Fascículos ENEM 2013 - fascículo 04.pdf

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é C

rime.

04Matemáticae suas TecnologiasMatemáticaAlexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico

50

Na ficção ou na realidade, as razões e proporções acom-panham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala. Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictício, nos quais os conceitos de razão e proporção são funda-mentais para a compreensão e elaboração das respecti-vas respostas.

1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse grande como um gigante? Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura au-menta em uma direção, a área em duas e o volume, em três. Se a altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a secção transversal (área) do conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra a gravidade ficaria 10 · 10 = 100 ve-zes maior, já o seu volume (e, portanto, a sua massa) ficaria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo é que os ossos destinados a mantê-la erguida não suporta-riam o seu peso, sendo estilhaçados. É por essa e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanças quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas.“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C. Cole – Adaptado.

2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos que consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km ou o de Fabíola que percorre 180 km com 20 litros de gasolina? Quantos por cento mais econômico?Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:I. Para o automóvel de Carlos:

(dez quilômetros por litro)

Isso significa que, em média, o automóvel de Carlos

percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.II. Para o automóvel de Fabíola:

(nove quilômetros por litro)

Isso significa que, em média, o automóvel de Fabíola percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.

O automóvel mais econômico é o que gasta menos combustível para percorrer uma mesma distância. Obser-vando que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km. Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele gastaria apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel de Fabíola gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel do Carlos é o mais econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo carro da Fabíola. Matematicamente, temos:

(“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).

Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina consumidos pelo carro da Fabíola, o automóvel do Carlos gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso.Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender alguma passagem nesses questionamentos, não se pre-ocupe. Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.

CONCEITO DE RAZÃO • A razão entre duas grandezas é o quo-

ciente entre elas. Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que:

I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é:

(lê-se:2 para 3)

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.

Caro EstudanteO presente fascículo tem como objetivo geral o estudo da proporcionalidade voltada para situações-problema vivenciadas

no cotidiano, conforme se tem contemplado no Enem. Para uma melhor compreensão desse tema, dividiremos o assunto

em três tópicos:

• Razões e Proporções;

• Proporcionalidade na Geometria e

• Função Afim (Linearidade).

Bom Estudo!

Objeto do Conhecimento

Razões e Proporções

51Universidade Aberta do Nordeste

Escalas numéricas (E)É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu correspondente comprimento no tamanho real (D), medi-dos numa mesma unidade.

Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.

Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é seu valor.

Exemplo:Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma es-trada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mes-ma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2. Nessas condições, a fotografia está na escala ou

, ou seja,

E = 1: 250 000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotogra-fia corresponde a 250 000 cm (2,5 km), na realidade. As-sim, 9 cm2 (área queimada na fotografia) corresponde a 9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km)2 = 56,25 km2.

ProporçãoProporção é uma igualdade entre duas razões. Quando di-zemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a se-guinte igualdade:

(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)

Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são os meios da proporção).

Propriedades da proporção

Se , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:

II. A razão entre o número de mulheres e o total de pes-soas na festa é:

(lê-se:3 para 5)

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são são mulheres. • As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de

espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que:

I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos homens e o número de homens foi de:

salgados/homens

(lê-se: 5 salgados por homem)

Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 salgados.

II. A razão entre o número de salgados consumidos e o número de pessoas foi de:

salgados/pessoas

(lê-se: 4,4 salgados por pessoa)

Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.

Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0,

usamos ou a : b para indicar a razão entre a e b, respec-

tivamente.

Na razão (lê-se: a para b), o número a é chamado de

antecedente e o número b, de consequente.

Porcentagem (ou percentagem)É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a quantida-de correspondente a 100 coisas quaisquer.

pP%

Exemplo:a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês fluen-

temente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala inglês. Note:

52

pondente desse elemento na outra sequência também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:

Em geral, dizemos que os números da sucessão numé-rica (a1, a2, a3, ..., an ) são diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão (b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razões entre seus respectivos correspondentes forem iguais, ou seja:

Esta razão constante k é chamada de fator de propor-cionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior que o respectivo consequente.

