*Aluno do PROMAT-UFU ** Tutor do PET Matemática-UFU

Expansão de funções em frações contínuas

Joabe Oliveira Santos*, Marcos Antônio da Câmara** Faculdade de Matemática, Famat, UFU,

38.408-100, Uberlândia, MG

Email: joabejos@hotmail.com camara@ufu.br

Palavras - chave: resumos estendidos, frações contínuas, expansão de funções,

convergente.

Resumo: Neste artigo definimos frações contínuas, convergentes e algumas propriedades de

convergente. Nosso objetivo é expandir funções em frações contínuas e depois comparar a

precisão desta expansão com expansão em série de Taylor.

1 Introdução

A origem das frações contínuas é tradicionalmente atribuída ao desenvolvimento do Algoritmo de Euclides. Manipulando algebricamente, o algoritmo, pode-se obter a fração

contínua simples de um número racional p/q.

Por mais de mil anos, todo trabalho que usava frações contínuas era restrito a exemplos

específicos. A parte teórica das frações contínuas só se desenvolveu a partir do trabalho de John

Wallis (1616-1703). Em seu livro "Opera Mathematica” (1695), Wallis introduziu alguns dos

fundamentos básicos das frações contínuas, tais como: calcular o n-ésimo convergente e algumas propriedades de convergentes. Neste trabalho o termo "fração contínua" foi usado pela

primeira vez.

O primeiro matemático a demonstrar uma aplicação prática de frações contínuas foi Christiaan Huygens (1629-1695). Ele escreveu um artigo explicando como usar os

convergentes de uma fração contínua para encontrar as melhores aproximações racionais para as

relações entre as engrenagens. Essas aproximações permitiram-lhe escolher as engrenagens com

o número correto de dentes. Este trabalho foi motivado pelo desejo de construir um planetário mecânico.

Neste trabalho vamos mostrar que é possível aproximar funções por frações contínuas.

2 Convergentes

Definição: Uma fração contínua é uma expressão da forma

3

32

21

10

a

ba

ba

ba

em que os termos ia e ib são números reais ou complexos, ou funções de variáveis reais ou

complexas, para todo i . O número de termos pode ser finito ou infinito.

Notação: Podemos escrever a fração contínua na forma 3

3

2

2

1

10 a

b

a

b

a

ba

em que i

i

b

a, i , será chamado de i-ésimo quociente parcial da fração contínua.

Convergentes

Vamos considerar as frações ,1

1,

1,

1

32

132

121

1

aa

aca

aca

c obtidos pelas

expansões das frações contínuas ],,,[],,[],[ 321211 aaaaaa .

Estas frações são chamadas de primeiro, segundo, terceiro, .... convergentes, respectivamente,

da fração contínua ],,,,,[ 1321 nn aaaaa .É claro que o n-ésimo convergente é igual à própria

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fração contínua. Vamos considerar 1

111 1 q

pac , em que 11 ap e 11q . Assim,

2

2

2

21

212

11q

p

a

aa

aac em que 1212 aap e 22 aq .

Calculando 3c , obtemos:123

123

32

1213

32

31321

32

13 1

)1(

111

qqa

ppa

aa

aaaa

aa

aaaaa

aa

ac .

De maneira geral, temos o seguinte resultado.

Teorema: Sejai

ii

q

pc o i-ésimo convergente da fração contínua ],,,[ 21 naaa . Então, o

numerador ip e o denominador iq de ic satisfazem as seguintes relações: 21 iiii ppap ,

21 iiii qqaq , para ;,,5,4,3 ni em que 11 ap , 1122 aap , 11q , .22 aq

3 Expansão de funções em frações contínuas

Para calcular a expansão de uma função em fração contínua, vamos utilizar substituições

sucessivas. Seja f uma função e 10 Taf sua expansão em série de Taylor. Calculamos

,,,,, 121 nTTT tais que ,10 Taf

,1,,,132

22

21

11 ni

Ta

bT

Ta

bT

Ta

bT

ii

ii

em que 0a , ii ba , são escolhidos arbitrariamente e podem ser funções dos argumentos de f.

