Espectros de frequencias do modelo de Timoshenko para umaviga bi-apoiada

Daniela de Rosso Tolfo , Julio Cesar Ruiz ClaeyssenPPGMAP, UFRGS,

91509-900, Porto Alegre, RS

E-mail: danitolfo.cp@hotmail.com, julio@mat.ufrgs.br,

Palavras-chave: Matematica aplicada a engenharia, modelo de Timoshenko, viga bi-apoiada,segundo espectro, resposta impulso matricial

Resumo: Neste trabalho trata-se as equacoes de Timoshenko na forma matricial, propondo-seo estudo dos espectros de frequencias para condicoes de contorno da viga bi-apoiada em termosda resposta impulso matricial. Isto permite caracterizar o segundo espectro de frequencias, obtercondicoes para a existencia de autovalores duplos e identificar as autofuncoes correspondentes.

1 Introducao

Vibracoes transversais de vigas desempenham papel central na elastodinamica devido sua im-portancia no estudo de varios problemas de engenharia e fısica, em areas tais como aeronautica,automobilıstica, geodinamica, nanomecanica, ultrasom, entre outros. Efeitos de rotacao e cisa-lhamento que sao incluıdos no modelo de Timoshenko (TBT), tem permitido corrigir a inexati-dao nas altas frequencias obtidas pelo modelo de Euller-Bernoulli (EBT), que preve uma ve-locidade de propagacao da onda infinita para comprimentos de onda infinitesimais. Porem, oestudo de propagacao de ondas elasticas para TBT preve a existencia de duas velocidades defase para cada numero de onda.

No estudo de vibracoes flexurais em vigas, em 1953 Traill-Nash [11] identificou que para altasfrequencias, acima de uma frequecia crıtica, existe a possibilidade de um segundo espectro defrequencias naturais para vigas bi-apoiadas. Este espectro nao foi considerado por Timoshenko,uma vez que seu interresse original era melhorar a teoria de Euller-Bernoulli. Desde entao,trabalhos como [8, 1, 10, 2] discutem a validade deste novo espectro de frequencias do ponto devista analıtico e computacional.

As condicoes de contorno em uma viga bi-apoiada introduzem uma simetria que torna esteproblema mais simples. Neste caso o sistema de equacoes evolutivas de segunda ordem do mode-lo TBT pode ser desacoplado em duas equacoes evolutivas de quarta ordem, e pela naturezadas condicoes de contorno da viga bi-apoiada obtem-se o mesmo tipo de formulacao tanto parao deslocamento quanto para o giro. Este procedimento, que nao necessariamente funciona paraoutros tipos de condicao de contorno [6], tem induzido muitas controversias e resultados in-completos na literatura [7, 8], e deixado de lado questoes importantes nas aplicacoes tais comomultiplicidade dos autovalores, bem como a forma dos modos para o deslocamento tranversal epara o giro [9, 2].

Este trabalho tem como proposito apresentar um estudo sobre as frequencias e autofuncoesdo primeiro e segundo espectros de uma viga bi-apoiada, obtendo-se criterios para caracteri-zar a multiplicidade geometrica dos autovalores, e obter as autofuncoes de maneira explıcita,identificando a sua natureza, evanescente ou oscilatoria.

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2 Equacao modal

Para uma viga uniforme nao forcada as equacoes do movimento pela teoria de Timoshenko sao[6]

ρA∂2u(t, x)

∂t2− κGA

(∂2u(t, x)

∂x2− ∂ψ(t, x)

∂x

)= 0

ρI∂2ψ(t, x)

∂t2− EI

∂2ψ(t, x)

∂x2− κGA

(∂u(t, x)

∂x− ψ(t, x)

)= 0, (1)

sendo u(t, x) deslocamento, ψ(t, x) giro da secao transversal, ρ densidade, A area da secaotransversal, I momento de inercia, E modulo de Young, Gmodulo de cisalhamento e κ coeficientede cisalhamento. As condicoes de contorno da viga bi-apoiada de comprimento L em (1) sao

u(t, 0) = u(t, L) = 0 e ψx(t, 0) = ψx(t, L) = 0. (2)

Na literatura, usualmente, o modelo de Timoshenko e apresentado na forma desacoplada [7],como duas equacoes diferenciais de quarta ordem. Neste trabalho propoe-se estudar as equacoes(1) na forma acoplada, utilizando a formulacao matricial dinamica introduzida em [3, 5].

