7371413 - Fasciculo - 12 - Projeto...

INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

Neste fascículo, vamos abordar os assuntos de maior incidência na última prova do Enem: o ensino da probabilidade e da estatística. Para isso, você terá acesso a uma consistente fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Análise combinatória

Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo)

Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e bastante intuitiva é o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.), que apresentaremos através de exemplos.

Eis o que diz o Princípio Fundamental da Contagem:

“Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de realizar a ação é dado pelo produto m · n”.

Observação:No caso das ações com mais de duas etapas, o número de modos da ação ocorrer é o produto dos números de possibilidades das respectivas etapas.

Arranjos simples e combinações simples

É importante, antes de iniciarmos os estudos relativos a arranjo e combinação, entendermos que dois conjuntos são iguais quando todos os elementos de um são também elementos do outro conjunto e vice-versa, independentemente da ordem dos elementos nesses conjuntos. Já duas sequências ordenadas,

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASFascículo

ENEM EM FASCÍCULOS - 2013

Neste décimo segundo fascículo, trabalharemos com a área de Matemática e suas Tecnologias, buscando mostrar a todos que o estudo

dessa área pode ser muito útil e instigante para o uso cotidiano.Seguindo nosso raciocínio, trabalharemos, neste fascículo, com três assuntos bem interessantes e sempre presentes no Enem: Análise

Combinatória, Probabilidade e Estatística, buscando refl etir sobre o signifi cado desses importantes conceitos e contextualizando-os em

diversos cenários e situações práticas.

Bom estudo para você!

CARO ALUNO,

somente serão iguais se elas apresentarem, ordenadamente,

os mesmos elementos. Em outras palavras, duas sequências

ordenadas iguais, além de apresentarem os mesmos elementos,

tais elementos devem ocupar, respectivamente, ordens

(posições) iguais. Por exemplo, os seis conjuntos 1, 3, 6,

1, 6, 3, 3, 1, 6, 3, 6, 1, 6, 1, 3 e 6, 3, 1 são um mesmo

conjunto. Assim, se vamos contá-los, devemos considerá-los

apenas um conjunto (um grupo). Já as seis sequências ordenadas

(1, 3, 6), (1, 6, 3), (3, 1, 6), (3, 6, 1), (6, 1, 3) e (6, 3, 1) são todas

diferentes uma das outras. Se vamos contá-las, devemos

considerá-las 6 grupos ordenados distintos.

Estando, por exemplo, interessados em contar as fi las

que podemos formar utilizando sempre as mesmas 3 pessoas

ou a quantidade de números que podemos formar utilizando

sempre os mesmos 3 algarismos, a ordem com que as pessoas

ou algarismos aparecem é relevante, isto é, muda a fi la ou o

número. O interesse, nesse caso, está em contar sequências

ordenadas, deve-se contar os arranjos.Estando, por exemplo, interessado em contar comissões ou

subconjuntos, a ordem com que as pessoas ou elementos aparecem

não é relevante, isto é, não muda a comissão ou o subconjunto.

O interesse, nesse caso, está em contar subconjuntos, deve-se

contar as combinações.

Problema das fi las de k pessoas escolhidas dentre n pessoas possíveis

“Considere 7 pessoas. Quantas são as fi las distintas formadas com 4 dessas pessoas?”

Para o primeiro lugar na fi la, temos 7 possibilidades; para a segunda posição, 6; para a terceira, 5 e, para a quarta e última posição, 4 possibilidades. Assim, pelo P.F.C., temos7 · 6 · 5 · 4 = 840 fi las.

Cada uma dessas filas é uma sequência ordenada (diferem pela ordem) e é chamada de arranjo de 7 elementos, tomados 4 a 4. Pelo exposto, o número de arranjos de 7 elementos, tomados 4 a 4, é igual a 840 e pode ser calculado em função do número de pessoas dadas (7) e do número de pessoas em cada fi la (4). Esse número de arranjos é dado por:

A7 47

7 4840,

!

( )!=

−=

12

Enem em fascículos 2013

2 Matemática e suas Tecnologias

Resumindo:De modo geral, dado um conjunto com n elementos

distintos, qualquer sequência ordenada de k elementos

distintos, escolhidos dentre os n elementos dados, é chamada

de “arranjo dos n elementos, tomados k a k”, e o número

desses arranjos é dado por:

An

n kn k,

!

( )!=

−

Leia: arranjo de n, k a k.

Problema das comissões de k pessoas, escolhidas dentre n pessoas possíveis

“Considere 7 estudantes de uma mesma turma. Para representar a turma perante a direção do colégio, quantas são as comissões possíveis, formadas com 4 desses estudantes?”

Solução:Inicialmente, perceba que as comissões Maria, João,

Pedro, Ivo e Pedro, Ivo, João, Maria são uma mesma comissão, conta-se apenas uma. Logo, queremos contar subconjuntos. S e q u i s é s s e m o s c o n t a r s e q u ê n c i a s o rd e n a d a s (filas) de 4 elementos, escolhidos dentre 7 possíveis,

encontrar íamos A7 47

7 4840,

!

( )!=

−= f i las. Acontece,

porém, que uma vez escolhidos quatro estudantes dentre

os 7 possíveis, com esses mesmos quatro estudantes

pode-se formar P4 = 4! = 24 filas distintas (sequências

ordenadas). Isso nos diz que para cada 24 sequências ordenadas

(as que têm os mesmos 4 elementos), conta-se apenas uma

comissão (um subconjunto). Daí, o número correto de comissões

com 4 estudantes, escolhidos dentre 7 possíveis, que podem

ser formadas é 840

2435= .

Agora, observe que:

35840

24

77 4

47 4

4

= = = −A

P,

!( )!

!, isto é, o número de comissões

(subconjuntos) formadas com 4 pessoas, escolhidas dentre 7

pessoas possíveis, é 7

4 7 4

!

!( )!−.

Resumindo:De modo geral, dado um conjunto com n elementos

distintos, qualquer subconjunto de k elementos distintos,

escolhidos dentre os n elementos dados, é chamado de

“combinação dos n elementos, tomados k a k” e o número

dessas combinações é dado por:

Cnk

n

k n kn k,

!

!( )!=

=−

Leia: combinação de n, k a k.

Exemplo 1:Fábio, Marcos, Cleiton, Érick, Jonas, Lucas, Ligeirinho e Vagaroso classifi caram-se para a grande fi nal da prova dos 100 metros rasos que está sendo disputada entre os alunos das escolas públicas e privadas de certo bairro de Fortaleza. Segundo a imprensa especializada no assunto, “os oito classifi cados são igualmente favoritos, mas como não pode haver empate, a ordem de classifi cação vai ser decidida nos detalhes e isso só o tempo dirá”. Sabendo que somente serão premiados os três primeiros colocados, recebendo R$ 1.000,00, R$ 600,00 e R$ 200,00, respectivamente, de quantas formas possíveis poderá ocorrer a classifi cação dos premiados? Dessas, em quantas Vagaroso será premiado? Em quantas Ligeirinho receberá R$ 1.000,00?

