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Estruturas Hiperestáticas Planas P1 19/09/96 1ª Questão

Traçar o diagrama de momentos fletores e forças cortantes decorrentes de um resfriamento ∆T da barra CE da estrutura da figura abaixo. Considerar a deformação por força normal na barra CE ( E’S’ = 6EI/a2 ), e apenas a deformação por flexão nas barras AB e BCD ( EI ).

R.:

2

P1 23/09/95 2ª Questão

Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura abaixo. EI=cte.

R.:

3


Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura da figura quando o apoio D é submetido a um recalque horizontal δ da direita para a esquerda, conforme indicado. Considerar EI=cte.

R.:

4

P1 1991 1ª Questão Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura abaixo, quando

submetida a um acréscimo uniforme de temperatura ∆T ( desprezar as deformações por força normal ).

R.:

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Estruturas Hiperestáticas Espaciais P2 31/10/96 2ª Questão

Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura da figura abaixo. Observar que os apoios B e B’impedem apenas os deslocamentos na direção z.

R.:

7


A estrutura indicada na figura é submetida a uma força P perpendicular ao seu plano. Todas as barras da estrutura possuem a mesma seção transversal circular, com GIt=EI. Os apoios A e B impedem deslocamento na direção vertical, enquanto os suportes D e E impedem deslocamentos em qualquer direção e as rotações em torno dos eixos x e z. Traçar o diagrama de momentos fletores.

R.:

8

PR 23/2/95 1ª Questão

Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura abaixo, quando submetida a um acréscimo de temperatura uniforme ∆T na barra AB.

R.:

9


Traçar os diagramas de momentos fletores e de momentos de torção da estrutura da figura. A estrutura está em um plano horizontal, e a força P é perpendicular a este plano. Tem-se o mesmo produto de rigidez EI em todas as barras e GIt=EI.

R.:

10

P2 1993 1ª Questão

Calcular a reação de apoio em A e traçar o diagrama de momentos fletores. EI=GIt.

R.: RA=0,5084P

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Solicitações Combinadas P2 31/10/96 1ª Questão

Determinar a seção transversal da estrutura da figura em que atua a máxima tensão de compressão. Para esta seção transversal, determinar a máxima tensão de

R.:

σt,max=263 2

Pc

, e ocorre no ponto D; σc,max= −829 2

Pc

, ocorrendo no ponto F.

Ambas as tensões ocorrem em qualquer seção abaixo do ponto B da estrutura. P2 28/10/95 2ª Questão

Determinar a seção transversal da estrutura da figura em que atua a máxima tensão de compressão. Para esta seção transversal, determinar a máxima tensão de compressão, máxima tensão de tração e determinar a linha neutra.

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R.: A tensão máxima de compressão se dá no ponto 2 da seção, em A, e vale

σmax,c= − 6 3007 3,Pac

; a tensão máxima de tração se dá no ponto 2 da seção, em B, e

vale σmax,t= 6 3,3007Pac

; A posição da linha neutra, indicada na figura abaixo, vale

tanto para A quanto para B, pois o momento fletor é oposto em A com relação a B.

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Determinar as tensões normais σmax e σmin na viga da figura.

R.:

σmax = 203 3

Mc

*, e ocorre na seção S1, em PI; σmin = −

103 3

Mc

*, ocorrendo na seção S2,

em PII. Ps 09/12/91 2ª Questão

Determinar a máxima tensão de compressão na estrutura da figura abaixo. Sabe-se que Iy=c4/36 e que Iz=c4/48.

R.:

σc= − 20 3

Pac

e ocorre no ponto B da figura, numa seção imediatamente à esquerda do

ponto de aplicação do momento M*.

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Dada a figura abaixo, determinar: a) O máximo valor de F que não produza tensões de tração; b) O diagrama de tensões normais na seção mais solicitada.

R.:

a) F=2500 kgf = 25 kN. b) Ps 11/12/90 1ª Questão

Determinar a linha neutra e as tensões extremas na seção transversal junto ao engastamento. Sabe-se que I1=20688 cm4; I2=2434 cm4; Iy=19641 cm4; Iz=3481 cm4 e Iyz=-4245 cm4.

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R.: Equação da Linha Neutra: v = 5,14u-1,47 ; sendo u o eixo da linha (1) e v o

eixo perpendicular a u. σmax = 622 kgf/cm2; σmin = -1839 kgf/cm2.


Determinar a seção transversal da estrutura da figura em que atua a máxima tensão de compressão. Para esta seção transversal, determinar a máxima tensão de compressão, máxima tensão de tração e determinar a linha neutra.

