Exercícios matrizes ii gabarito

OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1

FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP

ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães [email protected]

LISTA DE EXERCÍCIOS

Se uma matriz é definida por aij=i2+3j, significa que para cada elemento da matriz vamos substituir i e j pelos valores de linhas e colunas. Suponha que a matriz seja 3x3,

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

Substituindo os valores:

12 + 3.1 12 + 3.2 12 + 3.322 + 3.1 22 + 3.2 22 + 3.332 + 3.1 32 + 3.2 32 + 3.3

= 4 7 107 10 13

12 15 18

1) Dado Seja A=(aij)x’3x3 a matriz definida por aij=3i+2j+3, encontre a matriz. Substituindo os valores, temos

3.1 + 2.1 + 3 3.1 + 2.2 + 3 3.1 + 2.3 + 33.2 + 2.1 + 3 3.2 + 2.2 + 3 3.2 + 2.3 + 33.3 + 2.1 + 3 3.3 + 2.2 + 3 3.3 + 2.3 + 3

= 8 10 12

11 13 1514 16 18

Seja a matriz m x n, a transposta At é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais. Por exemplo:

A= −3 0

2

3

2 −1

25 At=

−3 2

0 −1

22

35

D=

1 52 −15 0

−1 02 13 2

0 −2−5 3

Dt=

1 25 −1−1 2

5 00 −23 −5

0 12 3

2) Se A= 4 7 107 10 13

12 15 18 , ache a matriz transposta At.

At= 4 7 127 10 15

10 13 18

3) Seja A=(aij)3x3 a matriz assim definida

aij= 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗

a) Ache as matrizes A e At.

A= 2 −1 −21 4 −12 1 6

At= 2 1 2−1 4 1−2 −1 6

mailto:[email protected]


b) Sendo p o produto dos elementos da diagonal principal e s o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz A calcule p-s. p=2.4.6=48 s=-2.4.2=-16 p-s=48-(-16)=64

Duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos são iguais

𝑥 + 𝑦 𝑧2 − 6𝑧𝑥 − 𝑦 2𝑤 − 3

= 10 −56 5(𝑤 + 4)

Igualando os membros temos que: x+y=10 x-y=6

z2-6z=-5 2w-3=5(w+4)

Para achar x e y resolvemos o sistema 𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 6

, pelo método da adição encontramos x=8 e y=2.

Para z2-6z+5=0, achamos o Δ=36-4.1.5=16, z=5 ou z=1 E 2w-3=5(w+4), temos que 2w-5w=20+3, então 3w=23, w=23/3.

4) Ache os valores desconhecidos:

2𝑥

1

𝑧𝑡2

𝑥 + 𝑦 2(𝑤 + 3) 𝑢 =

𝑦 𝑧 + 1 2𝑡 − 312 3𝑤 2𝑢

Igualando, temos 2x=y x+y=12 1

𝑧=z+1

2(w+3)=3w t2=2t-3 u=2u Resolvendo as duas primeiras equações, ou seja:

2𝑥 = 𝑦

𝑥 + 𝑦 = 12 Por substituição temos que x+2x=12, ou seja 3x=12, x=4. Então y=2.4=8.

1

𝑧=z+1

Multiplicando ‘em cruz’: 1=z2+z z2+z-1=0 a=1, b=1, c=-1 ∆=12-4.1.(-1)=5

z=−1± 5

2, z pode ser

−1+ 5

2, ou

−1− 5

2.

2(w+3)=3w 2w-3w=-6 -w=-6 w=6 t2=2t-3 t2-2t+3=0 a=1, b=-2, c=3 ∆=(-2)2-4.1.3=4-12=-8


Não pode existir t real para essa matriz, pois a raiz é negativa Resolvendo a equação do 2º grau, as raízes serão

t=1- 2i ou t=1+ 2i u=2u u=0 Temos então os valores de cada uma das variáveis. 5) Calcule x, y e z para que a igualdade seja verdadeira:

𝑥 + 𝑦 𝑦2

2𝑧

35 =

2𝑥 𝑦10 5

Mesmo procedimento x+y=2x y2=y 2𝑧

3=10

Obviamente não é necessário dizer que 5=5 (!) Em y2=y, encontramos dois valores possíveis para y, ou seja, y=0 ou y=1. Se y=0, então x+0=2x, x=0. Se y=1, então x+1=2x, -x=-1, x=1. Já o z é valor único 2𝑧

3=10

2z=30 z=15

6) Dadas as matrizes A= 2 5−3 84 1

, B= 6 114 −1−7 0

e C= −4 10 10 −2 5

, ache 2A+3B+2Ct.

