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Sociedade Brasileira de Matem´ atica Mestrado Profissional em Matem´ atica em Rede Nacional MA33 - Introdu¸c˜ ao`a ´ Algebra Linear Unidade 5 - Subespa¸cosvetoriais Exerc´ ıcios recomendados 1) Verifique, em cada caso, se o conjunto W ´ e um subespa¸ co vetorial de R 2 ou de R 3 : (a) O conjunto W = {(x, y) ∈ R 2 : xy =0}; (b) O conjunto W = {(x, y, z ) ∈ R 3 : z = x + y}; (c) O conjunto W = {(x, y) ∈ R 2 : y ∈ Q}; (d) O conjunto W = {(x, y, z ) ∈ R 3 : x ≤ y ≤ z }. 2) Mostre que a interse¸c˜ao de dois subespa¸cos de um espa¸ co vetorial V ´ e um subespa¸code V . 3) Prove que a reuni˜ ao de dois subespa¸cos de um espa¸ co vetorial ´ eum subespa¸co se, somente se, um deles estiver contido no outro. 4) Sejam U e W subespa¸cosde V . Mostre que G(U ∪ W )= U + W . 5) Demonstre que a soma de dois subespa¸cos U e W de um espa¸co vetorial V ´ e um subespa¸co de V . 6) Mostre que o conjunto S das matrizes sim´ etricas e o conjunto A das ma- trizes anti-sim´ etricas n × n s˜ ao subespa¸cos vetoriais de M(n, n) e que se tem M(n, n)= S⊕A. 7) Determine uma condi¸c˜ao que a, b, c devem satisfazer de modo que (a, b, c) seja uma combina¸c˜ ao linear de u = (2, -6, 4) e v = (2, -1, 1). 8) Considere o conjunto S = {(-1, 3, 1), (1, -2, 4)} e determine: (a) G(S ) - o espa¸co gerado por S ; (b) o valor de k ∈ R para que v = (5,k, 11) perten¸ca a G(S ). 1
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MA33 - Introducao a` Algebra LinearUnidade 5 - Subespacos vetoriaisExerccios recomendados
1) Verifique, em cada caso, se o conjunto W e um subespaco vetorial de R2 oude R3:
(a) O conjunto W = {(x, y) R2 : xy = 0};(b) O conjunto W = {(x, y, z) R3 : z = x + y};(c) O conjunto W = {(x, y) R2 : y Q};(d) O conjunto W = {(x, y, z) R3 : x y z}.
2) Mostre que a intersecao de dois subespacos de um espaco vetorial V e umsubespaco de V .
3) Prove que a reuniao de dois subespacos de um espaco vetorial e um subespacose, somente se, um deles estiver contido no outro.
4) Sejam U e W subespacos de V . Mostre que G(U W ) = U + W .5) Demonstre que a soma de dois subespacos U e W de um espaco vetorial V
e um subespaco de V .
6) Mostre que o conjunto S das matrizes simetricas e o conjunto A das ma-trizes anti-simetricas nn sao subespacos vetoriais deM(n, n) e que se temM(n, n) = S A.
7) Determine uma condicao que a, b, c devem satisfazer de modo que (a, b, c)seja uma combinacao linear de u = (2,6, 4) e v = (2,1, 1).
8) Considere o conjunto S = {(1, 3, 1), (1,2, 4)} e determine:(a) G(S) - o espaco gerado por S;
(b) o valor de k R para que v = (5, k, 11) pertenca a G(S).
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9) No espaco vetorial R4 considere os seguintes subespacos vetoriais: U ={(x, y, z, t) : x+ z + t = y} e V = {(x, y, z, t) : x+ y + z = t}. Encontre umconjunto de geradores para os seguintes subespacos U , V e U V .
10) Considere os subespacos F1, F2 R3 assim definidos: F1 = {(x, x, x) : x R} e F2 = {(x, y, z) : x + 2y + 3z = 0}. Mostre que R3 = F1 F2.
11) Expresse o seguinte polinomio 1+x2 como combinacao dos polinomios 1, 1+xe 1 + x + x2.
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