R.: σc=-48,90 kN/cm2; σt=75,23 kN/cm2 e a linha elástica é um eixo inclinado de

31º com a horizontal ( sentido anti-horário ) que passa pelo centro de gravidade da seção.

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Materiais Não-Resistentes à Tração


A viga da figura abaixo é constituída de material cujas tensões admissíveis

valem σadm,t=0,2kN/cm2 e σadm,c=2,0 kN/cm

2. Calcule o maior carregamento

transversal P possível nas seguintes situações:

a) sem a força normal ( F=0 );

b) com a força normal centrada, indicando o valor de F;

c) com a força normal excêntrica, isto é, aplicada fora do centro de gravidade

G das seções extremas, indicando os valores de F e da excentricidade e.

Observação: se o mesmo valor de P for obtido com diferentes valores de F,

optar pela solução mais econômica (a menor força de protensão).

Dado: Iy=85000cm4.

R.:

a) Pmáx=7,6 kN;

b) Pmáx=35,2 kN e F=375kN;

c) F=375 kN, e=7,48 cm e Pmáx=49,87 kN.


Considere a viga da figura, constituída de material não-resistente à tração de

tensão admissível à compressão σ adm, c = 1,5 kN/cm2.

a) Calcule a menor força N que se deve aplicar no centro de gravidade da

seção extrema de modo que a estrutura resista à força transversal F = 9 kN sem o

aparecimento de fissuras;

b) Calcule a menor força N que se deve aplicar no centro de gravidade da

seção extrema de modo que a estrutura resista à força transversal F = 9 kN

permitindo-se o aparecimento de fissuras.

c) Admitindo-se agora que a força N determinada em a) possa ser aplicada fora

do centro de gravidade da seção extrema, calcule a excentricidade que maximiza a

capacidade resistente da estrutura, ou seja, que torna possível a aplicação da maior

carga F ( calcule também essa carga ).

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R.:

a) Nmín= 675 kN; b) Nmín= 285 kN; c) d=15cm , F=27 kN.


Calcular o maior valor de F que se pode aplicar na viga abaixo, constituída de

material não-resistente à tração, admitindo-se a fissuração. Dados: l=200cm b=10cm,

h=40cm; P=150 kN e σadm,c=1kN/cm2.

R.:

Fmax=15 kN.

PS 09/12/91 3ª Questão

Dada a viga da figura abaixo, de material não-resistente à tração, determine:

a) Os valores da excentricidade e e da altura h, de modo que a tensão nas

seções mais solicitadas não ultrapasse o valor σc= 100 kgf/cm2;

b) a coordenada x* que caracteriza o início da fissuração no balanço.

São dados: a = 100 cm; b = 40 cm; P = 10F = 90000 kgf

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R.:

a) e = 5cm , h = 60 cm; b) x* = 150 cm.


Dado o pilar da figura abaixo, determinar:

a) A coordenada x* a partir da qual ocorre fissuração;

b) A maior tensão de compressão no trecho x*<x<l;

c) A região fissurada.

Tem-se que: b=30 cm; ho=30 cm; l=200 cm; P=90 tf; F=0,125P

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R.:

a) x* = l/3 = 66,67 cm; b) σmax=120 kgf/cm2;

c)

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Flexão Composta em Barras Esbeltas e Flambagem P3 05/12/96 1ª Questão

Determinar a relação entre o momento fletor em A calculado usando a teoria de 2a ordem ( considerando as não-linearidades geométricas ) e o momento calculado usando a teoria de 1a ordem ( Pl/2, tracionando as fibras superiores ). Dado: P=4EI/l2.

R.:

MP

A

− =l2

1 253, , ou seja, o momento em A sofre um acréscimo de 25,3%.


Determinar a carga admissível P para o pilar da figura, sabendo-se que: a=100cm, E=1x104 kN/cm2, σy=5kN/cm2, e σp=4kN/cm2. Considerar um coeficiente de segurança γ=3 e as seguintes curvas para a tensão crítica:

σcr=πλ

2

2

E para λ λ≥ lim ; σcr=5

2

−�

��

�

��

λλlim

para λ λ< �

�

��lim

kNcm2 , onde λ =

l fl

i e

iIA

= . As expressões das cargas críticas encontram-se na figura.

R.: A carga admissível vale 35,2 kN

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Utilizando o sistema de coordenadas indicado na figura 1: a) Determinar a carga de flambagem do pilar da figura 1. O vínculo inferior é

de translação simples, isto é, só permite deslocamentos horizontais; b) Admitindo que no pilar da figura 1 atue também um momento M0, como se

indica na figura 2, determinar a linha elástica do pilar considerando os efeitos de 2a ordem. Determinar a carga crítica do pilar, comparando-a com a carga de flambagem do pilar do item a).