Vamos primeiramente fazer Ct= −4 010 −21 5

2. 2 5−3 84 1

+3. 6 114 −1−7 0

+ 2. −4 010 −21 5

=

2.2 + 3.6 + 2. (−4) 2.5 + 3.11 + 2.0

2. −3 + 3.4 + 2.10 2. −3 + 3.4 + 2.102.4 + 3. −7 + 2.1 2.4 + 3. −7 + 2.5

= 14 4326 26−15 −3

7) Dadas as matrizes A= 2 35 4

e B= 3 42 1

, calcule a matriz X, se X-I2=2A-Bt.

X=2A-Bt+I2=2 2 35 4

− 3 24 1

+ 1 00 1

= 4 − 3 + 1 4 − 3 + 0

10 − 4 + 0 8 − 1 + 1 =

2 16 8

8) Calcule os produtos A.B e B.A


a) A= 2 1−1 3

e B= 5 −22 3

𝐴.𝐵 = 12 −11 11

𝐵.𝐴 = 12 −11 11

Essas duas matrizes são comutáveis, ou

seja A.B=B.A, o que nem sempre ocorre.

b) A= 2 0 1−1 2 3

e B= 1 02 −23 −1

𝐴.𝐵 = 5 −1

12 −7 𝐵.𝐴 não é possível de ser calculado

c) A= 0 0 00 0 00 0 0

e B= 1 2 34 5 67 8 9

A.B= 0 0 00 0 00 0 0

e B.A= 0 0 00 0 00 0 0

. Todo produto pela matriz nula, no

caso 0 0 00 0 00 0 0

=O, é igual a O. Uma matriz quadrada A.O=O.A=O

d) A= 2 0 0−3 0 0−1 0 0

e B= 0 0 04 1 57 2 −3

A.B= 0 0 00 0 00 0 0

e B.A= 0 0 00 0 0

11 0 0 . Diferentemente dos números que

para que o produto seja igual a O, é necessário que um dos fatores seja 0 (Lei dos Produtos Nulos), nas matrizes, duas matrizes não nula A≠O e B≠O, podemos ter A.B=O (sendo A e B matrizes, e O a matriz nula). Em números, se a.b=0, ou a=0 ou b=0 necessariamente.

e) A= 1 42 3

e B= 1 00 1

𝐴.𝐵 = 1 42 3

𝐵.𝐴 = 1 42 3

. Temos que uma matriz quadrada

qualquer de ordem n, temos que A.In=In.A=A.

As propriedades mais importantes das operações entre matrizes (Soma e multiplicação por número) são: Sendo A, B e C matrizes, 0 a matriz nula e a e b números reais. A+B=B+A Comutatividade da Adição (A+B)+C=A+(B+C) Associatividade da Adição A+0=0+A=A Elemento Neutro da Adição A+(-A)=0 Elemento Oposto da Adição a.(b.A)=(ab).A Associatividade da Multiplicação por números (a+b)A=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de números a(A+B)=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de matrizes 1.A=A Elemento Neutro da Multiplicação por números Veja as propriedades da Multiplicação de matrizes: Dados A, B, C matrizes e n um número real: (A.B).C=A.(B.C) Associatividade da Multiplicação A.(B+C)=A.B+A.C Distributividade da Multiplicação à direita (A+B).C=A.C+B.C Distributividade da Multiplicação à esquerda n.(A.B)=(n.A).B=A.(n.B) Associatividade do número nas Multiplicações Amxn.In=A Elemento Neutro da Multiplicação

9) Verdadeiro ou Falso? ( F ) Se existe A.B e existe B.A, então A.B=B.A. Há vários exemplos que já fizemos. Contra Exemplo: ( V )Existem A e B tais que A.B=B.A São matrizes comutáveis. Se uma delas for a matriz identidade I2, I3, etc, a sentença é verdadeira. Demonstração: basta mostrar um exemplo - ( F ) Se existe A.B, então existe B.A O número de colunas da primeira precisa coincidir com o número de linhas da segunda; ou seja, apenas em matrizes quadradas isso é possível. Contra Exemplo:


( V ) Se A.B existe e A é uma matriz nula, então A.B é uma matriz nula. Toda multiplicação por zero resulta em zero. Veja o item ‘c’ do exercício 8 e tente compreender por qual motivo a afirmação é verdadeira. Demonstração: - ( F ) Se A.B é uma matriz nula, então ou A é nula ou B é nula. Não necessariamente, como ocorrem com os números naturais. Contra Exemplo:

10) Dada a matriz A= 2 7−3 54 1

, verifique que A.I2=I3.A=A.

Basta fazer 2 7−3 54 1

. 1 00 1

= 2 7−3 54 1

e 1 0 00 1 00 0 1

. 2 7−3 54 1

= 2 7−3 54 1

.

Lembre-se que I3= 1 0 00 1 00 0 1

, a matriz identidade! Igualmente I2= 1 00 1

.

11) Calcule x, y e z para que se tenha:

2 −1 10 2 10 0 4

. 𝑥𝑦𝑧 =

7−112

2𝑥 − 𝑦+ 𝑧

2𝑦 + 𝑧4𝑧

= 7−112 .