Solução:Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas,

mudando-se a ordem entre elas, muda-se a classifi cação, o número de classifi cações possíveis é um número de arranjos.

I. O número de classifi cações para os três primeiros lugares é o número de arranjos de 8 atletas, tomados 3 a 3, ou

seja, A8 38

8 38 7 6 336,

!

( )!=

−= ⋅ ⋅ = .

Esquematizando:

1 2 38

8 3336

8 3

8 3o o o

A

lugar lugar lugar A, ,!

( )!,

, ⇒ =

−=

II. Supondo Vagaroso premiado, temos que decidir a sua posição: 3 possibilidades, para cada uma dessas possibilidades, podemos usar apenas o P.F.C. para resolver este item.

Veja:

Vagaroso lugar lugar

fixo , ,

2 3

7 6 42

o o

↓ ↓× =

ou

↓ ↓× =

1 3

7 6 42

o lugar Vagaroso lugar

fixo

o

, ,

ou

↓°

↓°

× =

2 3

7 6 42

lugar lugar Vagaroso

fixo

, ,

Total = 42 + 42 + 42 = 126 classifi cações.

III. Fixando Ligeirinho em primeiro lugar (recebendo R$1.000,00), basta escolher os outros 2, dentre os 7

outros atletas. Assim, temos A7 27

7 27 6 42,

!

( )!=

−= ⋅ =

classifi cações para os três primeiros lugares, em que Ligeirinho aparece na primeira posição.

Esquematizando:

Ligeirinho lugar lugar A

fixo

o

A

, ,!

(,

,2 37

77 2

7 2o ⇒ =

−−= ⋅ =

27 6 42

)!


3Matemática e suas Tecnologias

Permutação simples e permutação com repetição

Teoricamente, todo problema de análise combinatória

pode ser resolvido usando-se apenas o Princípio Fundamental

da Contagem. Entretanto, o conhecimento antecipado dos

resultados de alguns problemas que surgirão com relativa

frequência será providencial, facilitando as resoluções de outros

problemas mais sofi sticados.

Vejamos, agora, alguns problemas que valem a pena

conhecer seus resultados:

Problema das fi las formadas por n objetos distintos

“De quantos modos podemos colocar em fila 4

pessoas?”

Para ocupar o primeiro lugar na fila, temos 4

possibilidades; para o segundo lugar, 3 possibilidades; para o

terceiro, 2 e, para o quarto e último lugar, 1 possibilidade. Daí,

usando o P.F.C., temos:

4 · 3 · 2 · 1 = 4! fi las (24 fi las)

De modo análogo, com n objetos distintos, podemos

formar n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 = n! fi las diferentes.

As fi las formadas são agrupamentos ordenados (diferem pela

ordem) e são chamadas de permutações simples dos n objetos.

O número total de permutações (de fi las) é indicado por:

Pn = n! (lê-se: permutação de n)

Saiba: permutar n objetos, na prática, signifi ca colocá-los

em fi la e fazer todas as trocas possíveis nas posições, signifi ca

obter todas as fi las possíveis.

Com o conhecimento do resultado do número de

permutações simples, podemos resolver facilmente problemas,

tais como:

Exemplo 1:Quantas fi las diferentes podemos formar com 8 pessoas, se três

delas, Raquel, Júlia e Tomás, não podem fi car juntas (os três)?

Solução:Temos um total de P

8 = 8! fi las, os três fi cando juntos ou

não. Agora, supondo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só

pessoa, o número de maneiras delas fi carem juntas é P3 = 3! e o

número de modos de acomodar os seis elementos (o grupo RJT e

as outras 5 pessoas) na fi la é P6 = 6!. Pelo P.F.C., temos 3! · 6! fi las,

em que os três fi cam juntos. Daí, temos 8! – 3! · 6! = 40320 – 4320

= 36000 fi las, em que os três não fi cam juntos.

Esquematizando:

R J T E E E E E P total de filasP

, , , , , , , ! ( )1 2 3 4 5 8

8

8 40320 ⇒ = =

RJT E E E E E P PP

P

3

6

1 2 3 4 5 3 6 3 6 4320

, , , , , ! !⇒ ⋅ = ⋅ = (fi las com

os três juntos)40320 – 4320 = 36000 (fi las em que os três não fi cam juntos)

Problema das fi las formadas por n objetos, sendo alguns repetidos

“De quantos modos podemos colocar 7 bolas de sinuca em fi la, sendo todas distintas, exceto três delas que são idênticas?”

Solução:Se as bolas fossem todas diferentes, teríamos 7! fi las.

Para qualquer uma dessas fi las, se permutarmos apenas as

bolas idênticas, temos 3! fi las repetidas, ou seja, para cada 3!

fi las, devemos contar apenas uma. Daí, o número correto de

fi las é 7

3840

!

!= .

A solução desse problema é uma permutação de

7 objetos, com repetição de 3, cuja representação éP73 7

3= !

!.

Se fossem 10 bolas diferentes apenas nas cores, sendo 4

azuis, 3 vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, a solução seria

uma permutação de 10 objetos, com repetição de 4, 3 e 2,

cuja representação é P104 3 2 10

4 3 2, ,

! ! !=

⋅ ⋅(note que 1! =1 não é

necessário usar).

Em geral, o número de permutações de n objetos, dos quais α

1 são iguais a X

1, α

2 são iguais a X

2, α

3 são iguais a X

3,

..., αK são iguais a X

k, é dado por:

Pn

nk

kα α α α

α α α α1 2 3

1 2 3

, , ,..., !

! ! ! ... !=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Com o conhecimento do resultado do número de permutações de n objetos, com repetição, podemos resolver facilmente problemas, tais como:

Exemplo 1:Quantos são os anagramas da palavra Papagaio que apresentam as vogais em ordem alfabética?

Solução:

O número total de anagramas é P83 2 8

3 23360, !

! !.=

⋅=

Para cada um desses anagramas, permutando só as vogais (A,

A, A, I, O), temosP53 5

320= =!

!sequências diferentes de vogais, ou

seja, para cada 20 anagramas da palavra Papagaio somente um tem as vogais em ordem alfabética. Daí, o número procurado

de anagramas é: P

P83 2

53

83 2

53

3360

20168

,

!! !

!!

= ⋅ = = .

Permutação circular e o uso da permutação com repetição na resolução de problemas diversos

“De quantos modos distintos podemos formar uma mesa de

buraco com quatro pessoas?”



Solução:

A

B

C

D

Se fossem filas, teríamos

4! = 24 fi las distintas. Na mesa de

buraco, no entanto, o que importa

é a posição relativa dos jogadores

entre si.