Exemplo:Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus tem 16 anos,

14 anos e 10 anos, 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 240,00 reais entre eles, em partes diretamente proporcionais às idades, quanto receberá cada um?

Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 16k (João Victor), 14k (Ganriela) e 10k (Matheus)

Daí:

Sendo assim, temos que:João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectiva-

mente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

Grandezas diretamente proporcionaisObserve na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valo-res pagos:

Valor (V) 3 6 15 24 18 36

Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12

(constante de proporcionalidade).

Sendo assim, temos as seguintes propriedades:

I. ad bc (propriedade fundamental)

“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.”

II.

III.

Exemplo:Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa propor-ção ideal, utilizando as propriedades das proporções. Veja:

I. Na primeira jarra:

Note: poupa + água = J (volume da jarra)

II. Na segunda jarra:

III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:

Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta para 53 partes de água.

Números Diretamente Proporcionais

Considere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência:

2ª sequência:

Nessas sequências, observe que elas crescem ou de-crescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o corres-


Note que as razões obtidas entre os respectivos ele-mentos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são di-retamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.

Em símbolos:

Números inversamente proporcionaisConsidere as seguintes sequências numéricas:

• 1ªsequência: formada pelos

respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).

• 2ª sequência:

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decres-cem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste ele-mento na outra sequência reduz-se à sua terça parte.

Note que os inversos dos números da 1ª sequência são diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.

Inversos da 1ª sequência

Em geral, dizemos que os números da sequência (a1,

a2, a

3, ..., a

n) são inversamente proporcionais aos números

da sequência (b1, b

2, b

3, ..., b

n) quando os números de uma

delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:

1 3

3 n

n2

21

ou de outra forma:

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto en-tre os respectivos elementos das sequências inversamente proporcionais.

Exemplo:Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias, no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica di-vidir R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um. Veja:

As partes devem ser diretamente proporcionais aos in-

versos dos números de faltas , respectivamente.

Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes serão, então:

. Daí:

Sendo assim, temos que:Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00 R$ 96,00 e R$

240,00, respectivamente

Grandezas inversamente proporcionaisMatheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

Numero de amigos (A) 2 3 4 5 6 10 30

Bombons recebidos (B) 30 20 15 12 10 6 2

Note que os produtos obtidos entre os respectivos ele-mentos das sequências “número de amigos” (A) e “número de bombons recebidos“ (B) são iguais:

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são in-versamente proporcionais quando uma aumenta e a ou-tra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.

54

A regra de sociedade é uma aplicação prática da divi-são em partes proporcionais.

Regra de três simples e regra de três compostaExiste uma regra prática que nos permite relacionar dois valores de uma grandeza A com dois valores, respecti-vamente, de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.

Essa regra pode ser resumida assim:

– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.

– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de re-ferência, de preferência a que se quer saber o valor.

– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta com sentido para baixo (é só uma convenção, po-deria ser para cima).

– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência cada uma das outras, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).

– 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra razão ou o produto das outras, caso tenha mais de uma outra lembrando que se há proporcionalidade em relação à grandeza de referência, devemos inverter os ele-mentos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no membro da igualdade formada.

Se o problema envolve apenas duas grandezas propor-cionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma regra de três composta.

Exemplo:Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos pre-cisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser obtida pelo seguinte processo: colaca-se a folha da planta sobre uma cartolina e traça-se o seu contorno.

Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com 10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:

Em símbolos:

onde k é a constante de proporcionalidade

Exemplo:Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de tra-balho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários” (H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note: “quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gas-tam”). Daí, H · D = k, onde k é constante.

Daí, para os dois serviços, devemos ter: H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias

para a realização do outro serviço.

Assim, 20 · 1524 .

Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezasSe uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, en-tão A é proporcional ao produto B · C, isto é:

onde k é constante

Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo:a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. En-

tão:

b) A grandeza M é diretamente proporcional às grande-zas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:

c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:

Regra de sociedadeEm uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser dis-tribuídos entre os sócios em partes diretamente propor-cionais aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empre-gados na constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais.


Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:

Daí,

Logo, a área da folha é 225 cm2.

Questão Comentada

|C4-H16|01. A massa inicial de uma melancia é 1 kg (1000 g) e apenas

1 por cento de sua massa é sólida, os outros 99 por cento são água. A melancia é posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98 por cento de água. Quanto pesa agora a melancia?a) 989,90 g aproximadamente.b) 990 g. c) 660 g.d) 500 g.e) menos de 500 g.

Solução Comentada:

Observe que a massa sólida é 1% de 1 000 g, isto é,

. Após a desidratação, a parte sólida continua

10 g, mas agora corresponde a 2% da massa final da melancia

(após a desidratação), uma vez que outros 98% são de água.

Usando regra de três, temos:

Daí, .

Resolver foi fácil, o difícil é acreditar no resultado. Sim, o peso da melancia diminuiu para metade. Esse curioso problema é o famoso paradoxo da melancia.

Resposta correta: d

Para Fixar

|C6-H24|01. O tempo geológico representa a história da Terra desde a sua

formação até o presente momento. A figura mostra uma re-lação de escalas em que se faz uma correspondência entre a duração de um dia e a idade da Terra.

aparecimento dohomo sapiens

arcaico(23 h 59 min 30 s)

período de domíniodos dinossauros

aparecimento deplantas de terra firme

2223

21

20

19

18

17

16

15

1413 11

Internet: <www.moderna.com.br>.

109

8

7

6

5

4

32

124

meia-noite

meio-dia12

forte acúmulo de gásoxigênio na atmosfera

início de formação de fósseis maisantigos de organismos multicelulares

início de formação defósseis mais antigos

formação das rochasmais antigas conhecidas

primeiros organismosfotossintetizantes

formação da Terra

Tempo geológico

início de formação de fósseismais antigos de seres eucarióticos

último bilh

ão de a

nos 4,5-4-0 bilhões

de anos atrás

2,0-

1.0

bilh

ões

de a

nos

atrá

s

3,0-2,0 bilhões de anos atrás

4,0-3,0 bilhões de anos atrás

Supondo que a escala para o registro do tempo geológico, em vez da escala de um dia apresentada acima, correspon-desse aos cem anos compreendidos entre 1900 e 1999, o pe-ríodo de domínio dos dinossauros na Terra seria entre:a) 1973 e 1978 b) 1979 e 1984 c) 1985 e 1990d) 1991 e 1996 e) 1997 e 1999

|C3-H11|02. Uma escala numérica E é um número, sem unidade, escrito

na forma:

Observe o desenho seguinte, que representa o campo de futebol do Estádio jornalista Mário Filho, mais conhecido como Maraca-nã, localizado na cidade do Rio de Janeiro.

Cotado em metros110

16,5

9,15

A

B

x7511

5,5

18

Note que no desenho está escrito “Cotado em metros”. Isso significa que as medidas nele indicadas referem-se aos com-primentos reais, em metros. Sabe-se que a medida do seg-mento AB é 4 cm. Assim, o valor de x, em metros, é:a) 4 b) 40 c) 5 d) 50 e) 35

56

Fique de Olho

A Geometria surge a partir da necessidade de calcular dis-tâncias, medir superfícies, construir habitações, templos e outras coisas. Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes utili-zaram as formas geométricas em sua rotina diária. Atual-mente, o projeto de construção de um edifício ou de uma aeronave, por exemplo, com frequência requer a produ-ção de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de sua complexa estrutura. A ampliação ou redução fotográfica é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos de difícil visualização de certas si-tuações, como a confecção da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um procedimento muito útil, pois preserva a forma dos objetos fotografados.

É incontestável que o desconhecimento das formas geométricas e suas propriedades, indubitavelmente com-prometerá a percepção, a compreensão e a capacidade de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através

O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro) e é

denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca tem

uma pureza total, e a classificação mais alta cai para 999

pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.

QuilatagemConteúdode Ouro

Pureza

24 K 100% 999

18 K 75% 750

14 K 58,3% 583

10 K 41,6% 416

Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Quilate>. Adaptado.

O QUE É UM QUILATE DE OURO?

