Filtres Passe Bas

1

Filtres passe-bas

Ce court document expose les principes des filtres passe-bas, leurs caractristiques en frquence et leurs principales topologies. Les lments de contenu sont :

Dfinition du filtre passe-bas Fonction de transfert et rponse en frquence Topologies courantes Filtres passe-bas dordres suprieurs Filtres anti-alias

Dfinition du filtre passe-bas Le filtre passe-bas est un dispositif qui dmontre une rponse en frquence relativement constante (gain fixe) aux basses frquences et un gain dcroissant aux frquences suprieures la frquence de coupure. La dcroissance plus ou moins rapide dpend de lordre du filtre.

Idalement, le filtre passe-bas aurait un gain unitaire (ou fixe) aux basses frquences et un gain nul aux frquences suprieures la coupure fo :

f (hz)

Gain(lin.)

0

1

fo0

log(f)

Gain(db)

-

0

fo

On utilise les filtres passe-bas pour rduire lamplitude des compo-santes de frquences suprieures la celle de la coupure.

t

Vin

t

Vout

Filtrepasse-bas

Ordre du filtre En pratique, il est impossible dobtenir une caractristique aussi parfaite que celle illustre prcdemment. En effet, on ne peut que

Oct 06 Jude Levasseur

2 FILTRES PASSE-BAS

se rapprocher de celle-ci en augmentant lordre du filtre. Ce der-nier correspond grosso modo aux nombres dtages dlments ractifs c.a.d. de composantes dont limpdance varie avec la fr-quence.

On distingue lordre du filtre par la pente de rponse en frquence aux frquences suprieures la coupure. Cette pente est de n fois -20db/decade o n reprsente lordre du filtre.

0.1 1 10

Ordre de filtre passe-bas

Frquences (f / fo)

Gai

n (d

b)

50

40

30

20

10

0

10

60

n = 10

n = 8

n = 6

n = 4

n = 1

n = 2

Note : Une pente de -20db/dcade quivaut une pente de -6db/octave ou un oc-

tave correspond doubler la frquence.

( )db Gain

Gaindb

=

=

20

10 20

log

Un gain de 0 db correspond un gain linaire de 1 (unitaire)

Un gain > 0db correspond un gain linaire > 1 (amplification)

Un gain < 0db correspond un gain linaire < 1 (attnuation)

Valeurs utiles retenir :

Gain (db)

-60 -40 -20 -6 -3 0 3 6 20 40 60

Gain (linaire)

0,001 0,01 0,1 0,5 0,707 1 1,41 2 10 100 1000

Oct. 06 Jude Levasseur

FILTRE PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE 3

Filtre passe-bas du premier ordre Le filtre passe-bas du premier ordre est dfini par la fonction de transfert suivante :

( )FT fj

ff

lp

o

11

1

+

o fo est la frquence de coupure (ou du ple).

0.01 0.1 1 10 10040

20

03

dbi

fifo

0.01 0.1 1 10 10090

45

0

.phase i deg1

fifo

Limplantation du filtre du premier ordre seffectue laide dun simple circuit RC :

Circuit RC

R1

C1Vi Vo

La frquence de coupure correspond :

fR Co

=1

2 1 1


4 FILTRES PASSE-BAS

Si lon veut ajouter un gain au filtre de premier ordre, on peut choisir lun ou lautre des montages suivants :

Ajout dun gain

Le gain statique ( f

FILTRE PASSE-BAS DU SECOND ORDRE 5

0.1 1 1040

20

0

20

Gai

n (d

b) 3

fifo

Q=10

Q=5Q=2Q=1

Q=0,5

Q=0,707

0.1 1 10180

135

90

45

0

Phas

e (d

eg.)

fifo

Q=10Q=5Q=2

Q=1

Q=0,5

Q=0,707

Limplantation passive du filtre du second ordre seffectue laide dun simple circuit RLC :

Circuit RLC

fL Co

=1

2 1 1

R1

C1Vi Vo

L1

QR

LC

=1

1

1

1


6 FILTRES PASSE-BAS

Limplantation active du filtre second ordre se fait laide dun montage avec amplificateur oprationnel. Parmi les montages les plus courants, on trouve la topologie Sallen-Key illustre la fi-gure suivante :