Na mesa formada ao lado,

por exemplo, saindo de qualquer

jogador (letra) e escolhendo um

sentido para girar (horário), temos 4 fi las: (ABCD), (BCDA),

(CDAB) e (DABC). Note que, nessas fi las, existem 4 possibilidades

para começar, mas uma vez começada a fi la, as outras letras

já fi cam determinadas. Portanto, para cada 4 fi las diferentes,

devemos contar uma única formação para se jogar buraco.

Sendo assim, o número de mesas formadas é 4

43 6

!!= = .

Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de permutação circular de 4 elementos e o número de permutações circulares de 4 elementos, quando contadas em um só sentido, é dado por:

PC( ) = =4

4

43

!!

Observação:

Resumindo:

De modo geral, o número de permutações circulares de

n objetos, se consideradas equivalentes disposições que possam

coincidir por rotação, é dado por:

PCn

nn

n( ) = = −!( )!1

Exemplo 1:

De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com

4 meninos e 4 meninas, de modo que os meninos e as meninas

se alternem?

Solução:

Colocando primeiramente as mulheres (M1, M

2, M

3, M

4)

na roda, temos (PC)4 = (4 – 1)! = 6 modos de fazer isto. Entre cada

duas mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar

o primeiro homem (H1) na roda, existem 4 possibilidades; para o

segundo, 3; para o terceiro, 2 e, para o quarto, 1, ou seja, existem

P4 = 4! = 24 maneiras de dispor os 4 homens entre as mulheres.

Note que colocando-se os 4 homens numa certa posição

possível entre as mulheres já dispostas, qualquer permutação

que se faça entre os homens muda-se a posição relativa entre os

elementos do grupo, muda-se a roda. Assim, pelo P.F.C., existem

(PC)4 · P

4 = 3! · 4! = 6 · 24 = 144 rodas de ciranda possíveis.

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Identifi car padrões numéricos ou princípios de contagem.

C-1H-2

• No item Galeria de Secretários do portal da Secretaria de Administração do Governo do Estado de Pernambuco (www2.sad.pe.gov.br), há registro de 27 nomes de secretários que dirigiram a secretaria desde 6/1960 até 12/2006. Considerando-se que se queira formar um conjunto com 7 nomes escolhidos entre os 19 nomes de secretários que dirigiram a secretaria no período de 6/1960 a 3/1990 e entre os 8 nomes que dirigiram a secretaria no período de 4/1990 a 12/2006, a quantidade de maneiras distintas para se selecionar esse conjunto de modo que contenha exatamente um nome de secretário do primeiro período especifi cado é igual a:a) 19b) 28c) 47d) 114e) 532

Comentário

1 no período de 6/1960 a 3/1990 x 6 no período de 4/1990

a 12/2006

C Cx x x19 1 8 619

19 1 18

8 6 619 1818 1

8 7 62 1, ,

!( )!. !

!( )!. !

. !!.

. . !.

=− −

=.. !6

19 28= =x 532

Resposta correta: E

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1

H-3

01. Um grupo de amigos formado por três meninos – entre

eles Caio e Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz –,

compram ingressos para nove lugares localizados lado a

lado, em uma mesma fi la no cinema. Ana e Beatriz precisam

sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo

pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam

sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo

pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas

querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se

juntos. Com essas informações, o número de diferentes

maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:a) 1920b) 1152c) 960d) 540e) 860



Compreendendo a Habilidade– Identifi car padrões numéricos ou princípios de contagem.C-1

H-2

02. Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fi quem juntos?a) 96 b) 360c) 120 d) 48e) 24

DE OLHO NO ENEM

A MÍDIA E A MEGA-SENA ACUMULADA

Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega-Sena é, ao menos em determinadas ocasiões, a que desperta o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de as regras do jogo possibilitarem, de vez em quando, que as quantias oferecidas como prêmio sejam bastante respeitáveis. Quando isso ocorre, formam-se fi las gigantescas nas casas lotéricas e os jornais, o rádio e a televisão fazem matérias sobre o assunto, que tratam desde as chances de que alguém ganhe o prêmio máximo até o que o felizardo poderá fazer com todo aquele dinheiro. Os professores que dão aulas de Probabilidade e de Análise Combinatória são consultados sobre o funcionamento do jogo e especialmente sobre a eventual existência de alguma estratégia que melhore as chances de vitória do apostador. Este artigo é um relato sobre as perguntas que me fi zeram e sobre as respostas que eu fui capaz de dar.

Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim como eu, já tenha tentado a sorte na Mega-Sena, vamos dar uma breve descrição do jogo para atender aos leitores que, ou por princípio, ou por serem mais inteligentes do que nós jogadores, nunca arriscaram. Para apostar, você escolhe um mínimo de seis e um máximo de quinze dezenas no conjunto 01, 02,..., 60. Cada aposta simples de seis dezenas custa dois reais e, portanto, se você marca oito dezenas, estará

concorrendo com 86

28

= jogos simples e essa aposta custará

cinquenta e seis reais. A Caixa Econômica Federal, que administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas que contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as 6 (sena) dezenas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as seis dezenas sorteadas, o prêmio é geralmente dividido entre poucos acertadores. Se num dado concurso ninguém acerta as

seis dezenas, o prêmio fi ca acumulado para o concurso seguinte.

Existem606

resultados possíveis para um sorteio da Mega-Sena.

Esse número é maior que 50 milhões (mais precisamente, ele é

igual a 50 063 860) e creio que o leitor concordará comigo que só mesmo um grande otimista pode acreditar que vai ganhar com uma única aposta.

As probabilidades de sucesso na Mega-Sena A pergunta mais frequente:

1. Intuitivamente, o que signifi ca ter uma chance em cinquenta milhões?

Com o objetivo de fazer com que seus leitores entendam o que signifi ca essa probabilidade tão pequena, os jornalistas pedem que façamos comparações com a possibilidade da ocorrência de outros eventos. É curioso que as comparações solicitadas quase sempre envolvem um evento auspicioso (ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena) com tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atingido por um raio ou morrer de câncer. A maior difi culdade em fazer essas comparações está no fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, enquanto todos os que apostam 6 dezenas têm a mesma chance de acertar a Mega-Sena. Eu acredito que a maneira mais fácil de fazer as pessoas entenderem é usando um outro exemplo puramente aleatório. O número de habitantes do Brasil é quase igual a três vezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre toda a população brasileira, a sua chance de ganhar um deles seria igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena com um jogo de seis dezenas.

Flávio Wagner Rodrigues. IME-USP.


Probabilidade

Probabilidade IAo fazer o seguro de um automóvel, o corretor de

seguros traça o perfi l do cliente. Automóveis cujo condutor principal é homem, tem entre 18 e 25 anos e deixa o carro fora de estacionamento fechado têm seguro bem mais caro, embora não seja certo, mas com esse perfi l a chance de ocorrer sinistro ou furto do veículo é considerável.

Um dado honesto foi lançado nove vezes e em todas elas ocorreu o número 5. João apostou que no décimo lançamento também daria o número cinco. Embora lançado nas mesmas condições, nada garante que João ganhará a aposta.