O sistema de equacoes (1) pode ser representado pela equacao diferencial de segunda ordem

Mv + Kv = 0, (3)

M =

ρA 0

0 ρI

,K =

−κGA ∂2

∂x2 κGA ∂∂x

−κGA ∂∂x −EI ∂2

∂x2 + κGA

e v(t, x) =

u(t, x)

ψ(t, x)

(4)

sendo 0 vetor nulo. A procura de solucoes nao nulas de (1) do tipo

v(t, x) = eλtw(x), w(x) =[U(x) Ψ(x)

]T, (5)

leva a um problema quadratico de autovalor(λ2M+ K

)w = 0. Na forma diferencial, tem-se o

sistema de segunda ordem

Mw′′(x) +Cw′(x) +K(λ)w(x) = 0 (6)

com os coeficientes matriciais

M =

−κGA 0

0 −EI

,C =

0 κGA

−κGA 0

,K(λ) =

λ2ρA 0

0 λ2ρI + κGA

. (7)

Das condicoes de contorno (2), segue-se na forma matricial

Aw(0) + Bw′(0) = 0

Cw(L) +Dw′(L) = 0 (8)

onde

A = C =

[1 00 0

], B = D =

[0 00 1

]. (9)

A equacao (6) apresenta duas caracterısticas relevantes, o coeficiente K(λ) depende do autovalorλ e os coeficiente M, C e K(λ) nao sao simultaneamente diagonalizaveis. Na literatura, aequacao (6) e usualmente reduzida a uma equacao de primeira ordem com coeficientes matriciaisde ordem duplicada. Neste trabalho, seguindo Claeyssen [4], a solucao de (6) e da forma

w(x) = h(x)c1 + h′(x)c2, (10)

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onde h(x) e a resposta impulso matricial 2× 2 de (6) que satisfaz as condicoes iniciais h(0) = 0e Mh′(0) = I, e dada por

h(x) =

−bd′′(x) + (eλ2 + a)d(x) −ad′(x)

ad′(x) −ad′′(x) + cλ2d(x)

, (11)

sendo c1, c2 vetores 2× 1, I a matriz identidade 2× 2 e

d(x) =δsinh(ϵx)− ϵsin(δx)

ab(ϵ2 + δ2)ϵδ. (12)

Aqui s1,2 = ±ϵ(λ) e s3,4 = ±iδ(λ) sao as raızes do polinomio caracterıstico P (s) = abs4 − (ae+bc)λ2s2 + (eλ2 + a)cλ2 = 0, com a = κGA, b = EI, c = ρA, e e = ρI, e portanto d(x) = d(x, λ)e h(x) = h(x, λ). Para uma viga bi-apoiada, substituindo (10) nas condicoes de contorno (8),obtem-se o sistema escrito matricialmente

U(λ)c = 0, U(λ) = BΦ, (13)

onde

B =

A B 0 0

0 0 C D

, Φ =

h(0) h′(0)h′(0) h′′(0)h(L) h′(L)h′(L) h′′(L)

e c =

[c1c2

]. (14)

A existencia de solucoes c nao nulas de (13), leva a determinar raızes da equacao caracterıstica

∆(λ) = det(U) = sinh(ϵL)sin(δL)

b2a2δϵ= 0, (15)

a qual e satisfeita para δ = nπL ou ϵ = inπL . Substituindo em P (s) as frequencias naturais λ = iω

e os valores para s por ϵ ou δ segue a equacao de frequencia

ω4 −[(

b

e+a

c

)(nπ

L

)2

+a

e

]ω2 +

ab

ec

(nπ

L

)4

= 0. (16)

Esta equacao possui duas raızes ω2, sendo que as menores raızes ω22,n correspondem a uma

correcao das frequencias obtidas pela teoria de Euler-Bernoulli, referido como primeiro espectro,enquanto as maiores ω2

1,n definem um segundo espectro. Substituindo as frequencias em (12)e (11), e utilizando estas na equacao (10) obtem-se as autofuncoes ou modos correspondentes.Um autovalor sera dito simples quando o posto da matriz U for 1, e duplo quando o posto for 0.

