UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

, , ~INSTITUTO DE FISICA E QUIMICA DE SAO CARLOS

ESTADOS COERENTES DE FONONSE

EFEITO MÓSSBAUER

GILMAR EUGENIO MARQUES

(Traba lho apresentado ao Instituto de, • I • _

Flllca e QUlmlca de Sao Carlos t

USP.para a obtenção do título de

Mestre em Física.)

Orientodor:Dr. ROBERTO LOBO

DEPARTAMENTOI _

DE FISICA E CIENCIAS DOS MATERIAIS

SÃO CARLOS -1976

ESTADOS COERENTES DE FONONS

E

EFEITO M~SSBAUER

GUmM Eu.genio MaJtque.6

01(.., ,

ORIENTADOR~ proi. Ro~erto Lobo

A REGINA

Aa3 MEt5 PAIS

Este trabalho foi realizado cem o ~io financei ro da UFSCAR.

- 5 -

INDlCE

#

Agadeci..IrentosResunoAbstract

Introdução ••• ..............................................................

7

9

1113

eapi tulo I - Estados Coerentes de Fonons:

................................

............... ' .

..................................................................

LIL2I.3L4

Quantização das vibrações de um cristalFunções de coerência e correlaçãoEstados coerentes

Propriedades dos estados coerentes

.......................... 17

23

27

29

Capitulo II - Efeito M)ssbauer:

...................................................................... , .

.........................................................................ILlII.2

IL3IL4IL5

IntroduçãoTeoria do efei to ~ssbauer em sólidos

secção de ch<XFJecálculo de F (k, t) para um sólido haJ:nÔnico ••••••••••••••••••••.ssecção de cOClquer-&sbauer para um sólido de Debey ••••••••••••••

33

38

42

46

48

Capitulo III -

~ de Fb]d{er-PlallCk.'••.•.•.•.•.••...•.•.•.•.•.•.•.•.•••.•.•.•.•.••.•.•.•.•.•.11I ••••••••••••••

Solu.ç.ãc>da ~ de F'okk.er-PlallCk.•.•.•..••.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.•.••.••.•.•.•.li - S;' "sbAp caçao élC) eLe1.to l-Ds auer "

IILl

III.2III.3IIL4

~ador evolução e operador criação. de estados coerentes ....... 53

57

61

69

.................... ~ " " " .earentários

- ReferênciasGerais e SUgestões ............................... " '" " ~ . 75

79

- 7 -

- PD Prof. R:berto Id:::lo,pela sugestão, orientação e ati tme científicamitida.

trans

- Â UFSCAR, pelas ccn:lições e facilidades prq:x:>rcialadasafim de que este trabalho pu:3esseser realizado.

- h:>s colegas do J:epartanento de Física da UFSCAR, pelo ótim:>arrbiente de trabalho, emespecial ao Prof. Ra.:i.m.mdc Alexandre Tavares de Lima, pelas provei tQ.

sas discussões.

- PD IEQ tEP - SÃOCARJ:a3 e ao quadro de Professores, respcnsáveis por minha formação, a:n seus excelentes cursos.

- A Srta. IDreni. B. Pereira, pela paciência e excelente trabalho de datilografia.

- Enfim, a todos élq1Elesque de forma direta ou i.rdireta ocntribuiram para que

fosse possível a realização deste trabalho, a minha grati~.

- 9 -

RESUMO

Neste trabalho introduzimos a representação de estados

coerentes de fonons e desenvolvemos o formalismo para o tratamento

do campo sujeito a excitações lineares. Obtemos a equação de Fokker­

Planck para a função distribuição associada ao operador densidade

assim como as amplitudes dos estados devidas à excitação.

Como aplicação, usamos a interação foton-núcleo para o

estudo de algumas propriedades fundamentais do efeito MOssbauer •

Obtivemos, de uma maneira muito simples, a energia e o momento li­

near transferidos ao cristal devido à absorção ou emissão de um

raio gama e a relação entre o operador criação do estado coerente- +

113> e a funçao de espalhamento F (k,t).sMostramos claramente que o efeito MOssbauer é devido a

transições de zero-fonons. O efeito da temperatura sobre probabil~

dades de transições e sobre medições também aparece de um modo cla

ro.

- 11 -

We introduce the representation of coherent states of

phonons and deve10p the procedures to treat the fie1d with linear

excitation.

We obtain the Fokker-Planck equation of the distribution

function associated with the density operator as well as the

amplitudes of the states due to the excitation.

As an application, we use the interaction photon-nucleus

in the study of some fundamental properties of Môssbauer effect. We

obtain, in a very simple way, the energy and linear momentum

transferred to the crystal due to absorption or emission of a gamma­

ray and the connection between the creation operator of the Ia>-+-

coherent state and the scattering function F (k,t). We show clear1ysthat Môssbauer effect is due to zero-phonons transitions. The effect

of temperature on transition probabilities and measurements arises

in a clear way.

- 13 -

INI'R)DUÇÃO

Querenos fazer, aqui, alguns a:rrentários de foma a dar ao leitor urravisão geral do trabalho desenvolvido bemCOIID dos objetivos e rrotivações que nosorientam. No final desta introdução apresentarenos umresurcode cada capÍtulo salientando o ronteúdo básico.

çoes:Na realização deste trabalho faros guiados pelas seguintes rrotiva

a) Uma rápida pesquisa bibliográfica mostrou-nos a representaçao de

estados coerentes para os campos de fótons e magnons, introduzidas

respectivamente por R.J. G1auber(2) (1963) e S.M. Rezende e N. Za

gury(ll) (1969). Após as modificações necessárias foi imediato e~

tender a representação ao campo de fonons. Os estados coerentes de

fonons tinham as mesmas características daqueles encontrados por

R.J. Glauber. Assim, deixamos de apresentar muitas demonstraçõesde

propriedades, pois seriam meras repetições de um trabalho extensi

vamente discutido por aquele autor.

b) A simples extenção da representação ao campo de fonons não justifi,

caria este trabalho. Por outro lado não existe muitas aplicações,

usando esta representação, no tratamento de problemas relaciona

dos com os campos de fótons e magnons. Entaõ, buscamos um probl!:,

ma concreto no qual pudessemos mostrar uma aplicação prática.Após

uma análise detalhada das propriedades e características notamos

que poderíamos estudar algumas características fundamentais do

"Efeito MHssbauer". Isso obrigou-nos um estudo detalhado de:

- Processos de geração de umestado coerente sujeito a várias exCltações externas. Neste trabalho analisam::>sos seguintes prDce~sos:

jestado fundamental>

lestado fundamental>

Excitação ~ !estado coerente>Externa

(T Ia O)

Excitaçao ~ lestado coerente>Termica (Térmico)

- 14 -

I f d Exc. I Exc. \ dest. un.> T- • > est. coer.> E t > esta o coer.>---.-- x erna(Térmico) (Superposto)

- Probabilidades de Transições de Fonons:. (5) -

Usarrosa abordagemdevlda a "VanHooves" estudando umafunçaoconvenienteJ'IeI1tedefinida. Emparticular estavam interessados emtransições de zero-fonons, pois esta contribuição é a respons~vel pelo Efeito M8ssbauer. O principal resultado obtido nestetrabalho foi a denonstração de que a secção de choque M8ssbauerera devida a transições de zero-fonons.

- Estudamostambémas transferências de energia e rromento linearao cristal devido a emissão ou absorção de umfóton-gama por 1..Un

núcleo da recte.

c) Quando nos aprofundamos nos mistérios desta representação podemos

notar algumas semelhanças com outros formalismos. Gostaríamos de

chamar a atenção para os seguintes fatos:

As soluçõesdistribuiçãoestados dos

- Ouso da representação de estados coerentes leva, de maneira automática, às equações de Fokker-Planck Langevin.destas equações fornecemrespectivamente: a funçãoassociada ao operador densidade e as amplitudes dosestados gerados pela excitação.

As "funções de correlação" através ciosquais são definidos os e§.tados coerentes têm propriedades semelh9I1tesàs "funções deGreen". Uma.das mais fortes serreThançasestá relacionada com oteorema.de Wick;

"lhn3. função de correlação de segunda ordemdecompÕe-seem umacombinaçãode produtos de funções de correlação de prineira o!:,demquando a função associada ao operador densidade é "gaussiana". Emordens superiores esta decomposiçãodependere do "grau cE

coerência" do campode fonons".

- Um"estado coerente" corresponde a urra "transformaçãode 1..Un conjunto de estados ortono:rnalizados (númerodeaum conjunto de estados normalizados e não-ortogonaiscoerente) .

canônica"

ocupação)(estado

- 15 -

~SUK> POR CAP!'IUI.O

CAPITULO ICateçanos can quantização das vibrações da rêde até abte:rm:s os oper~

dores convenientes para a definição de "função de oorreléÇão". DefininDs e coI'lê.t.ruiIros umestado coerente e apresentaIros algumaspropriedades. Danosênfase naquelas que cx:nsideranos iIr;:ortantes.

CAPITULO IINeste capitulo apresentarros o "Efeito M3ssbauar"usando as aborda~

convencionais. O cbjetivo desta apresentéÇào é condensar umnÚIlerode reléÇões einfonnações necessárias para uso no Capitulo IU. Procuranos dar o rráx:ino possivel de detalhes afim de facilitara leitura àquales não familiarizados com talfenâreoo.

CApITULO IIIEste é o centro deste trabalho. Aqui analizanos os processos de ger~

ção de lIestados coerentes" usando dois pontos de vista. O priIreiro deles, baseadoem~ca Quântica, onde usanos a analogia entre operador evolução tarp:>ral eoperador criação de estaio coerente. O outro ponto de vista, baseado em M3cânicaEstatística, onde usanos as conhecidas abordagens através das equações de Fokker­-Planck e Langevin.

Este segundoponto de vista fornece tcx:1osdetaThes sobre os processosalém de incluir a tenparatura ccm::>parânetro, o que é muito :irrp:>rtantena ~~sedo Efeito M3ssbauer. Esta fonra de aborda<}:mlparece abrir umextenso canp:> deaplicação para a representação de estados coerentes.

- 17 -

CAPLTULO I

ESTADOS COERENTES DE FONONS

1) Quantização aas vibraçôes de um cristal

Vamos admitir que temos um cristal constitu!do ae uma•••••• -+- ...••.

rede com N celulas unitarias e uma base com p-atomos. Sejam al, a2,

ã3 os vetores de base. Assim o cristal terá dimensões Nil~1 e pos­

suirá N=N1N2N3 células unitárias e portanto pXN átomos cujo númerode graus de liberdade será 3pXN.

