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Estatística Aplicada

Medidas Descritivas

Professor Lucas Schmidt

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Estatística Aplicada

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Classificação de variáveis

QuaLitativas (categóricas)

Descrevem qualidades (categorias, classes, atributos)

• Ordinais: há ordem entre as categorias. Exemplos:

• Grau de instrução (analfabeto, fundamental, médio, graduação) • Faixa etária (criança, adolescente, adulto, idoso)

• Nominais: não há ordem entre as categorias. Exemplos:

• Cores • Sexo (masculino, feminino) • Estado civil

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QuanTitativas (numéricas)

Seus valores são números.

• Discretas: enumeração, geralmente provindos de contagem. Assumem valores inteiros não negativos, ou seja, ∈!+ . Exemplos:

• Número de filhos de um casal • Quantidade de servidores de um órgão

• Contínuas: geralmente provindos de mensuração. Pertencem ao conjunto ! . Exemplos:

• Peso, altura, velocidade, tempo, tensão, potência, etc.

Descritivas das Variáveis QuanTitativas (numéricas)

Medidas de tendência central (posição)

• Médias (Aritmética, Ponderada, Geométria e Harmônica) • Mediana • Moda

Medidas de variação (escala)

• Amplitude • Variância e desvio-padrão • Coeficiente de Variação

Medidas de tendência central

Indicam o ponto central onde geralmente está localizada a maioria das observações.

Objetivo: representar o ponto de equilíbrio, centro ou ponto de concentração dos dados.

Estatística Aplicada – Medidas Descritivas – Prof. Lucas Schmidt


Média Aritmética

Média Ponderada


Média Geométrica e Harmônica

Média Geométrica =

Média Geométrica e HarmônicaMédia Geométrica = ! "# ∗ "% ∗ ⋯∗ "'Utilizada para calcular média de índices.

Média Harmônica ='

()(*

()+*⋯*

()!

Considera a dispersão dos dados (harmonia). Valores mais dispersosterão menor média harmônica e vice-versa.Utilizado para cálculo de escores de vestibulares.

Utilizada para calcular média de índices.

Média Harmônica =

Média Geométrica e HarmônicaMédia Geométrica = ! "# ∗ "% ∗ ⋯∗ "'Utilizada para calcular média de índices.

Média Harmônica ='

()(*

()+*⋯*

()!

Considera a dispersão dos dados (harmonia). Valores mais dispersosterão menor média harmônica e vice-versa.Utilizado para cálculo de escores de vestibulares.

Considera a dispersão dos dados (harmonia). Valores mais dispersos terão menor média harmônica e vice-versa.Utilizado para cálculo de escores de vestibulares.

Relação entre as médiasRelação entre as médias

Média Aritmética ≥Média Geométrica ≥

Média Harmônica

Propriedades da Média Aritmética

1) Em um conjunto de dados que não varia, ou seja, cujos valores são uma constante, a média será a própria constante.

Propriedades da Média Aritmética1) Em um conjunto de dados que não varia, ou seja, cujos valoressão uma constante, a média será a própria constante.

!" = 7, 7, 7, 7, 7 → !̅ = 7

2) Ao somar uma constante c a todos valores do conjunto dedados, a nova média será a antiga acrescida por essa constante.

!" = 4, 5, 7, 9, 10 → !̅ = 7!" + 2 = 6, 7, 9, 11, 12 → !̅ = 9 = 7 + 2

2) Ao somar uma constante c a todos valores do conjunto de dados, a nova média será a antiga acrescida por essa constante.

Propriedades da Média Aritmética1) Em um conjunto de dados que não varia, ou seja, cujos valoressão uma constante, a média será a própria constante.

!" = 7, 7, 7, 7, 7 → !̅ = 7

2) Ao somar uma constante c a todos valores do conjunto dedados, a nova média será a antiga acrescida por essa constante.