Montage Sallen-Key

R1

C1Vi

VomR1

nC1

fmn R Co

=

12 1 1

Qmn

m=

+1

Si lon veut ajouter un gain au filtre actif du second ordre, on peut choisir lun ou lautre des montages suivants :

Ajout dun gain

Gain statique K pour f

7

Filtres passe-bas dordres suprieurs

Les filtres passe-bas dordres suprieurs sont raliss par la mise en cascade de filtres du second ordre et de premier ordre. Ainsi, pour un filtre dordre n pair (2, 4, 6, 8 etc.), on utilise une cascade de n/2 filtres du second ordre. En contrepartie, pour un filtre dordre n impair (3,

5, 7, 9 etc.), on utilise ( ) 2/1n filtres du second ordre en cascade suivie dun filtre du premier ordre. La figure ci-contre montre la structure dun filtre passe-bas dordre 6 et un autre dordre 5.

Filtre passe-basOrdre 2


Filtre passe-basOrdre 1 Out



Filtre passe-basOrdre 2In

Filtre passe-bas ordre 5

Filtre passe-bas ordre 6

In

Out

Il existe plusieurs types de caractristiques dordres su-prieurs correspondant des agencements particuliers de filtres du second ordre (choix stratgique des cou-pures fo et facteurs Q ). On distingue 3 prin-cipales caractristiques: But-terworth, Chebyshev et Bessel. La figure ci-contre illustre ces types.

La premire, Butterworth, est optimise pour une bande passante la plate pos-sible. Pour sa part, la carac-tristique Chebyshev met profit les pentes accentues des filtres du second ordre fort Q pour produire des dbuts de zone de coupure plus raides. Enfin, la carac-tristique Bessel est plutt optimise pour des signaux digitaux en ne produisant pas doscillation la rponse lchelon. Ces caractristi-ques sont dtailles dans les sections suivantes.


8 FILTRES PASSE-BAS DORDRES SUPERIEURS

La caractristique Butterworth La caractristique Butterworth est probablement la plus couramment utilise pour le filtrage des signaux. Cette caractristique est dite la plus plate en frquence (en anglais flatness ). Les paramtres de ce type de filtre sont organiss de faon obtenir le gain le plus constant possible aux basses frquences et une attnuation de -3db la frquence de coupure et ce pour nimporte quel ordre de filtre. La figure suivante montre une telle caractristique pour diffrents ordres de filtre. La premire partie du graphe donne lallure du coude la frquence de coupure et la se-conde partie, la pente en zone de coupure.

Tableau des valeurs des tages cascades de filtres de 2e ordre et de 1er ordre formant des filtres dordre n avec une caractristique Butterworth pour fc=f3db =1Hz

n fp1 Q1 fp2 Q2 fp3 Q3 fp4 Q4 fp5 Q5 att. 2fc

(db)

att. 2fc

(lin.)

2 1,000 0,707 12,30 4,12 3 1,000 1,000 1,000 18,13 8,06 4 1,000 0,541 1,000 1,307 24,10 16,035 1,000 0,618 1,000 1,618 1,000 30,11 32,016 1,000 0,518 1,000 0,707 1,000 1,932 36,13 64,027 1,000 0,555 1,000 0,802 1,000 2,247 1,000 42,15 128,08 1,000 0,510 1,000 0,601 1,000 0,900 1,000 2,563 48,16 255,99 1,000 0,532 1,000 0,653 1,000 1,000 1,000 2,879 1,000 54,19 512,010 1,000 0,506 1,000 0,561 1,000 0,707 1,000 1,101 1,000 3,197 60,21 1024


LA CARACTERISTIQUE BESSEL 9

La caractristique Bessel La caractristique Bessel est optimise pour la phase. En effet, cette caractristique permet dobtenir un dphasage pratiquement linaire pour les frquences lintrieur de la bande pas-sante. La linarit de la courbe de phase rduit la dformation des ondes complexes contenant beaucoup dharmoniques comme par exemple les ondes carres. Contrairement aux filtres de type Butterworth, les filtres de type Bessel dmontrent une rponse aux ondes carres qui ne contiennent pas de rsonance ringing . En contrepartie, les filtres de type Bessel ont des cou-pures en frquence beaucoup moins raides que le type Butterworth ; souvent, il faudra ajouter un ou plusieurs ordres supplmentaires pour obtenir la mme efficacit en attnuation.