A palavra quilate vem do grego keratio, significando uma

semente que era usada como unidade de peso na antiga

Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se de sua

massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou

igual a 24.

Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e

6 de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18

quilates tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adi-

cionadas para garantir maior durabilidade e brilho à joia.

Note que 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (também cha-

mado de ouro 750).

do estudo da geometria é possível observar, analisar e re-fletir sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste sentido, é importante que os estudantes adquiram a ca-pacidade de observar, reconhecer as formas geométricas e através de suas propriedades, interpretar e solucionar situações-problema da vida cotidiana.

Teorema de Tales (proporcionalidade)O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas de-termina em duas transversais quaisquer, segmentos pro-porcionais.

Propriedade


Proporcionalidade na Geometria


Casos de semelhança • Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois

triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente iguais.

• Segundo caso de semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes quando têm um ângulo igual, compreendido entre dois lados proporcionais.

• Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente proporcionais.

Exemplo:O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um pré-dio de 88 m de altura duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se apro-xima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o obser-vador e o prédio pode ser inferida, usando-se semelhança de triângulos.

Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os tri-ângulos AEC e EBC são semelhantes.

Daí, 2

Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE,

obtemos:

(CE)² = x² + 88² 8 000 = x² + 7744 x = 16 m

Semelhança de PolígonosDois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.

SemelhançaUm conceito muito utilizado em geometria é a ideia de figu-ras semelhantes, que vem sendo utilizado desde a Antiguida-de. Uma ampliação, uma redução e até uma congruência são exemplos claros de semelhança.

Entre as figuras geométricas planas que são sempre se-melhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos.

As figuras abaixo são semelhantes.

• Duas figuras são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e a medida do comprimento dos segmentos que unem quaisquer dois pontos de uma é proporcional à medida do comprimento dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas figuras são seme-lhantes se uma é ampliação ou redução da outra ou se são congruentes.

• Numa ampliação todos os comprimentos são multiplicados por um número maior do que 1 e numa redução todos os comprimentos são multiplicados por um número positivo menor do que 1.

• Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes define-se a razão de semelhança, r, que é o quociente entre as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da figura transformada e as medidas dos comprimentos do segmento correspondente da figura inicial.Se r > 1, a figura semelhante é uma ampliação.Se r < 1, a figura semelhante é uma redução.Se r = 1, as figuras são congruentes ou geometricamente iguais.

• O fator de escala entre duas figuras semelhantes é igual ao valor da razão de semelhança.

Semelhança de TriângulosDois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus pares de lados correspondentes ordenadamente propor-cionais e os ângulos correspondentes iguais.

Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:

58

Questão Comentada

|C2–H8|Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, esta-va sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesma deveria ser aumentada era:a)

b) c)

d)

e)

Solução Comentada:

volume: V

11

1+x1+x

1+x1

volume: 2V

x representa a medida do acréscimo na aresta do cubo original. Estando diante de sólidos semelhantes, podemos montar a se-guinte proporção:

3

3

3

3

Para Fixar

|C2-H8|03. O gato do garoto Leon subiu no poste. Leon pode ver o

seu gato refletido em uma poça d’água, conforme mostra a figura.

AA’

E’

D’

C’

E

B

B’

D

Ca

a’

e’d’

c’

b’

ed

c

b

Importantíssimo: • k é chamado razão de semelhança. • Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade

se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios etc.

• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k; a razão entre as áreas é k².

• Uma extensão razoável dos resultados acima vmos na geometria espacial quando se tem dois sólidos semelhantes; diremos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, k³.

Exemplo:Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e área da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção supe-rior do tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:

30

h

17

AB=150 cm2

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que: h = 30 – 17 = 13 e a razão de semelhança da pirâmide

menor (acima do corte) e a maior (bolo completo)9 é

k = 1330

;

Área da secção (pirâmide menor)Área da base (pirâmide maior)

k ;= 2

Assim, .150

1330

2

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Área da secção (pirâmide menor)

Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm2.