A necessidade de se quantificar os riscos de um seguro e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar deram origem ao ramo da Matemática que cria, desenvolve e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos (ou fenômenos) aleatórios. Tal ramo da Matemática recebe o nome de teoria das probabilidades. Experimentos aleatórios são experimentos que repetidos sob as mesmas condições podem produzir, por força do acaso, resultados diferentes.



Espaço amostral e evento

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e é indicado pela letra grega Ω (lê-se “ômega” ). Já evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretende ter três fi lhos, sendo dois homens e uma mulher. Considerando H para fi lho e M para fi lha, temos:

I. conjunto de todos os resultados possíveis para os três nascimentos (espaço amostral):

Ω = (H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M), cujo número de elementos é n(Ω) = 8;

II. subconjunto de Ω desejado (evento): E = (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H), cujo número de

elementos é n(E) = 3.

Se no exemplo anterior o espaço amostral é equiprovável, a chance de cada evento elementar ocorrer é de uma em oito,

isto é, 1

8. Já a chance do evento (E) ocorrer é 1

8

1

8

1

8

3

8+ + = (três

possibilidades em oito possíveis).Intuitivamente, quando o espaço amostral é equiprovável,

a probabilidade de um evento E ocorrer, P(E), é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis:

P En E

n( ) = ( )

( ) =Ω

n mero de casos favor veis

n mero de casos po

ú á

ú sss veisí

No exemplo citado, P En E

n( )

( )

( )= =

Ω3

8.

Probabilidade

Probabilidade é um número que mede a chance de um evento acontecer, é um número associado a um evento. Para a defi nição da probabilidade de um evento (E) qualquer do espaço amostral Ω = a

1, a

2, ..., a

n), associaremos a cada evento

elementar a, um número real, indicado por P(a1), chamado de

probabilidade do evento elementar a1, tal que:

0 ≤ Pa1 ≤ 1, para todo i ∈ 1, 2, ..., n;

Exemplo 1:Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, respectivamente, foi confeccionado de maneira que a probabilidade de uma face de número par ocorrer é duas vezes mais provável que uma face de número ímpar. Determine a probabilidade de ocorrer:a) cada face. b) um número primo.

Solução:O espaço amostral desse experimento aleatório é

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, não sendo equiprovável. Chamando a probabilidade de cada face de número ímpar de k, a probabilidade de cada face de número par será 2k. Daí:

I. P(1) = P(3) = P(5) = k e P(2) = P(4) = P(6) = 2k;

II. P(1) + P(2) + ... + P(6) = 1 ⇒ 3 · k + 3 · (2k) = 1 ⇒ k = 1

9.

a) Portanto, P(1) = P (3) = P(5) = 1

9 e P(2) = P(4) = P(6)=

2

9.

b) Ocorrer número primo é o evento E = 2, 3, 5. Daí:

P(E) = P(2) + P(3) + P(5) = 2k + k + k = 4k = 4

9.

Evento certo, evento impossível e eventos complementares

I. O evento C, que coincide com o espaço amostral, é dito evento certo e a sua probabilidade é igual a 1. Veja:

P Cn C

n

n

n( )

( )

( )= = =

Ω1, ou seja, a probabilidade de o evento

certo ocorrer é 100%.II. O evento D = = ∅ (conjunto vazio) é dito

impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja:

P Dn D

n n( )

( )

( )= = =

Ω0

0 , ou seja, a probabilidade do evento

impossível ocorrer é 0%.III. Os eventos A e B, tais que A ∩ B = ∅ (a interseção é o conjunto

vazio) e A ∪ B = Ω (a união é o espaço amostral), são ditos eventos complementares e suas probabilidades são tais que P(A) + P(B) = 1.

Interseção de eventos independentes

Dois eventos A e B são ditos independentes quando o fato de ter ocorrido um deles não alterar a probabilidade do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do evento B (ou A) ocorrer é a mesma, independentemente de B (ou A) ser tomado como subconjunto do universo Ω ou como subconjunto do universo B. Por exemplo, se um casal planeja ter três fi lhos, o evento A: “o primeiro fi lho é homem” e o evento B: “o terceiro fi lho é mulher” são eventos independentes.

A ∩ B é o evento que ocorre se, e somente se, os eventos A e B ocorrerem simultaneamente. No exemplo anterior, A ∩ B é o evento “o primeiro fi lho é homem e o terceiro fi lho é mulher”, isto é, para ocorrer o evento A ∩ B, o primeiro fi lho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher. Então, podemos calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B. Veja:Note:Ω = (H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);

(M,M,H); (M,M,M)

A = (H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M) ⇒P An A

n( )

( )

( )= = =

Ω4

8

1

2

B = (H,H,M); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,M) ⇒P Bn B

n( )

( )

( )= = =

Ω4

8

1

2

A ∩ B = (H,H,M); (H,M,M) ⇒ P A Bn A B

n( )

( )

( )∩ = ∩ = =

Ω2

8

1

4

Quando dois eventos A e B são independentes, uma outra maneira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem simultaneamente (ou sucessivamente) é P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

No exemplo anterior, P A P B( ) , ( )= =1

2

1

2 e A e B são independentes.

Então: P A B P A P B( ) ( ) . ( ) .∩ = = =1

2

1

2

1

4.

Observação:

Exemplo 1:Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?



Solução:Para o evento VA “escolha do cartão vermelho e

amarelo”, a probabilidade éP VA( ) = 1

3. Uma vez escolhido

o cartão VA, o evento B “juiz ver a face V e o jogador, a face A”

tem probabilidade P B( ) = 1

2. Daí, P VA B( ) .∩ = =1

3

1

2

1

6é a

probabilidade procurada.

União de eventosSendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral

Ω não vazio, A ∪ B (A união B) é o evento que ocorre quando há ocorrência de A ou de B, isto é, quando ocorre apenas A ou ocorre apenas B ou, ainda, ocorrem A e B ao mesmo tempo. Temos dois casos a considerar para o cálculo da probabilidade de ocorrer A ∪ B:1) A ∩ B = ∅. Nesse caso, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) e os eventos A e B são

ditos mutuamente exclusivos. Veja: Uma vez que A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)2) A ∩ B ≠ ∅. Nesse caso, há ocorrência simultânea dos eventos A e B e

a probabilidade de ocorrer (A ∪ B) é dada por P(A ∪ B) = P (A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) . Ve j a : D a t e o r i a d o s conjuntos, temos que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:

n A B

n

n A

n

n B

n

n A B

nP A B P A P B P

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

∪ = + − ∩ ⇒

∪ = + −Ω Ω Ω Ω

(( )A B∩

AB

A B

Ω

Exemplo 1:Realizada uma pesquisa sobre o consumo dos refrigerantes A e B, em certo bairro de Fortaleza, constatou-se que dentre as 240 pessoas entrevistadas, 150 consomem o refrigerante A; 80, o refrigerante B e 30 consomem os dois refrigerantes. Com o objetivo de checar a veracidade das informações apresentadas, quem encomendou a pesquisa escolheu, aleatoriamente, um dos entrevistados. Qual a probabilidade da pessoa escolhida consumir a marca A ou a marca B, segundo a pesquisa apresentada?

