Exercicios 8ª

272

C( )

Problemas e exercícioscomplementares

OrientaçõesResolver problemas e fazer exercícios são atividades essenciais para aprender matemática. Nisso

estamos de acordo, certo? No entanto, algumas pessoas perguntam: quantos problemas e exercícios preci-sam ser feitos? Não há resposta para essa questão. Em princípio, quem se dedica mais à resolução deproblemas diferentes e criativos adquire mais conhecimentos de matemática.

Os problemas, os exercícios e as demais atividades propostos neste livro são suficientes para umbom aprendizado básico de matemática. Ainda assim, considerando que nem todas as escolas brasileirasdestinam o mesmo número de aulas a essa disciplina (e nada há de errado nisso) e que nem todos osestudantes possuem o mesmo interesse por matemática (também nada há de errado nisso), oferecemos,nesta seção, alguns problemas e exercícios de caráter complementar. Só se deve dar atenção a eles apósgarantir o fundamental e se restar tempo na programação. Esta seção é, portanto, optativa.

Figuras semelhantes

1. Responda sim ou não:

a) Dois retângulos são sempre semelhantes?

b) Dois hexágonos regulares são sempre seme-lhantes?

c) Duas esferas são sempre semelhantes?

d) Dois pentágonos são sempre semelhantes?

e) Dois pentágonos regulares são sempre seme-lhantes?

2. Usando régua e transferidor, construa:a) um quadrilátero ABCD com estes ângulos:

A = 100° , B = 70° , C = 80° e D = 110° .b) outro quadrilátero, não-semelhante ao ante-

rior, mas com esses mesmos ângulos.

3. Usando régua e compasso, desenhe:

a) um quadrilátero ABCD, com AB = 25 mm,BC = 30 mm, CD = 43 mm e DA = 35 mm;

b) um quadrilátero A’B’C’D’, não-semelhante aABCD, com A’B’ = 50 mm, B’C’ = 60 mm, C’D’ =

86 mm e D’A’ = 70 mm. Note que os lados deA’B’C’D’ duplicaram em relação aos lados deABCD.

4. Estes quadriláteros são semelhantes:

a) Meça os lados correspondentes e diga qual éa razão de semelhança. Responda assim: é 1para 1,5 ou 1 para 3, etc.

No problema 2, usandotransferidor e fazendotentativas, não é difícilconstruir o quadrilátero.

No problema 3, há al-gumas dificuldades naconstrução dos quadri-láteros. É preciso fazertentativas.

capítulo

1 SEMELHANÇA

R’

R A

TI

A’

T’I ’

(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM272

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res

273( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )

b) As diagonais RT e R’T’ estão nessa mesma ra-zão?

c) E os segmentos IA e I’A’?

d) Calcule o perímetro de cada quadrilátero. Osperímetros estão na mesma razão que os la-dos?

e) Meça os ângulos ITAˆ e I T A' ˆ ' '. Que relaçãoexiste entre eles?

f) Usando a fórmula A =

h B b⋅ +( )2

, calcule as

áreas dos quadriláteros. A área do quadrilátero

maior é quantas vezes a do menor?

5. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)ou falsa (F):

a) Para dois polígonos serem semelhantes bastaque os ângulos que se correspondem sejamiguais.

b) Para dois polígonos serem semelhantes é ne-cessário que os ângulos que se correspondemsejam iguais.

c) Para dois polígonos serem semelhantes é pre-ciso que eles tenham lados correspondentesproporcionais.

d) Para dois polígonos serem semelhantes é su-ficiente que eles tenham lados corresponden-tes proporcionais.

Triângulos semelhantes

6. Observe a figura:

BC = 8 cm AB = 7 cm AD = yAC = 4 cm DC = x

a) Mostre que dois dos triângulos são semelhan-tes.

b) Separe os triângulos semelhantes desenhan-do-os, à mão livre, em posições semelhantes.

c) Copie e complete em seu caderno:

AB

BC

CA

= = .

d) Nessa igualdade que você escreveu, substituaAB, BC, etc. pelas medidas correspondentes ecalcule x e y.

7. A 40 m da base da estátua, Márcia pode vê-la sobum ângulo de 40°. Faça um desenho em escala edetermine a altura real da estátua.

8. Com relação ao exercício anterior, Márcia querfotografar a estátua. Entretanto, a estátua sóaparecerá inteira na foto se for avistada sob umângulo de 30° . Aproveite seu desenho em escalae determine a que distância da estátua Márciadeve se posicionar.

9. Considere a figura seguinte:

a) Prove que os triângulosABO e DEO são semelhan-tes.

b) Calcule a medida x.

10. Em qual das situações pode-se ter certeza de queAB = 3 ⋅ EF?

B

a

a

A

DC

//// //// ////

40°

40 m

B

25

16

10OE

D

x

A

a)

b)

EF // AB

6

2D

100°

100°

80°

80°

130°

130°

F

E

G

A

C

B

P

A

E

H

G

F

B

C

12

(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM273

274

11. Na figura seguinte, suponha que MA = 60 mm,AU = 75 mm e LA = x.

a) Copie e complete em seu caderno:

75

60

= .

b) Determine x.

Semelhança no triângulo retângulo

12. Observe o triângulo da figura seguinte:

a) Prove que p2 = a ⋅ x.

b) O que diz essa fórmula? Responda textual-mente.

13. Use a régua e responda em seu caderno:

a) Quanto mede a hipotenusa do triângulo LUZ?

b) E os catetos, quanto medem?

c) Quanto mede o cateto maior do triângulo ZAL?

d) Quanto mede a altura perpendicular à hipo-tenusa do triângulo LUA?

14. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)ou falsa (F):

a) Em todo triângulo acutângulo, a altura rela-tiva a qualquer lado divide o triângulo emdois triângulos retângulos.

b) Em todo triângulo acutângulo, a altura relati-va a qualquer lado divide o triângulo em doistriângulos retângulos semelhantes entre si.

c) Em todo triângulo retângulo, a altura relati-va à hipotenusa divide-o em dois triângulosretângulos semelhantes entre si e semelhan-tes ao triângulo original.

15. Há três triângulos retângulos na figura e cada umdeles é semelhante aos outros dois:

Tomando como base essas semelhanças, copie ecomplete em seu caderno:

a) as igualdades:

hm x

= = p

h m

l a = = .

b) as fórmulas:

p2 = h ⋅ //// p ⋅ //// = l ⋅ ////

O teorema de Pitágoras

16. As diagonais de um losango medem 11 cm e 6 cm.Qual é a medida aproximada do lado?

17. No triângulo ABC, A = 90º. Copie e complete atabela em seu caderno:

18. No triângulo retângulo SIM, SI = 30 cm e SM = 34 cm:

a) Calcule MI.

b) Calcule EI, usando uma das fórmulas deduzidasno item anterior.

c) Calcule SE e ME.

d) Calcule a área do triângulo.

