Aluno Online - Solicitacao de Inscricao em Disciplinas (Crítica)
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7/28/2019 espacos_metricos
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Espacos MetricosMarcio Nascimento da Silva
8 de janeiro de 2009
Resumo
Dado um conjunto nao vazio, podemos definir uma maneira de medir a distanciaentre os seus elementos, o que chamamos de metrica. Assim, o conjunto passa a
ser um espaco metrico. Este trabalho e apenas uma apresentacao a este importanteconceito (de grande utilidade em analise funcional, por exemplo). Um estudo, defato, necessita de um semestre, de preferencia com uma certa familiaridade comanalise real.
1 Metricas
Seja X um conjunto nao vazio. Uma metrica em X e uma funcao
d : M M R
(x, y) d(x, y)
que satisfaz:
(i) d(x, x) = 0
(ii) Se x = y entao d(x, y) > 0
(iii) d(x, y) = d(y, x)
(iv) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
Exemplo 1.1 Seja M um conjunto qualquer nao vazio e defina a funcao:
d : M M R
(X, Y) d(X, Y) =
0 se X = Y1 se X = Y
(i) Pela propria definicao, d(X, X) = 0 para qualquer X M.
(ii) Tambem por definicao, d(X, Y) = 1 > 0 sempre que X = Y.
(iii) Claramente d(X, Y) = d(Y, X) uma vez que X = Y Y = X e X = Y Y =
X.
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(iv) Sejam X , Y , Z elementos quaisquer em M. Entao
d(X, Z) = 0 ou d(X, Z) = 1
d(X, Y) = 0 ou d(X, Y) = 1d(Y, Z) = 0 ou d(Y, Z) = 1
Da
d(X, Y) + d(Y, Z) = 0 ou d(X, Y) + d(Y, Z) = 1 ou d(X, Y) + d(Y, Z) = 2
E de toda forma,d(X, Z) d(X, Y) + d(Y, Z)
Desta maneira, temos uma metrica, chamada metrica zero-um. Na verdade, acabamos
de ver que em qualquer conjunto nao vazio podemos definir uma metrica.
Exemplo 1.2 Considere o conjunto dos numeros reaisR e a funcao
d : R R R(x, y) d(x, y) = |x y|
(i) d(x, x) = |x x| = 0
(ii) Se x = y entao x y = 0 e portanto, |x y| > 0, isto e, d(x, y) > 0.
(iii) d(x, y) = |x y| = |(1).(y x)| = | 1|.|y x| = 1.|y x| = d(y, x)
(iv) Sejam x,y,z numeros reais quaisquer. Sabemos da desigualdade triangular que
|x z| |x y| + |y z|
Exemplo 1.3 Considerando M = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) ; xi R} , ha tres metricasnaturais definidas em M:
d : Rn Rn R
(X, Y) d(X, Y) =
(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2
d : Rn Rn R
(X, Y) d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn| =n
i=1
|xi yi|
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d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = max{|x1 y1|, . . . , |xn yn|} = max
1in{|xi yi|}
As condicoes(i), (ii), (iii) que caracterizam uma metrica podem ser facilmente provadaspara d, d, d. A condicao (iv) e imediata para d e d, ja para d, a condicao (iv) sera vistamais adiante.
2 Espacos Metricos
Dado um conjunto nao vazio M e uma metrica d definida em M, o par (M, d) serachamado espaco metrico. Quando nao houver duvida quanto a metrica definida, diremos
simplesmente que M e um espaco metrico.Num espaco metrico (M, d), a metrica d tambem e chamada distancia.
Exemplo 2.1 O conjunto das matrizesM(m, n) com entradas reais e a metrica zero-um.
Exemplo 2.2 O espaco euclidiano Rn com a metrica
d(X, Y) =
(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2
onde X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn). Geometricamente, esta metrica repre-senta a distancia euclidiana entre os pontos X e Y.
d
x x
y
y
1
1
2
2
Figura 1: Metrica d.
Essa metrica nos da a distancia usual entre dois pontos do espaco Rn e e chamadametrica euclidiana.
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2
|x y ||x y |
1
|x y |2
3
Figura 2: Metrica d em R3.
Exemplo 2.3 O espaco euclidiano Rn com a metrica
d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn|
Geometricamente, a distancia entre dois pontos e considerada como a soma dasdistancias em cada direcao. A Figura 2 traz um exemplo emR3.