Solução:Como os 240 entrevistados (n(Ω)= 240) são igualmente

prováveis, temos:

I. P An A

nP A( )

( )

( )( )= ⇒ = =

Ω150

240

5

8

II. P Bn B

nP A( )

( )

( )( )= ⇒ = =

Ω80

240

1

3

III. P A Bn A B

nP A B( )

( )

( )( )∩ = ∩ ⇒ ∪ = =

Ω30

240

1

8

Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) ⇒ P(A ∪ B) = 5

8

1

3

1

8

5

6+ − ⇒ ∪ =P A B( ) .

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

C-7H-28

• Três amigas participam de um campeonato de arco e fl echa. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo?a) 90/100 b) 71/100c) 71/90 d) 50/100e) 60/90

Comentário

Primeira

errar = 1

acertar =

− = − =35

5 35

25

35

Segunda

errar = 1

acertar =

− = − =56

6 56

16

56

Terceira

errar = 1

acertar =

− = − =23

3 23

13

23

I) Primeira errar e as outras duas acertarem:

1E 2A 3A

25

56

23

2090

× × =

II) Segunda errar e as outras duas acertarem:

2E 1A 3A

16

35

23

690

× × =

III) Terceira errar e as outras duas acertarem:

3E 1A 2A

15

35

56

1590

× × =

IV) As três acertarem:

1A 2A 3A

35

56

23

3090

× × =

V) Prob. =2090

690

1590

3090

20 6 15 3090

7190

+ + + =+ + +

=

Resposta correta: C




Compreendendo a Habilidade– Identifi car padrões numéricos ou princípios de contagem.– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

C-1

C-7

H-2

H-28

03. Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?a) 11,53%b) 4,24%c) 4,50%d) 5,15%e) 3,96%

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

C-7H-29

04. O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é:

a) 1

5 b)

2

5

c) 3

5 d)

4

5

e) 3

10

DE OLHO NO ENEM

OS DOIS BODES

Em um programa de televisão, o candidato é solicitado a escolher uma entre três portas fechadas. Atrás de uma delas, há um prêmio, mais precisamente um carro, e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pensando que esse é um programa dominical de alguma estação de televisão brasileira, vamos logo avisando que está enganado, trata-se de um programa de televisão italiana.

Depois de o candidato ter escolhido a porta que deseja, mas antes de abri-la, o animador do programa, que sabe onde estão os bodes, abre uma das portas que não foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela.

É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o candidato escolheu há um bode, ainda há outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo candidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e , nesse caso, o animador escolhe ao acaso uma dessas portas para abrir.

Então, nesse momento, o candidato está com a mão na maçaneta de uma porta fechada, rezando para que ali esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta aberta que mostra um bode. Aí então se faz uma crueldade com o candidato. O animador pergunta ao candidato se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela outra porta que ainda permanece fechada.

O que você acha que o candidato deve fazer visando maximizar a probabilidade de ganhar o carro? Você acha que ele deve permanecer com a porta que escolhera inicialmente, deve trocar de porta, ou tanto faz?

Convidamos você a pensar um pouco mais.Fizemos então uma simulação. No computador,

realizamos uma série de 1000 experiências, arrumando os bodes ao acaso e fazendo com que o animador, no caso de haver dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato, selecionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então quantas vezes o candidato ganharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do “deve trocar” exclamasse “não disse?”

Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de C. A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primeiro estágio, a escolha inicial do candidato e, no segundo, o bode exibido pelo animador. O terceiro estágio mostra a segunda escolha do candidato.

1/3

1/3

1/3

A

A

A

A

AB

CC

C

C

C

1

1

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/21/2

B

B

B

B

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

1/12

1/12

1/12

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Observe que o candidato ganha trocando de porta

nos casos (2) e (4), portanto, com probabilidade igual a 2

6.

O candidato ganha sem trocar de porta nos casos (6) e (8), com

probabilidade igual a 1

6.

Logo, a probabilidade de ganhar trocando de porta é o dobro da probabilidade de ganhar sem trocar. Então, a melhor estratégia é sempre trocar de porta!

A árvore mostra também que, depois de exibido o

bode, a probabilidade de ganhar o carro é igual a 1

2, soma

das probabilidades dos casos (2), (4), (6) e (8). A probabilidade

de ganhar o carro antes de ser exibido o bode é igual a 1

3.


Estatística

A Estatística é uma área do conhecimento que utiliza

teorias probabilísticas para explicação de eventos, estudos

e experimentos. Tem por objetivo obter, organizar e analisar

dados, determinar as correlações que apresentem, tirando delas

suas consequências para descrição e explicação do que passou

e previsão e organização do futuro.



A Estatística é também uma ciência e prática de

desenvolvimento de conhecimento humano através do uso de

dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da

Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e

incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas

práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a

sumarização e a interpretação de observações, porque o objetivo

da Estatística é a produção da “melhor” informação possível

a partir dos dados disponíveis. Alguns autores sugerem que a

Estatística é um ramo da teoria da decisão.

Estuda-se Estatística para aplicar seus conceitos como

auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justifi cando

cientificamente as decisões. Os princípios estatísticos são

utilizados em uma grande variedade de situações – no

governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito

das ciências sociais, biológicas e físicas. A Estatística presta-se a

aplicações operacionais e de pesquisas, sendo efetiva não só em

experimentos de laboratório, mas também em estudos fora dele.

A Estatística compreende o planejamento e a execução

de pesquisas, a descrição e a análise dos resultados e a

formulação de predições com base nesses resultados.

Estatística é o campo do conhecimento científi co que trata da coleta e análise de dados com o fi m de se obter conclusões para tomada de decisões.

A Estatística pode ser dividida em:

• Estatística Descritiva ou Dedutiva;

• Inferência Estatística ou Indutiva.

Tipos de VariáveisAlgumas variáveis como sexo, grau de instrução e estado

civil apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado. São denominadas de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo na empresa, idade e salário apresentam como possíveis valores, números resultantes de uma contagem ou mensuração. Estas são chamadas Variáveis Quantitativas.

Classifi cação das variáveis em Estatística

Variáveis

Qualitativas(atributos)

Quantitativas(numéricas)

Nominais Ordinais Discretas Contínuas

Exem-plos:– sexo;– cor;– religião.

Exemplos:– grau de

instrução;– status

social.

Exemplos:– nº de funcionários;– quantidade de

alunos.

Exemplos:– peso;– altura;– salário.

