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Sociedade Brasileira de Matem´ atica Mestrado Profissional em Matem´ atica em Rede Nacional MA33 - Introdu¸c˜ ao`a ´ Algebra Linear Unidade 1 - O que ´ e ´ Algebra linear ? Exerc´ ıcios recomendados 1) Seja Q[ √ 2] = {a + b √ 2: a, b ∈ Q}. Dados a + b √ 2e c + d √ 2, defina a soma e o produto, respectivamente, como: • (a + b √ 2) + (c + d √ 2) = (a + c)+(b + d) √ 2; • (a + b √ 2) · (c + d √ 2) = (ac +2bd)+(ad + bc) √ 2. Mostre que Q[ √ 2], com as opera¸ c˜oes definidas, ´ e um corpo. Em particular, determine o inverso de um elemento a + b √ 2 6= 0. 2) Considere o conjunto Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} munido das opera¸c˜ oes de adi¸ c˜aoe multiplica¸ c˜ao a seguir: • Se a, b ∈ Z 5 ,ent˜ao a + b :=resto da divis˜ ao de a + b por 5. Por exemplo: 3+4=7=1 · 5+2, ent˜ao 3+4 := 2. • Se a, b ∈ Z 5 ,ent˜ao a · b :=resto da divis˜ ao de a · b por 5. Por exemplo: 3 · 4 = 12 = 2 · 5 + 2, ent˜ ao 3 · 4 := 2. Mostre que Z 5 , comasopera¸c˜oesdefinidas,´ e um corpo e determine o sim´ etrico e o inverso multiplicativo de cada elemento n˜ ao nulo. 3) Seja v um elemento n˜ao nulo de um espa¸co vetorial V sobre R. Mostre que afun¸c˜ ao f : R → V , definida por f (t)= t · v,´ e injetora. 4) Mostre que o conjunto dos n´ umeros complexos, com as opera¸c˜ oes usuais de soma e multiplica¸c˜ ao, ´ e um espa¸co vetorial sobre R. 5) Considere o conjunto V = {(x, y) ∈ R 2 : x,y > 0} munido das seguintes opera¸c˜ oes de soma e multiplica¸c˜ ao por escalar: • (a, b) ⊕ (c, d)=(ac, bd), ∀ (a, b), (c, d) ∈ V ; • α (a, b)=(a α ,b α ), ∀ α ∈ R e ∀ (a, b) ∈ V . 1
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Sociedade Brasileira de MatematicaMestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional
MA33 - Introducao a` Algebra Linear
Unidade 1 - O que e Algebra linear ?Exerccios recomendados
1) Seja Q[
2] = {a+ b2 : a, b Q}. Dados a+ b2 e c+ d2, defina a somae o produto, respectivamente, como:
(a+ b2) + (c+ d2) = (a+ c) + (b+ d)2; (a+ b2) (c+ d2) = (ac+ 2bd) + (ad+ bc)2.
Mostre que Q[
2], com as operacoes definidas, e um corpo. Em particular,determine o inverso de um elemento a+ b
2 6= 0.
2) Considere o conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} munido das operacoes de adicao emultiplicacao a seguir:
Se a, b Z5, entao a+ b :=resto da divisao de a+ b por 5. Por exemplo:3 + 4 = 7 = 1 5 + 2, entao 3 + 4 := 2. Se a, b Z5, entao a b :=resto da divisao de a b por 5. Por exemplo:
3 4 = 12 = 2 5 + 2, entao 3 4 := 2.Mostre que Z5, com as operacoes definidas, e um corpo e determine o simetricoe o inverso multiplicativo de cada elemento nao nulo.
3) Seja v um elemento nao nulo de um espaco vetorial V sobre R. Mostre quea funcao f : R V , definida por f(t) = t v, e injetora.
4) Mostre que o conjunto dos numeros complexos, com as operacoes usuais desoma e multiplicacao, e um espaco vetorial sobre R.
5) Considere o conjunto V = {(x, y) R2 : x, y > 0} munido das seguintesoperacoes de soma e multiplicacao por escalar:
(a, b) (c, d) = (ac, bd), (a, b), (c, d) V ; (a, b) = (a, b), R e (a, b) V .
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Mostre que V , com as operacoes definidas, e um espaco vetorial sobre R. Emparticular, determine o vetor nulo de V .
6) Seja n N. Considere o conjunto R[x]n = {p(x) R[x]n : grau(p(x)) = n}munido das operacoes usuais de soma de polinomios e multiplicacao porescalar. R[x]n e um espaco vetorial sobre R ?
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