R.:

a) PEI

fl =π 2

24 l

b) v= ( ) ( ) ( )( )MP

tg kl sen kx kx0 1* cos+ − . PEI

cr =π 2

24 l. A carga crítica do pilar

do item b) é igual à carga de flambagem do pilar do item a). P3 3/12/94 2ª Questão

Calcule o deslocamento vertical do ponto A considerando o efeito dos momentos fletores provocados pela força normal na posição deformada ( efeitos de 2a

ordem ). Dado: P=125 2

��

��

��

EIl

. Sugestão: substitua o valor de P só no final.

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R.: vA=0,00501l P4 1993 3ª Questão

Calcular a carga de flambagem da estrutura da figura abaixo, sabendo-se que a barra BC é rígida.

R.:

PEI

cr =1 36

2

,l


Calcular o deslocamento horizontal do ponto A usando a teoria de 2a ordem e comparar com o resultado que se obtém com a teoria de 1a ordem quando P=0,06EI/l2.

Considerar, por simplicidade, que os esforços transmitidos por AB e BC se apliquem em ACD com as mesmas inclinações e módulos que teriam na estrutura indeformada.

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R.: Primeira ordem: vA=0,1100l; Segunda ordem: vA=0,1120l.

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Estado Duplo de Tensão Ps 13/12/95 2ª Questão

Determinar graficamente as tensões principais ( σ1 e σ2 ) e as tensões de cisalhamento τmax e τmin, bem como a direção de seus planos de atuação, para o ponto B da seção transversal à direita do meio do vão. Admitir que os vínculos representados trabalhem em todas as direções. Representar o plano transversal na direção horizontal do círculo de Mohr.

R.:

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Pr 23/2/95 3ª Questão

A viga da figura tem a seção transversal dada ao seu lado, disposta como se mostra no desenho da estrutura.

a) Determinar a seção da viga em que se tem a máxima tensão de tração na seção transversal;

b) Determinar o valor desta máxima tensão de tração em uma seção transversal da estrutura;

c) Determinar analiticamente as tensões principais do estado duplo de tensão que se tem no ponto P da seção transversal determinada no item a);

d) Utilizando o círculo de Mohr, determine as direções dos planos principais deste estado duplo segundo a visão do observador localizado na parte negativa do eixo y e que olha para o plano xz.

R.:

a) A seção em que se tem a maior de tração na seção transversal é a seção imediatamente à direita de C, pois é a seção em que, além de se ter os maiores momentos fletores, tem-se força normal de tração;

b) σt,max=23,93 kN/cm2; c) σ1=24,12 kN/cm2; σ2=-4,19 kN/cm2;

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d)


Dada a estrutura da figura abaixo, sabendo-se que Ir = πδR3 e que R±δ/2 = R, determinar:

a) A máxima tensão normal de compressão no plano da seção transversal; b) A posição do ponto C onde se verifica a tensão do item a); c) Com o emprego do círculo de Mohr, as tensões tangenciais τmax e τmin no

ponto C; d) As tensões em um elemento que se considere no ponto C com as faces

coincidentes com os planos onde se tem τ=τmax e τ=τmin. O ponto deve ser visto, como se mostra na figura, segundo a direção normal à superfície externa da barra.

R.:

a) σ=212

PRπδ

b) Tensões no ponto imediatamente à esquerda de C, na barra CD

23

c)

d)

Ps 11/12/94 2ª Questão

a) Determinar em que seção transversal da estrutura da figura se tem a máxima tensão de tração na seção transversal.

b) Calcular o valor desta máxima tensão de tração. c) Determinar as tensões principais do estado duplo de tensões que se tem no

ponto P da seção transversal determinada no item a). A posição do ponto P está indicada na figura da seção.

d) Utilizando-se o círculo de Mohr, indicar os planos em que atuam as tensões principais, segundo o ponto de vista do observador indicado no desenho da estrutura.

Iy = Iz = 3444 cm4. A = 84 cm2.

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R.: a) A máxima tensão de tração se dá imediatamente à esquerda do ponto

B, na barra AB. b) σmax = 22,08 kN/cm2. c) Na seção transversal da barra, tem-se: σP = -0,86 kN/cm2 e

τP = 4,67 kN/cm2. d)

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a) Calcular as tensões no ponto A da seção S, no plano da seção transversal; b) Calcular as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento mediante

o emprego do círculo de Mohr, imaginando que as tensões em A fossem σ=8 kN/cm2 e τ=3 kN/cm2, com os mesmos sentidos das tensões do item a);

c) Indicar o plano de atuação de τmax ( bem como as tensões nesse plano ) para quem observa a projeção da figura no plano YZ segundo a direção X, do lado de X crescente. Considerar neste item as tensões adotadas em b).