3

0,1 1f / fc

10-7

-6

-4

-3

-2

-1

0

-5

-140

-120

-80

-60

-40

-20

0

-100

CaractristiquesBessel

db

n = 10

9

8

7

65

4

3

2

1

n = 1

10

Tableau des valeurs des tages cascades de filtres de 2e ordre et de 1er ordre formant des filtres dordre n avec une caractristique Bessel avec une frquence de coupure fc=f3db normalise 1Hz.

n fp1 Q1 fp2 Q2 fp3 Q3 fp4 Q4 fp5 att. 2fc (db)

att. 2fc (lin.)

2 1,2736 0,5773 9,80 3,09 3 1,4524 0,6910 1,3270 11,94 3,95 4 1,4192 0,5219 1,5912 0,8055 13,60 4,78 5 1,5611 0,5635 1,7607 0,9165 1,5069 13,97 5,00 6 1,6060 0,5103 1,6913 0,6112 1,9071 1,0234 14,13 5,09 7 1,7174 0,5324 1,8235 0,6608 2,0507 1,1262 1,6853 13,96 4,99 8 1,7838 0,5060 2,1953 1,2258 1,9591 0,7109 1,8376 0,5596 13,58 4,77 9 1,8794 0,5197 1,9488 0,5894 2,0815 0,7606 2,3235 1,3220 1,8575 13,37 4,66



La caractristique Chebyshev Les filtres de type Chebyshev ont pour but damliorer la dcroissance du gain aux frquences immdiatement suprieures la coupure. Cette accentuation de la coupure est cependant pro-duite au dtriment dun gain non constant (ripple) dans la bande passante. Rgle gnrale, plus on accepte une grande variation de gain dans la bande passante, plus on obtient une dcroissance rapide au voisinage de la frquence de coupure. La figure suivante compare les rponses en fr-quence des filtres Chebyshev et Butterworth du troisime ordre.

0.1 1 1030

20

10

0

f/f3db

Caractristiques3e ordred

b

Butterworth

Chebyshev 0,1db

Chebyshev 1,0 db

Les tableaux suivants donnent les paramtres des filtres de premier et second ordres quil faut mettre en cascade afin dobtenir la caractristique Chebyshev pour des ordres suprieurs. Contrairement aux filtres de type Butterworth, la caractristique Chebyshev sobtient par une cascade dtages de filtre passe-bas 1er et 2e ordre ayant leur frquence de ple propre fp des valeurs diffrentes (infrieures) la coupure recherche f3db recherche.


LA CARACTERISTIQUE CHEBYSHEV 11

Tableau des valeurs des tages cascades de filtres de 2e ordre et de 1er ordre formant des filtres dordre n avec une caractristique Chebyshev 0,1db dondulation pour f3db=1Hz

n fp1 Q1 fp2 Q2 fp3 Q3 fp4 Q4 fp5 att. 2f3db (db)

att. 2f3db (lin.)

2 0,9276 0,7673 13,3 4,6 3 0,9359 1,3408 0,6979 21,5 11,9 4 0,9481 2,1834 0,6488 0,6171 31,0 35,3 5 0,7027 0,9145 0,9634 3,2812 0,4749 41,1 113 6 0,4689 0,5995 0,7626 1,3299 0,9711 4,6286 51,5 374,1 7 0,5380 0,8464 0,8126 1,8469 0,9787 6,2335 0,3528 62,3 1,30K 8 0,3625 0,5932 0,6128 1,1821 0,8491 2,4511 0,9823 8,0755 73,1 4,55K 9 0,4310 0,8219 0,6776 1,5854 0,8775 3,1450 0,9864 10,178 0,2790 84,2 16,2K



Tableau des valeurs des tages cascades de filtres de 2e ordre et de 1er ordre formant des filtres dordre n avec une caractristique Chebyshev 1,0db dondulation pour f3db=1Hz

n fo1 Q1 fo2 Q2 fo3 Q3 fo4 Q4 fo5 att. 2f3db (db)

att. 2f3db (lin.)

