QUESTÕES DISCURSIVAS

a) O piso de uma sala retangular de 100 dmde comprimento por 120 dm de largura vaiser revestido com placas quadradas, as maio-res possíveis. Qual é a área de cada uma?b) Sobre uma dessas placas cai um anel cir-cular com 3 cm de diâmetro. Determine aárea do lugar geométrico em que o centro doanel deve estar, para que o anel fique apenassobre essa placa.

Resposta

a) O maior valor do lado das placas é o máximodivisor comum de 100 = 2 2 ⋅ 5 2 e 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5.Portanto o lado é mdc (100,120) = 20 dm e a áreade cada placa é 202 = 400dm2 .b) O centro do anel deve estar no quadrado delado 200 − 2 ⋅ 1,5 = 197 cm. A área desse quadra-do é197 2 = (200 − 3)2 = 2002 − 2 ⋅ 200 ⋅ 3 + 3 2 == 38 809 cm2 .

Na figura a seguir, em que os ângulos �A e �Bsão retos, considere que um indivíduo estejano ponto O e queira atingir o ponto C, pas-sando pelos pontos A e B. Sabe-se que OC == 10 000 m, AB = 8 000 m e que a distânciaentre B e C é 25% do percurso que o indiví-duo pretende fazer para atingir o ponto C.

Suponha que, no trajeto entre A e B, existaum ponto D, de parada obrigatória. A partirdesse ponto, a distância que ainda falta parachegar ao ponto C é 60% do caminho já per-corrido.Determine a distância entre D e B.

Resposta

Considere a figura a seguir:

Seja P ∈OA tal que CP // AB e D ∈ AB tal queBD = y.No triângulo retângulo OCP, aplicando o Teoremade Pitágoras, (10 000)2 = (8 000)2 + (OP)2 ⇔⇔ OP = 6 000 m.Sendo PA = BC = x, temos que x = 25%(6 000 ++ x + 8 000 + x) ⇔ x = 7 000 m.Assim, y + 7 000 = 60%(6 000 + 7 000 ++ 8 000 − y) ⇔ y = 3 500 m.

Paulo é pecuarista e possui um rebanho bovi-no de 1200 cabeças, cuja taxa de crescimentoanual é uma porcentagem representada por t.

Questão 1

1,5 cm

1,5 cm

1,5 cm

1,5 cm

20 dm 200 cm=

Questão 2

Questão 3

Paulo realizou a venda de 1800 cabeças,comprometendo-se a entregar 1000 no finalde 1 ano e, as outras 800, no final de 2 anos.a) Determine t, considerando que, após a 2ªentrega, não sobre cabeça alguma.b) Se log 2 = 0,3 e t = 25%, quantos anos apro-ximadamente o pecuarista levaria para fazera 2ª entrega?

Resposta

a) Como a taxa de crescimento anual do rebanhoé t, obedecendo às condições do enunciado:[1 200 ⋅ (1 + t) − 1 000] ⋅ (1 + t) = 800 ⇔

⇔ 6 ⋅ (1 + t)2 − 5 ⋅ (1 + t) − 4 = 0 ⇔

t 143

ou

t 112

+ =

+ = −

.

Já que t > 0, t + 1 = 43

⇔ t = 13

= 100%3

.

b) Com t = 25% = 14

, após fazer a primeira entrega

o pecuarista fica com 1 200 ⋅ 114

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − 1 000 =

= 1 200 ⋅ 54

− 1 000 = 500 cabeças de gado.

Seja n o número de anos necessários após a pri-meira entrega para que o pecuarista entregue 800

cabeças. Então 500 ⋅ 114

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

= 800 ⇔ 108

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= 1610

⇔ log108

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = log

1610

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇔ n ⋅ log

108

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= (log 16 − log 10) ⇔ n ⋅ (1 − log 2 3 ) = log 24 − 1 ⇔⇔ n ⋅ (1 − 3 ⋅ log 2) = 4 ⋅ log 2 − 1.Supondo log 2 = 0,3, n ⋅ 0,1 = 0,2 e, assim,n ≅ 2 anos.

