % velocidade15 returnAps as denies das funes segue a seco principal do programa. Observe a sin-taxe usada na alnea 4 para atribuir o mesmo valor a vrias variveis; mais tarde osvalores dessas variveis podero ser diferentes. O mesmo mtodo no dever ser usadonas alneas 11 e 12 para dar o mesmo valor inicial s velocidades das esferas, porqueo mdulo visual faria com que as velocidades continuassem a ter sempre o mesmo valor.programa 2.2 - continuao1 from visual import*2 dt = 0.013 g = vector(0,-9.8,0)4 q1 = q2 = True5 scene.autoscale=06 bola1 = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))7 bola2 = sphere(radius=0.2, color=(1,0,0))8 chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.9,0.6,0))9 bola1.pos = vector(-7,0.2,1)10 bola2.pos = vector(-7,0.2,-1)11 bola1.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))12 bola2.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))13 bola2.a = g14 trajectoria(bola1)15 trajectoria(bola2)16 while q1 or q2:17 rate(1./dt)18 bola1.a = g - 0.0236*mag(bola1.v)*bola1.v19 if q1: q1 = deslocar (bola1)20 if q2: q2 = deslocar (bola2)21 resultados(No ar, bola1)22 resultados(No vcuo, bola2)2.4 Clculo numrico das trajectrias 33Figura 2.9: Trajectria da bola considerando o atrito com o ar e ignorando o atrito.A gura 2.9 mostra o grco das trajectrias. No vcuo, a bola teria um alcance de 14.69 me um tempo de voo de 1.73 s. Podemos comparar esses valores com os resultados exactos(ver problema 6) para o alcance, R = v20sin(2)/g e o tempo de voo, t = 2v0sin/g, quedo exactamente os mesmos valores obtidos com o nosso programa. Tambm podemos vero valor nal da velocidade, com o comando mag(bola2.v) que d 12.000 m/s (valorexacto at 3 casas decimais).A resistncia do ar faz diminuir o alcance para 11.67 m, e o tempo de voo para 1.62 s. Atrajectria no uma parbola. A velocidade mdia de 8.48 m/s, menor que a velocidademdia de 9.74 m/s que teria no vcuo.Perguntas1. Um livro encontra-se em repouso sobreuma mesa. Qual das armaes seguintes correcta:A. No h fora a actuar sobre o livro.B. O livro no tem inrcia.C. No h fora a actuar sobre a mesa.D. O livro encontra-se em equilbrio.E. A inrcia do livro igual inrcia damesa.2. Duas bolas metlicas tm o mesmo tama-nho mas uma delas pesa o dobro da outra.As duas bolas so lanadas simultanea-mente, a partir do repouso, do topo de umprdio. Como se comparam os temposde queda das bolas?A. A bola mais pesada demora aproxi-madamente metade do tempo da bolamais leve.B. A bola mais leve demora aproximada-34 Dinmicamente metade do tempo da bola maispesada.C. Os dois tempos so semelhantes, masabolamaispesadademoramenostempo que a bola mais leve.D. Os dois tempos so semelhantes, masa bola mais leve demora menos tempoque a bola mais pesada.E. As duas bolas demoram exactamenteo mesmo tempo.3. Um camio grande colide frontalmentecom um carro pequeno. Durante a coli-so:A. O camio exerce uma fora maior so-bre o carro do que a fora do carrosobre o camio.B. O carro exerce uma fora maior sobreo camio do que a fora do camiosobre o carro.C. Nenhumdos dois exerce fora sobre ooutro; o carro ca esmagado simples-mente por se atravessar no caminhodo camio.D. O camio exerce fora sobre o carro,mas ocarronoexerce nenhumafora sobre o camio.E. O camio exerce uma fora sobre ocarro e o carro exerce a mesma forasobre o camio.4. Atira-se uma pedra verticalmente, paracima.No ponto mais alto da trajectriada pedra:A. A sua velocidade e acelerao apon-tam para baixo.B. A sua velocidade aponta para cima ea acelerao aponta para baixo.C. A velocidade e acelerao so ambasnulas.D. A velocidade nula e a aceleraoaponta para baixo.E. A velocidade aponta para baixo e aacelerao nula.5. Uma mulher empurra uma caixa grande,com uma fora horizontal constante. Afora exercida pela mulher faz com que acaixa se desloque horizontalmente, comvelocidade constante v0. Assim, o m-dulo da fora exercida pela mulher:A. igual ao peso da caixa.B. maior do que o peso da caixa.C. igual fora total que contraria omovimento da caixa.D. maior do que a fora total que con-traria o movimento da caixa.E. maior do que o peso e a fora quecontraria o movimento da caixa.Problemas1. Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor at o sexto andar de um prdio. O ascensorparte do repouso no rs de cho, acelera at o segundo andar, com acelerao uniformede 2 m/s2, mantm a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar, e travaentre o quarto e o sexto andar, com acelerao uniforme de 2 m/s2. Calcule o mduloda reaco normal nos ps da pessoa, em cada parte do percurso.2. Um bloco com massa igual a 30 kg encontra-se sobre uma superfcie horizontal, comcoeciente de atrito cintico igual a 0.35. Sobre o bloco actua uma fora externa de100 N, que faz um ngulo de 30 com a horizontal. Calcule a acelerao do bloco.2.4 Clculo numrico das trajectrias 35100 N303. Um bloco de massa m = 2.1 kg desce deslizando sobre a superfcie de um planoinclinado com 4 m de base e 3 m de altura. Se o coeciente de atrito cintico, entre obloco e a superfcie do plano inclinado, for igual a 0.25, calcule o valor da fora deatrito sobre o bloco.4 m3 m4. Um objecto com massa igual a 2 kg desloca-se com velocidade inicial (3ex4ey) m/s,quando aplicada uma fora externa F = 0.4v (unidades SI) que actua durante 5segundos. Calcule: (a) a velocidade nal aps os 5 segundos. (b) O impulso transmitidopela fora externa durante os 5 segundos.5. Um automvel com 1230 kg sobe uma rampa com declive do 8 por cento, com veloci-dade constante. (a) Calcule o valor da fora de atrito total (soma das foras nos quatropnus). (b) Qual ser o valor mnimo que dever ter o coeciente de atrito esttico paraque o automvel consiga subir a rampa?dv10086. Considere um projctil que lanado desde o cho, num quarto onde existe vcuo,com uma velocidade inicial v0 que faz um ngulo com a horizontal. (a) Calcule otempo que o projctil demora at chegar ao ponto mximo da sua trajectria, onde avelocidade vertical nula, e a posio nesse ponto. (b) Com base no resultado da alneaanterior, demonstre que o alcance horizontal do projctil (distncia horizontal desdeonde lanado at onde cai) igual a:R = v20 sin(2)g(2.23)36 Dinmica7. Para determinar a rigidez de um material, coloca-se um bloco do material 30 cm porbaixo de um cone metlico de 0.3 kg;o cone deixa-se cair livremente, a partir dorepouso, penetrando uma distncia x no bloco at parar. Sabe-se que quando o conepenetra no bloco a fora do bloco sobre o cone kx2onde k uma constante quedepende da resistncia penetrao do material; se o cone penetrar uma distncia x = 5cm, calcule o valor da constante k.x30 cm0.3 kg8. Execute o programa 2.2 vrias vezes, modicando o ngulo de lanamento para 42,43, 44, 45 e 46. Registe numa tabela os valores obtidos para o alcance horizontalem cada caso, no ar e no vcuo. Com base nos valores registados, quais so os nguloque produzem o maior alcance no vcuo e no ar?9. Demonstre que para uma esfera de raio r e velocidade com mdulo v, os dois termos dafora de resistncia num uido, devidos viscosidade e massa volmica, so iguaisquando r v for igual a 24/. Usando a informao na tabela, calcule os valores de24/ para a glicerina, a gua e o ar. Quando r v for muito maior que esse valor, podeadmitir-se que a resistncia do uido proporcional a v2e quando r v for muito menor,a resistncia do uido aumenta em forma linear com a velocidade.Fluido Coef. de viscosidade (kg/(ms)) Massa volmica (kg/m3)Glicerina 1.5 1200gua 1031000Ar 1.81051.210. Um corpo em queda livre acelera durante algum tempo at atingir uma velocidademxima, designada de velocidade terminal; uma vez atingida essa velocidade, a quedacontinua com velocidade uniforme (veja o problema 9 do captulo anterior). (a) Calculea velocidade terminal de uma bola de tnis com raio de 3.25 cm e massa 0.062 kg. (b)Calcule a velocidade terminal de uma bola de tnis de mesa com raio de 1.9 cm e massa0.0024 kg. (c) Calcule a velocidade terminal de um pra-quedista com uma massatotal de 75 kg (incluindo o pra-quedas), admitindo que a rea da seco transversal dopra-quedas 9 m2e o coeciente de arrastamento CD = 0.9.3Trabalho e energiaNo salto com vara, a energia cintica da corrida inicial convertida em energia potencialda vara dobrada. Enquanto a vara recupera a sua forma recta, a sua energia potencialelstica transformada em energia potencial gravtica do saltador.38 Trabalho e energia3.1Producto escalarO produto escalar entre dois vectores a e