!" = 4, 5, 7, 9, 10 → !̅ = 7!" + 2 = 6, 7, 9, 11, 12 → !̅ = 9 = 7 + 2

3) Ao multiplicar uma constante c a todos valores do conjunto de dados, a nova média será a antiga multiplicada por essa constante.


3) Ao multiplicar uma constante c a todos valores do conjunto de dados, a nova média será a antiga multiplicada por essa constante.

!" = 4, 5, 7, 9, 10 → !̅ = 72!" = 8, 10, 14, 18, 20 → !̅ = 14 = 7 ∗ 2



4) Ponto de equilíbrio: a soma de todos os desvios em relação à média de um conjunto de dados sempre deverá ser nula.


4) Ponto de equilíbrio: a soma de todos os desvios em relação à média de um conjunto de dados sempre deverá ser nula.

! "# − "̅ = 0

"# = 4, 5, 7, 9, 10 → "̅ = 7

"# − "̅ =

4 − 7 = −35 − 7 = −27 − 7 = 09 − 7 = 210 − 7 = 3

Mediana (Md)

É a medida que divide um conjunto de dados ordenado em duas partes iguais: 50% dos valores ficam abaixo e 50% ficam acima da mediana.

Para obter a mediana, primeiro se ordena os dados (crescente ou decrescente), determina-se a posição (p) da mediana, e

Se n for ímpar, a mediana será o p-ésimo elemento.

Se n for par, a mediana será a média dos dois valores centrais.

Exemplo


Moda (Mo)

É o valor de maior ocorrência em um conjunto de dados.

Dentre as medidas de tendência central, a moda é a única que pode não existir, e existindo, pode não ser única. Exemplos:

Moda (Mo)

É o valor de maior ocorrência em um conjunto de dados.Dentre as medidas de tendência central, a moda é a única quepode não existir, e existindo, pode não ser única. Exemplos:

!" = 12, 8, 7, 5, 7, 4, 8, 8, 9 → Mo = 8!" = 8, 10, 14, 18, 20 → não há moda amodal!" = 9, 5, 4, 5, 7, 1, 2, 2 → Mo = 2 e 5 bimodal

Comparação da média e medianaComparação da média e mediana

Medidas de variação e dispersão

Objetivo: indicar quanto os valores diferem entre si ou quanto eles se afastam da média.

Complementam as medidas de tendência central.

Medidas de variação mais utilizadas:

• Amplitude • Variância • Desvio-padrão • Coeficiente de Variação



Amplitude (at)

Fornece a extensão dos dados.

É obtida pela diferença entre o maior valor e o menor valor da amostra.

Interpretação: todos valores do conjunto de dados se diferem, no máximo, no valor da amplitude.

Desvantagens: é pouco precisa e é extremamente influenciada por valores discrepantes.Amplitude (at)

Variância (s2)

É a medida de variação mais utilizada, pois possui propriedades estatísticas importantes para a inferência.

Leva em conta todos os valores da amostra.

Considera o desvio da média como unidade básica da variação:

Variância (s2)

É a medida de variação mais utilizada, pois possui propriedades estatísticasimportantes para a inferência.Leva em conta todos os valores da amostra.Considera o desvio da média como unidade básica da variação:

!" − !̅

Lembrando que: ∑ !" − !̅ = 0!" = 4, 5, 7, 9, 10 → !̅ = 7

!" − !̅ =

4 − 7 = −35 − 7 = −27 − 7 = 09 − 7 = 210 − 7 = 3

Lembrando que: ∑ 𝑥𝑥# − �̅�𝑥 = 0𝑥𝑥# = 4, 5, 7, 9, 10 → �̅�𝑥 = 7

𝑥𝑥# − �̅�𝑥 =

4 − 7 = −35 − 7 = −27 − 7 = 09 − 7 = 210 − 7 = 3


Desvio-médio absoluto

É média dos desvios absolutos.

Desvio-médio absoluto

É média dos desvios absolutos.