////

////

////

////

Às vezes, como no pro-blema 16, é preciso re-lembrar que as diagonaisdo losango, sendo eixosde simetria, são per-pendiculares entre si ecortam-se ao meio.

AB (cm) AC (cm) BC (cm)15 20 /////////

//////// 5 13

15 ///////// 17

//// ////

M

48°

48°

A

U

L

d

xa

pq

t

Z AU

L

hx

mlp

a

E

M

IS

(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM274

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


10–n

10a � 10b = 10a + b

10a � 10b = 10a – b

110n=

19. A escada tem 5,2 m de comprimento. Qual é aaltura aproximada do muro?

20. Flávia e Rita partem de O, no mesmo instante,cada uma em seu automóvel. Flávia segue pelaestrada x à velocidade de 60 km/h. Rita vai pelaestrada y a 80 km/h.

a) Depois de uma hora, qual é a distância emlinha reta entre elas?

b) E depois de duas horas contadas a partir doinício da viagem?

c) Invente outra pergunta com os dados desteproblema. Se desejar, você pode incluir ou-tros dados.

capítulo

2 A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES

Potências e notação científica

1. Copie e complete em seu caderno:

a)

1104 = 10 d) 104 ⋅ 103 = 10

b) 1 : 103 = 10 e) 104 ⋅ 10–6 = 10

c)

110 5− = 10 f) 104 : 107 = 10

2. Em seu caderno, passe para a notação científica:

a) 6 500 000 c) 0,000 01 e) 0,000 038

b) 12 ⋅ 108 d) 0,000 03 f) 13 ⋅ 10–7

3. Em seu caderno, efetue e dê o resultado em nota-ção científica:

a) (3,4 × 103) : (1,7 × 106)

b) 2,8 × 104 ⋅ 5 × 103

4. As fórmulas do quadro referem-se às potências de10. Para outras bases, valem fórmulas análogas.Calcule em seu caderno, dando as respostas naforma de fração:

a) 2–4 c) 240 : 242

b) 25 ⋅ 23 : 29 d) 22

10

13

5. Para medir comprimentos muito pequenos, comoo de uma bactéria, foi criada uma unidade demedida chamada micrômetro (ou mícron):

1 micrômetro = 10–6 m

Usando notação científica, escreva em seu cader-no a quantos metros correspondem:

a) 5 micrômetros c) 0,2 micrômetros

b) 30 micrômetros d) 0,02 micrômetros

Cálculos com radicais

6. O jardim retangular da figura vai ser cercado comduas voltas de arame.

a) Obtenha o perímetro aproximado do jardim,em metros e centímetros.

b) Para cercar esse jardim com arame, quantosrolos de 10 m serão necessários?

1,5 m

O x

y

10 m5 m

(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM275

276

7. Sabendo que os resultados são números inteirospositivos, efetue em seu caderno:

a)

1622

d) 27 1253 ⋅

b)

542

3

3 e) 7 3 12 7⋅ ⋅ ⋅

c) 256 25⋅ f) 5 2 8 5⋅ ⋅ ⋅

8. Calcule em seu caderno a área do triângulo

eqüilátero cujo lado mede 2 7

3 centímetros.

9. Obtenha a área de um hexágono regular cujo lado

mede

72

cm. Dica: há um exercício similar nos

Problemas e exercícios para casa deste item.

Mais cálculos com radicais

10. Em seu caderno, simplifique os radicais:

a) 112 c) 343

b) 150 d)

725

11. Efetue os cálculos em seu caderno:

a)

1254

6 45+

b)

1122

3437

28− +

c) 8 18 2 3 75 3+( ) ⋅ − ⋅ −( )

12. Descubra o valor de x, que é um número positivo,sabendo que:

a) x = 7 c) x3 32 2=

b) x = 5 2 d) x3 32 5=

13. Descubra o valor de x. Racionalize o denomina-dor da fração.

a) 2 ⋅ x = 1 b) 2 5⋅ =x

No exercício 9, os cál-culos são difíceis. Suge-rimos que eles sejamrefeitos no quadro-de-giz, durante uma aulade correção de exercí-cios.

Equação de 1o grau

1. Resolva as equações em seu caderno:

a) x x x5 2

13− = −

b) x x x+ = − − −2

32 5

21

6


a) (x + 3) (x + 1) = x2 + 23

b) 3(x2 + 1) = x(3x + 1) + 1

3. Resolva em seu caderno:

( )( )2 1 5 2

25 112x x x+ + = −

4. O que significa isolar a incógnita na resolução deuma equação?

Vários tipos de equações


a) x + =12 5 b) 3 10 5x − =

capítulo

3 EQUAÇÕES E FATORAÇÃO 6. Resolva as equações em seu caderno:

a) 3z4 – 250 = –7 b) x3 2

25+ =


a) (y + 1) (y + 5) = 6y + 41

b) (2m + 1) (m + 1) = 3 (m – 5)

c) (2u + 1) (u + 1) = 3 (u + 65)

d) (y + 3)(y + 2) = 5 (y + 2)

8. As equações literais aparecem nas deduções defórmulas. Por exemplo, nos triângulos retânguloscomo o da figura, vale a fórmula a2 = b2 + c2.

Resolva a equação a2 = b2 + c2 na incógnita b(isto é, isole b). Você terá uma fórmula que dá amedida do cateto b em função das medidas dosoutros lados.

c

ba

(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM276

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


Equações resolvidas por fatoração

9. Descubra qual é o número representado por :

a) ( – 7)2 = 0 c) 3 ⋅ ( – 2) = 0

b) (y2 + 1) ( – 5) = 0 d)

5 23

0⋅

=( – )

10. Usando fatoração, simplifique as expressões emseu caderno:

a)

a a aa a

4 3 2

3 25 7+ +

–

b)

4 104 20 2

3 2

2 5a a

a a+

+ +


a) 3t2 + t = 0 c) (x + 3) (x – 5) = 0

b) x3 + 2x2 = 0 d) (r – 5)2 = 0


a) (2s + 5) (3s – 1) = 13s + 31

b) (x + 3) (x + 7) = 21

13. Procuramos um número cujo quadrado seja iguala seu quíntuplo.

a) Escreva a equação correspondente a essa sen-tença.

b) Resolva a equação e determine o(s) número(s).