2 0,8028 0,9564 15,30 5,82 3 0,9106 2,0173 0,4513 25,14 18,06 4 0,4932 0,7845 0,9267 3,4971 35,62 60,42 5 0,6337 1,3988 0,9614 5,5559 0,2800 46,97 223,2 6 0,3422 0,7608 0,7236 2,1795 0,9644 7,9364 57,64 761,7 7 0,4719 1,2971 0,7946 3,1558 0,9795 10,898 0,2019 69,38 2945 8 0,2603 0,7530 0,5734 1,9464 0,8354 4,2448 0,9794 14,169 80,07 10,08K9 0,3734 1,2597 0,6554 2,7129 0,8715 5,5268 0,9873 18,023 0,1577 92,00 39,80K


13

Filtres anti-alias

Cette section a pour objectif de montrer une faon de concevoir des filtres passe-bas anti-alias utiliss dans des applications de conversion analogue numrique. Les lments de contenu sont :

la notion dalias,

design de filtres anti-alias.

La notion dalias Lors dun processus dacquisition de donnes, le signal dentre est converti en une srie de valeurs prises habituellement rythme rgulier (frquence dchantillonnage). On peut reconnatre ad-quatement le signal dentre si la frquence dchantillonnage est plusieurs fois, en pratique au moins 10 fois, celle de lentre.

A N

Signal d'entre Signal chantillonn

1 0 0 0

F s i g n a l

5 ,0

- 5 ,0

- 4 ,0

- 2 ,0

0 ,0

2 ,0

4 ,0

1 0 ,0 00 ,0 0 1 ,0 0 2 , 0 0 3 ,0 0 4 ,0 0 5 ,0 0 6 , 0 0 7 ,0 0 8 ,0 0 9 ,0 0

S i g n a l

A c q u i s i t i o nS i g n a l d ' e n t r e e t p o i n t s d ' a c q u i s i t i o n

T e m p s ( m s )

V

1 1 0 0 0

F c h a n t i l l o n n a g e

4 ,0

0 ,0

1 ,0

2 ,0

3 ,0

5 5 0 00 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 4 0 0 0 4 5 0 0 5 0 0 0

A c q u i s i t i o nS p e c t r e d e l ' a c q u i s i t i o n

F r q u e n c e ( H z )

V e f f


14 FILTRES ANTI-ALIAS

Si la frquence dchantillonnage est infrieure au double de celle de lentre alors les valeurs chantillonnes dmontrent des com-posantes harmoniques qui nappartiennent pas au signal dentre. Ces nouvelles harmoniques sont appeles alias . La figure sui-vante montre un signal dentre de 1kHz que lon chantillonne une frquence de 1,1kHz. Le spectre du signal converti dmontre une frquence alias de 100Hz qui nappartient absolument pas lentre.

1 0 0 0

F s i g n a l

5 ,0

- 5 ,0

- 4 ,0

- 2 ,0

0 ,0

2 ,0

4 ,0

2 0 ,0 00 ,0 0 2 ,0 0 4 , 0 0 6 ,0 0 8 ,0 0 1 0 , 0 0 1 2 ,0 0 1 4 ,0 0 1 6 ,0 0 1 8 , 0 0

S i g n a l

A c q u i s i t i o n

A l i a sS i g n a l d ' e n t r e e t p o i n t s d ' a c q u i s i t i o n

T e m p s ( m s )

V

1 1 0 0

F c h a n t i l l o n n a g e

4 ,0

0 ,0

1 ,0

2 ,0

3 ,0

5 0 00 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0

A c q u i s i t i o nS p e c t r e d e l ' a c q u i s i t i o n

F r q u e n c e ( H z )

V e f f

La condition essentielle pour viter la formation dalias est :

La frquence dchantillonnage doit tre au moins le double de celle de lharmonique de plus haute frquence du signal dentre.