Vamos definir também ~ (l) como ó deslocamento da posi­sçao de equil!brio do s-ésimo átomo da t-ésima célula unitária, tal......que o estado de equil!brio do cristal corresponda a todos us(~)= O.

SeJa também v(~s(l») uma função que expressa a energia

potenciaa. do cristal em função dos deslocamentos das posições de e­

quil!brio.

A energia cinética pode ser escrita como

(I-LI)

onde m é a massa ao s-ésimo átomo.sUsando a teoria de "pequenas vibrações" podemos expandir a energia

potencial em torno das posições de equilíbrio e reter apenas o ter­

mo harmônico, isto é:

V = E

s li I j I( . a2v

. -

o

(1-1.2)

...onde u~ (i.) são as componentes cartesianas. Podemos reescrever (1-1.2)como:

V = E

sl,l',j'(I-L 3)

- 18 -

Como as forças devem depender apenas da d1ferença l'-l=ff temos

jj'<:> =sl, s <t.'

jj'<%> (li)ss'

(I-l.4)

A equação (I-l.3J ficará

v= E-+

s'j'h

.. ,JJ -+ j T j' -+<%> (h)u (.t:.)u, cl+h)ss' s s

(I-I.5)

Pelo formalismo Lagrangeano, ternos as equações de movimento

E .•s',J',h

jj' -+ j' T-+<:> (h)u, (.t:.+h)= Oss' s

(I-I.6)

Como a rede deve possuir s1metria de translação, podemos tentar so

luções da equação (I-I.6) na forma:

Por outro lado, escolhendo cond*çõe~ de.• T .• T .• iq N au (.t:.)=u (.t:.+Na),devemos ter e • i i =

s _s .•restriçoes sobre q:

(I-I.7)

contorno cIelicas, isto é,

1, que impõe as seguintes

ou (I-I.a)

onde ni é um número inteiro.

Se,por conveniênc1a, introduzimos o vetor recIproco 9i definidopor

(I-I.9)

Temos assim

- 19 -

(I-1.10)

Logo a solução de (I-l.8) será

+q =

3E

i=l(I-1.11)

onde ni fica restrito a

Ni Ni- -- <n < -- (i=1,2,3)

2 1 2(I-1.12)

Levando (I-1.7) em

(I-1.12), temos:

+ • -(I-1.6) com q sUJeito as restriçoes (I-1.11) e

E

, ., -+-hs , J ,

E

s' j ,.. ,JJ + + -+-

~ (n) ei (q.h)ss'

2 .- m w uJ (t) = Os q s (I-1.13)

Definindo

.. ,JJ •.•

4> (q) = 1:ss' ri

.. ,JJ ..••.•• -

Õ (h) eiq.hss'

(I-1.14)

que é a chamada matrlz dinâmica do sistema; vem:

jj'

. ,- m w2uj Ci)E ~ (q)uJ ,<Z) = Os ''i '

ss'Ss q S

J

(I-1.15)

As componentes cartesianas ê;(q) são determimadas por

E

s' j'(I-1.16)

- 20 -

·remos assim um problema de auto-valores, com um número limitado de

equações a resolver, isto é, as propr~edades de 1nvariãncia trans­

lacional permitem diminuir o número de equações de 3pN para 3p,

pois sendo as células identicas na estrutura, as informações dinâ­

micas do cristal são obtidas estudando o que acontece em apenas uma

célula unitária.

Para encontramos as frequências próprias de vibração devemos então

resolver a equação secular:

(v=l•.. 3p) de forma

determina um vetor. ~a

(1-1.7) o deslocamento

. ,JJ -+ 2 , 1 Odet I ~ (q) - ms w 8ss' Cj J ' =ss'

Esta equação determina 3p frequências wv(q)

que para cada frequência, a equação (1-1.16)

ra cada vetor assim determinado teremos por

próprio na forma

(1-1.17)

(1-1.18)

Podemos expressar o deslocamento real do sistema como uma combina~

ção linear (supérposição) de todos os deslOoamentos próprios, isto

- 3-+e, para todo v=l ... p e todo q. (i=l.••N), temos:~

~t

li (lt) = r [ 11 ] ê (q) l a ei(q.l-w (q)t +s' q-+ 2m Nw (q) vs qv vv, s v

(1-1.19)

onde as a são as amplitudes de cada modo próprio e os coeticientesqv .são escolnidos convenientemente para satisfaze.r condições de compl~

teza e ortonormalidade do conjunto {ê" (q)}.-+ 1 vSO momento linear p ( ~t) pode então ser obtido na forma:s

P (l,t) =S1i

*a\)q

-i (~.t-w (q) t) 1e \!)

(I-1.20)

A Hamiltoniana do sistema pode então ser obtida, de (I-l.19) ,

(r-l.20) e (1-1.15), sabendo-se que:

1N

(1-1.21)

(I-L 22)r a a* + a* a 1. vq \!q \!q \!qJH = L

v q,

Obtemos assim a seguinte expressao

1iw·v (q)

2

que é uma hamiltoniana de 3pN osciladores harmônicos independentes.( 1)

A quantização desta hamilton1ana é imediata se fize~ a oorre~

dência entre as amplitudes a e os operadores cr1ação e destruição,vqda seguinte forma:

-a + + a +\!q vq

'11" _+a + + a +vq vq

(I-1.23)

com os operadores sujeitos as seguintes relações de comutação:

r .+-+ ]Oa +, av'q'

=- vq

[â +,

â ,+,1=Ovq v q

[ã +,

-+ ]aV'q'= o ,cvq qq

vv'

A substituição de

(I-1.23)

(1-1.24)

em (I-l.22) leva a função H a um opera-

- 22 -

.dor H que após o uso da 3a. relação (I-l.24) toma a forma:

"

avq + 1/2 J

(I-l.25)

f!I lx -+ •~ comum tomar E = ~ -.lW (q) a energ1a do estado fundamental comoo 2 vvq

referência para as medidas da energia, logo, temos

.+ •a -+ a -+vq vq

(I-l. 26)

A Hamiltoniana (I-l.26) pode ser tnterpretada de duas maneiras equi

valentes:

(I-l.27)In-+ >=qv

a) A namiltoniana descreve um sistema de 3pN oscilado­

res harmônicos quânticos,independentes e distingulveis, identifica­

dos pelos Indices (v~). Cada oscilador pode estar em vãrios "esta ­

dos estacionários", identificadas pelo número quãntico n-+v • O ope-....+ I qrador a-+ excita o sistema ao estado fundamenta~ (~O» ao 'estado esqv

tacionário Inqv> pela aplicação sucessiva, isto é,(â:t ) nqV

qv" I-------- O>

( n- ')1/2qv •-+ -

Este estado corresponde uma energia E = n-+hw (q). Cada excitacao_ nqv qv v .

corresponde à vibração de todos os átomos do cristal.

b) A segunda'maneira completamente equivalente é a se­

guinte: A hamilton1ana (I-l.26) corresponde a hamiltoniana de um

gás de partículas indistinguíveis, chamadas fonons ; que obedecem a

estatística de Bose-Einstein. Um fonon pode estar em vãrios "esta­

dos estacionários-" identificados pelos índices (qv). O número deo_o_o_~' -+ ••• +fonons em um estado estacionário (qv) e n-+ • O operador a-+ cria

___ o.. -+ •• qv o qvum fonon no estado (qv) a partir do vacuo (10)). O estado de n-+_' _ .• _ qv

fonons de mesmo tipo e obtido pela aplicaçao sucessiva do operador•.+ .. .". " - -aqv ao vacuo, isto e, a expressao (I-l.27). Devido as re1açoes de

- 23 -

comutação (I-l.24) o estado Inl",n2 ,••,> não muda de sinal pelaqv q'Jtroca dos operadores de criação.

2) Funções de coerência e correlação

Vamos reescrever o operador deslocamento (I-l.l9) para

um cristal de um só átomo na base~ ou seJa

~(t,t)... (+)

= ~ (l,t) +... (-)-+ -+U (.t:,t) (I-2.l)

onde:

...(+)

Yz.

â ei[q.l-w'J(q)t)

-+ (1, t) =[ 11 ]-

ure (q)

'J,q

2m.Nw (q) 'Jq'J

'J

+ (-)

...(+)+(l,t) = l~ (1, t) Ju

(I-2.2)

Como pode ser visto o operador u+ está relacionado com a absorção- 1\- .-

(aniquilaçao) de fonons enquanto o operador u esta relacionado

com a emissão (criação) de fonons '. Existe também as seguintes re­

lações de comutação entre estes ope~adores

[{i(+)(l,t) ; u(+)(ll,tl)l = O

[~(-) (l,t)

; U (-) (ê I , ti) J =!= O (I-2.3)

r~(+) (l,t); u(-) (1' ,t')} = T[ (1-11), (t-tl)J

o argumento de T demonstra a invariância translaclonal da teoria

no espaço-tempo.

~m muitos casos é necessário calcular probaoilidade de

transição por unidade de tempo.

A amplitude de transiçao para o processo onde um fonon é absorvl-

- 24 -

do em (l,t) com o sisêerna passando de li> para If> é proporcional

a

"+ T< f I u (.{.,t) I i > (I-2.4)

Por outro lado a prooabilidade de transição por unidade de tempo

será proporcional a

(I-2.5)

Em geral temms se>..mpreum conjunto de estados finais e corno qual ­

quer estado que difere do estado li> por mais que a absorção de 1• u.u. ~ +

fonon será ortogonal a u li>, podemos somar a (I-2.5) sobre um

conjunto completo de es~ados finais, isto é,

E If><fl= 1f

A probabilidade de transição será proporcional a

1\ ,,+<ilu- (1 , t)u <l , t) li>

(1-2.6)

(I-2.7)

Da mesma forma num processo de 2 fonons absorvidOS em (lltl) e

(l2t2) teremes, ~ pr0babilidade de transição proporcional a

(I-2.8)

Com isto em mente podemos definir função de coerência de fonons •

Seja p o operador densidade do sistema de forma que o valor mêdio

de qualquer operador Õ se escreve:

\I-2.9)

Vamos adotar também p normalizado, isto é, o operador identidade

tem valor médio 1, ou seja,

- 25 -

T (p) = 1r

Assim definimos função de coerência de ordem n corno

(I-2.10)

onde xi= (êi 'ti) .-Note que seo estado caracterizado por p é um estado puro, teremos

..•.

p = 11><il

Assim a função de coerência de primeira ordem será

que é análoga a expressão (I-2.7).