Fatorando o trinômio quadrado perfeito

14. Recordando: para calcular (2x + 3)2 você podeefetuar o produto de (2x + 3) por (2x + 3). Mastambém pode obter o resultado diretamente:

Siga esse modelo e calcule em seu caderno:

a) (x + 7)2 d) (3a – 2b)2

b) (x – 7)2 e) (y2 + 5x)2

c) (2a + 1)2

f)

53

2

ab a–⎛⎝

⎞⎠

15. Em seu caderno, copie e complete as expressõespara que sejam trinômios quadrados perfeitos:

a) y2 – 14y + d) 36y2 + + 1

b) 9x2 + 6x + e) x2 + + 81

c) + 6y + 1 f) a2x2 + abx + ///


a) x2 – 14x + 49 = 0 c) r2 – 18r + 81 = 0

b) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) 16y2 – 8y + 1 = 0


a) (p + 3) (p + 7) = 21

b)

x xx

4 62 1− = +

c) (h + 3,5) ⋅ (h – 1,2)2 = 0

d)

( – )( )( – )x x x3 2 52

0+

=

18. Descubra o valor de x, sabendo que a área doquadrado ABCD é 169.

19. Em seu caderno, resolva as equações na incógni-ta x:

a) x2 – 2ax + a2 = 0.

b)

23

356

7 0ax

axa

a+ +− = . Supor a ≠ 0.

c) 4x2 + 4ax + a2 = 0

d) 3bx2 – 5bx = bx2 – 2bx. Supor b ≠ 0.

capítulo

4 MEDIDASSistemas decimais e não-decimais

1. Quantos hectares há em 1 km2?

2. Calcule: 35°47’18” + 72°2’45”.

3. Calcule: 135°45’12” – 70°48’5”.

4. Na figura, â = 14°32’15”. Calcule a medida de b .

BA 2x

2x

CD 3

3

aa a a a

b

aa

aa

= 4x2 + 12x + 9

quadrado de 2x quadrado de 3

2 vezes 2x vezes 3

(2x + 3)2 =

(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM277

278

5. Copie e complete em seu caderno:

a) 3,78 m = cm e) 148 mm2 = cm2

b) 72 mm = cm f) 12,83 L = mL

c) 3,5 kg = g g) 35 t = kg

d) 13,8 m2 = cm2 h) 5 mL = L

6. Imagine um cubo de aresta igual a 1 km. Calculeo volume desse cubo em quilômetros cúbicos eem metros cúbicos. Depois, copie e complete emseu caderno: 1 km3 = 10 m3.

7. Calcule AODˆ , sabendo que AOBˆ = 38°15’40”, BOCˆ =16°48’52” e CODˆ = 23°50’12”.

Calculando áreas e volumes

8. Qual é a área de um quadrado circunscrito a umcírculo de raio 7,5 cm? Veja o que é polígonocircunscrito no dicionário.

9. Veja esta decomposição seguida de uma recom-posição:

Copie e complete em seu caderno:

a) No paralelogramo, a altura mede h, a base

mede e o outro lado mede .

b) Fazendo a translação do triângulo T, como

mostra a figura, obtemos um cujos lados

medem e .

c) A área desse retângulo é .

d) Como o retângulo e o têm áreas , con-

cluímos que a área do paralelogramo é .

10. As diagonais de um losango medem 10 cm e 12 cm.Calcule seu perímetro aproximado.

11. Você já deduziu a fórmula da área dos trapézios.Vai agora deduzi-la de uma outra maneira. Veja:• Imagine o trapézio decomposto assim:

O pé da altura do triângulo de base n éexterno à base.

• Obtenha a área de cada triângulo e some-as.• “Arrume” a expressão obtida para chegar à

fórmula que você já conhece.

12. Uma aluna deduziu a fórmula da área desta figura:

a) Qual foi o raciocínio feito pela aluna? Res-ponda com uma figura.

b) Deduza outra fórmula para a área da figura.

13. Na figura, a medida do lado do quadrado menor é �.O lado do quadrado externo é 30 % maior. Qual éo aumento porcentual da área do quadrado menorem relação à do maior?

A = a ⋅ b + d ⋅ e

O

AB C

D

x

h y

y

x

y

x

hh

h

T

n

m

pp

a

f

bc

d

e

(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM278

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


Contando possibilidades

1. Responda em seu caderno:

a) Carla tem cinco blusas e três saias. De quantasmaneiras diferentes ela pode combinar essaspeças?

b) Além de cinco blusas e três saias, Maria temainda dois pares de sapato. Considerando sai-as, blusas e pares de sapato, quantas são aspossibilidades?

2. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 quantos númerosnaturais diferentes, de quatro algarismos, exis-tem, podendo repetir os algarismos?

3. Serão sorteadas quatro bo-las, uma de cada vez, paraformar um número de qua-tro algarismos. As bolassorteadas não serão repos-tas na urna.

a) Quais destes números poderiam ser obtidosno sorteio: 4 231, 4 332, 1 243, 1 321.

b) Se o primeiro algarismo sorteado é 2, quantaspossibilidades há para o segundo número sor-teado?

c) Escreva todos os números começados com oalgarismo 2 que podem ser formados no sor-teio.

d) Nesse sorteio, quantos números diferentespodem ser formados?

4. Com tecidos de cor branca, preta, amarela e azul,quantas bandeiras de três faixas de cores diferen-tes podem ser criadas?

Chance e estatística

5. Foram lançados dois dados e os pontos sorteadosforam multiplicados:

a) Em seu caderno, copie e complete a tabela.Ela contém os 36 casos possíveis no lança-mento de dois dados.

b) Quantas vezes o número 12 aparece na tabela?

c) Qual é a chance de se obter o produto 12?

d) Quais são os produtos com maiores chancesde serem obtidos?

e) Qual é a chance de o produto ser um númeroímpar?

f) Qual é a chance de ele ser par?

g) Qual é a chance de o produto ser um númeromaior que 18?

6. Vou jogar um dado três vezes e multiplicar ospontos obtidos. Se o resultado for par, eu ganho.

a) Em seu caderno, copie e complete a árvoreque dá todos os resultados possíveis:

b) Qual é a chance de eu ganhar esse jogo depar ou ímpar?

7. Roberto comprou três bilhetes de uma rifa, quesó correrá depois que todos os 100 bilhetes fo-rem vendidos.

a) Qual é a chance de Roberto ser o primeirosorteado?

b) Esta é mais difícil: qual é a chance de Robertoser o primeiro sorteado e também o segundosorteado?

8. Maria Rita tira da estante uma coleção de cinco livrosnumerados (volume 1, volume 2, etc.) e, depois deconsultá-los, guarda-os na estante ao acaso. Qual éa probabilidade de que ela tenha colocado os livrosna ordem certa (primeiro o 1, depois o 2, etc.)?Dica: calcule de quantas maneiras os livros podemser ordenados; para a 1a posição, há 5 possibilidades;para a 2a posição, há só 4, porque um deles já foicolocado; e assim por diante.