∑ "# − "̅&

Possui pouca aplicação prática.Possui pouca aplicação prática.

Desvio-médio quadrado = Variância

O cálculo da variância amostral será dado por:

Desvio-médio quadrado = Variância

O cálculo da variância amostral será dado por:

!" = ∑ %& − %̅ "

) − 1em que cada desvio possui como peso sua própria distância da média.Possui propriedades estatísticas interessantes.Soma apenas valores positivos.

em que cada desvio possui como peso sua própria distância da média.

Possui propriedades estatísticas interessantes. Soma apenas valores positivos.

Exemplo: minutos para executar uma tarefaExemplo: minutos para executar uma tarefa



Propriedades da VariânciaPropriedades da Variância

Cálculo da Variância


Desvio-padrão (s)É definido como a raiz quadrada positiva da variância:

! = !#Exemplo: minutos para executar uma tarefa

!# = 2205 = 44 min²

! = 44 min² = 6,6333 min

Desvio-padrão (s)

É definido como a raiz quadrada positiva da variância:




!# = 2205 = 44 min²

! = 44 min² = 6,6333 min

Exemplo: minutos para executar uma tarefa




!# = 2205 = 44 min²

! = 44 min² = 6,6333 min


Coeficiente de Variação (CV)Coeficiente de Variação (CV)

Medidas de formato

O formato é um aspecto importante de uma distribuição. Está relacionado com as ideias de simetria e curtose.

A simetria em torno do eixo indica que o formato da distribuição à esquerda e à direita é o mesmo.

A curtose está relacionada com o grau de concentração das observações no centro e nas caudas da distribuição.

Coeficiente de Assimetria

Informa se a maioria dos valores estão localizados à esquerda da média, à direita, ou se estão distribuídos uniformemente.

Seu cálculo é dado pela fórmula abaixo e indica o grau e o sentido da assimetria.



Coeficiente de Assimetria

Informa se a maioria dos valores estão localizados à esquerda damédia, à direita, ou se estão distribuídos uniformemente.Seu cálculo é dado pela fórmula abaixo e indica o grau e osentido da assimetria.

Classificação quanto à simetriaClassificação quanto à simetria


Coeficiente de Curtose

Indica o grau de achatamento de uma distribuição.

Classificação quanto à curtose

Se a4 < 3 → platicúrtica: baixa concentração de valores no centro, tornando a distribuição achatada.

Se a4 = 3 → mesocúrtica: concentração equilibrada.

Se a4 > 3 → leptocúrtica: alta concentração de valores no centro que provoca um alto pico.

Classificação quanto à curtoseSe !" < 3 →platicúrtica: baixa concentração de valores nocentro, tornando a distribuição achatada.Se !" = 3 →mesocúrtica: concentração equilibrada.Se !" > 3 → leptocúrtica: alta concentração de valores nocentro que provoca um alto pico.


Questões

1. (FCC – 2016 – TRT 20º Região)

Seja uma população formada pelos salários, em R$, dos empregados de uma empresa apresentando uma distribuição unimodal. Com relação às medidas descritivas, é cor-reto afirmar que

a) se for concedido um aumento fixo de R$ 1.024,00 para todos os salários dos empregados, então o respectivo novo desvio padrão fica multiplicado por 32.

b) se um empregado da empresa que ganha um salário exatamente igual à media dos salários de todos os empre-gados é demitido, então os valores da nova média e da nova variância dos em-pregados que continuaram na empresa não se alteram.

c) subtraindo de todos os salários dos em-pregados um valor constante igual à média de todos os salários verifica-se que nova média e a nova variância são nulas.

d) um aumento de 10% para todos os sa-lários dos empregados significa que o respectivo novo coeficiente de variação permanece inalterado.

e) se a curva de frequência corresponden-te à distribuição dos salários for carac-terizada como platicúrtica, então a mé-dia é inferior à mediana e a mediana é inferior à moda.

Gabarito: 1. D

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