Da mesma forma a função de coerência de 2a.ordem será

(I-2~11)

que é análoga a (I-2.8).

Poderrostartbémdefinir outra função,bastante mais conplica:iaque a (I-2.10),

chamada função de correlaçãode ordem 2n, CCIIO:

(I-2.l2)

Note que quando (xn+l ••• x2n) co~ncidir com (xn••• Xl) a função de

correlação de ordem 2n coincidirá com a função de coerência de or­

dem n.

Sabendo-se que p·é um operador hermitiano e as seguintes identidades

(I-2.13)

b)

c)

- 26 -

(I-2.l4)

(I-2.l5)

pode-se demonstrar as seguintes propriedades da função de corre1a­

çao.

P.l)- Se o campo de fonons está em um estado de N fonons' , todas

as funções de correlação anular-se-ão para todo n>N, isto é,

nn ) =0G (xl· .•xln - para n>N (I-2.l6)

(I-2.l7)

P.3)- A função de coerência de ordem n é positiva, isto é,

P.4)-

11 2 11 11I G (Xl'x2) I ~ G (xl'xl) G .(x2'x2)

(I-2.l8)

(I-2.l9)

As propriedades P.3 e P.4 permitem definir "grau de coerência" do

campo como:

(I-2.20)

(I-2.2l)

Analogarnente defj,.ne-se "grau de coerência" de ordem (2n) como:

nnG (xl·••x2n)

2n

TI (Gll(x.x )Jl/2j=l J J

- 27 -

P.5)- Para um campo estacionário ([H,pJ=O) as funções de correla­

ção são 1nvariantes por urna translação temporal, isto é,

Tendo corno base as propriedades P.3 e P.4 definimos:

(I-2.22)

Campo Coerente

Campo Incoerente

Jgl=l

Igl=o

(I-2.23)

(I-2.24)

Então de (I-2.21) ternos para um campo coerente

~ Gl1 (x x.)'li j Jj=l(I-2.25)

Para o caso n=l teremos:

(I-2.26)

(3) _ ••Assim podemos mostrar que a condiçao necessaria e suficiente

I 11( I 1 .• - -.que g xlx2) = e que a funçao de correlaçao seJa fatorada

produto de funções da forma:

para

em um

(I-2.27)

De urna maneira geral teremos um campo coerente quando

(I-2.28)

que é chamada de "propriedade de fatoração".

3) Estados coerentes de fonons

Vamos adrn1tir que eX1sta um estado t> do campo de

fonons tal que

,,+U (x) I> = V (x) I>

e portanto <\a-(x) = v*(x)<l

- 28 -

(1-3.1)

Assim o estado I> é um auto-estado da parte de aniquilação do ope-"rador u com auto-valor V(x) •

Sendo I> um auto-estado o operador densidade será.p = 1><1 . (1-3.2)

Para este operador dens,idade a função de correlação tornar-se-á

Usando (1-3.1) temos:

11 * .• - -G (xl••• x2n) = V (xl)••• V(X2n) que e a expressao de funçao de co~~elação pa~a um campo coerente.

O eI!Jt.adoI~ que leva a função de correlação a uma forma fat.orada échamado de "eI!Jtadocoerente" ~2)

Por outro lado sabemos que:

~+(l,t) • 1:

q,v( ~ )1/22mNwv (q)

• (I-3.3)

Se usamos para V(x) uma expansÃo de Fourier da mesma forma, isto é,

v(l,t) • 1: ( ~

'1,1v2mNwv ('1)

onde os parâmetros complexos aqv são os ooeficient.es ~eA substituição de (I-3.4) e (I-3.3) _m (I-3.1) levarl a

(I-3.4)

I'ourier.

â I> = a I>,qv qv'

- 29 -

(1-3;5)

Então podemos construir o estado I> como um produto direto de esta

dos Ia > na formaqv

1>=ii1a>q q'J

onde cada Ia > satisfazqv

~ Ia ) = ~ I~ }qvl qv qv qv

(I-3.6)

Não é dificil mostrar que o estado coerente Ia > tem a seguinte- qv

expressao

00

L

n=Q

n(aov) qv

~ I n >

( n , \1. qvqv' p.

onde In > são os estados do oscilador harmônico.qv

4) Propriedades dos "estados coerentes" (2)

(I-3.8)

~ fácil ver que o valor médio do operador número em um

estado coerente puro Ia> será:

- ~ I +n = <n> = 'a a ala> (I-4.1)

A probabilidade de encontrar n fonons em um estado coerente

Ia> é dada por uma distribu~ção de Poisson2

2 JJ 2)n e-Iall<nla>1 = <nla><aln> = ( ai (1-4.2)n~

Uma outra propriedade conveniente é que o estado coerente Ia> pode

ser cbtido pelo operador criação de estados coerentes D(a}, unitá­rio.

....+ * ....aa -a a

= e

cuja ação sobre o vácuo é:

Ô(a) io> = Ia>

Pode-se ver também que:

- 30 -

(r-4.3)

(r-4.4)

(r-4.5)

Com base nas expressões (1-1.17) e (1-1.18) podemos escrever as va­

riáveis canônicas para um só modo (qv), na representação de

Heisenberg;

yz

.. () (11) .. í" -iwt ..+ tiwt)

(I-4.6)u t = ---- e Ia e T a e2m w '

- ( 1 (mnw /t_ (' -iwt ,+ +iwt1P t) = - --- ela e - a e ;

(I-4.7)i 2 )

Poaemos então calcular a m&üa de Ü(t) e p~t) em um estado coerente

A' A ( fi )Y~r -iwt * tiwt)<alu a> = <u(t» = --- e a e + a e2mw

"= <p(t»

Então fazendo a = lalei1J

ternosh [ 1\ t cos(wt-q,)

..

<u(t» = 2 --- lale

2mw '1"

<Plt» = -2 [~w}"1

sen(wt-q,)

..e (I-4.8)

tI-4.9)

(I-4.1Q)

- 31 -

Vemos assim que os valores médios das variáveis canônicas compor ­

tam-se em função do tempo exatamente corno as grandezas clássicas.

~ também lnteressante calcular as relações de incerteza.

De (I-4.11) e (I-4.12) pode ser mostradO que:

Llp ~u = -n2

(I-4.11)

tI-4.13)

Assim em um estado coerente a relação de incerteza tem o mínimo va­

lor possível •••• - ••••• I

Tarnbem nao e d1f1c1I demonstrar que um estado coerente corresponde

ao estado fundamental de um oscilador harmônico deslocado.

outra propriedade fundamental é que os estados coerentes(:)apesar de

não-ortogonais, formam um conJunto completo e corno tal podem ser u­

sados como base para descr1ção do campo.

Conforme R.J.Glauber., existe também urna maneira única de

expandir estados e operadores em termos de estados coerentes.

O operador densidade que representa urna mistura de esta

dos coerentes pode ser representado por:

p = !P (a)2

la><al d a (I-4.14)

2 , ... -onde d a e um elemento de area no plano complexo e P(a) urna funçao

que possui as seguintes restrições devidas as propriedades do opera­

dor p.

*a) Hermiticidade de p implica em P(a)=P (a) (I-4.IS)

b) Carácter positivo definido de p «BlpIB>~O) implica em

(I-4.16)

- 32 -

para toda função f inteira.

c) Normalização de P (Tr p = 1) implica em

(I-4.17)

(I-4.18)

um conjunto de fontes estatistica

função P(a) que descreve um modo

eP(a) = --LTI<n>

•• (z).Pode-se tarnbernmostrar que para

mente independentes, existe uma

do campo dada por

_w!.<n>

(I-4.19)1p =

A função que descreve todo campo será o produto de funções (I-4.18).

Para a função (I-4.18) o operador densidade torna a forma:

-~~e <n> la><al d2a

TI<n>

A função P(a) definida acima é chamada "Função associada" ao operador

densidade P.

De maneira geral, quando usamos a representação de es­

tados coerentes podemos determinar para cada operador urna função as­

sociada a partir da equação de evolução quântica. Se adotarmos este

procedimento para p enoontraremos uma equação diferencial para P(a)

.. - (') rque e a equaçao de Fokker-P1anck. Faremos isso no Cap tulo III.

- 33 -

CAPITULO II

EFEITO MOSSBAUER

1) Introdução

Vamos considerar dois núcleos iguais A e B, em repouso,

de forma que A emita um fotón-y e desejamos saber as condições de

absorção pelo núcleo B. Conhecemos que um fotón de energia E tem+ ~ .y

momento linear Ipl=lhKI= Ey/C, e que o estado excitado donucleo po~sui largura natural r.

,., ,EeI

,Ee

:

'tI

I

I

Fig.l

,

~ I

:

I

i

I

:

_t __ Ef

I

A

,Ef8

No processo de emissão as equações de conservação sao:

(II-l.l)

o = ~N+f1~

onde R é a energia de recuo e PN o momento do núcleo. Assim chaman­

do Eo=Ee-Ef a energia do gama se não houvesse recuo~ temos:

E = E -RY o

2 2_ PN _fl2k2 _ ER-----~2m 2m 2mc(II-l.2)

(II-l.3)

E = E +RY o

No processo de absorção as equações de conservaçao sao:

(II-l.'1

fik = PN

- 34 -

(11.1.5)

Vemos assim que teremos um déficit de energia igual a

2R, e para ocorrer absorção ressonante é necessário que:

R < r/2 (11.1.6)

Para um núcleo de número de massa A=lOO e um gama de e­

nergia Ey=lOO KeV a energia de recuo é R= O,05eV. Por outro lado as

larguras r dos estados excitados estão na faixa:

(11-1.6 'J

Not~ então que a condição (11-1.6) não pode ser sa -

tisfeita para transições nucleares. O mesmo ~ ocorrerá em

transições ópticas (atômicas) mas neste caso a condição (11-1.6) é

satisfeita e pode ser observado absorção ressonante ou a chamada

"ressonância fluorescente".

Agora se consideramos que os núcleos não estão em repo~

so, teríamos de forma análoga as relações:

E= e:

E v

y

o- R + ..L

cE

_ E v

y

- e:o + R + ...:L-

c cose

cose

(emissão)

(absorção)

(II-l.7)

(11-1.8)

onde v é a velocidade do núcleo antes da emissão e da absorção; e

e ..... · . -+-,+ 2 •.. "e o angulo entre v e k. Se e:=1/2 mv e a energia c~netica antes,

temos:

2(Re:)1/2 =vE - =·0

y c(largura Ooopler) (II-l.9)

Substituindo (II-l.9) em (II-l.7) e (11-1.8), vem:

(II-l.IO)

- 35 -

A relação (II-l.lO) mostra que o espectro de foton-y

tem largura D centrada em (€ -R) na emissão e em (€ +R) na absor-o oçao.

