Ferramenta numérica para o cálculo de propriedades geométricas:

Aplicações em engenharia civil

Ruan M. O. de Freitas, Eric M. F. Bezerra, Jonathas I. F. de Oliveira, Raimundo G. de

Amorim Neto

UFERSA - Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas, DCAT - Campus Leste

59.625-900, Mossoró, RN

E-mail: ruan-de-freitas@hotmail.com, eric_mateusjes@hotmail.com, jonathasiohanathan@hotmail.com, raimundoamorim@ufersa.edu.br,

Flaviana M. de S. Amorim

Faculdade de Ciências e Tecnologia Mater Christi

59611-030, Mossoró, RN

E-mail: joflaviana@yahoo.com.br

Palavras-chave: modelagem matemática, propriedades geométricas, engenharia civil

Resumo: No âmbito da engenharia civil é fundamental o conhecimento preciso de propriedades

geométricas de seções de peças ou áreas para construção. Este trabalho busca apresentar uma a

metodologia simples para o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para ser aplicada em

problemas de engenharia, especialmente àqueles ligados a estruturação de peças como vigas, eixos,

lajes e pilares. Fez-se o uso, para tanto, das potencialidades previamente contidas no MatLab. Com o

uso das ferramentas desenvolvidas percebe-se o ganho em escala e precisão, uma vez que o programa

desenvolvido se mostrou simples e com resultados similares aos resultados manuais e de outro

software de engenharia, que demandariam um grande custo no tocante ao tempo.

1 Introdução

O estudo das propriedades geométricas é fundamental para o campo de trabalho da mecânica para

engenharia. A determinação destas com auxílio de programas computacionais são de extrema

importância, fundamentalmente nos cálculos ligados à análise de estruturas. Com o uso de

programação obtêm-se resultados rápidos e precisos nos cálculos que servem de base para o estudo

estrutural, como é o caso para os cálculos de tensões em vigas ou demais peças, a exemplo da deflexão

em vigas, conforme se ilustra na Figura 1.

Segundo [5] existe um grande número de propriedades que representam a forma e a disposição de

uma superfície plana em relação a um sistema de referencial. Essas propriedades são de usos

corriqueiros na engenharia, em que uma variedade de descrições quantitativas de superfícies é

necessária para o estudo da mesma. No estudo de flexão das vigas, de acordo com [1] o centroide da

área (uma das propriedade geométricas) de seção transversal de uma viga tem um papel importante na

determinação de tensões na viga.

Na Figura 1 exemplifica o conceito de momento de inércia (uma das importantes propriedades),

mostrando duas vigas de iguais dimensões, porém de orientações diferentes no qual está apoiando uma

laje retangular. Entre as duas vigas observa-se que a viga na orientação P1 se encontra numa melhor

orientação, pois é nessa posição que o perfil tem maior rigidez a flexão em torno do eixo x, podendo

ser verificado pela expressão do momento de inércia para uma seção retangular.

Figura 1: Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações.

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2 Metodologia

A metodologia consistiu no desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o cálculo das

propriedades geométricas, mais comumente utilizadas nos problemas clássicos de engenharia civil, em

especial àqueles ligados as estruturas das edificações. Para tanto se utilizou do pacote matemático

MatLab, neste optou-se pela aplicação direta das fórmulas obtidas por suas definições e em alguns

casos através da decomposição das áreas das seções.

Os valores das variáveis são determinados pelos dados de entrada fornecidos pelo usuário do

programa. Por meio das funções ‘get’ recebem-se as entradas das variáveis e através da função ‘set’

exibem-se os resultados obtidos do programa. Para as aplicações nas fórmulas são necessárias às

conversões dos valores ‘string’ (das entradas do programa) em valores numéricos, usa-se para tanto, a

função ‘str2num’, e as transformações dos valores numéricos em valores ‘string’ para a exibição dos

resultados na interface gráfica do programa, se dá através da função ‘num2str’.

Para o cálculo do momento de inércia, por exemplo, em relação ao eixo x, utiliza-se um elemento

diferencial de área horizontal bdy localizada a uma distancia y do eixo do centroide x’. Análogo é

utilizado para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y’ do centroide, ambas são

apresentadas conforme as equações na Figura 2.

Figura 2: Determinação do momento de inércia para uma seção retangular

3 Resultados e Considerações Finais

A aplicação dos códigos desenvolvidos e sua validação são mostradas através de um exemplo de um

triângulo oblíquo (Figura 3-a) que é um dos tipos de seção implementada do programa. Para a

averiguação dos resultados obtidos pelo software, vamos verificar a área e seus centroides a partir de

cada uma de suas fórmulas, mostradas nas equações abaixo, e depois essas e as demais propriedades

geométricas serão comparadas com a resposta de um programa clássico de engenharia, o AutoCAD.

O exemplo de utilização e solução do programa desenvolvido está apresentado na Figura 3.

Figura 3: Exemplo e Solução dado pelo programa.

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Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 1, e esta mostra a comparação dos resultados

obtidos pelo programa desenvolvido, com os resultados calculados manualmente e os fornecidos pelo

AutoCAD. Ficando assim de acordo com os resultados do programa desenvolvido e dos calculados

manualmente.

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

25000,0000 25000,0000 25000,0000

108,3333 108,3333 108,3333

83,3333 83,3333 83,3333

2083333,3333 2083332,5000 2083332,5000

2708333,3333 2708333,3333 2708332,5000

86805555,5556 86805555,5556 86805555,5556

42534722,2222 42534722,2222 42534722,2222

8680555,5556 8680555,5556 8680555,5556

58,9256 58,9256 58,9256

41,2479 41,2479 41,2479

Tabela 1: Comparação dos resultados para a seção triangular.

Observa-se que os resultados são acurados, com valores exatos para aproximação de quatro casas

decimais. Em relação ao AutoCAD o programa desenvolvido nesse trabalho mostra uma vantagem no

que diz respeito ao tempo e praticidade já que no programa não há necessidade de desenhar de forma

precisar e nem de adaptar o eixo de origem para os cálculos de algumas propriedades geométricas em

relação ao centroide.

A aplicabilidade do programa é a utilização das propriedades geométricas determinado por ele, com

a finalidade do uso para cálculos estruturais com vigas, eixos e colunas. A versão atual do programa é

na forma de um executável criado na interface gráfica do MatLab que tem disponível para o usuário

nove tipos de seções de área pré-definidas, essas seções são baseadas nos tipos de áreas transversais

das estruturas mais utilizadas na engenharia. A perspectiva para esse projeto é o aprimoramento do

programa com a criação de um código para o cálculo das propriedades geométricas de uma seção de

área qualquer, com o intuito de ser adicionado ao programa como mais uma opção de escolha de seção

de área, e por fim utilizar o programa em outros pacotes que serão parte de um único programa de

estrutura capaz se solucionar as propriedades geométricas, aliados a problemas específicos de

engenharia de estruturas como a determinação de reações de apoio e os esforços internos de uma

treliça e/ou viga.

Referências

[1] A.P. Boresi, “Estática”, Thomson, São Paulo, 2003.

[2] F.P. Beer, “Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática.”, Makron Books, São Paulo, 1994.

[3] S. J. Chapman, “Programação em MatLab para Engenheiros”, Thompson, São Paulo, 2006.

[4] R.C. Hibbeler, “Estática: Mecânica para Engenharia”, Pearson, São Paulo, 2011.

[5] I. H. Shames, “Estática: Mecânica Para Engenharia”, Prentice Hall, São Paulo, 2002.

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