MEDIDAS DE DISPERSÃO E

VARIABILIDADE

Professor: Wildson Cruz

Disciplina: Fundamentos da Estatística.

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VARIABILIDADE

• Do mesmo modo que as medidas de tendência central

nos dão informações acerca da semelhança existente

entre as medições, as medidas de variabilidade

informam-nos acerca de como os resultados diferem ou

variam. As medidas de variabilidade são cruciais em

educação, uma vez que nos dão informação vital acerca

de um dos temas fundamentais da Psico-pedagogia – as

diferenças individuais.

A AMPLITUDE

Uma forma de descrever a variabilidade em qualquer

distribuição de resultados é calcular a amplitude (A).

A amplitude é a diferença entre o resultado mais

elevado e o resultado mais baixo, e constitui uma

medida da extensão total da distribuição.

A amplitude é representada por um único valor.

Por exemplo, se o resultado mais alto numa distribuição

de QI for 140 e o resultado mais baixo for 60, então A é

igual a 80.

DESVIO-PADRÃO

• O DESVIO-PADRÃO (DP): Representa a essência do

conceito de variabilidade. Embora a amplitude seja

importante, ao dar algum significado a um conjunto de

resultados, tem uma limitação bastante significativa:

baseia-se em apenas dois resultados, o mais elevado e o

mais baixo. O desvio-padrão, pelo contrário, toma em

consideração todos os resultados existentes na

distribuição. Por conseguinte, o desvio-padrão é uma

medida de variabilidade que indica o grau em que todos

os valores de uma distribuição se desviam da média.

DESVIO PADRÃO

• Quanto maior for o valor numérico do DP, mais os valores

se distanciam da média. Quanto mais pequeno o valor

do DP, menos os resultados se distanciam da média,

agrupando-se mais estreitamente à sua volta.

Uma distribuição com um desvio-padrão baixo diz-nos

que o grupo que está a ser medido é homogéneo

enquanto uma distribuição com um desvio-padrão

elevado descreve um grupo heterogéneo de resultados.

O desvio-padrão, ou desvio típico, é sempre expresso por

um único valor.

Para se calcular o DP, seguem-se os seguintes passos:

Amplitude, range ou intervalo

É expresso pela diferença entre o maior e o menor valor num grupo, ou

pela identificação desses dois números.

números

intervalo

diferença do menor ao maior

(1 ; 5 ; 7 ; 13)

(14 ; 3 ; 17 ; 4 ; 8 ; 73 ; 36 ; 48)

(3,2 ; 4,7 ; 5,6 ; 2,1 ; 1,9 ; 10,3)

13 – 1 = 12

73 – 3 = 70

10,3 – 1,9 = 8,4

de 1 a 13

de 3 a 73

de 1,9 a 10,3

Medidas de Dispersão

NOTAÇÃO

Característica amostra população

Somatório de um conjunto de valores

Valores individuais dos dados x i x i

Número de valores (tamanho do conjunto) n N

Média aritmética

Desvio padrão s

2 s 2 Variância

Range (amplitude) R -

x

Notações Estatísticas

Variância

A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada.

S x

2 = n - 1

(x i - x )2

n – 1 amostra

n população

ATENÇÃO

S x2 =

n - 1

( x i )2 / n x i

2 - OU

Medidas de Dispersão

Variância

Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10.

A média desse conjunto é 6.

6

6 + 2

4

4

x i x x i - x (x i - x ) 2

2

4

6 8

10

6

6

- 4 6 - 2

0

+ 4

0

16

16

somas 0 40

40 S x

2 = n - 1

(x i - x )2 =

5 - 1 = 10

Se esses valores representassem

toda a população, a variância

seria 40/5 = 8.

Medidas de Dispersão

39,24

8,228,22.

15

1.

1

12

n

i

i XXn

SLogo :

i Xi (Xi - X ) (Xi - X )2

1 1 (1 – 3,8) = -2,8 (-2,8)2 = 7,84

2 2 (2 – 3,8) = -1,8 (-1,8)2 = 3,24

3 4 (4 – 3,8) = 0,2 (0,2)2 = 0,04

4 5 (5 – 3,8) = 1,2 (1,2)2 = 1,44

5 7 (7 – 3,8) = 3,2 (3,2)2 = 10,24

X = 3,8 8,225

1

2

XX i

Médias e Desvio-padrão - Exemplos

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Desvio Padrão- Cálculo

X X²

15 225 X = ∑X/N = 72/8 = 9,00

12 144

10 100 DP = √ ∑X²/N - X² = √ 748/8 – 9,00²

9 81

9 81 = √ 93,50 – 81,00 = √ 12,50

8 64

7 49

2 4

__ ___

72 748 DP = 3,535 = 3,54

1. Some os X´s para obter ∑X

2. Divida por N para obter X

3. Eleve ao quadrado cada X para obter X²

4. Some esses quadrados para obter ∑X²

5. Divida o valor de ∑X² por N e subtrair o quadrado da

média, X².

6. Extraia a raiz quadrada para obter o DP

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Propriedades • MODA:

• FÁCIL DE INTERPRETAR E FÁCIL DE DETERMINAR

• NÃO É INFLUENCIADA PELOS EXTREMOS

• PODE PÔR EM EVIDÊNCIA A HETEROGENEIDADE DUM GRUPO

• NÃO TEM EM CONTA TODOS OS DADOS

• NÃO SE PRESTA A TRATAMENTO ALGÉBRICO

• VARIÂNCIA (Média dos quadrados dos desvios)

• É UMA BOA MEDIDA DE DISPERSÃO

• É SEMPRE POSITIVA

• NÃO TEM A MESMA UNIDADE QUE OS DADOS

• DESVIO PADRÃO

• UMA DAS MAIS USADAS MEDIADS DE DISPERSÃO

• É SEMPRE POSITIVA

• TEM A MESMA UNIDADE QUE OS DADOS

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