I f 11 Ia

Fig.2

de absorção de um foton de~

excitado tem largura r e daenergia

da pela

Para conseguirmos absorção ressonante devemos, por ah

gurn processo externo, suprir o sistema com urna energia da ordem de

2R, e nestas condições existirá superposição considerável entre

os espectros de emissão e absorção.

A secção de ChoquJ~~ficaz

E , por um núcleo cujo estadoyfórmula de Brei t-Wigner

a (E ) = aa y or2/4

[(Ey-€0)2 + r2/4]

(II-l.ll)

onde ao é urna constante quando Ey=€o (absorção sem recuo) e €o == E -Ee f'

Vamos admitir que, para deslocarmos os espectros, da-

mos ao conjunto de núcleos absorvedores velocidade u em relação

ao conjunto de núcleos emissores, na direção de propagação do

fotón-y. Seja v'=v cose a projeção, nesta direção, da velocidade

relativa do núcleo absorvedor em relação ao núcleo emissor.

~' Y

I ~

I T • y'

Fig.3

- 36 -

Se VI tem uma distribuição de Maxwe11 de velocidades ,

então a probabilidade de se encontrar um valor de velocidade entre

VI e v'+dv' é dada por:

p (vI)dv I = (m )1/2 _ (mv12 )4 k e 4k dv'~ BT BT

(11-1.12)

onde T é a temperatura dos dois conjuntos e kB é a constante deBo1tzmann.

De acordo com a equação (11-1.8), podemos eSCEever o

deslocamento do espectro como:

(11-1.13)c c

Assim teremos:

E VI E E2

= ~ + R = -Y (vI+u )- ~C c 2mc

E:o E:o(11-1.14)E -E:o ~ --(vI+u - --- )

y c 2mc

Desta forma a secção de choque eficaz será:

+00O"a (Ey)

=fP (VI)O"a(Ey)dv' (11-1.15 )

_00

A substituição de (1-1.14) e (1-1.11) em (1-1.15) leva

a:

mv,2+ClO

f-00

--e 4kp,TE:

(...2 (v I +uC

dv'-E:o }2-)2mc

a (E: )a o

- 37 -

2rnv'

e- ç dv'E:

(V'+U- ...2.... J2 +2mc

+00 E: [ 17-~~_(If-)2 f 1...2....] EO _ ire2 -00 ire (v'+u- --- 2E

<o 2mc o

El ~(v'+u- -2- + irc) )

2mc 2Eo

dv'

)1/2rc f-z

2

[-±- - ~ )dzã (E )

m= cr (

-. ea oo 4;rkBT4iEz-z

z-zo o" o

onde z =

Im )1/2 v'

4kBT

z =

(..1L ")1/2(~ _ u + irC)o 4kBT2mc 2Eo

Resolvendo a integral temos:

(II-l.16)

e

Uma vez que r é muito pequeno comparaqp com a largura da distribui­

ção de Boltzmann, isto é, r/2kBT«1, podemos, na exponencial, des ­

prezar r, e ficamos com:

- 38 -

(rr-l.17)

Vemos assim que quando u=O, a dependência só com a tem­

peratura tem a forma:

(rr-l.18)

Esta expressão é surpreendente, pois para conseguirmos

uma superposição dos espectros poderíamos também aumentar a tempe­

ratura, entretanto vemos que o aumento da temperatura diminui a sec

ção de choque.

Desta maneira foi que Massbauer, acidentalmente fez sua

descoberta. Estudando a absorção ressonante de fótons 9ama de 129

keV pelo r19l, verificou que para esta transição deveria ocorrer ab

sorção ressonante mesmo à temperatura ambiente. Para reduzir o efei

to da temperatura, MOssbauer resfriou a fonte e o alvo esperando

oom isso diminuir a secção de choque. Verificou porém que esta au ­

mentava em vez de diminuir. Após urna análise detalhada pode consta­

tar que este era um efeito completamente novo. Desta maneira foi

capaz de mostrar que urna fJ:ação de gamas eram emitidos e absorvidos,

sem recuo do nucleo, portanto sem transferência de energia cinética

.AO núcleo.

Este tipo de transição chama-se "transição Me'ssbauern• Os

·fotons assim produzidos são monocromáticos possuindo um espectro cuja

largura é a largura natural r do nível excitado.

2) Teoria do efeito MOssbauer em sólidos

Na secção anterior foi apt'esentado o "efeito M6ssbauer"

de maneira simples sem levarmos em conta que os núcleos, em um sól!.

do cristalino, não são livres, mas fortemente ligados, por forças

- 39 -

de coesão, formando uma rede.

Vamos considerar o "sistema" constituído de núcleos i­

dênticos+rede, e queremos calcular a probabilidade de transição p~

ra o sistema absorver um foton-y de momento ~.

O acoplamento do sistema com o campo eletromagnético é

feito através da hamiltoniana:

H1 = (- L) P".X (r)mc

(II-2.l)

onde ~ é o momento do sistema e à é o potencial vetor do campo de

radiação, na posição do nuuleon absorvedor.- +

A expansao de A em ondas planas, considerando apenas a

absorção e um modo do campo, tem a forma:

•• .(II-2.2)

Fig. ~

Péla figura acima podemos fazer as seguintes mudanças de variáveis

(II-2.3)

+ PP

ft+'

~ = Pcm

+r =

Desta forma podemos reescrever a equação (II-2.l) como:

eik.R (II-2.4)

1a e 1

!:l rn

- 40 -

«- - 5-+ -+logo <,tJn>= 10 <P m> , desta forma podemos desprezar o termo P~ c cmem (II-2.4), ficando então:

eik.R = H :+ ;:t-núcleo eix..K (II-2.5)

o termo entre colchetes sendo responsável pelas transi­

çoes internas no núcleo e o termo eik•R pelas transições relativas

à rede.

Outra justificativa da separação (II-2.5) é o fato de

que a rede possuindo simetria de translação, a hamiltoniana deveria

também ser invariant~ por uma translação igual a um vetor da rede,

pois os núcleos são idênticos por hipótese.

Desta forma a amplitude de transição pela absorção de-+ -

um gama de momento k, sera:

(II-2.6)

Admitindo que a interação entre núcleo e rede é fracá,

podemos escrever

(II-2.7)

ondeINO> e IN>são estados inicial e final do núcleo

[no> e

In>são estados inicial e final da rede

Iit>

e10>são estados inicial e final do campo de ra-

diação

~Levando (II-2.7) em (II-2.~) temos:

<iIHllf>={<Nol<l/Hnúc. IO>IN>}<nol ei~~·ln> • (II-2.8)

- 41 -

Pod~-~e então ver que a amplitude de transição da re­

de será; <noleik.Rln> e desta forma a probabilidade de transiçãoé dada por:

ik -+- 2Pnon = I <no 1e •R I n> I (I 1-2 •9)

Vamos calcular então a energia média transferida à re

de no processo de absorção.

Sabendo-se que

fllli ax

(11-2.10 )

onde ~ e ~ são operadores referentes à rede, temos:

-iR.R = ~ R.~e m 2m

(11-2.11 )

onde H é a hamiltoniana da rede.

Calculando o valor médio de (11-2.11) no estado In >,oternos:

Usando a completeza dos estados In>, vem:

e:n<

h2k2 ftk' A

= - ---- + -- . <n IPln >2m m o o

~'. A fi2k~

E Pnon

(e:-e:n ) = - - R.<n IPln >+ ---- (11-2.12)n o o o 2

n m m

Se o estado In> é um estado estacionário, então <nol~lno>= o, logo:

L Pn n (E -En ) =O n On= R

- 42 -

(11-'2.13)

(4)

Esta regra de soma devida a H.J.Lipkin, mostra que a e-

nergia média transferida à rede é igual a energia de recuo clássi

ca. Corno vimos as "transições M~ssbauer" são transições sem trans ­

ferência de energia à rede, são portanto transições cuja probabili­

dade é:

(II-2.14)

portanto, não contribuem à soma (II-2.13).

3) Secção de choque de absorção

A maneira mais imediata de se obter a secção de choque é

reescrever a fórmula de Breit-Wigner, levando em conta a transição

da rede; isto é:

L

n,no

rnno, 2' 2[ei-efl + r /4

(II-3.1)

onde: e. = E +E&+En - energia inicial do sistema1 y ~ o

ef = E +E - energia final do sistemae n

Pnn = probabilidade de transição da redeo

Se levarmos em conta que na transição o núcleo desloca­

se de Q=R-R , e se gn é a probabilidade de se encontrar a rede noo o

estado inicial Ino>' temos:

Pnn o (11-3.2)

Fazendo estas substituições obtemos:

aa(Ey) = ao 4

L

n,no

- 43 -

~ ~

gno I<no' eik•u In>12

(Ey.Eo+Eno.EnJ2 + r2/4

(II-3.3)

Para se obter a "secção de choque M~ssbauer", basta to

mar n=n , isto é,O

= f o (E )o y

onde:

(II-3.4)

é chamado de "coeficiente Môssbauer".

Para evidenciarmos a contribuição da dinâmica da rede

é interessante reescrever a (II-3.3) de uma maneira mais geral.