Amostras

9. Neste exercício, você vai realizar um experimentopara estudar o conceito de amostra. Separe 200grãos de feijão preto e 100 grãos de feijão roxinho.Não tendo feijões, use papeizinhos: 100 com marcae 200 sem marca.

capítulo

5 ESTATÍSTICA

12 4 3

1

dado 2

dado 1

1

2

3

4

5

6

2 3 4

1 2 3 4

2 4 6

5 6

(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM279

280

a) Retire uma amostra de 15 feijões, escolhidosao acaso. Em seu caderno, copie e preenchauma tabela como esta:

Número de grãos de feijão preto //// Número de grãos de roxinho ////

Total 15

b) Recoloque a amostra no saquinho, misture osfeijões e retire uma amostra de 36 feijões.Em seu caderno, copie e preencha uma tabelacomo a anterior.

c) De acordo com a amostra de 15 feijões, quan-tos feijões de cada tipo deveria haver na po-pulação de 300 feijões?

d) Responda a mesma pergunta para a amostrade 36 feijões.

e) Qual das duas amostras reflete melhor a reali-dade da população?

f) Neste caso, a amostragem funcionou?

10. Na situação do exercício anterior, seria possívelhaver 15 feijões roxinhos na primeira amostra? Achance de que isso ocorra é grande ou pequena?

11. Aproximadamente, quantos pontinhos há nesteretângulo?

a) Obtenha o total de pontinhos estatisticamente:

• conte o número de pontinhos da amostra, que é o quadradinho de 1 cm2;

• meça os lados e calcule a área do retângulo;

• o restante é com você.

b) Multiplique o número de pontos de uma linhapelo número de linhas para obter o total depontinhos. O resultado obtido na amostra é pró-ximo do resultado obtido pela multiplicação?

12. Um biólogo capturou 50 gaivotas de uma ilha,marcou-as e soltou-as. Tempos depois, o biólogocapturou 80 gaivotas, das quais 23 estavammarcadas. Estime a população de gaivotas da ilha.

A fórmula de Bhaskara

1. Resolva as equações em seu caderno, sem usar afórmula de Bhaskara:

a) 2x2 – 14 = 0 c) 9x2 – 24x + 16 = 0

b) 3x2 + 8x = 0 d) 9x2 – 24x + 16 = 4

2. Usando a fórmula de Bhaskara, resolva as equa-ções em seu caderno:

a) 2x2 + 11x + 5 = 0 c) 2x2 + x – 3 = 0

b) 2x2 + 9x –5 = 0 d) 5x2 + 4x – 1 = 0

3. Faça os cálculos necessários para poder aplicar afórmula de Bhaskara e resolva as equações:

a)

x x2 84

2 52

+ +– –=

b) x x

2 134

1 5– – –=

4. Encontre as medidas dos ladosdo triângulo:

capítulo

6 EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2o GRAU

Sistemas de equações

5. Faça o que se pede:

a) Considere estes pares de números: (1; 2),

(2; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 6), (6; 3),

13

23

;⎛⎝

⎞⎠

e

23

13

;⎛⎝

⎞⎠ . Supondo que o primeiro número

do par é um valor de x e que o segundo númeroé um valor de y, quais pares são solução daequação x = 2y? Dica: uma solução é o par (2; 1).

b) Considere agora os pares de números: (2; 4),(4; 2), (3; 6), (6; 3), (1; 5) e (5; 1). Quaisdeles são solução da equação x2 + y2 = 45?

c) Escreva um par ordenado que é solução do

sistema de equações

x yx y

==

⎧⎨⎩

2452 2+

.

6. Resolva em seu caderno o sistema de equações

x y x y

x y

+12

53 4

3 22 2

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

– –

–.

7. Resolva em seu caderno os sistemas de equações:

a)

x yx y

– ==

⎧⎨⎩

3172 2+

b)

2 54 12x yxy

+ ==

⎧⎨⎩

x + 2x – 2

x

(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM280

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


8. Existe um retângulo cujo perímetro é 40 m e cujaárea é 44 m2? Justifique sua resposta.

Problemas

9. Qual é o número cujo quadrado somado com 4resulta no seu quádruplo?

10. Observe o circuito: 12 – 4 = 8 e, depois, 8 : 2 = 4e, por fim, 4 . 3 = 12.

11. Se Luís der R$ 10,00 a João, ambos ficarão com amesma quantia de dinheiro. Entretanto, se Joãoder R$ 10,00 a Luís, Luís ficará com o dobro deJoão. Quanto tem cada um?

12. Num terreiro criam-se apenas porcos e galinhas.No total, há 40 animais e 100 patas. Quantosporcos são criados?

13. Com os números x e y, inteiros, fiz estas contas:

x y x2 7 y

170

Que números são esses?

Matemática, detetives e dedução

1. Quatro pessoas vão a uma reunião. A secretária anota a hora de chegada de cada uma delas, mas não seusnomes. Depois, descobre-se que a segunda pessoa a chegar (quem será?) cometeu um crime.As quatro pessoas são interrogadas. Apenas a primeira pessoa a chegar diz a verdade. A segunda a chegarmente para atrapalhar as investigações. A terceira e a quarta também mentem por medo de serem acusadas.Não se sabe quem diz a verdade e quem mente.

capítulo

7 GEOMETRIA DEDUTIVA

No item b, pode-se representar por x o número de qualquer uma das trêsbolas.

A partir das declarações das pessoas, deduza quem cometeu o crime.

Nos próximos circuitos, vale a mesma regra. Odesafio é descobrir os números dentro das bolas.No último, há duas soluções.

4

12

8

�3 –4

:2

38

215: 1

2–

25( )–.

+4 –2

:2

:2 . x

–3

a) b)

c)

+

Começando pelo12 e efetuando as

operações indicadas,você volta ao 12.

(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM281

282

2. Uma bancária, uma comerciária, uma dentista euma professora torcem para o Palmeiras. Sobreessas amigas, sabe-se que:• Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na caro-

na de automóvel.• O salário de Bela é maior do que o de Clara.• Freqüentemente, Ana vence Dália no xadrez.• A bancária vai sempre a pé para o trabalho.• A professora não mora perto da comerciária.• A única vez em que a dentista encontrou-se com

a professora foi no consultório, para o trata-mento de uma cárie.

• O salário da professora é maior do que o dacomerciária ou da dentista.Descubra as profissões das torcedoras do Pal-meiras.

3. Na figura, AÔB é um ângulo raso:

Prove que as bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔBsão perpendiculares.

4. Demonstre o seguinte fato:Dados dois números naturais consecutivos, a diferen-ça entre o quadrado do maior e o quadrado do menoré sempre uma unidade a mais que o dobro domenor. Por exemplo, dados 5 e 6, 62 – 52 = 2 × 5 + 1.Sugestão: use álgebra para demonstrar esse fato.

5. Considere três números naturais consecutivos.Prove que a soma deles é sempre um númeromúltiplo de 3.

Ângulos nos polígonos

6. A medida do ângulo interno de um polígono regu-lar é igual a cinco vezes a medida de seu ânguloexterno. Qual é o número de lados desse polígono?

7. Um polígono regular ABCDE... tem n lados. Osprolongamentos dos lados AB e CD encontram-seno ponto O. Sabendo que o ângulo BÔC mede 132° ,descubra o valor de n.

8. Considere um hexágono regular ABCDEF. Asbissetrizes dos ângulos internos de vértices A e Ccortam-se no ponto M. Descubra a medida doângulo AMCˆ .