b um nmero igual soma dos produtos dasrespectivas componentes dos vectores:a

b = axbx +ayby +azbz(3.1)essa denio conduz a uma propriedade importante: em diferentes sistemas de eixos xy ascomponentes dos dois vectores so diferentes, mas o produto escalar d sempre o mesmovalor.Em geral, qualquer grandeza fsica que tenha o mesmo valor independentemente do sistemade eixos usado, designada de escalar.Alguns exemplos de grandezas escalares so amassa e a temperatura.O outro tipo de grandeza importante na Fsica so os vectores. Um vector caracterizadopor uma direco, um sentido e uma grandeza escalar associada: o mdulo ou norma.A direco, sentido e mdulo de um vector tambm so independentes do sistema dereferncia usado, embora as componentes do vector sejam diferentes em diferentes sistemasde eixos.O produto escalar de um vector consigo prprio igual ao seu mdulo ao quadrado:aa = a2x +a2y +a2z =|a|2(3.2)A invarincia do produto pode ser aproveitada para o calcular numa forma alternativa.Escolhe-se um sistema em que o vector

b esteja orientado na direco e sentido do eixodos x (ver gura 3.1), nomeadamente,

b = bex; nesse sistema de eixos, como by = bz = 0,a expresso 3.1 para o produto d:a

b = axb (3.3)e como ax a projeco do vector a ao longo do eixo dos x, em funo do ngulo entreos vectores a e

b, :a

b = ab cos (3.4)xx xaaab b bFigura 3.1: A componente do vector a ao longo do vector

b positiva, se o ngulo entreos vectores for agudo, negativa, se o ngulo for obtuso ou nula se o ngulo for recto.3.2 Trabalho e energia cintica 39O produto escalar a

b ser um nmero positivo se o ngulo entre os vectores for agudo,um nmero negativo se o ngulo for obtuso ou zero, se os vectores forem perpendiculares.O eixo dos x tambm podia ter sido escolhido ao longo do vector a; assim, o produtoa