Dados: P=150 kN; l=150 cm; A=97 cm2; Ix=Iy=8600 cm4; Ixy=4900 cm4,

Iu=3700 cm4; Iv=13500 cm4. II I I I

I senrX Y X Y

XY=+

+−

−2 2

2 2cos θ θ ( vide figura

explicativa ).

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R.: a) As tensões no ponto A da seção transversal S são σA = -15,9 kN/cm2 e

τA = 16,1 kN/cm2. b)


Um sinal de trânsito de 2kN de peso é suportado por uma barra de aço ( peso de 1 kN ) cuja seção transversal está indicada na figura. A força máxima de vento horizontal que atua nesse sinal é estimada em 0,5 kN . Determinar as tensões principais no ponto A da extremidade engastada. Representar o estado de tensão no ponto através do círculo de Mohr, indicando as tensões na seção transversal, os planos das tensões principais e o pólo. ( vide figura abaixo )

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R.: As tensões na seção transversal em A são σ = -3,05 kN/cm2 e τ = 0,51 kN/cm2.

As tensões principais são σ1 = 0,08 kN/cm2 e σ2 = -3,13 kN/cm2. A representação do círculo de Mohr indicando as direções dos planos de

atuação destas tensões é mostrada abaixo, na escala aproximada de 1cm=0,5 kN/cm2.

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Critérios de Resistência P3 3/12/94 1ª Questão

a) Explique como é o critério de Tresca, que se emprega na análise de estruturas constituídas de materiais dúteis;

b) Considere o cilindro vazado de seção delgada da figura 1, submetido ao momento de torção T. Admitindo que o cilindro seja constituído de um material dútil com tensão de escoamento σe=24kN/cm2, determine o valor de T que, de acordo com o critério de Tresca, leva ao escoamento do material;

c) Supondo que no cilindro do item b) atue um momento de torção T=2000

kNcm e uma força normal de compressão N=-200 kN ( figura 2 ), determine, por meio do critério de Tresca, o coeficiente de segurança do cilindro com relação ao escoamento de seu material;

d) Explique como é o critério de Mohr-Coulomb, que se emprega na análise de estruturas constituídas de materiais frágeis;

e) Considere o cilindro vazado de seção delgada da figura 3, submetido ao momento de torção T. Admitindo que o cilindro seja constituído de um material frágil de tensão de ruptura à tração σrt= 1,5 kN/cm2 e tensão de ruptura à compressão σrc= -9,0kN/cm2, determine o valor de T que, de acordo com o critério de Mohr-Coulomb, leva à ruptura do material.

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f) Supondo que no cilindro do item e) atue um momento de torção T=250 kNcm e que em todas as suas faces cilíndricas - tanto a interna quanto a externa - atue uma pressão p= 1,1 kN/cm2, como se indica na figura 4, determine, por meio do critério de Mohr-Coulomb, o coeficiente de segurança do cilindro com relação à ruptura de seu material R.:

a) O critério de Tresca admite que o escoamento do material se dá quando a máxima tensão de cisalhamento atinge um valor limite. Como em um ensaio de tração simples a máxima tensão de cisalhamento é σT/2 e em um estado triplo genérico é σ σ1 3

2−

, a condição de segurança do critério de Tresca é τσ σ σ

max =−

≤1 3

2 2T ,

portanto γ =σ

σ σT

1 3−.

b) T=3583,77 kNcm; c) γ=1,61; d) O critério de Mohr-Coulomb admite que a ruptura do material se dá quando

o círculo de Mohr externo do estado duplo de tensão tangencia uma envoltória definida pelos ensaios de tração simples e compressão simples. Para que não haja ruptura do material os três círculos de Mohr representativos do estado duplo de tensão do ponto devem-se situar dentro da região hachurada na figura abaixo, não encostando na envoltória.

Tem-se τL=−

−σ σ

σ σC T

T C

e tanα= −+

−σ σ

σ σC T

C T2. A condição de segurança é expressa por

σ σσσ

σ1 3+ ≤rT

rCrT e, portanto, γ=

σ

σ σσσ

rT

rT

rC1 3+

. Em todas as expressões as tensões

são algébricas. e) T= 385,26 kNcm; f) γ=1,47

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