Fique de Olho

Tomando as medidas descritas no desenho e sabendo que a medida da altura dos olhos de Leon é 144 cm, a que altura se encontra o gato de Leon?a) 2,4 m b) 3,0 m c) 3,6 m d) 4,2 m e) 4,8 m

|C5–H19|04. A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado

4�; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado �.

A área W do pentágono da figura 1 e a soma S das áreas dos pentágonos da figura 2 são tais que:

a) W = S

b) W = S

c) W = S

d) W = S

e) W = S

RETÂNGULO ÁUREODiz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o qua-drado ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo original.

Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes, temos:

Daí, fazendo ,obtemos k² = k + 1

Portanto, (número de ouro)

Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:

Observe, no modelo matemático seguinte, que os triângu-los 1 e 2 são semelhantes.

b b

b

b

a

a

a – bT2

T1

q

q

a

a

a

Assim, temos , o que nos dá

(número de ouro)

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A ideia de proporcionalidade está naturalmente embu-tida no raciocínio humano. Sua importância se dá pela sua ampla perspectiva de aplicação no estabelecimento de relações em todas as áreas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos fenômenos físicos, biológicos ou sociais podem ser explicados e quantificados através do conceito de proporcionalidade. Talvez nenhuma outra função matemática expresse tão bem essa ideia quanto a função afim.

Defi niçãoToda função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita fun-ção afim ou função do 1º grau, cuja representação gráfica é uma reta. Nessa função, o coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente angular e o termo independente de x (b), de coe-ficiente linear.

ObservaçãoPara a > 0, o gráfico de f é um reta crescente e para a < 0, uma reta decrescente.

Taxa de variação Sendo x

1 e x

2 dois elementos distintos do domínio de f, tais

que f( x1 ) = y

1 e f( x

2 ) = y

2, temos:

Subtraindo membro a membro essas igualdades, ob-temos:

a( x2 – x1) = y2 – y1 1

12

2

Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser in-terpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em relação a x, no intervalo fechado [x

1, x

2 ], isto é:

2

2

1

1 (constante)

Já calculando o valor numérico de f( ), obtemos:

f(0) = a · 0 + b f(0) = b

Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa o valor da função quando a variável assume o valor zero. Fre-quentemente, b está associado ao valor inicial da função (ou valor fixo), enquanto que a está relacionado ao valor variável (ou unitário).

Questão Comentada

|C4–H15, H16|Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos para seus clientes.

Plano A: taxa de R$ 35,00 e custo de R$ 0,50 por minuto uti-lizado.Plano B: taxa de R$ 50,00 por uma franquia de 100 minutos e adicional de R$ 0,80 por minuto que exceder à franquia.O intervalo de tempo, em minutos utilizados, em que o Plano B é mais econômico que o plano A, é:a) (10, 40) b) (25, 75) c) (50, 130) d) (60, 100) e) (75, 125)

Solução Comentada: De acordo com o enunciado, a função que representa o custo do plano A é:

CA(t) = 35 + 0,30 t

A função que representa o custo do plano B é:

Devemos ter CB < C

A. Há dois casos a considerar:

1º caso: t 10050 < 35 + 0,30 t t > 50

2º caso: t >1000,80 (t – 100) + 50 < 35 + 0,30 t 0,50 t < 65 t < 130


Função Afi m


Fique de Olho

Graficamente, temos:

50

35

AB

50 130tempo (min)

custo (R$)

Logo, CB < C

A 50 < t < 130.

Resposta correta: c

Para Fixar

|C5–H19|05. Analise o gráfico a seguir.

800

y

t

780,2

PRODUÇÃO (em mil m3)

O BOOM DOS SOLVENTES: O CRESCIMENTO DA PRODUÇÃO

481,0

O Estado de São Paulo, São Paulo, 27 jun. 2004. p. B 4.