btambm igual projeco do vector

b na direco de a, multiplicado pelo mdulo de a.Temos assim quatro formas diferentes de calcular o produto escalar, usando as equaes3.1 ou 3.4, ou multiplicando a projeco de um dos vectores na direco do outro, vezes omdulo desse outro vector.Se um dos vectores for um versor, e, nomeadamente, um vector com mdulo unitrio, oprodutoae ser igual projeco de a na direco e sentido dee; consequentemente, umaforma fcil de obter a projeco de um vector numa direco qualquer em 3 dimenses,consiste em denir um versor nessa direco e calcular o produto escalar entre o vector e oversor. Por exemplo, repare que ae = ay.Para calcular o ngulo entre duas direces no espao, denem-se dois versores e1 ee2nessas direces e calcula-se o produto escalar entre eles. De acordo com a equao 3.4esse produto igual ao co-seno do ngulo entre as duas direces.3.2Trabalho e energia cinticaVamos agora combinar as 3 equaes 2.6 numa nica equao vectorial. Comecemospor considerar a equao para a componente x; agrupando os termos que dependem davelocidade temos:ax dx = vx dvx(3.5)Fazendo o mesmo com as outras duas componentes e somando as 3 equaes, obtemos:ax dx +ay dy +az dz = vx dvx +vy dvy +vz dvz(3.6)Para interpretar os termos nessa equao, observe a gura 3.2. Num instante t a partculaencontra-se numa posior, com velocidade v. Passado um intervalo de tempo muitopequeno, dt, a posio da partcula ter aumentado em dr e o aumento da velocidade tersido dv.O aumento do vector de posio, dr, designado por deslocamento. Em coordenadascartesianas, :dr = dxex + dyey + dzez(3.7)As componentes cartesianas do aumento da velocidade sodvx, dvy edvz. Assim, aequao 3.6 escrita em forma vectorial :a dr =v dv (3.8)O lado direito pode ser escrito numa forma mais simples; como o quadrado do mdulo davelocidade :v2=v v (3.9)40 Trabalho e energiax yzrr + drdrvv + dvtt + dtFigura 3.2: Vectores posio e velocidade num instante t e num instante posterior t + dt.calculando os aumentos diferenciais nos dois lados obtemos:2v dv = dv v +v dv = 2v dv (3.10)Substituindo essa relao em 3.8 temos que:a dr = v dv (3.11)Esta equao ser muito til quando quisermos calcular o movimento de uma partcula aolongo de um percurso conhecido, em funo da acelerao. Calculam-se o deslocamentovectorial dr e a acelerao; o produto escalar entre esses valores, dividido pelo mdulo davelocidade permite calcular o aumento da velocidade. O intervalo de tempo dt calcula-sedividindo o mdulo do deslocamento dr pelo mdulo do aumento da velocidade.A equao 3.11 pode ser escrita em termos da fora resultante. Se multiplicarmos os doislados pela massa m, dividirmos por 2, e integrarmos num intervalo nito, obtm-ser2_r1

F dr = 12mv2212mv21(3.12)A expresso:Ec = 12mv2(3.13) designada de energia cintica e o integral da fora ao longo do deslocamentodr otrabalho da fora. O teorema do trabalho e a energia cintica estabelece que:O trabalho da fora resultante igual ao aumento da energia cintica dapartcula.3.2 Trabalho e energia cintica 41O trabalho e a energia cintica tm unidades de energia; nomeadamente, joules no SistemaInternacional de unidades (1 J = 1 Nm). AssimExemplo 3.1Um canho dispara uma bala metlica com 5 cm de raio, desde uma altura de 15 m, comvelocidade inicial que faz um ngulo de 30com a horizontal e com mdulo 30 m/s.Determine a altura mxima atingida pela bala e a distncia horizontal, d, at o ponto ondea bala bate no cho.15 mdResoluo: uma bala metlica tem uma massa volmica aproximadamente 8 vezes maiorque a da gua. Nessas condies, a velocidade terminal da bala da ordem de 132 m/s.Como a velocidade do lanamento muito menor, vamos desprezar a resistncia do ar eadmitir que a nica fora que actua sobre a bala durante, enquanto est no ar, o peso.Escolhendo o eixo dos y na vertical, o peso escreve-se mgey e o impulso que produzdesde o instante do lanamento da bala, t = 0, at um instante t posterior :