Temos um sistema de 3 equações com 3 variáveis

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7

2𝑦 + 𝑧 = −14𝑧 = 12

4z=12, então z=3 2y+3=-1 2y=-1-3 2y=-4 y=-2 2x-(-2)+3=7 2x=7-2-3 2x=2 x=1 Temos então x=1, y=-2 e z=3.

A expressão 2 −1 10 2 10 0 4

. 𝑥𝑦𝑧 =

7−112 é a forma matricial do sistema

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 72𝑦 + 𝑧 = −1

4𝑧 = 12

12) Dadas a matriz A= 2 0 30 0 1−2 2 1

, calcule A2, A3 e A4.

Calculando no wxMaxima

A2=matrix([-2,6,9],[-2,2,1],[-6,2,-3])= −2 6 9−2 2 1−6 2 −3

A3=matrix([-22,18,9],[-6,2,-3],[-6,-6,-19]) = −22 18 9−6 2 −3−6 −6 −19


A4=matrix([-62,18,-39],[-6,-6,-19],[26,-38,-43])= −62 18 −39−6 −6 −1926 −38 −43

A2=A.A, A3=A2.A, etc...

13) Calcule x e y para que A e B comutem A= 1 3−2 2

e B= 4 𝑥𝑦 3

.

Temos que ter A.B=B.A, portanto

4 + 3𝑦 𝑥 + 9−8 + 2𝑦 −2𝑥 + 6

= 4 − 2𝑥 12 + 2𝑥𝑦 − 6 3𝑦 + 6

Igualando 4+3y=4-2x 2x+3y=0 -8+2y=y-6 y=2 x+9=12+2x -x=3 x=-3 -2x+6=3y+6 -2x-3y=0 2x+3y=0 (igual a 1ª equação) Veja que esse sistema tem 4 equações e poderia ser impossível, porém, encontramos x=-3 e y=2 Então verificamos 2x+3y=0, ou seja 2.(-3)+3.2=0

Faça A.B e B.A e iguale os termos.

14) Dada a matriz A= −1 00 1

, calcule A2, A3, A100 e A101.

Calculando A2= 1 00 1

, A3= −1 00 1

, notamos que para Apar= 1 00 1

, Aímpar= −1 00 1

. Então A100= 1 00 1

,

A101= −1 00 1

.

15) Verifique que a matriz A= 1 20 0

é não invertível.

Vamos mostrar que 1 20 0

. 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= 1 00 1

𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑0 0

= 1 00 1

Como é impossível termos 0=1, veja em a22, a matriz não é invertível.

Ou seja, você tentará calcular a Matriz Inversa (relembre aulas passadas), e verificará que não é possível, por um motivo que vai aparecer durante a resolução. Há uma propriedade importante para ser lembrada e formalizada: A.A-1=A-1.A=In Elemento Inverso da Multiplicação


16) Verifique que (A.B)-1=B-1.A-1 Multiplicando ambos os membros por A.B, temos que (A.B)-1.A.B=(B-1.A-1).A.B. O primeiro membro é igual a In, a matriz identidade. Como vale a associativa (B-1.A-1).A.B=B-1.(A-1.A).B=B-1.In.B=B-1.B=In. Demonstrado!

Resolução do exercício 16

(A.B)-1=B-1.A-1, vamos multiplicar por A.B nos dois membros (A.B)-1.A.B=B-1.A-1.A.B, mas (A.B)-1.A.B=In, e também A-1.A=In, pela propriedade Elemento Inverso, então In=B-1.In.B In

=In.In In=In CQD.

17) Diz que uma matriz quadrada A de ordem n é idempotente se A2=A. Mostrar que a matriz A= −2 2−3 3

é

idempotente. (trecho em azul omisso no original).

Basta calcular A2= −2 2−3 3

Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At

1 −1 4−1 3 54 5 −2

Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At

1 −1 −41 3 54 −5 −2

18) Determinar x, y e z de modo que a matriz A= 0 −4 2𝑥 0 1 − 𝑧𝑦 2𝑦 0

é anti-simétrica.

Pela definição de matriz anti-simétrica y=-2 x=-(-4) x=4 2y=1-z 2.(-2)=1-z -4=1-z z=1+4 z=5 19) Resolva as equações matriciais:

a) 3 42 3

.X= −1−1

3 42 3

. 𝑎𝑏 = −1−1

3𝑎 + 4𝑏2𝑎 + 3𝑏

= −1−1

3𝑎 + 4𝑏 = −12𝑎 + 3𝑏 = −1

2𝑎 + 4𝑏 = −1 ×−32𝑎 + 3𝑏 = −1 × 4

−9𝑎 − 12𝑏 = 38𝑎 + 12𝑏 = −4

-a=-1 a=1 2.1+4b=-1 2+4b=-1 4b=-1 b=-1/4

Exercícios matrizes ii gabarito

Education

Transcript of Exercícios matrizes ii gabarito