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Geotecnia I

ESTADO DE MATO GROSSOSECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Ana Elza Dalla [email protected]

Tensões no solo

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DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS

Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como:Método do espraiamento das tensões

• Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º.

Aula 13 – TENSÕES NO SOLOProfª Ana Elza Dalla Roza

|Métodos de Cálculo|

º30.222.0 tgzL

Lv

2L

30°30°

2Lz.tg30° z.tg30°

3

DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE

Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos em qualquer direçãoA isotropia reduz as constantes elásticas do solo em apenas duas: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (n)Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de solo então ele pode ser considerado homogêneo



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Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).



e

D

De

eDD

E

5


Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses:

• Comportamento linear e elásticoPara que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas

deformações), tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura• Homogeneidade

Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade

• Isotropia

O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada



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Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e também porque tem tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria da Elasticidade é aplicada como base de várias soluções desenvolvidas.



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Boussinesq - carga concentrada;Flamant - carga ao longo de uma linha de extensão infinita;Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita;Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita;Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita;Love - carga uniforme sobre superfície circular;Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular:

• Newmark• Steinbrenner

Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição de áreas (Ábaco circular de Newmark).



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SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA

Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço.A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q na superfície é:



2522

3

vzr2

zQ3σ

Sendo r e z definidos como:

r

z

Q

v

9


Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a:



r

z

Q

v2v z.Q48,0

σ

2522

3

vzr2

zQ3σ

10


As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo infinita no ponto de aplicação.



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

20 40 60 80 100 120

Tensão vertical

Q

Prof

undi

dade

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SOLUÇÃO DE FLAMANT – CARGA DISTRIBUÍDA

Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito.Exemplos:



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SOLUÇÃO DE FLAMANT – CARGA DISTRIBUÍDA

Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito.



222

3

vzr

zQ2σ

Sendo r e z definidos como:

r

z

Q

v

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SOLUÇÃO PARA CARGA DISTRIBUÍDA EM PLACA

Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente distribuída, sobre uma placa corrida, onde uma das dimensões é predominante às demais, podendo ser considerada infinita.



2cos.senQv

2b

z

Q

v

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SOLUÇÃO PARA CARREGAMENTO TRIANGULAR

Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de um carregamento triangular linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito



2sen

br

2Q

v

z

Q

v

2b

r

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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR

A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área.Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e definiu as seguintes relações:



za

m

zb

n

b

a

z

x

z

v

a.bQ

σ0

y zb

m

za

n

ou

ou

b

a

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Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela equação:

Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode ser reescrita como:

sendo I um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um ábaco, em função de m e n.Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.



2222

5,022

222222

225,022

0

112

11

212.

.4 nmnmnmmnartg

nmnmnm

nmnmmnv

v 0I .

17




0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,01 0,10 1,00 10,00n

I

1,4

1,01,2

0,9

2,0m ≥ 101,6

0,8

m = 0,1

0,2

0,3

0,6

0,4

0,5

0,7

m = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

Ábaco para a solução de Newmark para

cargas uniformemente distribuídas em área

retangular

za

m

zb

n

zb

m

za

n

ou

ou

b

a

z

x

z

v

a.bQ

σ0

y

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SOLUÇÃO DE LOVE – CARGA CIRCULAR



z v

Q

2/322

3

vzr

z1Q2r

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ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK



Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais.Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,...da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ = 0,1. Da equação de Love:

23

20

z

zr1

11I

20




rdr

dq

q

adA

drrddA q

2

522

03

zzr2

dAσz3dσ

z

a

rQ

dAσQ 0P

R

2522

3

zzr2

Qz3σ

22 rzR

2522

30

zzr2

drdrzσ3dσ

q

q

2

0

r

0 2522

30

zzr2

drrdzσ3σ

23

20z

zr1

11σσ

a0

21




1

1

13

2

I

zr

Como Iσ = f(r/z), isolando r/z teremos:

22




O traçado dos círculos segue dessa maneira:

270zr10I ,,

400zr20I ,,

520zr30I ,,

640zr40I ,,

770zr50I ,,

920zr60I ,,

111zr70I ,,

391zr80I ,,

911zr90I ,,

23




1º círculo: 20 quadros





5 círculos * 20 = 100 quadros

+

As áreas que se compensam

+10 quadros

+

24




20







+


+10 quadros

+=

Ao se contarem os quadros, faz-se uma compensação para as frações dos quadros abrangidos pela edificação.

25




Quadros completos






+

10 + 100 = 110 pontos

20



+10 quadros

+=

26




O ábaco é dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadros”) cuja unidade de influência Iσ = 0,005. Contam-se quantos quadros foram ocupados pela planta. Cada quadro carregado provoca no ponto 0,5% da tensão aplicada. O nº de quadros vezes o valor da influência (0,005) vezes a tensão aplicada indica a tensão provocada por todo o carregamento da superfície.

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SOLUÇÃO DE WETERGAARD



Para o caso de solos estratificados, material fino entremeado por lentes de areia, caso de solos sedimentares, a solução de Boussinesq não se aplica.Nesses solos, as camadas com diferentes materiais dão ao solo uma certa resistência as deformações horizontaisNesse caso, utiliza-se a solução de Westergaard que considera deformações laterais nulas.

23

2

zr21

12z

z

Qσ

Mecânica dos Solos I

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