Distribuição de frequências com dados agrupados

Um radar, instalado num trecho de uma rodovia,

registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em

quilômetros por hora, estão indicadas neste quadro:

62 123 95 123 81 123

60 72 86 108 109 84

121 60 128 77 91 51

100 63 104 107 63 117

116 69 116 82 95 72

94 84 123 52 90 100

79 101 98 110 79 92

73 83 74 125 56 86

98 76

Se tentássemos elaborar o quadro de distribuição

de frequências utilizando esses dados, pouco ou nada po-

deríamos concluir, pois eles são muito diferentes. Nesses casos,

é interessante agrupá-Ios em classes ou interva los, escolhendo-se

convenientemente a amplitude dos intervalos.

No exemplo, podemos agrupar as velocidades em

in tervalos de amplitude 10. Como o menor valor é 51 km/h, a

primeira classe será [50, 60[.

Obtemos, assim, o seguinte quadro de frequências:

Classe Velocidade(km/h) fi f

r (%)

1 [50, 60[ 3 6

2 [60, 70[ 6 12

3 [70, 80[ 8 16

4 [80, 90[ 7 14

5 [90, 100[ 8 16

6 [100, 110[ 7 14

7 [110, 120[ 4 8

8 [120, 130[ 7 14

Total 50 100%

A velocidade máxima permitida no referido trecho da

estrada é 90 km/h. Como há uma tolerância de 10 km/h, os

veículos só serão multados a partir de 100 km/h. Quantos por

cento desses veículos foram multados?

Observando o quadro, temos:

• 7 veículos com velocidade no intervalo [100, 110[ • 4 veículos com velocidade no intervalo [110, 120[ • 7 veículos com velocidade no intervalo [120, 130[

18 veículos foram multados



O ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais é

denominado ponto médio do intervalo. Por exemplo, a velocidade

dos veículos na classe 5 [90, 100[ pode ser representada por:

x km h590 100

295= + = /

O intervalo real [a, b[ também é representado, em Estatística, pela notação a b.

Observação:

Histograma de frequências

Quando se trata da representação gráfi ca de distribuição de frequências com dados agrupados, vamos utilizar um novo tipo de gráfico, denominado histograma de frequências absolutas.

Histograma é um gráfi co formado por um conjunto de colunas retangulares. No eixo das abscissas, marcamos as classes, cujas amplitudes correspondem às bases dos retângulos. No eixo das ordenadas, marcamos as frequências abso lutas, que correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios das bases dos retângulos coincidem com os pontos médios dos intervalos das classes.

Considerando a distribuição de frequências das velocidades do exemplo anterior, dos 50 veículos examinados na rodovia, temos:

fi

8

7

6

5

4

3

2

1

50 60 70 80 90 100 110 120 130 Velocidade (km/h)

Observe que sobre cada um dos intervalos foi construído

um retângulo de área proporcional à frequência absoluta

respectiva.

Medidas de tendência central

Média aritmética

Acompanhe a situação a seguir. Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de

literatura durante uma certa semana:

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

28 23 22 27 25 13

Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa semana?

Para resolver esse problema, devemos fazer: 28 23 22 27 25 13

6

138

623

+ + + + + = = .

O número 23 é chamado média aritmética dos números 28, 23, 22, 27, 25 e 13.

Isso signifi ca que, se a venda diária dessa semana fosse sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, obteríamos o mesmo total de livros vendidos: 138.

Assim, na quarta e no sábado, a venda da livraria foi abaixo da média, enquanto na segunda, quinta e sexta foi acima da média.

Média aritmética (x) dos valores x1, x

2, x

3, ..., x

n é o

quociente entre a soma desses valores e o seu número total n:

xx x x x

nn= + + + +1 2 3 ...

Média aritmética ponderada

A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa.

Salário (em R$) Número de funcionários

600 12

900 7

1.200 5

1.800 6

4.500 8Total 38

Qual a média salarial dos funcionários dessa empresa?

Observando a tabela, a média salarial x desses funcionários pode ser calculada da seguinte forma:

x = + + + ++ + + +

=

=

600 12 900 7 1 200 5 1 800 6 4 500 8

12 7 5 6 866 300 0

· · . · . · . ·

. , 00

381 744 73= . ,

Portanto, a média salarial dos funcionários dessa empresa é R$ 1.744,73.

Essa média é conhecida como média aritmética ponderada e o número de vezes que o salário se repete é denomi nado peso.

A média aritmética ponderada facilita o cálculo de médias quando há valores que se repetem várias vezes. Nesse caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes (peso) que eles ocorrem.

xx f x f x f

f f fou x

x f

f

n n

n

i ii

n

ii

n= + + ++ + +

= =

=

∑

∑1 1 2 2

1 2

1

1

...

...

Mediana (Md)

As nove classes de 3ª série do ensino médio de uma escola têm, respectivamente: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44 alunos.

Colocando esses dados em ordem crescente:

28, 37, 37, 37, 4 valores

↓ 40, ↓mediana

41, 41, 44, 45, 4 valores

↓



A distribuição tem um número ímpar (9) de dados. Há quatro valores à esquerda de 40 e quatro valores à direita de 40. Dizemos que o valor central dessa distribuição, 40, é a mediana.

Indicamos:

Md = 40

O valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é chamado mediana.

E se o conjunto tiver um número par de elementos?Aí a história é outra. Vejamos. Se nosso conjunto for o seguinte:

10, 20, 30, 40, 50, 60

Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois:n = 6. Um número par de elementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, signifi ca que haverá duas posições centrais!

Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:

⇒ 1ª Posição Central: (n/2)⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior.

Nesse caso, em que n = 6, teremos:⇒ 1ª Posição Central: (n/2) = 6/2 = 3ª Posição!⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição!As duas posições centrais estão, portanto, identifi cadas.

Resta descobrir quais são os dois elementos que as ocupam e vejam o que será feito para calcularmos a mediana. Teremos:

10, 20, 30, 40, 50, 60

4ª Posição ⇒ 40

3ª Posição ⇒ 30 Md = (30 + 40) /2

Md = 35

Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por dois. Assim, chegaremos à mediana do conjunto! Esse valor 35 não é um dos elementos! E, no entanto, é a mediana!

Moda (Mo)

Feita uma pesquisa para saber o número de irmãos que cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o seguinte quadro:

0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 4, 4

Fazendo a contagem, obtemos a tabela:

Número de irmãos Frequência absoluta

0 3

1 6

2 13

3 4

4 3

5 1

Observe que o número de irmãos varia entre 0 e 5 e o número que aparece mais vezes é o 2, isto é, 13 alunos têm 2 irmãos. Dizemos que 2 é a moda desse conjunto de valores e indicamos:

Mo = 2

Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece um maior número de vezes, ou seja, é o valor de maior frequência absoluta.