9. Na figura, CP é bissetriz do ângulo ACBˆ . Descu-bra a medida x.

Ângulos na circunferência

10. Na figura, AB é diâmetro do círculo:

a) Qual é a medida do ângulo AÔB?

b) Qual é a medida do ângulo P do triânguloAPB? Explique sua resposta.

11. O círculo da figura tem centro em P. Se LKMˆ =35° , qual é a medida de LMKˆ ?

12. Na figura, se a = 31° , quanto medem b e c?

13. O círculo da figura tem centro em O.

a) Qual é o valor de a?

b) Determine b.

c) Calcule c.

AO

B

C

A

B

Q

C

70°

30°

x

P

A BO

P

L

M

K

P

a

b

c

130°

b O

a

c

(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM282

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


Paralelismo

14. Você sabe que duas retas paralelas cortadas poruma transversal formam ângulos corresponden-tes iguais.

Com base nesse fato, explique por que, na figura,valem as seguintes igualdades:a) x = y b) a + b = 180°

15. Na figura, M é ponto médio do lado AB e r // BC.

Que relação existe entre as medidas de:

a) AN e NC? b) MN e BC?

16. Na figura, r // s // t. Use o teorema de Tales ecalcule x.

17. Copie a figura em seu caderno. Depois, transcre-va apenas as igualdades que são verdadeiras:

a)

mn

xy

= d)

xm

yn

= g)

yn

zp

=

b)

mp

yz

= e)

nm

xy

=

c)

pn

zy

= f)

zp

mx

=

capítulo

8 MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA

Produção e proporcionalidade

1. Um mestre-de-obras foi até uma loja de ferragenscomprar 2 000 parafusos iguais. Em vez de contarum a um, o balconista colocou 10 parafusos emuma balança e verificou que pesavam 120 g. Fezos cálculos necessários e entregou ao mestre-de-obras 12 pacotes de mesmo peso. Quanto pesavacada pacote?

2. Oito costureiras produzem 320 agasalhos em seisdias de trabalho. Quantas costureiras seriam ne-cessárias para produzir 480 agasalhos em apenasquatro dias?

3. 1 m3 de certa madeira custa R$ 2 000,00. Umaprancha dessa madeira, com dimensões a, b e c,custa P. Em seu caderno, copie e complete a tabela:

a // b // c

a (m) b (m) c (m) P (R$)1 2 0,5 2 0002 2 0,5 ////////2 2 2 ////////

//////// 2 4 16 0001 //////// 1 16 000

4. Em determinada situação-problema, há três variá-veis: x, y e z. Sabe-se que x é diretamente propor-cional a y quando z é constante. Sabe-se, também,que y é inversa-mente proporcionala z, quando x é cons-tante. Em seu ca-derno, copie e com-plete a tabela, calcu-lando mentalmente:

s

ya

b

xr // s

A

N r

M

B

C

x

r

s

t

5 6

x + 2

p

m

n y

x

z

a

b

c

x y z 10 20 100 20 //////// 100//////// 30 100

15 15 ////////

15 //////// 5030 //////// 50

(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM283

284

Juros

5. Qual é a taxa de juros simples mensal que faz umcapital de R$ 30 000,00 render R$ 3 600,00 emum ano?

6. Um eletrodoméstico custa R$ 84,90 à vista. Aloja oferece outra opção de pagamento: pagarem 30 dias com um cheque pré-datado no valorde R$ 90,00. Nesse caso, que juro a loja estarácobrando?

7. Qual é o capital que produz o montante deR$ 22 320,00 a uma taxa de 4 % a.m. duranteseis meses?

8. Dorinha quer comprar um aparelho de som que custaR$ 322,00 à vista ou R$ 330,00 em duas parcelasiguais de R$ 165,00, a primeira a ser paga no atoda compra e a segunda a ser paga 30 dias depois.Embora tenha R$ 450,00 depositados na poupança,ela optou pelo parcelamento, porque a remuneraçãoda poupança seria de 0,98 % naqueles 30 dias.Feita essa opção, Dorinha ganhou ou perdeu di-nheiro? Quanto?

Problemas variados

9. Comprei uma mercadoria no valor de R$ 558,00,que deverei pagar em três prestações iguais, sen-do a primeira delas no ato da compra. O frete deR$ 40,00 é cobrado à parte e deve ser pago àvista no ato da compra. Qual é o valor de cadaum dos três pagamentos que devo fazer?

10. Copie e complete em seu caderno, calculando men-talmente:

a) 10 % de 480 dá .

5 % de 480 dá .

15 % de 480 dá .

b) 25 % de 800 dá .

75 % de 800 dá .

c) 22 em 50 é o mesmo que em 100.

22 correspondem a % de 50.

d) 1 em 5 é o mesmo que em 100.

1 corresponde a % de 5.

11. Escreva na forma de porcentagem:

a)

35100

e) 0,10

b)

3551 000

f) 0,01

c) 17 5100

, g) 1

d) 0,1 h) 1,15

12. Em meu colégio há 160 alunos de 8a série. Todosresponderam a uma pesquisa em que deveriamcitar dois astros da música. Veja o resultado: Jor-ge Benjor foi citado por 40 % dos alunos, Madonnapor 35 %, Caetano Veloso por 25 %, MichaelJackson por 20 %, etc.

a) Quantos alunos citaram Jorge Benjor?

b)

Você viu o que disse seu colega? Há algo er-rado na pesquisa?

c) O compositor Beethoven (1770-1827) foi ci-tado por 2,5 % dos alunos. Quantos são essesalunos?

13. Ao cobrar a energia elétrica fornecida aos consu-midores, as companhias de eletricidade acrescen-tam o imposto sobre a circulação de mercadorias.Em certos locais do país, o imposto correspondea 25 % do total a pagar, o que não é 25 % dovalor da energia fornecida, como seria de se es-perar. Veja por quê:

valor da energia + imposto = total a pagar x

Como o imposto incide sobre o total a pagar, temos:

valor da energia + 25 % de x = x

Nessas condições:

a) O valor da energia corresponde a que porcen-tagem do total a pagar?

b) O imposto corresponde a que porcentagem dovalor da energia?

Dica: considere x = 100.

(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM284

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


Medindo o que não se alcança

1. Qual é a altura aproximada da torre?

2. No triângulo retângulo ALI, a hipotenusa AL mede10 cm e o cateto LI mede 5 cm.

a) Calcule a medida do outro cateto, usando oteorema de Pitágoras.

b) Calcule tgÂ.

c) Qual é a medida de Â?

3. Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira?

4. Num certo instante, um muro de 1,82 m de alturaprojeta uma sombra de 6,80 m de largura.

Qual é, nesse instante, a medida aproximada doângulo ê de elevação do Sol?

5. No triângulo retângulo REI, E = 90° , RE = 10 cme EI = 21,4 cm.

a) Calcule tg R .

b) Qual é a medida aproximada do ângulo R?

c) Qual é a medida aproximada de I?