Lembrando que:

121T

f-00

Podemos reescrever (II-3.3) como:

(II-3.5)

r2= 00 4

(II-3.6)

r2(E ) = o -

°a y o 4

-00

- 44 -

Calculando a integral em ~,vem:

+00I_00

e-i~t d~

rE-Eo-f1~)2 -; r2/ 4

{ 1[E-Eo-f1~-ir/2)

1 } e-i~t d~(E-Eo-h~+ir /2)

i r I- - t(E -E )- -- tie h y o 2h

,<II-3. 7)

SUbstituindo (II-3.7) em (II-3.6) e usando o fato de

que o conjunto {~>} é completo temos:

Hln> = e: In>n

E In><nl = 111

Então:

+00 i r

o r f --t (E -E) - -Iti" .•O"a(Ey)

= (~) dt e h y o 2h E gn <n leik•u

4h n o o_00 o

i Ht

.•.+i

fi-ik u- fi' HtIn >

e e •e o

+Como u (t)

i ir Ht - - HtTI + h

= e u(O) e temos:

O"a(Ey)

onde:

+F (k, t)s

q r= (....2-

4fl 1mdt-co

- i t (E -EO)- ~Itl +e 11 y 2ft F,. (k. t)s (II-3.8)

(II-3.9~

- 45 -

é uma função de correlação dos operadores exponenciais, e- +

perador densidade da rede. A funçao F (k,t) foi usada porsno estudo do espalhamento de neutrons. - +

Podemos ainda definir uma nova funçao G (r,t)ste forma:

p é o 0-

Van Hooves(5)

da seguin-

Gs(~,t) = 1 f(2'TT) 3

Desta forma temos:

,.. + ,.. ,..-ik.r F (k,t) dke s (II-3 .10)

+ (••.Gs(r,t) = Tr~p1

(2~

(II-3.ll)

No limite clássico temos:

(II-3.12)

Podemos notar então que:

Gclass(~,o) =s (II-3.l3)

+Gs (r,t) (II-3.l4)

- + -A interpretaçao de Gs(~,t) devida a Van Hooves e a se-

guinte: A função G (~,tL ••no limite clássico, dá a probabilidades -------de encontrar uma ~artícula em (~,t) se ela própria (por isso o ín-

dice s de "self") estava na origem no tempo t=O.

Usando a transformada inversa de (II-3.l0), podemos re

escrever a (II-3.8) como:

a r r - ! t[E -E ]- ~ltl ,..+a (E ) = (-2-) dt d~ e ~ y o ~n eik•ra y 4fl J

- 46 -

A vantagem de escrever a secção de choque na forma

(11-3.14) é que ela aplica-se não só a sólidos como também a lIqui-- - + ~-

dos, sendo que no ultimo caso o calculo de G (r,t) ou F (k,t) e dis s -fIcil •

Para sólidos é fácil o cálculo de F (k,t), sendo por ­stanto indiferente usar (11-3.8) ou (11-3.14).

4) Cálculo de Fs(R,t) para um sólido harmônico

Como vimos no capItulo I, o deslocamento do t-ésimo ion

de uma rede com um só átomo por célula, pode ser escrito:

•. 1/2 .

li(t) = : [·h] ê (q)[ã e-iwqt + a+ e+iwqt]q 2mNw q qq

(11-4.1)

onde tomamos o t-ésimo átomo como origem.

Então temo s :

•. 1/2li (o) = L [ 1'l] ê (q) [ã + a+ ]

q 2mNw q qq

....Usando o fato de que, se dois operadores A e B,

com [Ã,a], então:Â B Ã+B -t[Â,B]

e e =- e - e

Assim,

~Assim podemos reescrever Fs(k,t) como:

(11-4.2 )

comutam

(11-4.3)

(11-4.4)

-+

F (k, t)5

- 47 -

-+ .; -+ '"

= T {Õ ê(ik.U(e)-ik.~(t)r ê

(11-4.5)

Uma vez que o comutador (rr-4.4) é um número, portanto

sat:israz a

-+

F (k, t)s

(!!-4.3). Usando (11-4.4)

iR '"'" 2 sen(w~+ hN í (k.e ) w

= e q q q

temos:

-+.t •

Tr{ p eik.(U(o)-u(t)}

(11-4.6)

Mas

(11-4.7)

(6)Pelo teorema de Blocn temos:

"Se 05 diferentes modos próprios de vibração estão em

equilíbrio termodinâmico, para todo operador hermitiano  que é'" "'+

escrito como uma soma de operadores a e a , temos:

. 1 "," 2

r'" iÂ) - 2' Tr (pA ) • (II-4. 8)T P e = er

1 '"'" 2flN E(k.e) (2n +1) l-cosw t

q q q ( qw

q

(II-4.9)

onde

(II-4 .10)

R- -hN-+

F (k, t)s = e

- 48 -

Assim temos finalmente:

(J"t.ê )2

r q [(2nq+l) (l-cosw t)-i sen (w t»)q w q qq (II-4.ll)

5) Secção de choque MOssbauer na aproximação de Oebye

Vimos na secção anterior que a secção de choque de ab­

sorçao era dada por:

0a (E )Y

onde

+00

f dt e-00

i - - ~It I- tlE -E 1- ~h l. Y o j 2h +

F (k ,t)s (I1-5.l)

e

+Fs(k,t) = e-y(t) (II~5.2)

Y (t) =R

flN

(J"t.ê )2gWQ

(t2n +1) (l-cosw t) - i sen (wqt) 1q, q(II-5.3)

Se estamos interessados apenas na secção de choque

Massbauer, isto é, apenas na parte do espectro que tem largura na­

tural r , devemos considerar em F (~,t) somente a parte independens -te do tempo, ou seja, a "limite quando t+oo.

Podemos, por outro lado, escrever:

(II-4.5) que no limite t+oo, a cor­+

e u(o) desaparece, podemos achar

Notando na expressão- +

relaçao entre os operadores u(t)

o limite indiretamente, isto é,

k2. 2~ - ~ Tr{p(U(t)-U(o» J

F (R,oo) = es

(II-5.4)

(II-5.S)

- 49 -

Assim o limite para t+oo corresponde fazer em (II-5.3)

cos(w t) = sen(w t) = O para t+ooq q

Desta forma temos:•••• 2

R

(k.e )

y(oo) = _~ q (2n + 1)

tNq w qq

(II-s.6)

(lI-S.?)

Substituindo (II-S.4) em (II-S.l) vem:

O'a(E ) = tor) e-Y'(ce)J [ce - it [E -E ] - tltlY 4h 1 dt e ~ Y o 2h+

[ce _ i t [E -E ) _ Ll.tl+ e-Y(ce) -cedt e fi Y o 21'1 (e-(y(t)-y(oo))_ lJ}

(II-S.8)

Calculando a prinerra integral temos:

O'a(E ) =Y 4fl

(II-S.9)

o primeiro termo é a contribuição MOssbauer, isto é,

ro

r2 -Y (00)(II-S.1O)O'a(E )MB = - .r(E -E )2+ r2/4}

• e

Y 4 ~ Y o

- 50 -

Os termos seguintes levarão a processos de endssão

(Ey>Eo) ou absorção (Ey<Eo) de um fonon, dois fonons , etc ••Vamos então calcular y(~), usando a aproximação de Debye.

Sabendo-se que:

wq

y (~) = R 2 (k. ê ) 2-r qhN q (nq + 1/2) 1

Para simplicidade vamos admitir R paralelo a ê .q

y(~) = 2R r (n +~) 1nN q q 2 wq

Por outro lado temos também

(II-5.ll)

p (w) dw (II!ot5.l2)

y(~)e

(II-5.l3)

onde usamos o fato de que p(w) = 3NW2/w~

Fazendo as mudanças de variáveis

(II-5-l4)

y (~)

= x

6R T2

= k e3B

e (II-5 .15)

(1I-5 .16)

y(oo) =

- 51 -

1--x

(e -1)dxj

Assim o coeficiente Môssbauer fica:

f= e-Y{co) = e se T»8

(!!-;.1'~3R (1 + ~ íT2 (T)2)

e 2 kBe j e se T«e

Notamos então que a secção de choque MOssbauer aumenta

nos seguintes casos:

a) Diminuindo a temperatura

b) Diminuindo a energia de recuo

c) Aumentando a temperatura de Debye

Como último comentário queremos destacar o papel desem-- ~ - .penhado pela funçao de espalhamento F (k,t). Ela contem todas as ~ns -formações dinâmicas do sistema e está relacionada diretamente com a

interação, o que era de se esperar uma vez que a interação governa

a dinâmica. No capitulo seguinte voltaremos a este ponto usando a

representação de estados coerentes na qual a interpretação de-+

Fs(k,t) aparecesse com maior clareza.

tI

- 53 ­

CAPlTULO III

~ -Neste capltulo vamos usar a representaçao de estados coe

rentes no estudo dos processos de emissão ou absorção de um fotón

por um núcleo ligado a uma rede cristalina.

N N1) OPERADOR EVOLUÇAO E OPERADOR CRIAÇAO

DE ESTADOS COERENTES

Em mecãnica quântica é bem conhecido que alguns operado­

res têm papel destacado sendo um deles o operador evolução temporal.

Uma limitação na sua determinação aparece quando temos que resolver

uma equação integral na qual estão envolvidos operadores que, em ge

ral, não comutam entre si. Sob certas aproximações é poss!vel obter­

mos uma solução como no caso que vamos calcular a seguir. Em geral,.queremos determinar um operador D(t) tal que possamos conhecer o es

tado do sistema em qualquer tempo t, através de:

It> = Ô(t) 10> (III-l.l)

onde estamos admitindo que o sistema no tempo t=O estava no estado

fundamental, e o nosso objetivo é relacionar o operador evolução com

o operador criação de estados coerentes que tem propriedade análoga

a (III-l.I). Assim estamos interessados em estabelecer o tipo de peE

turbação que gera um estado coerente do sistema. No presente caso va

mos usar a representaçao intermediária(6) pois vamos admitir que o

sistema seja perturbado de tal forma que possamos escrever:

(III-1. 2)

(III-I.3)

onde Ho é a hamiltoniana sem perturbação e HI uma pertur~ação devido- ...•.. - - -i/11 H t •a interaçao foton-rede; Do e a evoluçao livre (Do=e o ) e DI o ~

- 54 -

perador evolução intermediário determinado pela equação:

I dA'" iA

i h -- D = HI DIdt I (111-1.4)

A harniltoniana HI pode ser obtida fazendo p~p - ~ A no

termo de energia cinética de H • Considerando à expandido em ondaso 'k-+ -++1 .r -+

planas e na gauge transversal obtemos termos da forma e- p. Usan

do a representação de momentos (r-+i~V~), estes termos podem ser es -(1') P

critos da seguinte forma •

(111-1. 5)

Desta maneira a interação fóton-rede fica:

(III-1.6)

onde +(-) corresponde a absorção (emissão) de um fóton de momento

nk por um núcleo de massa m, sendo P o momento deste núcleo. Esta

interação, quando expressa em termos do campo de fonons e conside ­

rando o núcleo em 1=0, fica:

fI _l1k:?­I - ±­m

L: êq q

[2rnNh~) 1/2

i 2N•.+ +iw t)a e qq

(111-1. 7)

Desta forma ternos que resolver:

il1d ÕI .dt = (±)e(t) hkm

L

q

A /

e l2rnN11w)1/2q q2N (A -iw t •.+ +iw) DAa e q - a e q x Iq q

Assim, em primeira ordem e

'\' . =+-k A ( 11 ) 1/2Lo ±1 •e 2rnN

A q q Wq

DI(t) = e

1 ternos(7) :

(111-1. 8)

- 55 -

Podemos agora comparar (III-1.8) com (II-4.7) e vemos

que:

ÔI (t) = êik. (~(O) -~ (t) )(III-1. 9)

.+ - -onde u e o operador deslocamento nos tempos zero e t do nuc1eo em

l=o.