Um conjunto de valores pode ter uma só moda, duas modas, três modas etc., ou nenhuma moda. Para ilustrar, observe as notas de recuperação em Português obtidas por três classes de uma escola e suas respectivas modas:

Classe Notas Moda

3º A 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 8

3º B 3, 5, 6, 6, 7, 7, 9 6 e 7

3º C 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 não tem

Medidas de dispersão

Para caracterizar um conjunto de dados em Estatística, nem sempre são sufi cientes a média, a moda e a mediana.

Em alguns casos, temos de recorrer a outros parâmetros, que são chamados medidas de dispersão. Vamos estudar três dessas medidas: desvio médio, variância e desvio padrão.

Desvio médio (dm)

Vamos considerar o quadro seguinte, que nos mostra as notas de Matemática de um aluno durante um ano letivo:

Bimestre 1º 2º 3º 4º

Notas 5 8 6 9

Vamos calcular a média aritmética desse aluno:

x = + + + = =5 8 6 9

4

28

47

Calculemos, agora, as diferenças entre cada uma das notas e a média. Essas diferenças são chamadas desvios para a média x xi −( ) :

• x x1 5 7 2− = − = − • x x3 6 7 1− = − = −

• x x2 8 7 1− = − = • x x4 9 7 2− = − =

A média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a média é uma medida de dispersão chamada desvio médio, que se indica por dm.

dmx x

n

dmx x x x x x x x

ii

n

=−

=− + − + − + −

=− + + − +

= =

=∑

1

1 2 3 4

4

2 1 1 2

4

6

415,



Variância (Va)

O valor que corresponde à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o nome de variância, valor esse que se indica por Va.

Va

f x x

f

i ii

n

ii

n=−

=

=

∑

∑

( )2

1

1

No mesmo exemplo:

x x x x

x x x x

1

22

2

22

3

22

4

22

2 4 1 1

1 1 2 4

−( ) = − = −( ) = =

−( ) = − = −( ) = =

( ) ( )

( ) ( )

VVa = + + + = =4 1 1 4

4

10

42 5,

Desvio padrão (s)

A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão do conjunto de dados, valor que representamos por s.

s Va=

No mesmo exemplo:s = =2 5 158, ,

Então, para as notas do aluno considerado, temos: • média aritmética: x = 7 • variância: Va = 2,5• desvio médio: dm = 1,5 • desvio padrão: s = 1,58

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um

conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráfi cos.

C-7H-27

• (Uece/2012.1) A média aritmética das idades dos 45 alunos do

5° Ano de um colégio é 188

15. Se a média aritmética das idades

das meninas é 12 anos e a dos meninos é 13 anos, então, o produto do número de meninos pelo número de meninas é:Obs.: Considere as idades dos alunos em número inteiro de anos. Por exemplo, se a idade de João é 12 anos, 7 meses e 4 dias a idade a ser considerada é 12 anos.a) 494 d) 406b) 500 e) 420c) 504

Comentário

Vamos defi nir

• Σ(H) = Somatório das idades, em anos, dos alunos do sexo masculino.• Σ(M) = Somatório das idades, em anos, dos alunos do sexo feminino.• H = número de alunos do sexo masculino.• M = número de alunos do sexo feminino.

Daí:I. H + M = 45 ∴

H = 45 – M

II.

Resposta correta: C

X

H MH M

H M

H M

Total =

∑ + ∑+

=

+=

+ =

18815

18815

13 12

45

188

15

13 12 5643 1

( ) ( )

SSubstituindo:13(45 M) + 12M = 564585 13M + 12M = 564585

−−−−

= −−

× ×

564 = M

e H = 45 M

H = 45 21

= 24

M = 21 2

M

HPor toH

21

tan :44

= 504

C lculo adicional:i) H = 13

áX ii XM

HH

MM

H H

)( ) ( )

( )

=∑

=∑

=

∑ = ∑

12

13 12

13 (( )M M= 12


Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

C-7H-29

05. (Enem/2012) A tabela a seguir mostra a evolução da receita

bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas

(ME) que se encontram à venda.

ME2009

(em milhares de reais)

2010(em milhares

de reais)

2011(em milhares

de reais)

Alfi netes V 200 220 240

Balas W 200 230 200

Chocolates X 250 210 215

Pizzaria Y 230 230 230

Tecelagem Z 160 210 245

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual.As empresas que este investidor escolhe comprar são:a) Bala W e Pizzaria Y.b) Chocolates X e Tecelagem Zc) Pizzaria Y e Alfi netes V.d) Pizzaria Y e Chocolates X.e) Tecelagem Z e Alfi netes V.



Compreendendo a Habilidade– Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um

conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráfi cos.

C-7H-27

06. Um produtor de café irrigado em Mina Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2).

A variância das produções dos talhões expressa em (saca/hectare)2 é:a) 20,25 b) 4,50c) 0,71 d) 0,50e) 0,25

DE OLHO NO ENEM

NORMAS PARA A CONSTRUÇÃO DE TABELAS

Tabelas estatísticasUm dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores

que uma ou mais variáveis podem assumir para que tenhamos uma visão global da variação das mesmas.

Elementos de uma tabela

A tabela se apresenta da seguinte forma:

TÍTULO DA TABELA

CORPO DA TABELA

RODAPÉ

Exemplo:

Tabela 1 – Produção de Café Brasil – 1991 a 1995

Anos Produção (1000 t)

1991 2535

1992 2666

1993 2122

1994 3750

1995 2007

IBGE

Título da tabelaConjunto de informações, as mais completas possíveis,

respondendo às perguntas: O quê?, Quando? e Onde?, localizado no topo da tabela, além de conter a palavra “Tabela” e sua respectiva numeração.

Corpo da tabela

É o conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo.a) Cabeçalho da coluna: parte superior da tabela que

especifi ca o conteúdo das colunas.b) Coluna indicadora: parte da tabela que especifi ca o

conteúdo das linhas.c) Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no

sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as linhas.

d) Casa ou Célula: espaço destinado a um só número.e) Total: deve ser sempre destacado de alguma forma.f) Laterais da tabela: não devem ser fechadas. Caso as

feche, passa a ser chamada de “quadro”.g) Número: preferencialmente utilizar separador de 1000

(por exemplo: 1.854.985 ao invés de 1854985).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS


H-2

01. Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, não importando se o resultado tem ou não signifi cado em nosso idioma. Colocando em ordem alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, a posição ocupada pela palavra PROVA é a:a) 62a b) 63a

c) 64a d) 65a

e) 66a


H-2

02. Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que fi cam determinadas por estes sete pontos é igual a: a) 24 b) 28c) 15 d) 16e) 32


H-2

03. Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem fi lhos do

sexo masculino é igual a 1

4. Desse modo, a probabilidade

de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:

a) 37

64 b)

45

216

c) 1

64 d)

135

512

e) 9

16



Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

C-7H-28

04. Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da fi gura I, totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos.