Exemplo 2.4 O espaco euclidiano Rn com a metrica
d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = max
1in{|xi yi|}
Esta metrica da uma outra maneira de calcular a distancia entre dois pontos, que econsiderando a maior distancia entre as distancias em todas as direcoes, como mostra aFigura 3
Proposicao 2.1 Sejam d, d, d as metricas naturais definidas em Rn. Para quaisquerX, Y Rn, temos:
d(X, Y) d(X, Y) d(X, Y) n.d(X, Y)
Prova: Sejam X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) Rn. Entao
d(X, Y) = max1in
{|xi yi|} = |xk yk|
para algum k {1, 2, . . . , n}. Como
|xk yk| =
(xk yk)2
(x1 y1)2 + . . . + (xk yk)2 + . . . + (xn yn)2 = d(X, Y)
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|x y ||x y |
1
|x y |2
3
d
Figura 3: Metrica d em R3.
segue qued(X, Y) d(X, Y)
Observe ainda qued(X, Y) = max
1in{|xi yi|} = |xk yk|
implica que |xi yi| |xk yk| para todo i {1, 2, . . . , n} e
d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn|
|xk yk| + |xk yk| + . . . + |xk yk| = n.|xk yk|
= n.d(X, Y)
Resta ver qued(X, Y) d(X, Y)
para isso, note que[d(X, Y)]2 = (x1 y1)
2 + . . . + (xn yn)2
enquanto
[d(X, Y)]2 = [|x1 y1| + . . . + |xn yn|]2
= |x1 y1|2 + 2.|x1 y1|.
n
i=2
|xi yi|
+
n
i=2
|xi yi|
2
= |x1 y1|2 +
n
i=2
|xi yi|
2+ 2.|x1 y1|.
n
i=2
|xi yi|
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Desenvolvendo
n
i=2
|xi yi|
2, teremos
ni=2
|xi yi|2
= [|x2 y2| + . . . + |xn yn|]2
= |x2 y2|2 + 2.|x2 y2|.
n
i=3
|xi yi|
+
n
i=3
|xi yi|
2
Repetindo o processo, teremos
[d(X, Y)]2 = |x1 y1|2 + . . . + |xn yn|
2 +
onde 0. Desta forma,
[d(X, Y)]2 = [d(X, Y)]2 + e portanto
[d(X, Y)]2 [d(X, Y)]2
que implica emd(X, Y) d(X, Y)
uma vez que d, d sao nao negativos.
2.1 Algumas consideracoes sobre os numeros reaisUm subconjunto X dos numeros reais chama-se limitado superiormente quando existeb R tal que b x para qualquer x R. O numero b e chamado uma cota superior paraX.
b
X
Figura 4: Conjunto limitado superiormente.
Analogamente, se X e um subconjunto de R tal que a x para qualquer x X, entaoX e dito limitado inferiormente. O numero a e chamado uma cota inferior para X.
Veja que quando b e uma cota superior para X, entao qualquer B > b, tambem euma cota superior para X. Da mesma forma, se a e uma cota inferior para X, qualquernumero A < a tambem e uma cota inferior para X. Vale ressaltar que uma cota (superiorou inferior) de um conjunto X nao precisa ser elemento de X.
No entanto, dado um conjunto X limitado superiormente, podemos tomar a menorcota dentre todas as cotas superiores. Esta cota e chamada supremo de X, isto e:
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X
a
Figura 5: Conjunto limitado inferiormente.
(1) Considere o conjunto formado por todas as cotas superiores de X, digamos S;
(2) Tome o menor elemento de S, digamos,
(3) Supremo de X = . Notacao: = sup X.
Por exemplo, se X = [0, 1), entao qualquer elemento em [1, +) e uma cota superiorpara X no entanto, o supremo de X e o menor elemento de [1, +), isto e, sup X = 1.
De maneira analoga definimos o nfimo de um conjunto X R sendo a maior dascotas inferiores de X, isto e:
infX = max{a R ; a x, x X}
Voltando ao conjunto X = [0, 1), vemos que infX = 0. E claro que nem todo subconjuntode X possui supremo e/ou nfimo. Por exemplo, o conjunto X = [0, +) nao e limitadosuperiormente, portanto, nao existem cotas superiores nem supremo para X. Da mesmaforma o conjunto X = (, 1) nao e limitado inferiormente e portanto nao possui cotasinferiores, o que implica na nao existencia de nfimo. O conjunto R nao e limitado neminferiormente nem superiormente.
Exemplo 2.5 Seja um conjunto nao vazio. Dizemos que uma funcao f : Re limitada quando existe um k > 0 tal que |f(x)| k para todo x . Considere oconjunto de todas as funcoes definidas em e limitadas:
B(;R) = {f : R ; f limitada}
Vamos definir a seguinte metrica em B(;R):
d(f, g) = supxX
|f(x) g(x)|
Geometricamente, d da o comprimento da maior corda vertical ligando os dois graficos,como mostra a Figura 6
Esta metrica e conhecida como metrica do sup. Verifiquemos que, de fato, se tratade uma metrica em B(;R).
(i) d(f, f) = supxX
|f(x) f(x)| = supxX
0 = 0
(ii) Se f = g, entao existe x0 X tal que f(x0) = g(x0), da, |f(x0) g(x0)| > 0. ComosupxX
|f(x) g(x)| |f(x0) g(x0)|, segue que d(f, g) > 0.