Neste ponto estarnos em condições de alcançar o nosso 02jetivo que é relacionar o operador (III-1.8) com o operador criação

de estados coerentes cujas propriedades são:

T (8 )10> =18 >q q q

ou considerando todos os modos do carnpo~

onde (cornono capItulo I),

e

sendo ~(t) um fator de fase.

Assim, reescrevendo (III-1.8) vem:

~ (8q(t)â~-8~(t)âq)= e

(III-l.10)

(III-1.11)

(III-1.12)

(III-1.13)

(III-l.14)

- 56 -

onde as amplitudes dos estados coerentes têm as seguintes expres-

soes:

(absorção) -+Bq(a)(t) = +ik.e (~ )1/2 (~ - eiwqt Jq 2mNwq

(emissão) -+ B (e) (t)

.•... h)1/2(1 _ eiwqt )= -ik.e ( q q 2mNw

q (III-l.15)

(III-l.16)

Desta forma vemos que o operador evolução 0I(t) é o op~

rador criação de estados coerentes cujas amplitudes B são determi-- q-nadas pela interaçao. Assim em termos de estados coerentes a equaçao

(III-l.4) pode ser interpretada corno a equação de evolução do opera­

dor T. Uma das principais características do uso de estados coeren­

tes é sempre transformar um problema quãntico em um problema equiva­

lente clássico, associando a cada operador urna função número, de uma

forma un!voca (isto é se~pre possível <8)).,de maneira que sempre e,!

taremos envolvidos com a solução de urna equação diferencial para a

função associada. No presente caso a solução da equação (III-l.4) ésimples. Em casos mais complicados pOderíamos usar tal procedimento

e teriamos que resolver em vez de (III-l.4), uma equação de Volterrae3)

para funções números associadas, desde que especificássemos a lei de

associação. Esta lei de associação deverá indicar as condições sob

as quais um operador pode ser substituido por seu auto-valor ou por

urna expressão equivalente(8)

Na seção seguinte adotaremos este procedimento para de­

terminarmos a função associada ao operador densidade que é um outro

tipo de operador relevante do sistema.

Após as observações podemos então escrever os operadores

......D= Do

evolução como:

i fi tÔ = e 11 oI

i~(t) E(Bq<t)â+-e*(t)â)e q qe (III-l.17)

de modo~que o sistema no tempo t pode ser escrito da seguinte forma:

... i~(t) -iw t

It> = D ôr!O> = TI le e q B (t».o q q

(III-l.18)

- 57 -

Note que, devido a perturbação (III-I.6) , o sistema (campo de fo­

nons) estará no estado coerente (III-I.18).

Como último comentário queremos salientar que quando

escrevemos a hamiltoniana de interação na forma (III-I.6) já pres­

supomos uma média nos estados nucleares e nos estados de fótons, i~

to é, a expressão (III-I.6) está relacionada apenas com o campo de

fonons como pode ser visto comparando com o capítulo lI.Para futura comparação entre as amplitudes dos estados

coerentes obtidas pela equação de Fokker-Planck vamos reescrever as

expressões (III-I.IS) e (III-I.16) na forma:

(absoIção)~ S (a) (t)q

(III-1.19)

(emissão)~S (e)(t)q(III-I.20)

2) EQUAÇXO DE FOKKER-PLANCK

Com o mesmo espírito salientado na seção anterior vamos

determinar a equação de Fokker-Planck para a função associada ao op~

rador densidade, onde usaremos p na chamada representação diagonal

ou representação p(2)

Como é bem conhecido, a evolução do operador densidade

p é determinada por:

i~ ~ = IH'PJ (III-2.1)at

onde H é a hamiltoniana do sistema com interação.

Por outro lado podemos também escrever p, na represent,!

çao de estados coerentes como:

•. * I I 2p = fp(a,a ,t) a><a d a

- 58 -

(III-2.2)

onde está implIcito que a lei,,+ 1\-

dos operadores (u eu) como

das funções de correlação na

fonons.

_(5).de associaçao e o ordenamento normal

usado no capItulo I para a definição

obtenção dos estados coerentes de

Como na secção anterior podemos escrever para cada mo­

do do campo,

onde a excitação tem a seguinte forma:-+- •••

k.e f1w

f =± ~ (~)1/2q i 2mN

(III-2. 4)

- - - +-sendo +(-) absorçao (emissao) de um foton de momento hk por um nu-

-+-

cleo em l=O.Então de (III-2.l) podemos escrever:

f ih ap(a) la><al d2a = fP(a) [fi,la><aIJ d2aat

(III-2.5)

*onde usamos para economia de escrita P(a,a ,t):P{a}.

Vamos então reescrever o comutador do lado direito como:

[H~la><aI1 = [fi;T(a) 10><0IT(-a)] = [H~ T{a) Po T(-a) ] (III-2.6)

pois

+ *Ia> = T(a) 10> = e(~a -a a) 10> (III-2.7)

<ai = <OIT(-a) = <01

+ *e-aa +a a (III-2.8)

- 59 -

A fim de facilitar os cálculos devemos linearizar o ter

mo de Ho pois o termo de Hint já está em uma forma conveniente, epara tal devemos reescrever apenas o comutador.

+ •= ~w [a a ; T(a) p T(-a)]q q q o

(111-2.9)

que expandido fornece os seguintes termos:

(111-2.10 )

onde usamos o fato de que [a+a, po]= O.Por outro lado, lembrando que:

+ *aa -a a

T(a) = eaa+

= e

*-a a

e e (111-2.11)

vem que:

llal2'1 + +e [a a; T(a}] ={[a;

+ *aa -a ae J e

+aa+ e

*-a ae J} a +

+aa+ a+{[a,e ]

*-a ae +

+aae

*-a a

[a,e J} (111-2.12)

onde usamos-- as seguintes .identidades:

[Â;BêJ = [Â,êJB + Â[B,ê]

[ÃB;ê] = [Ã,B]ê + B[Â,êJ

Por outro lado sabendo-se também que:

(111-2.1;3)

(111-2.14 )

(I11-2.l5-a)

+ n[a ,a ] = - n a (n-1)

- 60 -

(111-2.15-b)

(111-2.15-c)

-podemos obter em (111-2.12) ,apos expandir as exponenciais e usar n2

vamente a expressão (111-2.11):,

[+ *.0. +""a a~ T(a)] = a ".L" (a) a + aa T(a)

Assim imediatamente podemos calcular:

+ * "" * ""[a a; T(-a)] = - [a T(-a)a + aa T(-a)]

(111-2.16)

(111-2.17)

fazendo cs~- d em (111-2.16).

A substituição de (111-2.16) e (111-2.17) em (111-2.10)

forcesse a expressão 1inearizada:

* + *(Ho,la><aIJ = nw[(a a + aa - aa ); la><aIJ (111-2.18)

Podemos então reescrever a expressão (111-2.6) na se­

guinte forma:

"" . * * + *[H,la><al] =f1{(wa +f )a + (wa+f)a - waa Jla><al ­q

* * + *- I a><a I {(wa +fq>a + (wa+f ) a -waa }i; (111-2.19 )

Agora ·fazendo uso das seguintes propriedades

+ *ala><al = csla><al + la><ala '= a la><al

a+la><al= (a* + ~a) la><al + ,Ia><ala - ta + fã.) la><al

(111-2.20)

(111-2-21)

- 61 -

Obtemos, levando (III-2.19) em (III-2.5) a expressao:

(III-2.22)

Finalmente, integrando por partes o lado direito, obte­

mos por comparação a seguinte equação diferencial:

*ap (a.,a. ,t =

at

(III-2.23)

(!).. - - *que e a equaçao de Fokker-Planck para a funçao P(a.,~ ,t).

Vemos que o uso da representação de estados coerentes

permitiu substituir o problema de determinar o operador densidade

em um problema equivalente de estatísttca clássica envolvendo a so­

lução da equação diferencial (III-2.23). ~ dentro deste espírito que

consideramos esta representação urna simplificação pois permite o

tratamento de um problema quântico através de um análogo clássico e­

quivalente. A sequência seguinte seria obter as equações de evolu­

ção para as amplitudes dos estados coerentes (a.), isto é, equações(12) q

de Langevin para a. sujeitas a cada tipo de interação e aproximação

desejadas, que est~ fora do objetivo deste trabalho.

Na secção seguinte apresentaremos a solução da equação

acima de urna forma geral.

3) SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE FOKKER-PLANCK

Com o objetivo de completar o desenvolvimento anterior

vamos apresentar a solução da equação (III-2.23), considerando a ex-

- 62 -

citação f de maneira geral e apenas no final usaremosq1III-2.4) para aplicarmos ao efeito Môssbauer.

De maneira geral podemos escrever:

-a expressao

(II1-3.l)

onde, como vimos, o primeiro termo é devido ao campo livre (80)e o

segundo termo é devido a interação (Hint).Vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis:

-iwta = y e , *

a*

= y+iwte (III-3.2)

Desta forma obtemos as seguintes relações:

* *P(a,a ,t) = Q(y,y ,t) (III-3.3)

a-aa

iwt= e a--

ay

d--. =da

-iwte (1II-3.4)

a-aa

(a)a- -ay

(y) (III-3.5)

Assim de (III-3.3) e (III-3.4) podemos escrever:

ap--at

r a a * J aoiw -- (yQ) - --. (y Q) + ~ay ay at

(III-3.6)

Então usando estas relações em· (III-3.l) obtemos a se­

§uinte equação de Fokker-Planck reduzida:

- 63 -

aQ

at

. ~Q * -iwt aQ.f ~wt o • f e=~ e --~ ---;'ay ay

(III-3.7)

e:

* ,I * * *Q (y,y ,O{y' ,y' ,O) = 15 (y-y ,)Q (y -y' ) = lim

Note que esta equação é mais simples que a (III-3.l) e

está relacionada apenas com a interação.