I =t_0mgey dt =mgt ey42 Trabalho e energiaigualando o impulso variao de quantidade de movimento, e dividindo pela massa, v =v0gtey=v = 30(cos30ex +sin30ey) 9.8tey = 25.98ex +(159.8t)ey(3.14)Assim, a componente x da velocidade constante. O valor mnimo do mdulo da veloci-dade ser no instante em que (159.8t) for igual a zero; esse valor mnimo da velocidade,vmn = 25.98, corresponde ao ponto de altura mxima.O trabalho realizado pelo peso :r2_r1

F dr =mgr2_r1ey (dxex + dyey + dzez) =mgy_y0dy = mg(y0y)igualando variao da energia cintica e dividindo pela massa temos:2g(y0y) = v2v20(3.15)Substituindo v pelo valor mnimo do mdulo da velocidade mnima, podemos calcular aaltura mxima ymx29.8(15ymx) = 25.982302= ymx = 26.5 mPara calcular a distncia d, calcula-se o mdulo da velocidade, quando a bala bate no cho,substituindo y = 0 na equao 3.15:29.815 = v2302= v = 34.55 m/se de acordo com a equao 3.14, o quadrado do mdulo da velocidade :34.552= 25.982+(159.8t)2= t = 3.85 s(tendo em conta que o tempo t positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontal igual: d = 3.85 25.98 = 100.0 m, j que a componente horizontal da velocidade constante.3.3Coordenada tangencialEm cada ponto da trajectria de uma partcula, dene-se um versor tangencial et, nadireco tangente trajectria, e no sentido do movimento (gura 3.3).Para um intervalo innitesimal de tempo, dt, o deslocamento innitesimal tangente trajectria e com mdulo igual distncia percorrida ao longo da trajectria:dr = dset(3.16)3.3 Coordenada tangencial 43x yzrr + drdretetdsFigura 3.3: Versor tangencial et e distncia percorrida ds durante um intervalo de tempo.em que s a distncia medida ao longo da trajectria, a partir de algum ponto da trajectriaescolhido como origem. Dividindo esse deslocamento innitesimal pelo intervalo de tempodt, obtm-se o vector velocidade:v = drdt= dsdtet(3.17)Portanto, a velocidade sempre na direco e sentido do versor tangente. A componenteda velocidade ao longo da trajectria igual derivada da posio ao longo da trajectria,s, como num movimento a uma dimenso.A derivada da equao 3.17 em funo do tempo igual acelerao vectorial; h queter em conta que o versor et no permanece constante em diferentes instantes; assim aderivada do vector velocidade :a = dvdt= d2sdt2et + dsdtdetdt(3.18)O primeiro termo a componente tangencial da acelerao, da qual j temos falado nocaptulo 1. No prximo captulo veremos como calcular a derivada do versoret que apareceno segundo termo.A invarincia do produto escalar permite-nos calcular