Ou, si lon prfre :

Le signal dentre ne doit pas contenir dharmonique de frquence suprieure ou gale la moiti de la frquence dchantillonnage.

On appelle frquence de Nyquist la frquence correspondante moiti de celle de lchantillonnage.

samplingnyquist ff 21

=


DESIGN DE FILTRES ANTI-ALIAS. 15

Design de filtres anti-alias. Lutilisation dun filtre passe-bas lentre du convertisseur ana-logue numrique est le moyen le plus couramment employ pour viter la formation dalias. Le filtre doit tre conu de faon r-duire toutes les harmoniques de frquence suprieure la fr-quence Nyquist un niveau plus faible que le quanta (rsolution) du convertisseur.

A N(n bits)

fnyquist

Attnuation

Filtre anti-alias

0 2n

Vmax= Vref

Vref

= quantaVrefLogdbnAttnuatio

fnyquistf 1020)(

Or, puisque le quanta du convertisseur dpend du nombre de bits, on obtient donc :

nVrefquanta

2= o n est le nombre de bits du convertisseur.

( )n

LogdbnAttnuatio nfnyquistf

=

02,6

220)( 10

En pratique, on ajoute une marge de scurit supplmentaire tout comme il est fait par le logiciel FilterLab qui utilise plutt la rela-tion suivante :

76,102,6)( +=

ndbnAttnuatiofnyquistf

o 1,76db correspond ni plus ni moins une marge de scurit denviron 20% sur lattnuation ncessaire.

Exemple1: Filtre anti-alias pour convertisseur 8 bits On dsire faire lacquisition dun certain signal avec une bande passante de 1kHz laide un convertisseur A/N de 8 bits dont la frquence dchantillonnage est 10kHz. Dterminez lordre minimal ncessaire dun filtre passe-bas de type But-terworth afin dviter la formation dalias.

Solution :

Puisque lchantillonnage seffectue 10kHz alors la frquence Nyquist est de 5kHz. Lattnuation ncessaire cette frquence est de :


16 FILTRES ANTI-ALIAS

dbndbnAttnuatiokHzf

5076,102,6)(5

=+=

tant donn que lon veut une bande passante de 1kHz, il faut alors trouver lordre du filtre qui fasse en sorte dobtenir une attnuation de 50db ou plus pour un rapport f/f3db de seulement 5.

laide du programme Filtres passe-bas ordre superieur.vi on dtermine quil faut un filtre Butterworth dordre 4 . Ce dernier permet dobtenir une attnuation de 55,9 db 5 fois la frquence de coupure.

Note : Lutilisation dun filtre passe-bas Chebyshev 1,0db permettrait de r-duire lordre 3 au lieu de 4.

Exercice :

Rptez lexemple 1 sil sagit dun convertisseur 12 bits au lieu de 8bits.

Rp. : Butteworth ordre 6 ou Chebyshev 1,0db ordre 5.

Exercice :

Rptez lexemple 1 sil sagit dun convertisseur 12 bits au lieu de 8bits et si la frquence dchantillonnage est rduite 5kHz au lieu de 10kHz. On dsire conserver la bande passante du signal dentre.

Rp. : Butteworth ordre 10 ou Chebyshev 1,0db ordre 7.

Exercice :

Si pour lexemple 1 on utilise seulement quun filtre de premier ordre (simple circuit RC), alors quelle frquence devrions-nous rduire la bande passante afin dviter la formation dalias ?

Rp. : environ 16Hz seulement !!!

Filtres passe-basDfinition du filtre passe-basOrdre du filtreFiltre passe-bas du premier ordreFiltre passe-bas du second ordreFiltres passe-bas dordres suprieurs La caractristique ButterworthLa caractristique BesselLa caractristique ChebyshevFiltres anti-aliasLa notion daliasDesign de filtres anti-alias.

Filtres Passe Bas

Documents

Transcript of Filtres Passe Bas