EXERCÍCIOS_CVGA
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1 EXERCÍCIOS - Operação com vetores 1) Igualdade (x1,y1) = (x2,y2) x1 = x2 e y1 = y2 (x1,y1,z1) = (x2,y2,z2) x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 2) Adição (x1,y1) + (x2,y2) (x1+ x2 , y1+ y2) (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) 3) Multiplicação por um número real k (x,y) = (kx,ky) k (x,y,z) = (kx,ky,kz) - Cálculo das componentes de um vetor a) Seja A=(x1,y1) e B = (x2,y2) = B – A = ( x2 - x1, y2 - y1) b) Seja A = (x1,y1,z1) e B = (x2,y2,z2) = B – A = ( x2 - x1, y2 - y1, z2 – z1) - Produto escalar de dois vetores a) Sendo u = (x1,y1) e v = (x2,y2) ∙ = x1x2 + y1y2 b) Sendo u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2) ∙ = x1x2 + y1y2 + z1z2 - Módulo de um vetor a) Sendo u = (x,y) || = √ 2 + ²
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EXERCÍCIOS
- Operação com vetores
1) Igualdade
(x1,y1) = (x2,y2) x1 = x2 e y1 = y2
(x1,y1,z1) = (x2,y2,z2) x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2
2) Adição
(x1,y1) + (x2,y2) (x1+ x2 , y1+ y2)
(x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
3) Multiplicação por um número real
k (x,y) = (kx,ky)
k (x,y,z) = (kx,ky,kz)
- Cálculo das componentes de um vetor
a) Seja A=(x1,y1) e B = (x2,y2)
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = ( x2 - x1, y2 - y1)
b) Seja A = (x1,y1,z1) e B = (x2,y2,z2)
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = ( x2 - x1, y2 - y1, z2 – z1)
- Produto escalar de dois vetores
a) Sendo u = (x1,y1) e v = (x2,y2)
𝑢 ∙ 𝑣 = x1x2 + y1y2
b) Sendo u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2)
𝑢 ∙ 𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2
- Módulo de um vetor
a) Sendo u = (x,y)
|𝑢| = √𝑥2 + 𝑦²
2
b) Sendo u = (x,y,z)
|𝑢| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²
- Paralelismo
a) Sendo u = (x1,y1) e v = (x2,y2)
𝑥1
𝑥2=
𝑦1
𝑦2
b) Sendo u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2)
𝑥1
𝑥2=
𝑦1
𝑦2=
𝑧1
𝑧2
- Perpendicularismo ou ortogonalidade
a) Sendo u = (x1,y1) e v = (x2,y2)
𝑢 ∙ 𝑣 = 0
b) Sendo u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2)
𝑢 ∙ 𝑣 = 0
- Ângulos entre vetores
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 ∙ 𝑣
|𝑢||𝑣|
- Área do triângulo
Sendo A, B e C os vértices de um triângulo:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (a,b)
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (c,d)
∆= |𝑎 𝑏𝑐 𝑑
|
𝑆 =1
2|∆|
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EXERCÍCIOS
1) Calcular x e y de modo que seja verdadeira a igualdade:
a) (x,y) = (1,5) b) (2x, y + 6) = (12,8)
2) Dados A = (2,3), B = (-1,4) e C = (0,5), calcule:
a) 4 A b) 5 B c) 4 A + 5 B – C
3) Sendo A = (1,06), B = (7,5,-2) e C = (0,3,4), calcule:
a) 7 A b) 3 B c) 7 A + C 3 B
4) Dados A = (2,1), B = (5,-1) e C = (3,4), calcule:
a) 2 AB b) 4 AC c) 2 AB – 4 AC
5) Considere os pontos A = (4,0,6), B = (3,1,-2) e C = (2,1,-1), calcule:
a) 3 AB b) 5 AC c) 3 AB + 5 AC
6) Sendo u = (1,2,-3), v = (0,4,1) e w = (3,1,-2), calcular:
a) 𝑢 ∙ 𝑣 b)(𝑢 + 𝑣) ∙ 𝑤 c) 𝑢 ∙ (𝑤 − 3𝑣)
7) Calcular a medida do ângulo interno B do triângulo de vértices A = (-1,-2,4),
B = (-4,-2,0) e C = (3,-2,1). (u = BA e v = BC)
8) Calcule a área do triângulo definido pelos vetores u = (5,3) e v = (2,4).
9) Verificar se u e v são ortogonais:
a) u = (2,3) e v = (0,5) b) u = (1,3) e v = (-6,2)
10) Verificar se u e v são paralelos:
a) u = (3,6) e v = (4,8) b) u = (1,2) e v = (5,7)
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RESPOSTAS
1) a) x = 1 e y = 5 b) x = 6 e y = 2
2) a) (8,12) b) (-5,4) c) (3,11)
3) a) (7,0,42) b) (21,15,-6) c) (28,18,40)
4) a) (6,-4) b) (4,12) c) (2,-16)
5) a) (3,3,-24) b) (-10,5,-35) c) (-7,8,-59)
6) a) 5 b) 13 c) -4
7) 45º
8) 7
9) a) Não b) Sim
10) a) Sim b) Não