F r em funo da coordenadatangencial, usando a expresso 3.16. O resultado F r = Ftet, em que Ft a componentetangencial da fora. Consequentemente, o trabalho realizado por uma fora pode sercalculado da forma seguinte:W12 =s2_s1Ftds (3.19)Unicamente a componente tangencial da fora realiza trabalho, podendo alterar a energiacintica da partcula. Uma fora perpendicular trajectria no realiza trabalho nem alteraa energia cintica da partcula.44 Trabalho e energia3.4Foras conservativasSe a componente tangencial da fora, Ft, pode ser escrita em funo da posio na traject-ria, s, o integral 3.19 pode ser calculado:W12 =U(s1) U(s2) (3.20)onde U(s) uma primitiva da funo Ft denida por:U =s_srefFt ds (3.21) habitual incluir um sinal negativo, que faz com que na equao 3.20 os sinais quemtrocados em relao ao que se costuma fazer para calcular integrais denidos. A posiosref a posio de um ponto qualquer escolhido como referncia.Para que a fora seja realmente uma funo da posio necessrio que sempre que apartcula se encontrar num ponto da sua trajectria, a fora nesse ponto seja sempre igual.Uma fora com essa propriedade denominada fora conservativa.A primitiva U(s) da fora conservativa, denida pela equao 3.21, designada porenergia potencial.A escolha arbitrria do ponto de referncia sref no ter nenhuma consequncia fsica, jque o que o trabalho ser calculado a partir da diferena de energia potencial entre doispontos.Em funo da energia potencial, a equao 3.20 o teorema do trabalho e a energiapotencial:O trabalho realizado entre dois pontos por uma fora conservativa igual diminuio da energia potencial associada a essa fora.Vimos na equao 3.12 que o trabalho da fora resultante igual ao aumento de energiacintica. A fora resultante pode, em geral, incluir foras conservativas e no conservativas.O trabalho da fora resultante pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todasas foras conservativas, mais o trabalho das foras no conservativas:W12 =W12(conservativas) +W12(no conservativas) (3.22)O trabalho das foras conservativas igual diminuio da energia potencial e o trabalhototal igual ao aumento da energia cintica. Assim, temos:Ec2Ec1 =U1U2 +W12(no conservativas) (3.23)emque U a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as foras conservativase Ec a energia cintica. Dene-se a energia mecnica do sistema igual soma dasenergias cintica e potencial:Em = Ec +U (3.24)3.4 Foras conservativas 45Em funo da energia mecnica, a equao 3.23 :Em2Em1 =W12(no-conservativas) (3.25)denominado teorema do trabalho e a energia mecnica:O aumento da energia mecnica Em, denida como a soma da energia ci-ntica mais a energia potencial, igual ao trabalho feito pelas foras noconservativas.Uma consequncia desse resultado a lei de conservao da energia mecnica: se noactuarem foras no conservativas, a energia mecnica do sistema permanecer constante.3.4.1Grcos de energiaO grco da energia potencial associada a uma fora conservativa muito til na anlisedo movimento. A gura 3.4 mostra um exemplo; a curva representa a energia potencialtotal do sistema, em funo da distncia ao longo da trajectria, s.-10-5 0 5 10 15-2 -10123456EnergiasMecanicaPotencialFigura 3.4: Exemplo de energia potencial e energia mecnica.H duas propriedades importantes a salientar na anlise dos grcos de energia potencial.A primeira que em qualquer ponto s, a componente tangencial da fora associada energia potencial igual a menos a derivada da energia potencial:Ft =dUds(3.26)46 Trabalho e energiaj que a derivada de uma primitiva d a funo original.A segunda propriedade importante que a partcula nunca poder estar numa posio ondea energia mecnica seja Em seja menor que a energia potencial, j que EmU igual energia cintica, que sempre positiva ou nulaAplicando essas propriedades ao exemplo no grco 3.4, vemos que nos intervalos 2 0,com velocidade de valor negativo e acelerao tangencial positiva, que implica diminuiodo valor absoluto da velocidade; quando passa pela origem a sua acelerao nula, mas74 Sistemas dinmicosvsFigura 5.3: Velocidade de fase em vrios pontos do espao de fase e uma curva deevoluo do sistema.continua a deslocar-se para valores negativos de