6. Responda em seu caderno:

a) Num triângulo retângulo em que um ângulomede 5° , o cateto oposto a ele corresponde aqual porcentagem do cateto adjacente a esseângulo?

b) Qual é essa porcentagem quando o ângulomede 45°?

c) E quando o ângulo mede 65° , qual é essa por-centagem?

Razões trigonométricas

7. Consulte as tabelas e encontre o valor aproxima-do da medida x.

a)

8. Na figura, vale a fórmula a ⋅ h = b ⋅ c, que você jáconhece. Vamos deduzi-la novamente usando ago-ra a trigonometria.

Em seu caderno, faça o seguinte:

• dê o valor de sen B no triângulo ABC;

• dê o valor de sen B no triângulo ABH;

• a partir do que você obteve, tire a conclusãopedida.

capítulo

9 TRIGONOMETRIA

Se quiser explorar mais oraciocínio dedutivo, pro-ponha que se demonstreque h2 = mn ou, ainda,

que tgB

sen B

cos Bˆ

ˆ

ˆ= .

18,3 m

1,7 m

35°

6,80ê

1,82 m

25°

10 cm5,7 cm

x

x

7 cm

b)

n m

bhc

B CHa

A35,5 m

1,6 m

25°

b = c

ab = c

=

=ccb

cb

ca

a

a

� a � a

� c � c

(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM285

286

9. Nesta figura, são conhecidos dois lados do triân-gulo e o ângulo formado por eles.

a) Copie a figura em seu caderno e desenhe aaltura perpendicular ao lado BC.

b) Use razões trigonométricas e calcule a medi-da dessa altura.

c) Calcule a área do triângulo.

10. Para vencer o desnível de 3,15 m, vai ser construí-da uma rampa com inclinação de 15° . Com quecomprimento a rampa ficará?

11. Num triângulo ABC, Â = 30° , B= 90° e AB = 6 cm.Calcule BC e AC. Para responder, use os valoresexatos das razões trigonométricas. Dê as respostasapós racionalizar os denominadores.

Polígonos inscritos e circunscritos

12. Em seu caderno, trace uma circunferência comraio de 5 cm. Divida-a em 10 partes iguais.

a) Desenhe o polígono regular inscrito de 10 la-dos.

b) Desenhe o polígono regular circunscrito de 5lados.

13. Um hexágono regular está inscrito numa circun-ferência com diâmetro de 18 cm.

a) Quanto mede o lado do hexágono?

b) Quanto mede cada uma das diagonais maio-res desse hexágono?

14. Em seu caderno, desenhe o triângulo eqüiláteroXIS, inscrito numa circunferência de centro O.Calcule diretamente a medida do lado do triân-gulo, supondo que o raio da circunferência é de5 cm. Escrevemos “diretamente” para que vocênão use resultados de problemas anteriores.

15. Um quadrado está inscrito num círculo de raio r.Calcule a área do quadrado em função de r.

16. Um hexágono regular está circunscrito a um cír-culo de raio r. Calcule, em função de r:

a) o lado do triângulo eqüilátero OAB;

b) a área do triângulo OAB;

c) a área do hexágono.

17. Invente um problema sobre polígonos inscritosem um círculo ou circunscritos a ele. Depois, re-solva-o.

No problema 14, o ob-jetivo é, mais uma vez,desenvolver métodos.Por isso, nesse caso, oaluno não deve apenasaplicar as fórmulas jáconhecidas.

capítulo

10 FUNÇÕESFunções, suas tabelas e suas fórmulas

1. Um taxímetro foi aferido de acordo com esta fór-mula:

a) O preço da corrida é função de que grandeza?

b) De acordo com a fórmula, uma corrida de 0 kmnão é gratuita. Por que não?

c) Se uma corrida custar R$ 22,50, quantos qui-lômetros o táxi rodará?

2. A primeira fila de um auditório tem 10 poltronas.Cada fila subseqüente tem duas poltronas a mais.

a) Quantas poltronas tem a décima fileira?

b) Se f representa o número da fileira e p é onúmero de poltronas na fileira, p é função def. Qual é a fórmula dessa função?

A

CB30°

12 cm

9 cm

15°

3,15 m

r

O

A B

c) Se a última fileira tem 100 poltronas, quantasfileiras tem o auditório?

y = 1,10 · x + 2,15

preço emreais

número dequilômetrosrodados

valor fixo dabandeirada

(282a286)MIL8PComp 9/1/06, 11:17 AM286

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


3. Este é um desafio! Observe a seqüência de figuras:

a) A figura 2 é formada por 10 palitos de fósfo-ro. Quantos palitos há na figura 5?

b) Quantos palitos há na figura 10?

c) Encontre a fórmula que dá o número P de pali-tos de cada figura em função de seu número n.

4. Somente uma das fórmulas corresponde aos valo-res da tabela. Descubra qual delas.

Funções e seus gráficos

5. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada pelafórmula y = 3x + 1, sendo x um número qualquer.

6. Esboce em seu caderno o gráfico da função dadapor y = x2 – 4x + 3, sendo x um número qualquer.

7. Quais são as coordenadas do ponto mais “baixo”atingido pela parábola que representa a funçãoda questão anterior?

8. O gráfico da função dada pela fórmula y = x2 – 8xé uma parábola. Determine as coordenadas dospontos em que essa parábola corta o eixo hori-zontal.

Usando funções

9. Determine o valor máximo de y na função dadapor y = –x2 + 6x.

10. Um reservatório cilíndrico de al-tura a (em cm), com capacidademáxima de 100 L, vai ser usadopela primeira vez. Para enchê-lo,abriu-se uma torneira que despe-ja 10 L de água por minuto.

Qual dos gráficos seguintes expressa corretamen-te a variação da altura x da coluna de água emfunção do tempo t?

11. Um reservatório cônico de alturaa (em cm), com capacidade má-xima de 100 L, vai ser usado pelaprimeira vez. Para enchê-lo, abriu-se uma torneira que despeja 10 Lde água por minuto.

Qual dos gráficos seguintes expressa corretamentea variação da altura x da coluna de água em fun-ção do tempo t?

a) y = x3 – 3x

b) y = x2 – 3x

c) y = –2x

d) y = x3 – 3x2

x y0 01 –2

–1 22 2

–2 –2

figura 4

2818

figura 3

figura 2

104

figura 1 a

x

a

10O

x (cm) (I)

t (min)

a

10O

x (cm) (II)

t (min)

a

10O

x (cm) (III)

t (min)

a

10O

x (cm) (I)

t (min)

a

10O

x (cm) (II)

t (min)

a

10O

x (cm) (III)

t (min)

ax

(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM287

288

12. Os recipientes cilíndricos A, B e C, que têm altura a e raios da base respectivamente iguais a r, 2r e 3r, estãovazios. As torneiras que os abastecem estão igualmente reguladas para despejar o mesmo número de litros deágua por minuto.