Um atleta corre 1000 metros numa direção,dá meia-volta e retorna metade do percurso;novamente dá meia-volta e corre metade doúltimo trecho; torna a virar-se e corre metadedo trecho anterior, continuando assim indefi-nidamente.a) Quanto terá percorrido aproximadamenteesse atleta, desde o início, quando completaro percurso da oitava meia-volta?b) Se continuar a correr dessa maneira, inde-finidamente, a que distância do ponto de par-tida inicial o atleta chegará?

Resposta

a) O percurso de uma meia-volta é igual à metadedo percurso da meia-volta anterior, de modo queas medidas dos trechos formam uma progressão

geométrica de razão12

.

Ao completar o percurso da oitava meia-volta, oatleta percorreu 9 trechos: o inicial e as 8 meias-vol-

tas. Assim, o atleta percorre 1 000

12

1

12

1

9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−=

= 2 000 11

21 9969−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

≅ metros.

b) A distância desejada é igual a

1 000 − 1 000 ⋅ 12

+ 1 000 ⋅ 1

2 2 − 1 000 ⋅ 1

2 3 + ... =

=− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 000

112

= 2 0003

metros.

João investiu R$10 000,00 num fundo de ren-da fixa que remunera as aplicações à taxa dejuro composto de 20% ao ano, com o objetivode comprar um automóvel cujo preço atual éR$30 000,00, que é desvalorizado à taxa dejuro de 10% ao ano.Depois de quantos anos João conseguirá ad-quirir o automóvel pretendido?São dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.

Resposta

Após t anos, João tem aplicados 10 000 ⋅

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅1

20100

10 000 1,2 reaist

t e o preço do

carro é 30 000 ⋅ 110100

30 000 0,9t

t−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ reais.

Ele conseguirá adquirir o automóvel se

10 000 ⋅1,2t ≥ 30 000 ⋅0,9t ⇔ 1,2

0,9

30 00010 000

t

t ≥ ⇔

⇔ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ ⇔ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ≥ ⇔4

33 log

43

log 3t t

⇔ ⋅ − ≥ ⇔t (log 2 log 3) log 32

⇔ ≥⋅ −

tlog 3

2 log 2 log 3. Adotando as aproxima-

ções dadas, t ≥ 0,482 0,3 0,48⋅ −

⇔ t ≥ 4 anos.

Assim, João conseguirá adquirir o automóvelapós 4 anos.

matemática 2

Questão 4

Questão 5

Um jogo consiste em lançar um dado e, emseguida, uma moeda, um número de vezesigual ao número obtido no lançamento dodado. Sairá vencedor aquele que conseguir omaior número de caras nos lançamentos damoeda.Pedro, que disputa com Paulo, conseguiu ti-rar 5 caras. Qual a probabilidade de Paulosair vencedor?

Resposta

Para Paulo sair vencedor ele deve conseguir 6caras, ou seja, deve tirar 6 no lançamento dodado e, ao jogar a moeda seis vezes, obter 6 ca-ras.Logo, supondo que o dado e a moeda sejam ho-

nestos, a probabilidade pedida é16

⋅ 12

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

384.

Um viajante, diante de uma bifurcação da es-trada, dirige-se ao posto de combustível maispróximo para saber que direção deve tomar,para chegar ao seu destino. Ocorre que nesseposto há três funcionários: Franco, que sem-pre fala a verdade; Hilário, que sempre men-te e Dúbio, que diz a verdade duas em cadatrês vezes.a) Se os três funcionários estiverem traba-lhando no posto quando o viajante pedir a in-formação a um deles, qual a probabilidade deele chegar ao seu destino corretamente?b) Suponha, agora, que um único funcionáriotrabalhe em cada turno, que Franco trabalheo dobro de turnos de Dúbio e que este últimotrabalhe uma vez e meia o número de turnosde Hilário. Nesse caso, qual a probabilidadede a informação ser correta?