Deste modo, temos que 11

1

2

2

1

10

21

1010

nn

n

n

n

Ta

b

a

b

a

b

a

ba

Ta

baTaf

.

Continuando esse processo de substituições sucessivas, obtemos a fração contínua.

Vamos apresentar duas expansões em frações contínuas para a função xe para mostrar que a

aproximação de uma função por frações contínuas não é única. Nesses exemplos, vamos

escolher 10a e ia e ib da forma ;x Z, .

Exemplo 1: Considere a expansão em série de Taylor em torno de 00x da função xe , ou

seja,

!7201202462

165432

nxxxxxxxe

nx

. Vamos obter a seguinte expansão de xe em

frações contínuas:

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xex

544

33

221

154

43

32

211 .

Tome 10a , daí 11 1110xx eTTTae .

Assim, 1

5432

5432

1

72012024621

72012024621

xxxxxx

xxxxxxxxT

720122

1720122

14242

xxxx

x

xxx

x . (1)

Portanto, 21

11 Ta

bT , em que escolhemos xaxb 1, 11 e

720122

42

2xxxT .

Mas,

270183

22

36061

1

236061

2 3213

3

2xxx

x

x

xx

xxxxT

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Logo, 32

22 Ta

bT , em que escolhemos xaxb 2, 22 e

2701832 32

3xxxT . Se

continuarmos deste modo, encontraremos xiaxib ii ,)1( e 1

11

i

kki xe

iixT o que

novamente sugere escolhermos xiaxib ii )1(,)( 11 .

Exemplo 2: Se em (1) escolhermos xb1 , 11a , então 720122

42

2xxxT . Escolhendo

2, 22 axb , teremos 270183

32

3xxxT . Escolhendo ,3 xb ,33a teremos

360202

32

4xxxT . Procedendo de forma análoga, ou seja, escolhendo xbi , ,2,1i

obteremos a expansão 2)3()2(1

1 xxxxe x que é outra expansão da função xe por

frações contínuas.

4 Comparação da expansão de uma função em série de Taylor com sua

expansão em fração contínua.

Euler obteve outra expansão para a função exponencial 141062

2110

422 xxxxxex

Os primeiros convergentes são dados por

2

2

12

2

12

2

3

3

01

01

2

2

1

1

0

0

612

612

6

6,

22

)2()2(

)2()2(,

11,

10

xx

xx

qxq

pxp

q

p

xx

qxqx

pxpx

q

p

q

p

q

p

432

432

32

4

32

4

5

5

22

22

22

3

22

3

4

4

201808401680

201808401680

14

14,

1260120

1260120

10

10

xxxx

xxxx

qxq

pxp

q

p

xxx

xxx

qxq

pxp

q

p

Note que os convergentes são funções racionais que podem aproximar valores para a função xe .

Podemos, por exemplo, aproximar o valor de 1e através desses convergentes. Vamos compará-

los com os valores obtidos pela expansão em série de Taylor.

Queremos aproximar o valor 713678794411.01e . Fazendo 1x , obtemos os

seguintes valores:

Nº termos Convergentes Taylor

1 0 1

2 1 0

3 0.3333333333 0.5000000000

4 0.3684210526 0.3333333333 5 0.3678756477 0.3750000000

6 0.3678794561 0.3666666667

Tabela 1: Aproximação de 1e

Vimos neste exemplo que a expansão da função em fração contínua tem uma precisão maior do que a expansão em série de Taylor.

Referências

[1] Andrade, Eliana Xavier Linhares de, Cleonice Fátima Bracciali, “Frações contínuas:

propriedade e aplicações”, SBMAC, São Paulo, Plêiade, 2005.

[2] Lemes, Leandro Cruvinel, “Frações Contínuas, aproximações de números reais por racionais e números transcendentes”, Monografia, FAMAT-UFU, 2007.

[3] Olds, C.D., “Continued Fractions”, Random House, 1963.

[4] Santos, José Plínio de Oliveira, “Introdução à teoria dos números”, 3 ed, IMPA, Rio de Janeiro, 2009.

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