Para encontrarmos a solução da equação (III-3.7) podemos

definir uma probabilidade condicional do sistema possuir os valores. -y,y no tempo t se no tempo t=O, quando ligamos a perturbaçao, o*sistema possuia os valores y',y' • Desta forma podemos construir a

probabilidade condicional inicial como uma função delta, isto é:* *

-e: (y-y ')(y -y' )e

e:+00 TI

(III-3.8)

Assimconstruimos uma solução de (III-3.7), por analogia com (III-3.8)

na forma:

* *Q (y,y ,t/y ,,y' ,O)

-G (t)= e (III-3.9)

onde

G (t) = - -L(y-1'l (t)) (y*-y * (t)J + lnv (t)lJ (t)

(III-3.l0)

de forma que a solução geral de (III-3.7) seja escrita:

* * * * 2,Q (y,y ,t) = f Q (y,y ,t/y ,,y' ,O) Qo (y,,y' ) d y (III-3.ll)

* *sendo Qo(y',y' ) a probabilidade do sistema ter os valores y',y'em t=O.

Substituindo (III-3.9) em (III-3.7) e igualando os coefi* * -cientes de mesmos potenciais em y,y e yy obtemos: as seguintes e·

quações diferenciais-para os parâmetros de G(t):

12j.l (t)

~dt

= O (III-3.l2-a)

- 64 -

1 d\)= O

\)(t)8t

dn(t)

* iwt

- = -i fe

dt

*

dn-liL -iwt= i f edt (111-3.12-b)

(III-3.12-c)

(111-3.12-d)

Por outro lado devido a condição inicial (111-3.8) temos:

1].1(0) = - ; n (o) = y I;

E

* *n (o) = yl ; \)(0) =.f

rr(111-3.13)

Logo o conjunto de equações (111-3.12) tem as seguintes soluções:

)l(t)= )l (o)1

=E

\)(t)

= \)(0)E- -

rr

n(t)

= y I + S (t)

*

*-*n

(t)= yl+ B(t)

ondeiwt jt

* -iwt'S (t) = -i e o f

edt'(111-3.13-a)

(111-3.13-b)

(111-3.13-c)

(111-3.13-d)

(111-3.14)

- *Assim a soluçao Q(y,y ,t) de acordo com (111-3.8), (111-3.9) e

(111-3.13) será:

* - * *-*Q (y , y , t) = Ô (y - Y I - S (t))ô (y - Y I - B (t)) (111-3.15 )

Podemos então obter a solução geral de (111-3.7), usando (111-3.15)

- 65 -

e (III-3.11) e integrando em ~', isto é:

(III-3.16)

Note que se Qo é uma função normalizada a 1, então Q

também será, sendo que isto satisfaz automaticamente a condição de

normalização para p(Tr p =1).

A solução da equação de Fokker-Planck original é agora

imediata pois basta usarmos a mudança de variáveis (III-3.2) e ob­

temos;

*P (a,a ,t) =

iwt *e -]' (t»; (a

-iwt

e - 8"* (t) )) (III-3.l7)

Vamos agora analizar duas formas de Q de particular interesse.o

CASO A - CAMPO INICIALMENTE EM UM ESTADO COERENTE PURO

Para qualquer campo em um estado puro o operador densi­

dade deverá sempre satisfazer a conhecida relação:

..= p (III-3.l8)

Assim se o estado puro é um estado coerente então o operador densi

dade pode ser escrito:

p = !a><al (III-3.l9)

Logo por comparação com a expressão mais geral (III-2.2) para p,

vemos que a distribuição inicial Qo deverá ser uma função delta ,isto é:

* *Qo (y' , y' ) = ô (y , ) ô (y' ) (III-3. 20)

- 66 -

onde estamos impondo a condição de evoluir do vácuo para compara­

ção com a expressão encontrada na secção 1.

De maneira imediata chegamos a expressão da distribui­

9ao P(a), fazendo as substituições indicadas em (111-3.17), isto é:

* iwtP(a,a ,t) =õ(ae

- *- B(t))õ(a -iwt __ * (t))e B

(111-3.21)

Esta expressão mostra que se o sistema estava em um e~

tado coerente puro então devido a excitação ele continuará em um

estado coerente puro cuja amplitude é dada por:

-iwta = e ã (t) (111-3.22)

De outro lado, lembrando a expressão de l(t) dada por

(111-3.14) vemos que a amplitude pode s,er escrita:

a = B (t)

onde

ft -iwt'B(t) = -i f* e dt'•

(111-3.23)

(111-3.24)

amplitudes

sejada.

que-çao

coincide com a expressão (111-1.19) ou (111-1.20) se a excita­

for dada por (111-2.4).

Assim (111-3.24) é outra maneira para determinarmos as

dos estados coerentes para cada tipo de excitação f de-

Certamente um estado puro é uma simplificação muito

grande e, a seguir, consideraremos um caso mais real e incluindo

os efeitos de temperatura.

CASO B - CAMPO INICIALMENTE EM UM ESTADO MISTO

Como caso mais real vamos considerar que o campo está

inieialmente em um estado que é uma mistura de estados coerentes

- 67 -

em equilíbrio térmico. Este estado pode ser representado por uma

função gaussiana da forma:1t

_ J.:.;.L* 1 -

Q (r' ,r' ) = -- e n (III-3.25)o -IIn

onde n é o número médio de fonons no estado coerente Ir'>. Para ju~

tificar a afirmação acima vamos mostrar que esta distribuição em e~

tados coerentes é equivalente a uma distribuição de Planck.

O operador densidade para a distribuição (III-3.25) será

p = 1IIn

h'><r' I (III-3. 26)

Lembrando a expressão do Capítulo 1 para Ir'> , temos:

h"> = e

- .u.:.J.:2

(Xl

E

m=O

(r') m

(m~) l/21m>(III-3.27)

Levando (I1I-3.27) em (III-3.26) e integrando em r' vem:

...

p = 1-(l+n)

(Xl

E

m=OIm><ml (III-3.28)

Este é um operador densidade com distribuição de Planck

característica de um conjunto de osciladores harmônicos estatistic~

mente independentes e em equilíbrio térmico.

Desta maneira, justificada a expressão (III-3.25) obtemos

analogamente ao caso A a distribuição p(a) como:

_ j a-B (t) I":

* 1P{a,a ,t) = -- e

IIn

-n

(III-3. 29)

- 68 -

Note que a nova distribuição permanece do tipo térmica,

porém deslocada de um valor exatamente igual a amplitude do estado

coerente formado pela excitação. De outra forma podemos dizer que a

excitação cria um estado coerente superposto ao fundo térmico.

Como outra caracterlstica é interessante notar que an ­

tes da excitação, tlnhamos:

-~= 1

ITn

e-n

(III-3.30)

(III-3.3l)

(III-3.32)

Após a excitação a distribuição passa a ter a forma

(III-3.29) e de maneira análoga, vem:

<â> = B (t)

...+

*<a >= B

(t)

•.. ""'+,. -

I B (t) ,2<n> = <a a> = n + (III-3.33)

(1II-3.34)

(III-3.35)

T+O a distribu!

lim n = O e oT+O

Assim este novo es~ criado sobre o fundo térmico tem

propriedades muito semelhantes a um estado coerente puro porém com

o número médio de partlculas diferente. Isto era de se esperar pois

uma excitação tende sempre redistribuir o número de partículas a

fim de levar o sistema a um novo equilíbrio.

Podemos ver também que no limite em que

ção (III-3.29) tende a distribuição (III-3.2l) pois

estado será coerente puro.

(III-4.l)

- 69 -

4) Aplicação ao efeito Môssbauer

Faremos agora uma aplicação do formalismo desenvolvido

nas secções anteriores no estudo de algumas características funda­

mentais do efeito Môssbauer. Vamos antes determinar as amplitudes

estacionárias (t+oo)dos estados coerentes, escrevendo a (III-3.24)

na forma:

~

8 (q) = -i1°O f* e-iwqt'-~t' dt'MB q

o

onde estamos chamando de amplitude Môssbauer, pois ela contém todas

as informações relacionadas com tal efeito, como veremos depois.- *Desta forma, usando a expressao de f (III-2.4), encon-q

traremos:

(absorção) -

(emissão) -

13 (a) (MB q) = i k.ê ( f1 ) 1/2q 2mN

wq

= -i k.ê ( 'fi ) 1/2q 2mN

wq

(III-4 .2a)

(III-4.2b)

Lembrando a expressão do operador

ra cada modo do campo, vem2que:

J - laq-13 (q) I.. 1 -p =- e nq 7Tn q

q

densidade da secção anterior, pa-

(III-4.3)

Usando as expressões acima podemos então calcular os seguintes vaIo

res médios:.

<i > = Tr(S i) =q . q q

(III-4.4)

.•t .... )<a > = Tr{p aq q q

*= 13MB(q)

(III-4.5)

I

11I1.11 jjj i 1111 j I ~ II l,.h"~i d 111, III I j I '

- 70 -

1."1,,,,,, •.

(III-4.6)

Podemos agora obter as regras de soma para o momento e

energia transferidos ao cristal pela absorção ou emissão de um ga--ma por um nucleo.

1_, -1Para o -es~mo nuc eo, temos:

••

•. e 11 / ,-+ -+ ,-+ -+<P(l» = r ~ ( )1 2 «â > e1q•l - <â+> e~q·l) (III-4.7)q i 2mNw q q q*

Usando as expressões de 5MB(q) e 5MB(q), encontraremos:

.. 1

! ê (1í.k.ê) (~q.l + eiQ•1)<P(l» = ± - (III-4.8)2Nq q q

onde + (-) corresponde a absorção (emissão). Tornando o problema ~

nidimensional com k paralelo a ê , vem:q

~<P(l» = ± ~k ô(l,O) (III-4. 9)

Logo, o momento total transferido ao cristal, será:

,.P = E<P(l» = ±flkc .e.

que é o momento transferido ao centroPor outro lado,

a energia

(campo de fonons) ,

..çao

sera: (III-4.10)

de massa do cristal.

média do sistema com intera-

.•.

<H> =~+ ~ ~ * ~+

E {~w <a a > + ~ f <a > + ~ f <a >}q q q q q q q q

(III-4.1l)

Após as substituições de 8 e f , encontraremos:q q

•<H>

2 2

= í fl.w li + 3 (~)q q q 2m

- 71 -

(III-4.12)

Tornando o problema unidimensional, como antes, vem:

•..

<H> (111-4.13)

Desta forma vemos que a energia média transferida à rede pela inte-..

raçao sera:

AU ,.. ••• 2 2un = <H> - <H > = ~o 2m

= R (III-4.l4)

isto é, numericamente igual a energia de récuo clássica de um nú ­

cleo livre. Note que a expressão acima é a regra de soma de Lipkin

apresentada no capItulo lI.