Os gráficos mostram a variação da altura x da coluna de água em função do tempo t. Associe cada recipiente aográfico correspondente a ele:

Simetrias

1. Observe a figura e sua ficha:

Faça a ficha destas figuras em seu caderno:

2. Faça em seu caderno um desenho à mão livre e,depois, a ficha da figura, como no exercício ante-rior:a) retângulo c) losangob) quadrado d) pentágono regular

capítulo

11 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Tem simetria axial (três eixos).Não tem simetria central.Tem simetria 120° rotacional.

3. Veja como se constrói a imagem do triângulo ABCpor uma simetria central de centro O. Repare quenão é preciso traçar ângulos de 180o.

Com base no exemplo, construa a imagem do qua-drilátero ABCD pela simetria de centro O. As me-didas ficam por sua conta.

a

A B C

a

e1 e2

e3

a)

b)

c)

d)

A'

C

A

C'

B'

B

O

A

C

O

D

B

a

bO

x (I)

t

a

9bO

x (II)

t

a

4bO

x (III)

t

(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM288

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


4. Tendo metade da figura e seu eixo de simetria,obtém-se a outra metade traçando perpendicula-res e medindo distâncias iguais.

Use esse processo para criar uma figura com umsó eixo de simetria.

5. Tendo metade da figura e um centro de simetria,faz-se a outra metade marcando distâncias iguais.O símbolo seguinte, que identifica uma certaempresa, foi criado segundo esses métodos:

Crie um símbolo com simetria central para umaempresa de transportes aéreos.

6. Este trabalho de arte óptica é 72° rotacional, ouseja, tem simetria de rotação de 72° . Faça emseu caderno um desenho desse tipo que seja 60°rotacional.

7. Observe a barra decorativa:

Nesta barra há:

a) Crie uma barra decorativa com translação esimetria axial.

b) Crie outra com translação e simetria central.

c) Agora um desafio: crie uma barra com trans-lação, simetria axial e simetria central.

Dá para construir?

8. Em seu caderno, desenhe:

a) um quadrilátero ABCD, com AB = 35 mm,BC = 40 mm, CD = 32 mm e DA = 31 mm.

b) outro quadrilátero, diferente do anterior, comas mesmas medidas para os lados.

9. Um triângulo está determinado quando os dadosconhecidos permitem construir um único triân-gulo. Aqui, não estamos levando em considera-ção a posição do triângulo. Quais destes triângu-los estão determinados?

a) AB = 7 cm, BC = 5 cm e CA = 6 cm.

b) AB = 50 mm e BC = 65 mm.

c) AB = 50 mm, B = 55° e BC = 65 mm.

d) AB = 6,5 cm, BC = 3,8 cm e CA = 1,4 cm.

e) B = 35° , BC = 6 cm e CA = 4 cm.

e

e

simetria axial translação

(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM289

290

10. Em cada caso, responda sim se os elementos for-necidos determinam a figura (sem levar em con-sideração sua posição). Em caso contrário, res-ponda não e apresente um argumento para justi-ficar sua resposta.

a) Quadrado cujos lados medem 40 mm.

b) Losango cujos lados medem 30 mm.

c) Pentágono regular de lados iguais a 6 cm.

d) Pentágono eqüilátero de lados iguais a 34 mm.

e) Triângulo eqüilátero cujos lados medem 25 cm.

f) Triângulo isósceles cuja base mede 5 cm.

11. Observe esta logomarca, construída a partir deum quadrado:

Quais medidas devem ser definidas para que essafigura fique determinada?

Desenhando em 3D

12. Desenhe em seu caderno a perspectiva de um blocoretangular, usando apenas um ponto de fuga.Imagine o bloco acima dos olhos e à esquerda doobservador.

13. Nessa perspectiva, a peça está à esquerda e abaixodos olhos do observador. Faça outra perspectiva

em que a peça esteja à direita e acima dos olhosdo observador. Desenhe também as arestas “es-condidas”.

14. Imagine uma pilha com nove caixas iguais, com aforma do bloco retangular. Desenhe em seu caderno:a) uma perspectiva da pilha usando dois pontos

de fuga;b) as três vistas simplificadas da pilha.

15. Observe a peça formada pela justaposição de umcubo com a metade de outro cubo:

Classifique cada afirmação como verdadeira oufalsa:

a) O plano da face ABCD é perpendicular ao pla-no da face ADHE.

b) A reta BC é paralela à reta EH.

c) O plano DCGH é perpendicular ao plano EFGH.

d) A reta AE é perpendicular à reta EF.

e) A reta AE é perpendicular à reta AD.

capítulo

12 CÍRCULO E CILINDRO

Perímetro e área do círculo

1. O raio de um círculo mede 5 cm. Calcule o valoraproximado:

a) de seu perímetro;

b) de sua área.

2. O diâmetro da Lua é de 3 476 km. Calcule o com-primento aproximado do equador lunar.


a) Usando os instrumentos de desenho, cons-trua uma figura como esta, formada por umquadrado e quatro semicírculos. Não vale usarpapel quadriculado.

b) Calcule a área aproximada da figura. Conside-re π ≈ 3,14.

c) Construa uma figura criada por você, mas quenão tenha apenas linhas retas.

H

E

G

CB

A

DF

(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM290

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


d) Calcule a área da figura que você inventou.

4. Considere duas circunferências concêntricas, cujosraios são medidos em metros. Suponha que a di-ferença entre seus perímetros seja de 1 m.

a) Calcule a diferença x entre seus raios.

b) Se r = 10 m, qual é o valor aproximado de x,em centímetros?

c) Se r = 10 000 m, qual é o valor aproximado dex, em centímetros?

d) Variando r, a medida x varia também?

Volume do cilindro

5. Estes desenhos representam a planificação da su-perfície total de um cilindro. Entretanto, apenasum deles tem dimensões coerentes. Use a régua edescubra qual é. Justifique a resposta.

6. Dois reservatórios cilíndricos têm a mesma alturae o raio da base do reservatório maior é o dobrodo raio da base do menor. Sejam C a capacidadedo maior; c a capacidade do menor; A a área dasuperfície total do maior; a a área da superfícietotal do menor. Classifique cada igualdade comoverdadeira ou falsa:

a) C = 2c c) A = 2a

b) C = 4c d) A = 4a

7. Quer-se construir um reservatório cilíndrico comdiâmetro da base igual a 2 m e cuja capacidademáxima seja de 50 000 L. Qual deve ser a alturado cilindro?