1

1

1

2

3

Figura I Figura II

A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a confi guração da fi gura II, com a exigência adicional de que cada coluna (vertical) e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (1, 2, 3 e 4) é:

a) 1

12 4 4 4⋅ ! ! ! b)

1

16 4 4 4⋅ ! ! !

c) 1

18 4 4 4⋅ ! ! ! d) 1

20 4 4 4⋅ ! ! !

e) 1

4 4 4 4! ! ! !

Compreendendo a Habilidade– Identifi car padrões numéricos ou princípios de contagem.– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

C-1

C-7

H-2

H-28

05. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se, na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que somente, para o décimo cliente, não haja mais laranjas sufi cientes para fazer o suco dessa fruta é:

a) 1 b) 1

39

c) 1

38 d) 2

3

e) 2

37


C-7H-28

06. O diagrama a seguir mostra uma sala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o herói do jogo, entra na sala por um portão no extremo esquerdo da sala e precisa sair pelo portão que está no extremo direito da sala e que inicialmente está fechado.

ENTRADA SAÍDACorrente de ar Corrente de ar

CristaisISAAC

No corredor entre os dois portões há sete cristais, cada um com uma cor do arco-íris: Vermelho, Laranja, Amarelo, Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partida as posições dos cristais são sorteadas, com igual probabilidade para cada uma das ordens possíveis. Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar os sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala há uma corrente de ar da esquerda para a direita. Assim, Isaac pode mover-se facilmente da esquerda para a direita, mas para mover-se da direita para a esquerda ele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada vez que ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se depois de tocar um cristal ele precisar se mover novamente para a esquerda ele precisará gastar outra carga. Assim, por exemplo, se num jogo a posição dos cristais for:

Amarelo – Laranja – Índigo – Verde – Violeta – Vermelho – Azul, então Isaac chegará gratuitamente ao cristal Vermelho, gastará uma carga para voltar até o Laranja e uma segunda para voltar até o Amarelo. Depois disso, ele se moverá gratuitamente até o Verde e daí até o Azul. Isaac gastará uma terceira carga para voltar até o Índigo e depois se moverá gratuitamente até o Violeta e de lá para o portão de saída, fi nalmente aberto. Neste exemplo, para passar pela sala, Isaac gastou três cargas. Considerando agora uma sala com cristais em posições sorteadas aleatoriamente, a probabilidade de que Isaac precise gastar exatamente uma carga para passar pela sala, é:

a) 1

42

b) 1

39

c) 1

35

d) 1

28

e) 1

21


C-7H-28

07. Em uma população de aves, a probabilidade de um

animal estar doente é 1

25. Quando uma ave está doente,

a probabilidade de ser devorada por predadores é 1

4, e,

quando não está doente, a probabilidade de ser devorada

por predadores é 1

40. Portanto, a probabilidade de uma ave

dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: a) 1,0% b) 2,4%c) 4,0% d) 3,4%e) 2,5%



Compreendendo a Habilidade– Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráfi cos.C-6

H-25

08. Observe os gráfi cos a seguir e responda.

“A vida em um ponto de bala”“Em meio à onda de banditismo, o cidadão comum

enfrenta o dilema: Devo ter uma arma ou não?”

Pesquisa feita pelo Instituto Vox Populi, conforme tabela abaixo, constatou que existem muitas armas nas mãos dos brasileiros.

QUEM TEM ARMA DIZ QUE:

usa paradefesa pessoal

já foiassaltado

é um costumede família

não revelou

53

16

16

10

3

usa poroutros motivos

temarma

nãotem

nãorespondeu

7

90

3

QUEM TEM ARMA

Pesquisa Vox Populi* mostra que, decada quartoze brasileiros, um possui arma

Veja os números (em %)

QUEM NÃO TEM ARMA DIZ QUE:

14

85

1

já pensouem ter uma

não pensaem ter uma

nãorespondeu

* Pesquisa realizada em São Paulo, Rio de Janeiroe Belo Horizonte, com 1465 entrevistas

Sabendo que a população do Brasil é de aproximadamente 150 milhões de habitantes, o número aproximado de brasileiros que possuem arma e já foram assaltados é:

a) 1180000

b) 2500000

c) 3000000

d) 1680000

e) 2587500

Compreendendo a Habilidade– Analisar informações expressas em gráfi cos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.

C-6H-26

09. Dois torneiros mecânicos, Paulo e João, concorrendo a uma

vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao seguinte

teste de precisão: cada um deles construiu quatro rodas de

ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. A tabela abaixo

descreve o desempenho de cada um.

Paulo João

1ª rodaDiâmetro (em cm)

4,5 4,4


5,2 5,3


5,2 5,0


5,1 5,3

Média dos diâmetros ( x )

5,0 5,0

Desvio médio Absoluto dos

Diâmetros0,25 0,3

Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de desempate será a regularidade, isto é, quem teve o desempenho mais regular merece a vaga. Com base nos dados apresentados na tabela acima, conclui-se que deve ser escolhido para vaga o candidato:a) João, pois foi o único que conseguiu construir uma roda

do diâmetro exato.b) Paulo, por apresentar maior dispersão.c) João, por apresentar maior dispersão .d) Paulo, por apresentar menor dispersão.e) João, por apresentar menor dispersão.

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

de estatística e probabilidade.C-7

H-30

10. Para decidir por um de dois modelos de lâmpada um fabricante realiza um teste, com 5 exemplares de cada modelo, medindo o tempo de uso (em horas) sem que as lâmpadas queimem. Os dados obtidos foram postos na tabela seguir.



TEMPO DE USO ININTERRUPTO, EM HORAS

Modelo

A B

Lâmpada 1 2000 2000

Lâmpada 2 1800 2000

Lâmpada 3 1600 1500

Lâmpada 4 2000 1500

Lâmpada 5 1800 2200

Como os dois modelos apresentaram a mesma média de duração, o fabricante resolveu optar pelo modelo “mais confi ável”, isto é, aquele cujo desempenho foi mais regular.

Comparando os dados da tabela é correto inferir que: a) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o A, pois possui

menor média.b) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o B, pois possui

mediana e média mais próximas entre si.c) ambos os modelos possuem desempenho idênticos, sendo

portanto indiferente a escolha de qualquer modelo.d) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o A, pois possui

menor desvio-médio absoluto.e) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o B, pois possui

menor desvio-médio absoluto.

ANOTAÇÕESANOTAÇÕES

GABARITOS


01 02 03 04 05 06

a d e d d e

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05

c d d a e

06 07 08 09 10

a d d d d

ExpedienteSupervisão Gráfi ca: Andréa MenescalSupervisão Pedagógica: Marcelo PenaGerente do SFB: Fernanda DenardinCoordenação Gráfi ca: Felipe Marques e Sebastião Pereira

Projeto Gráfi co: Joel Rodrigues e Franklin BiovanniEditoração Eletrônica: Erbínio RodriguesIlustrações: Erbínio Rodrigues e João LimaRevisão: Kelly Gurgel

OSG.: 73714/13

7371413 - Fasciculo - 12 - Projeto...

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