Origem da matriz: O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a

dinastia Han entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.

O uso das matrizes no dia-a-dia:• Imagens de internet (GIF, JPEG)

• Planilhas eletrônicas (Excel)

Uma matriz pode ser representada de três formas:

1 2

3 4

5 6

1 2

3 4

5 6

1 2

3 4

5 6Colchetes Parênteses

Barra dupla

Elemento

Coluna

Coluna Coluna

Linha

Linha

Vamos ver algumas definições úteis:

Matriz A ( m linha e n colunas )

Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j

Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j:

ij 2x3 ij

A = (a ) ij 2x3

a = i + j ij

A = =

Matriz linha: Só tem uma linha.Exemplo:

Exercício - Matriz linha: a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal

que aij = 2i + 3j.

Matriz coluna: Só tem uma coluna Exemplo:

A =

Matriz quadrada: m = n Exemplo 1: Exemplo 2:

Exercícios – Matriz quadrada (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x

2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 

Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da diagonal são iguais a zero.

Exemplo 1: Exemplo 2:

Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Exemplo 1: Exemplo 2:

A =

Matriz diagonal

Exemplo 1: Exemplo 2:

Exercício – Matriz diagonalEscreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.

Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 

Exemplo:Matriz de ordem 2:

Matriz de ordem 3:

Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos são 0. 

A =

Se A = B, então:• a= • b=• c=• d=

A = 1

2

3

4B =

a

c

b

d

Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:

Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. Exemplo:

A = 1 2

34 5 6

B = 2 5 4

1 2 9

A + B = =

Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da matriz A e B:

A = 2 0 -4 B = 2 3 2 10 7 1 0 4 7

C = C =

Exemplo:

2 . 1 2

3 4 =

Considerando a matriz: -2 3 4 -5

, determine:

a) 4 . ( A + B)

A= E

B= 1 0

2 1

Exercício: Determine a matriz oposta de e depois determine (–A + A):

Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.

Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B =

, se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 

Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo:

B = 2 1 3 2 4 5

A = 1 2 3 3 1 1

Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 :

2 5 3 6 2

a) Existe o produto AB? Justifique:

b) Existe o produto BA? Justifique:

c) Calcule o produto AB:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

B =

Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j.

b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.

É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Exemplo: Dada a matriz A = , sua transposta será?

Toda matriz identidade é simétrica.

A . A = In e A . A = In A= 5 1 4 1

-1 -1