8. Com uma chapa metálica retangular de 1 m por 2 m,pode-se construir uma superfície cilíndrica de altura1 m ou uma superfície cilíndrica de altura 2 m. Calculeos volumes aproximados de cada um dos cilindroscorrespondentes.

capítulo

13 CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROSConjuntos

1. Observe o diagrama:

E: conjunto dos triângulos eqüiláterosI: conjunto dos triângulos isóscelesR: conjunto dos triângulos retângulos

De acordo com o diagrama, classifique cada afir-mação como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Todo triângulo retângulo é isósceles.

b) Alguns triângulos retângulos são isósceles.

c) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.

d) Todo triângulo eqüilátero é isósceles.

e) Nenhum triângulo eqüilátero é triângulo re-tângulo.

f) Nenhum triângulo isósceles é triângulo retân-gulo.

g) Alguns triângulos retângulos são eqüiláteros.

10 cm

O

r

R

x

(II)

(I)

E

RI

(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM291

292

2. A notação M (n) indica o conjunto dos múltiplosdo número natural n. Exemplos:

M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} M (0) = {0}

Em cada sentença, diga qual é o número natural x:

a) M (8) ∩ M (12) = M (x)

b) M (12) ∩ M (6) = M (x)

c) M (12) ∪ M (6) = M (x)

d) M (0) ∩ M (6) = M (x)

e) M (0) ∪ M (6) = M (x)

f) M (5) ∩ M (6) = M (x)

3. O conjunto {1, 2, 3} tem vários subconjuntos.Um deles é ele mesmo, pois {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3}.Outro é o conjunto vazio, pois ∅ ⊂ {1, 2, 3}. Nototal, o conjunto {1, 2, 3} tem oito subconjuntos.Escreva todos eles em seu caderno.

4. Escreva em seu caderno os cinco menores ele-mentos de cada conjunto:

a) M (5) ∩ M (6)

b) M (5) ∪ M (10)

c) M (10) ∩ M (6)

d) M (10) ∪ M (6)

5. No diagrama seguinte, cada ponto representa umelemento dos conjuntos A, B, C:

Assim, A tem 5 elementos. Diga quantos são oselementos do conjunto:

a) A ∪ B b) A ∩ B c) B ∪ C d) B ∩ C

6. Considere os conjuntos I, dos inventores e D, dosdistraídos.

a) Supondo que todo inventor é distraído, re-presente I e D num diagrama.

b) Nas condições do item a, quem não é distra-ído pode ser inventor?

c) Ainda nas condições do item a, quem não éinventor pode ser distraído?

7. O conjunto A tem 37 elementos. Sabendo que oconjunto A ∪ B tem 55 elementos e que o con-junto A ∩ B tem seis elementos, quantos ele-mentos tem o conjunto B?

Conjuntos numéricos

8. Copie o diagrama em seu caderno e indique neleos conjuntos R, I, Q, Z e N:

9. Diga a que conjunto(s) numérico(s) N, Z, Q, I ouR pertence(m):

a) o número zero;

b) os números usados em contagens;

c) os números que aparecem no visor de umabalança quando pesamos uma mercadoria;

d) o número que é a razão entre os comprimen-tos de uma circunferência e de seu diâmetro.

10. Em seu caderno, escreva na forma de fração estesnúmeros racionais:

a) 3,111... c) 0,606060...

b) –0,125 d) –4,137


a) Resolva estas equações em seu caderno:

(I) x2 – 5 = 0

(II) x2 – 7x + 20 = 0

(III) x2 – 7x + 11 = 0

(IV) x2 + 16 = 0

b) Em quais delas as soluções são números irra-cionais?

c) Quais das equações não têm soluções em R?

12. Faça os cálculos em seu caderno e responda simou não:

a) Se x = 2, o valor da expressão

13x –

é um

número inteiro?

b) Se x = 2, o valor da expressão x – 5 é um

número real?

c) Se x = 4, o valor da expressão

14x –

é um

número real?

d) Se x = 4, o valor da expressão

1

1x + é

um número irracional?

A B C

A B

Untitled-2 9/9/05, 4:06 AM292

Prob

lem

as e

exe

rcíc

ios

com

plem

enta

res


Reta numérica

13. Veja:

Diga qual é o ponto correspondente a:

a) − 1

3c)

16

e) −2 1

5

b) 13

d) − 11

5f)

− 5

3

14. O número 1 1

5 é igual a

65

, porque 1 1

565

+ = .

capítulo

14 TÉCNICA ALGÉBRICA

Produtos notáveis e fatoração

1. Copie e complete em seu caderno, usando os pro-dutos notáveis que você conhece:

a) 37 ⋅ 43 = (40 – 3) ⋅ (40 + 3) = – = ///

b) 422 = (40 + 2)2 = /+ /⋅ ⋅ +

=

c) 502 ⋅ 498 = ( + ) ⋅ ( – ) =

= – /= //

d) 9982 = (1000 – 2)2 == – ⋅ ⋅ + =

2. Efetue as multiplicações em seu caderno:

a) (x + 4)2 d) (mx + nd)2

b) (5x – 2)2 e) (a2 + b) (a2 – b)

c) (a + 5x) (a – 5x) f) (5ax + 1) (5ax – 1)

3. Em seu caderno, efetue as multiplicações e redu-za os termos semelhantes:

a) (x + 5) ⋅ (x + 5)2

b) (x + 5)3

c) (2x + 1)(2x – 1) – (2x – 1)2

d) (x + y) (x – y) – (x – y)2

4. Racionalize os denominadores das frações em seucaderno:

a)

3

3 1+b)

2

6 2+

Dê a fração correspondente a:

a) −3 1

4c)

18 1

5

b) 2 1

7d)

−3 14

100

15. Represente na reta numérica os conjuntosA = [–5; –3], B = ]2,5; 3[ e C = [0; 2[.

16. Quantos números inteiros existem em cada con-junto do exercício anterior?

17. Diga se é verdade (V) ou falso (F):

a) –5 ∈ [–5; –3] d) 2 ∈ ]2,5; 3[

b) –4 ∈ [–5; –3] e) 2,5 ∈ ]2,5; 3[

c) –1 ∈ [–5; –3] f) 2,625 ∈ ]2,5; 3[

5. Em seu caderno, fatore completamente:

a) x4 – 16 c) 12x2 – 3

b) 12x3 – 6x2 + 9x d) 8a2 + 24ab + 18b2

Equações fracionárias


a)

xx x+ –

–21 1

=

b)

112

215

1= –x

c)

32 1

1x

x–

–=

d)

31

4 21x x+

–+

=

e) xx x

xx

–+

+– –

12

22

442

=

7. Resolva o sistema de equações em seu caderno:

x y

x y

+

–

=

=

84 6 1

8. Um grupo de produtores rurais decidiu comprar umequipamento agrícola no valor de R$ 60 000,00.Depois de fechado o negócio, três deles nãopuderam honrar o compromisso e cada um dosrestantes foi obrigado a desembolsar R$ 1 000,00além do previsto. O grupo inicial era formado porquantos produtores?

9. A soma de dois números é 2 e a soma de seusinversos é 2,25. Quais são os dois números?

0–1 1–2–3

C D EBA

Untitled-2 9/9/05, 4:06 AM293

Exercicios 8ª

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