s, com velocidade de valor negativoconstante. A partcula para num ponto s1 < 0 mas como a sua acelerao tangencial nesseponto positiva, comea a andar novamente no sentido positivo de s, regrassando origem;nalmente a partcula continua a afastar-se da origem com velocidade sempre a aumentar.Na gura 5.3, observe que a velocidade de fase no semiplano superior aponta semprepara a direita, porque nesse semiplano o valor da velocidade sempre positivo, e nosemiplano inferior a velocidade de fase aponta sempre para a esquerda, porque nessesemiplano o valor da velocidade negativo.No eixo horizontal, a velocidade de fase sempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade nula. Assim, as curvas de evoluo dosistema deslocam-se para a direita no semiplano superior e para a esquerda no semiplanoinferior.No Maxima, a funo plotdf permite desenhar campos de direces como o da gura 5.3.O exemplo seguinte mostra como usar esse programa.Exemplo 5.1Uma partcula com massa de 0.5 kg desloca-se ao longo de um carril. A componentetangencial da fora Ft = s3+6s23s 10, onde s a posio ao longo do carril(unidades SI). ( a) Desenhe o campo de direces para valores de s no intervalo [4, 8]e valores de v no intervalo [30, 30]. ( b) No instante inicial a partcula encontra-se na5.2 Campo de direces 75posio s = 4, com velocidade igual a 3 m/s, no sentido em que s aumenta. Desenhe acurva de evoluo da partcula no espao de fase.Resoluo: (a)ComeamospordeniraexpressodaforanoMaximaeaseguircalculamos a acelerao tangencial em funo de s:(%i1) F:-s^3 + 6*s^2 - 3*s - 10;3 2(%o1) - s + 6 s - 3 s - 10(%i2) a: F/0.5;3 2(%o2) 2.0 (- s + 6 s - 3 s - 10)As variveis de estado so s e v, e as componentes da velocidade de fase so v e a (que jest denida como funo de s). Os dois primeiros argumentos que devero ser dados aoprograma plotdf so uma lista com as componentes da velocidade de fase, [v, a],e uma lista que indique as variveis de estado, [s, v]. A seguir podemos dar algunsargumentos opcionais, por exemplo, para delimitar o domnio de valores de s e de v:(%i3) plotdf([v, a], [s, v], [s, -4, 8], [v, -30, 30])$(b) Para desenhar a curva de evoluo a partir do estado inicial s = 4 e v = 3, usa-se aopo trajectory_at:(%i4) plotdf([v,a],[s,v],[s,-4,8],[v,-30,30],[trajectory_at,4,3])$-2 0 2 4 6 8-30-20-100102030vsFigura 5.4: Campo de direces do exemplo 5.1 e curva de evoluo do sistema.A gura 5.4 mostra o grco obtido. Os vectores que representam a velocidade de faseno foram desenhados com o valor real do seu comprimento para evitar que se cruzem.Foram desenhados com mdulos ajustados para car com tamanho ligeiramente menorque a distncia entre os pontos da quadrcula em que so desenhados os vectores.76 Sistemas dinmicosA curva de evoluo da partcula a partir de s =4 mostra que a partcula avana na direcopositiva de s, at parar (v = 0) em aproximadamente s = 5.8; a seguir a partcula regressapara o ponto s = 4, com velocidade v = 3, continua a deslocar-se no sentido negativoat parar aproximadamente em s = 3.8; nalmente, regressa ao ponto inicial s = 4 com amesma velocidade inicial v = 3. Nesse instante o ciclo repete-se.Apartirdocampodedirecespodeobter-semuitainformaoimportantesobreosistema. No exemplo apresentado na gura 5.4, as condies iniciais dadas conduzema um movimento oscilatrio volta de um ponto perto de s = 5.Podemos ver que se avelocidade inicial fosse mais elevada ou se a partcula parti-se de uma posio inicial coms > 6, a oscilao seria at valores de s menores que 1.5. Perto de s = 1.5 tambmpode existir movimento oscilatrio volta desse ponto.5.2.1Opes do programa plotdfComo j foi referido, o primeiro argumento que deve ser dado ao programa plotdf umalista com as duas componentes da velocidade de fase. Cada componente dever ser umaexpresso que s pode depender de duas variveis, variveis essas que denem o estado dosistema.Se as variveis de estado fossem x e y, no seria preciso dar nenhum outro argumento aoprograma. Se as variveis so outras diferentes, a seguir dever ser escrita uma lista comos nomes dessas duas variveis. Como regra geral pode ser escrito sempre o nome dasduas variveis de estado.A seguir ao nome das variveis de