3 Resultados

A analise da natureza das raızes ϵ e δ leva a existencia de uma frequencia crıtica, ω2c = a

e ,que indica comportamentos distintos para os modos associados a frequencias abaixo ou acimadeste valor crıtico. Abaixo da frequencia crıtica os modos de vibracao tem um comportamentosemelhante aos modos da teoria de Euler Bernoulli, enquanto para frequencias acima desse valoros modos tem um comportamento oscilatorio, nao previsto pela EBT. Essas conclusoes saotambem observadas por Bhashyam e Prathap [1].

As raızes da equacao de frequencia (16) obedecem as seguintes relacoes: ω22,n < ω2

EB eω2c < ω2

1,n para n = 1, 2, . . ., em conformidade com [8, 10], sendo ωEB as frequencias obtidaspelo EBT.

Alem disso, tem-se que ω22,n satisfaz δ = nπ

L mas nao satisfaz |ϵ| = nπL , enquanto ω2

1,n satisfazϵ = inπL e nao satisfaz δ = nπ

L . Quanto a multiplicidade dos autovalores, os seguintes resultadosforam obtidos:

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1. Seja ∆(λ) = 0, entao λ e duplo se e somente se d′′(L) = 0.

2. Seja λ = iω, com ω2 = ω2c e ω2 = ω2

1,m , λ e um autovalor duplo se e so se ω2 = ω21,m = ω2

2,n.

Rensburg [9] obtem resultado semelhante ao ultimo, para sua teoria, no entanto, trabalha comas equacoes (1) na forma desacoplada e nao se referere a segundo espectro de frequencias.

4 Conclusoes

A utilizacao da resposta impulso matricial h(x), dada explicitamente em termos de uma funcaobem caracterizada d(x), permite analisar os modos de vibracao de forma simples, possibilitandoo estudo do seu comportamento e fornece resultados relativos a multiplicidade geometrica dosautovalores em ambos os espectros. A caracterizacao do segundo espectro acima da frequenciacrıtica ωc, deixa em evidencia a coincidencia puramente oscilatoria de ambos os espectros paraaltas frequecias, e o carater evanescente para frequencias abaixo da crıtica no primeiro espectro.Em nossos estudos, pelos resultados obtidos ate o momento, observa-se a definicao do segundoespectro como uma ferramenta util para identificar e classificar os autovalores quanto a suamultiplicidade.

Referencias

[1] G.R. Bhashyam, G. Prathap, The second frequency spectrum of Timoshenko beams, Jour-nal of Sound and Vibration, 76 (1981) 407-420.

[2] A. Bhaskar, Elastic waves in Timoshenko beams: the ’lost and found’ of an eigenmode,Proceedings the Royal of Society A, 465 (2009) 239-255.

[3] J.R. Claeyssen, On Predicting the response of non-conservative linear vibrating systems byusing dynamical matrix solutions, Journal of Sound and Vibration, 140 (1990) 73-84.

[4] J.R. Claeyssen, S.N.J. Costa, Modes for the coupled Timoshenko model with a restrainedend, Journal of Sound and Vibration, 296 (2006) 1053-1058.

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[6] J. Ginsberg, “Mechanical and Structural Vibrations: theory and applications”, John Wiley,2001.

[7] T.C. Huang, The effect of rotatory inertia and of shear deformation on the frequency andnormal mode equations of uniform beams with simple end conditions , Journal of AppliedMechanics, December (1961) 579-584.

[8] M. Levinson, D.W. Cooke, On the two frequency spectra of Timoshenko beams, Journal ofSound and Vibration, 84 (1982) 319-326.

[9] N.F.J. van Rensburg, A.J. van der Merwe, Natural frequencies and modes of a Timoshenkobeam, Wave Motion, 44 (2006) 58-69.

[10] N.G. Stephen, The second spectrum of Timoshenko beam theory - Further assessment,Journal of Sound and Vibration, 292 (2006) 372-389.

[11] R.W. Traill-Nash, A.R. Collar, The effects of shear flexibility and rotatory inertia on thebending vibrations of beams , Quart. Journ. of Mech. and Applied Math., 6 (1953) 186-222.

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