700

600

500

4001999 2000 2001 2002 2003

Levando-se em consideração a produção de 1999 e a de 2003, assinale a alternativa que apresenta uma função que determina as projeções para a produção de solvente dos pró-ximos anos.a) y = 299,2 · (t – 1999) + 481b) y = 74,8 · (t – 1999) + 481c) y = 74,8 · (t – 1999) – 35978,8d) y = 0,013 · (t – 1999) + 481e) y = 0,013 · (t – 1999) – 35978,8

|C4–H16|06. O gráfico a seguir mostra o resultado do reflorestamento de

uma área. No eixo horizontal está a variável t em anos, sendo t = 0 em 1996, t = 1 em 1997, t = 2 em 1998, e assim por diante. No eixo vertical, a variável y apresenta o número de milhares de árvores plantadas.

Se a taxa de reflorestamento anual se mantiver constante, pode-se afirmar que o número de árvores plantadas atingirá 46 500 no ano de:a) 2021b) 2023c) 2025d) 2028e) 2030

LEI DOLBEAR

Certamente todos nós já passamos, em algum momen-to, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar” de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que num fim de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma frequên-cia maior do que à noite, com temperatura mais fresca.

Essa observação foi quantificada e publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu a fórmula empírica:

T = 10 +

Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbe-ar, e foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima, os valores estão em Celsius) e, é claro, varia de espécie para espécie. De acordo com a fórmula acima, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 vezes por minu-to, a temperatura é de 20 ºC. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura é de 25 ºC. Cada estrilado é feito quando o grilo fricciona sua asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que é coberta de serras. Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente. Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de estridulação, já às pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.

62

Exercitando para o Enem

|C3–H11|01. Quando um carpinteiro diz que o “caimento do telhado é de

36%”, ele está afirmando que, para cada metro na horizontal, o telhado deverá subir 36 cm na vertical, ou seja, 36% de um metro. Após serem levantadas as paredes de uma casa, um carpinteiro executou a cobertura, optando por um telhado de duas águas, DA e DB, ambas com o mesmo “caimento” e de mesmo comprimento.

Se a largura AB da casa é de 8,50 m e a altura CD do telhado é de 170 cm, então o caimento escolhido foi de:a) 50%b) 40%c) 20%d) 5%e) 4%

|C1–H3|02. Consideremos a renda per capita de um país como a ra-

zão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua população. Em 2004, a razão entre o PIB da China e o do Brasil, nesta ordem, era 2,8; e a razão entre suas populações, também nesta ordem, era 7. Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que em 2004, a renda per capita do Brasil superou a da China em:a) menos de 50%b) exatamente 50%c) exatamente 100%d) exatamente 150%e) mais de 150%

|C4–H16|03. Algumas impressoras utilizam o processo de preencher a

região a ser impressa com pontos, sendo, evidentemente, a qualidade da impressão diretamente proporcional ao núme-ro de pontos empregado.

Observe o diagrama abaixo, que representa as letras i e T.

Se para imprimir a letra i foram usados 1 200 pontos, para a impressão da letra T, com a mesma qualidade, serão ne-cessários:a) 1 300 pontos. b) 1 400 pontos. c) 1 500 pontos. d) 1 600 pontos. e) 1 800 pontos.

|C3–H12|04. Um garoto que se encontra no ponto A, em frente à faixa

de pedestres e junto ao meio fio de uma avenida, vê a sua namorada num ponto P, no lado oposto de uma ciclovia, de largura 1,80 m e paralela à avenida, conforme a ilustração abaixo. É do conhecimento do garoto que o caminho mais curto que o conduz até a sua namorada é inseguro: assim, ele primeiro atravessa a avenida e a ciclovia, com segurança, e em seguida caminha em direção à sua namorada. Sendo A, D e P pontos alinhados, a distância, em metros, percorrida pelo garoto ao atravessar a avenida e a ciclovia é:

a) 7,2 b) 5,4c) 9,0 d) 4,0e) 3,6

|C4–H16|05. Na figura têm-se dois lotes de

terrenos planos, com frentes para duas ruas e cujas divisas são per-pendiculares à Rua Bahia. Se as medidas indicadas são dadas em metros, qual a área da superfície dos dois lotes juntos?a) 350 m2

b) 380 m2

c) 420 m2

d) 480 m2

e) 570 m2

|C4–H18|06. Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua

de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os morado-res se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo.