Uma das principais motivações de usarmos uma represent~

ção não convencional como a representação de estados coerentes foi

procurar entender o efeito MOssbauer como um processo de transição

de zero fonon que não podia ser claramente conseguido na represent~

ção do capItulo lI, pois a projeção de um estado In> sobre o estado

de zero fonon 10> não teria o significado desejado, pela ortogonali

dade destes estados. Assim, usando a representação de estados coe­

rentes, vamos calcular a função deespalhamento Fs(l,t), que contém

todas as informações sobre as probabilidades de transições, mostra­

remos então que a contribuição MOssbauer (F (k,m» é a projeçio dosestado coerente 18 > sobre o estado de zero fonon (10)).

q •. - 4)Antes porem, oo~~ as expressoes (III-l.9 e III-l.1

com (II-4.6) .podemos escrever a função de espalhamento como:

-+ _ iRF (k,t) = e 1'íNs

. 2~ (R.ê) sen'W'tL.. q q

q wqTr (p T) (III-4.l5)

onde T é dada por (III-l.13), e p um produto da forma (III-4.3) e ,

portanto é suficiente calcularmos:

Lembrando que

J~

-72­

10. -B 12q q-n

<o.qI Tq H~q)Iaq> d2 aq

(III-4.l6)

+ *ala -aI a

T{al)T{a2) = e

_ 1 I 2<Ola> = e~' aI

+ * 1 * *a28 -a2 a 2 (ala2 -al(2)

e = T(al+a2) e

(III-4.17)

(III-4.l8)

podemos escrever o elemento de matriz dentro da 1ntegralcomo:

<a I T{a) Ia >= <OIT {-a )T (a )T{a »

q q q q qq q q q q

* *(a a -a a )

= <ola > e q q q qq

- 11812= e 2 q. (III-4.19)

Levando (III-4.19) em (III-4.16) e após a expansão das

exponenciais, e fazendo a mudança de variáveis

(a -a ) = (n )1/2q q q Yq

obtemos:

:(III-4.20)

Tr(pT (a »)q q qtr,s

(III-4.21)

Ca1cu1andoa.intégra1, e somando em r e s, vem:

- 73 -

= ~ I aq ,2(nq+1/2) (III-4.22)

(III-4.23)Tr (p T)

Então, para todos os mOdos do campo, temos:

_ rlaql2 (nq+l/2)= e q

(III-4.24)

R+ - - r

Fs(k,t) = e1lN q

- +.Assim a funçao de espalhamento F (k,t), para o valors

deaq(t) encontrado, será escrita:

k.é )2a- [(2n +1) cosw t±i senw t)w q q qq

onde + (-) para a

Desta

(20 +1)q,.F (k,co).s

_!L=eflN

emissão (absorção).

forma vemos que a contribuição

~.é )2

~ (--j1q q

Môssbauer será:

(III-4. 25)

Assim, no limite T+O, vemos claramente que:

(III-4.26)

que é a projeção do estado I {13MB}> sobre o estado de zero fonons ,

isto é, a probabilidade de :transição, pela absorção ou emissão, de

um gama por um núcleo, sem a consequente criação de fonons. Como

não há criação de ·fonons a 'transição Môssbauer não poderá contri-A .. _

buir com transferencia de energia a rede, ou seja, ao cristal.Con-

vém notar também que na expressão (III-4.25) está explícito o papel

da temperatura, através de n , mostrando que sua diminuiçãoaument,!..... q-ra a probabilidade de transiçao M&ssbauer. Desita maneira notamos

///)

- 74 -

- -que a representaçao usada neste trabalho e a mais natural para o

estudo deste efeito, justificando indiretamente o seu alto grau de

precisão como técnica de medição , uma vez que a relação de incer-N _

teza nesta representaçao e dada por:

ÀP6U = 1L (n +1/2)h

N q q(III-4.27)

Note outra vez o papel indesejável da temperatura, dimi­

nuindo a precisão de uma medida (no limite T~O temos incerteza míni__ N

ma). Outro fato a se ressaltar tambem e que esta representaçao cor-

respondendo, de um lado, a um tratamento semi-clássico contém, por

outro lado, propriedades e informações de efeitos puramente quânti­

cos, como o efeito Mõssbauer, o que lhe confere um futuro muito am­

plo, pelo menos na teoria de medidas.

- 75 -

COMENT~RIOS GERAIS E SUGESTÕES

,'.,.,.....,

Em toda bibliografia existente notamos sempre uma tendêa

cia a evitar o uso de representações não-ortogonais em problemas e~

volvendo espaços vetoriais tanto a 3-dimensões como para funções a

N-dimensões. Esta tendência foi motivada por algumas facilidades e

comodidades apresentadas pelas representações ortogonais e pela in!

xistência de uma representação não-ortogonal para os espaços de f~

ções. Desta maneira o tratamento de problemas envolvendo campos fi­

cou restrito apenas a formalismos baseados em representações orto­

gonais. Em 1963, R.J.Glauber(2) introduziu uma representação não-oE

togonal para o campo eletromagnético que denominou estados coeren ­

tes de fotons. Em 1969, S.M.Rezende e N.zagury(ll) introduziram os

estados coerentes de magnons. Na realidade os estados coerentes fo!

roam uma representação comum a qualquer campo bosonico.

Por outro lado podemos notar que as relações obtidas no

estudo do efeito Môssbauer, usando a representação de estados coere~

.tes são extremamente mais simples que as obtidas com as representa ­

ções convencionais. Como exemplo, basta compararmos as expressões da

energia e momento transferidos ao cristal. Mais ainda, a probabilid~

de de transição de zero-fonon não pode ser obtida usando a represen­

tação do número de ocupação do capItulo lI. Reconhecemos que esta é

uma contribuição muito pequena ao efeito Môssbauer mas entendemos

que é também fundamental.

De maneira geral as simplificações obtidas tiveram como

preço as dificuldades na determinação da função distribuição P(a) a~

sociada ao operador densidade. Hoje porém as relações entre equações

de Fokker-Planck e Langevin estão bem estabelecidas e suas soluções

bem estudadas na teoria de processos estocasticos(12). Desta maneira,

fenômenos lineares podem ser facilmente tratados como no caso do e­

feito Môssbauer; um outro exemplo seria o Polaron cuja hamiltoniana

proposta por Frõlic~ tem a mesma forma que a equação 1II-2.4.

Como este trabalho ficou restrito a excitações lineares,

seria interessante desenvolver o formalismo para o tratamento de pr2

- 76 -

cessos nao-lineares, obtendo as equações de Langevin para as ampli

tudes (III-3.l2-c) e a equação de Fokker-Planck através das equa ­

ções de evolução dos operadores (Heisenberg).

Queremos por outro lado salientar que existe grande an~

logia entre o tratamento de campos com funções de Green e com esta

dos coerentes. Estas analogias podem ser vistas no seguinte desen­

volvimento. No capítulo I definimos função de correlação de prime!

ra ordem como:

= Tr (p § (-) (x ). § (+) (x ))Àl 1 À2 2

(1)

onde explicitamos os índices de polarização.

Usando ondas planas temos:

êÀ (q). êÀ (q)1 2

2mN

(2)

pois, devido ao fato de P(a) ser gaussiana,

...... + .... ,= Tr(p a a )8(q,q) = <n >8 I.

q q q qq(3)

Assim a expressao (2) para o campo com interação ficará:

êÀ (q) • êÀ (q)1 2

2mN

(4)

pois, vimos no capItulo III que:

- -+ - - I ,2<n > = Tr(p a a) = n + 8q q q q q

(5)

- 77 -

sendo S determinado pela interação.qAnalisando a expressão entre colchetes notamos que ela é

análoga a função de Green diagonal G(q) I para bosons(lS).

Devido ainda ao fato de P(a) ser gaussiana, temos:

(6)

Então a função de correlação de 2a.ordem terá a seguinte expressão:.

Note que esta é uma forma do teorema de Wick para funções de Green(lS).

Mais ainda, o número total de partículas em um sistema pode ser cal­

culado, pois:

N = 1:

q

..•a >

q (8)

Note também a semelhança com o tratamento devido a BOgOlinbov(lS) ,

usando transformações canônicas. Isto era de se esperar pois um es­

tado coerente corresponde a um deslocamento no plano complexo dos o...... +

peradores a e a da forma:

â + a (9)

..• +'l'(-a) â T (a)

.•+ *= a + a (10 )

onde T(a) é o operador criaçao do estado Ia> , isto é:

T (a) 10> = I a> (11)

- 78 -

Para finalizar, queremos fazer apenas uma observação.

Enquanto no formalismo de função de Green o operador de~

sidaàe usado é aquele obtido para o campo sem interação aqui o ope­

rador p contém em si o termo devido a inter~ção, ist9 é, tem a for-

ma:

... 1p =---q rrn

q

f Ia ><a Iq q(12)

com B determinado pela interação.q

- 79 -

REFER~NCIAS

(1) A.S.DAVIDOV - Quantum Mechanics- Addison-Wesley, Inc.

(2) R.J. GLAUBER - Phys.Review- 131, n9 6- 2766 (1963).

(3) H.M.NUSSENZEVEIG - Introdução à Otica Quântica, PUC-RJ, (jan.

1968) •

(4) A.ABRAGAM - L'Efect Mõssbauer et Ses Aplications a L'Etude

Des Champs Internes - Gordon and Breach.

(5) T.A.BAK - Phonons and Phonon Interactions - W.A.Benjamin, Inc.

(6) A.MESSIAH - Quantum Mechanics - vo1.I- John Wi1ey & Sons,Inc.

(7) J.SCHWINGER - Phys.Rev. 75, 651 (1949).

(8) P.A.M.DIRAC - Rev. of Mod.Phys. 17,~ ~ (1945) - On the Ana10gy

Between C1assical and Quantum Mechanics.

(9) W.H.LOUISELL - Quantum Statistical Properties of Radiation.

(10) A.RAMAN, K.S.SINGWI and A.SJOHANDER- Phys.Rev. 126,3, ~ '

(1962) •

(11) S.M.REZENDE e N.ZAGURY - Phys.Lett. A, 29, 47 (1969).

(12) H.HAKEN - Rev.Mod.Phys. vol.47, n9 11, (Jan.1975).

(13) A.L.FETTER and J.D.WALECKA - Quantum Theory of Many-Particle

Systems - McGraw-Hill, Inc.