Resposta

Na resolução, vamos supor que o fato de Dúbiodizer a verdade duas em cada três vezes significa

que a probabilidade de ele dizer a verdade é23

.

a) Como Franco tem a probabilidade 1 de dizer averdade e Hilário tem probabilidade 0, supondo

que o viajante vá seguir a direção indicada pelo

funcionário, a probabilidade é13

113

013

⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ =23

59

.

b) Seja p a probabilidade de que seja Hilário ofuncionário do turno. Então, nas condições dadas:• a probabilidade de que seja Dúbio o funcionáriodo turno é 1,5p;• a probabilidade de que seja Franco o funcioná-rio do turno é 2 ⋅ 1,5p = 3p.

Assim, p 1,5p 3p 1+ + = ⇔ p = 15,5

= 211

e a pro-

babilidade de a informação ser correta é 3p ⋅ 1 + p ⋅

⋅ 0 + 1,5p ⋅ 23

= 4p = 4211

⋅ = 811

.

Represente graficamente a região dada pelas

restriçõesy 3 5x|y 1| xy 2

> −− >

<

⎧⎨⎪

⎩⎪e calcule a sua área.

ver comentário

Os pontos (x; y) que satisfazem y 3 5x> − são os

pontos acima da reta y 3 5x= − ⇔ x35

y3

1+ = ,

que passa pelos pontos35

; 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e (0; 3):

matemática 3

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Os pontos (x; y) que satisfazem |y − 1| > x são ospontos à esquerda do gráfico de |y − 1| = x ⇔⇔ x ≥ 0 e (y − 1 = x ou y − 1 = −x):

Os pontos (x; y) que satisfazem y < 2 são os pon-tos de ordenada menor que 2:

A região dos pontos (x; y) que satisfaz o sistema

y 3 5x

y 1 x

y 2

> −− ><

⎧⎨⎪

⎩⎪| | é a interseção das três regiões ante-

riores:

A região obtida é infinita e, portanto, não tem áreadefinida.Observação: supondo que y ≥ 0, obtemos a re-gião:

Como a reta y = 3 − 5x corta a reta y = 2 em15

; 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , a reta y − 1 = x em

13

;43

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e a reta

y − 1 = −x em12

;12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , a área da região obtida é

12

⋅ 115

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ 2

43

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + 1

2⋅ 1

35

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ 1

2= 11

30.

Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômioP(x) x 3x 7x 15x 18,4 3 2= − − + + determineas outras raízes.

Resposta

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, como 3 éraiz dupla, temos:

3 1 −3 −7 15 18

3 1 0 −7 −6 0

1 3 2 0

Assim P(x) (x 3) (x 3x 2)2 2= − ⋅ + + e

P(x) 0= ⇔x 3 ou

x 3x 2 02

=

+ + =⇔

⇔x 3 ou

(x 1 ou x 2)

== − = −

As outras raízes de P(x) são −1 e −2.

Um fabricante produz um tipo de telha quetem a forma abaixo, cujas medidas estão ex-pressas em cm:

matemática 4

Questão 9

Questão 10

Ele pretende fabricar outro tipo de telha emque, como se observa na figura, há semicir-cunferências de raio R.

a) Se as áreas A1 e A2 devem ser iguais paraque a vazão de água da chuva se mantenha amesma, qual é o valor de R?

b) Qual é a economia de material, expressaem porcentagem, que o fabricante vai obtercom a mudança do tipo de telha? As duaschapas têm larguras iguais, L, e comprimen-tos diferentes.

Resposta

a) A figura A1 é um quadrado de lado 10 cm.

A figura A2 é equivalente a um retângulo de base4R e altura R.

Como as áreas das duas figuras devem ser iguais,temos 4R 1002 = ⇔ R 252 = ⇔ R = 5 cm.b) Para fazer uma telha do modelo antigo, a cha-pa deve ter 40 cm de comprimento.

A nova telha necessita de uma chapa de 2 ⋅ π ⋅ 5 == 10π cm.

Assim, a economia de material da telha nova emrelação à telha antiga é:40 10

4040 10 3,14

400,215 21,5%

− ≅ − ⋅ = =π

matemática 5