15

10

10

8 x + 4

RUA BAHIA

lote B

RUA ALAGOAS

lote A


Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectiva-mente, a que altura do nível do chão as duas barras se inter-ceptam?a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 me) 2,50 m

|C5–H-20|07. O gráfico que melhor descreve o volume de água no reci-

piente cúbico seguinte, em função da altura (h) do nível de água, é:

a)

b)

c)

d)

e)

|C5–H21|08. A figura a seguir representa um fio AB de comprimento igual

a 100 cm, formado de duas partes homogêneas sucessivas: uma de alumínio e outra, mais densa, de cobre. Uma argola P que envolve o fio é deslocada de A para B.

Durante esse deslocamento, a massa de cada pedaço de comprimento é medida.Os resultados estão representados no gráfico abaixo.

96

16

0 40 100AP (cm)

mas

sa (g

)

A razão entre a densidade do alumínio e a densidade do co-bre é, aproximadamente, igual a:a) 0,1b) 0,2c) 0,3d) 0,4e) 0,5

|C4–H15, H16|09. Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom

condicionamento aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue. Em um es-forço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico abaixo.

Adaptado de Folha de S. Paulo, 06/06/2004.

Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa nor-mal ocorre de forma linear, os números de batimentos car-díacos do atleta e de uma pessoa normal serão iguais após quantos segundos do momento do saque?a) 0,8b) 0,78c) 0,75d) 0,64e) 0,6

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Presidente: Luciana Dummar Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Sérgio FalcãoCoordenação do Curso: Marcelo Pena e Fernanda Denardin Coordenação Editorial: Sara Rebeca AguiarCoordenação Acadêmico-Administrativa: Ana Paula Costa Salmin

Editor de Design: Deglaucy Jorge TeixeiraProjeto Gráfico e Capas: Dhara Sena e Suzana PazEditoração Eletrônica: Antônio NailtonIlustrações: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e João LimaRevisão: Tony Sales, Rosemeire Melo, Maria Sárvia e Rosana Nunes

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|C6–H24|10. Através de experimentos, biólogos observaram que a taxa de

canto de grilos de determinada espécie estava relacionada com a temperatura ambiente de uma maneira que poderia ser considerada linear. Experiências mostraram que, a uma temperatura de 21 ºC, os grilos cantavam, em média, 120 ve-zes por minuto; e, a uma temperatura de 26 ºC, os grilos can-tavam, em média, 180 vezes por minuto. Considerando T a temperatura em graus Celsius e n o número de vezes que os grilos cantavam por minuto, podemos representar a relação entre T e n pelo gráfico a seguir.

Supondo que os grilos estivessem cantando, em média, 156 vezes por minuto, de acordo com o modelo sugerido nesta questão, estima-se que a temperatura deveria ser igual a:a) 21,5 ºC b) 22 ºC c) 23 ºCd) 24 ºC e) 25,5 ºC

|C3–H11|11. Há 25 anos, o escritor americano Charles Berlitz lançou o po-

lêmico livro O Triângulo das Bermudas (The Bermuda Triangle). A obra logo virou best seller e aumentou a fama de sinistro que o local já tinha, desde o início do século 20. Mais recen-temente, pesquisadores ingleses concluíram que na área do Triângulo há um depósito natural de gás metano no fundo do mar, que faz a água ferver e as suas borbulhas empur-rarem para a superfície grandes massas de água, cuja força cria redemoinhos tão intensos que seriam capazes de sugar navios e aviões.

Supondo-se que a região descrita pelo escritor seja um tri-ângulo equilátero de área 75 km² e, no mapa publicado na revista, essa mesma região tenha área igual a 3 cm², qual é a escala desse mapa?a) 1 : 25b) 1 : 200c) 1 : 10.000d) 1: 500.000e) 1 : 250.000

|C6–H25|12. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã

90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir:

nº de pessoas

horário

90.000

45.000

30.000

15 1712

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:a) 20 min b) 30 minc) 40 min d) 50 mine) 60 min

Para Fixar

Exercitando para o Enem

01 02 03 04 05 06

d b c e b c

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

b d c a a a a c a d d c

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