estado h vrias opes adicionais que podem ser usadas.A lista completa de opes do programa pode ser consultada no manual do Maxima.Quando se executa o programa plotdf, criada uma nova janela com o campo de direces(gura 5.5).Deslocando o rato sobre o espao de fase, aparecem no canto inferior direito as coordenadasdo ponto onde estiver o rato. Clicando com o primeiro boto do rato sobre algum ponto nogrco, ser desenhada a curva de evoluo do sistema que passa por esse ponto, com umaseta que indica o sentido da evoluo.A barra de menu da janela grca inclui vrios botes. Zoom, permite mudar o comporta-mento do rato: cada vez que se clicar no grco, a escala do grco aumentar; mantendocarregada a tecla Shift e clicando em simultneo, faz diminuir a escala. Para voltar aobter uma trajectria cada vez que se clica num ponto, carrega-se no boto Integrate.O boto Save permite gravar uma cpia do grco num cheiro, em formato Postscript.O boto Plot Versus t abre uma nova janela onde sero representados os grcos daposio e da velocidade em funo do tempo, correspondentes ltima curva de evoluoque tenha sido desenhada.O boto Config abre o menu Plot SetUp (gura 5.5) que mostra vrios parmetros que5.3 Pontos de equilbrio 77Figura 5.5: Menu Cong do programa plotdf.podem ser alterados: as equaes que denem as componentes da velocidade de fase, ascores usadas para desenhar as velocidades de fase (vectors) e as curvas de evoluo(fieldlines), o domnio, etc. Se o campovectors for deixado em branco, nosero desenhados os vectores e se o campo fieldlines estiver em branco, no serodesenhadas curvas de evoluo. Quando se altera um parmetro, dever carregar-se emok e a seguir no boto Replot.O campo direction ter, por omisso, o valor both, que implica que quando se clicarnum ponto no espao de fase, ser desenhada a curva de evoluo que passa por esseponto, para instantes anteriores e posteriores. Mudando essa varivel para forward oubackward, consegue-se que a curva seja desenhada unicamente para instantes posterioresou anteriores. Introduzindo duas coordenadas no campo Trajectory at, separadaspor espao, e carregando na tecla Enter, acrescentada mais uma curva que passa peloponto com essas coordenadas. Cada vez que clicar no boto Replot ser apresentadaunicamente a ltima curva que foi traada.5.3Pontos de equilbrioEm cada ponto do espao de fase, a velocidade de fase indica a direco e sentido queseguir a curva de evoluo que passa por esse ponto. Nos pontos onde a velocidade defase for nula, no existir nenhuma curva que passe por esse ponto. Nesse caso o estado da78 Sistemas dinmicosFigura 5.6: Menu Save do programa plotdf.partcula permanece constante.Do ponto de vista fsico, para que as duas componentes da velocidade de fase sejam nulas,ser preciso que tanto a velocidade como a acelerao sejam nulas. Isso implica que osistema estar num estado de equilbrio esttico, em que a fora resultante e a velocidadeso nulas e o estado permanece em repouso. Assim,os pontos de equilbrio de umsistema, sero os pontos do espao de fase em que a velocidade de fase nula. de salientar que todos os pontos no eixo das abcissas no espao de fase correspondema estados de repouso (velocidade nula). Alguns desses estados tambm sero estados deequilbrio esttico, se a fora nesses pontos for nula; esses so os pontos denidos comopontos de equilbrio do sistema dinmico.Os pontos de equilbrio do sistema dinmico estaro todos localizados no eixo das abcissas.Nos pontos do eixo das abcissas onde a velocidade de fase no for nula, o sistema perma-nece em repouso apenas durante um instante, retomando imediatamente o seu movimento.Um estado de equilbrio dinmico um estado em que a fora resultante nula mas osistema continua com movimento uniforme. No espao de fase esse estado corresponderiaa uma evoluo em linha recta paralela ao eixo da posio (velocidade de fase na direcodesse eixo).Exemplo 5.2Uma partcula com massa de 0.3 kg desloca-se ao longo do eixo dos x, sob a aco de uma5.3 Pontos de equilbrio 79fora:

F = (x42+4x332 x232x +25)ex(unidades SI). ( a) Encontre os pontos de equilbrio do sistema. ( b) Desenhe o campo dedireces, mostrando as curvas de evoluo perto desse