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f
g
X
d(f,g)
Figura 6: Metrica do sup para o conjunto B(;R).
(iii) Como |f(x) g(x)| = |g(x) f(x)|, temos,
d(f, g) = supxX
|f(x) g(x)| = supxX
|g(x) f(x)| = d(g, f)
(iv) Sejam f , g , h B(;R). Entao
d(f, g) = supxX
|f(x) g(x)|
d(g, h) = supxX
|g(x) h(x)|
Como |f(x) g(x)| e |g(x) h(x)| sao numeros positivos, entao
supxX
|f(x) g(x)| + supxX
|g(x) h(x)| = supxX
{|f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|}
Por outro lado, pela desigualdade triangular,
|f(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|
para qualquer x X. Da,
supxX
|f(x) h(x)| supxX
{|f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|}
isto ed(f, h) d(f, g) + d(g, h)
Exemplo 2.6 Considere o conjunto C[a, b] das funcoes contnuas definidas no intervalo[a, b]. Defina em C[a, b] a func ao
d(f, g) = b
a
|f(t) g(t)|dt
Tal funcao e uma metrica. Com efeito,
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(i) d(f, f) =
ba
|f(t) f(t)|dt =
ba
0.dt = 0
(ii) Se f = g, entao existe x [a, b] tal que f(x) = g(x) e portanto f(x) g(x) = 0. Da
d(f, g) =
ba
|f(t) g(t)|dt > 0
(iii) Como |f(x) g(x)| = |g(x) f(x)| para qualquer x X, entao
d(f, g) =
ba
|f(t) g(t)|dt =
ba
|g(t) f(t)|dt = d(g, f)
(iv) Dadas f , g , h C[a, b], temos
|f(x) h(x)| = |f(x) g(x) + g(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|
para qualquer x [a, b]. Sendo as funcoes |f(x)h(x)| e|f(x)g(x)|+|g(x)h(x)|contnuas (portanto, integraveis), segue que
|f(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|
implica em
b
a
|f(t)h(t)|dt b
a
[|f(t)g(t)|+|g(t)h(t)|]dt = b
a
|f(t)g(t)|dt+b
a
|g(t)h(t)|dt
ou sejad(f, h) d(f, g) + d(g, h)
Logo, com a metrica dada, C[a, b] e um espaco metrico.
2.2 Espacos Vetoriais Normados
Seja V um espaco vetorial real. Uma norma em V e uma funcao real
: V Rv (v)
que associa a cada elemento v V o numero real (v) chamado norma de v e alem dissosatisfaz:
(N1) Se v =0 V entao (v) = 0.
(N2) Se R entao (.v) = ||.(v)
(N3)
(u
+v
)
(u
) +
(v
)
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E mais comum usarmos a notacao ||v|| em vez de (v).Quando no espaco vetorial V puder ser definida uma norma, dizemos que (V, || ||) e
um espaco vetorial normado, ou simplesmente V e um espaco vetorial normado.
Exemplo 2.7 (Normas em Rn) Considere o espaco vetorial
Rn = {X = (x1, x2, . . . , xn) ; xi R}
e as funcoes
||X|| =
x21 + x22 + . . . + x
2n
||X|| = |x1| + |x2| + . . . + |xn|
||X|| = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}
Todas essas funcoes sao normas emRn.
Exemplo 2.8 No conjunto B(;R)1, defina a funcao
||f|| = supxX
|f(x)|
Temos ai uma norma, e portanto, B(;R) e um espaco vetorial normado.
Todo espaco vetorial normado (V, || ||) pode se tornar um espaco metrico. Bastadefinirmos a metrica da seguinte forma:
d(u, v) = ||u v||
Esta metrica e dita proveniente da norma. Verifiquemos que, de fato, ||u v|| e umametrica:
(i) d(X, X) = ||X X|| = ||0 || = ||0.
0 || = |0|.||
0 || = 0
Da tambem temos que
0 = ||X X|| = ||X + (X)|| ||X|| + || X|| = ||X|| + | 1|.||X|| = 2||X||
e portanto ||X|| 0.
(ii) Se X = Y entao X Y =0 , logo, ||X Y|| = 0 e portanto d(X, Y) > 0.
(iii) d(X, Y) = ||X Y|| = ||(1).(Y X)|| = | 1|.||Y X|| = ||Y X|| = d(Y, X)
(iv) Dados X , Y , Z V, temos
d(X, Z) = ||X Z|| = ||X Y + Y Z|| ||X Y|| + ||Y Z|| = d(X, Y) + d(Y, Z)
1verifique que se trata realmente de um espaco vetorial.
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2.3 Espacos Vetoriais com produto interno
Seja V um espaco vetorial real. Um produto interno em V e uma funcao
, : V V R(X, Y) X, Y
que associa a um par de elementos X, Y V o numero real X, Y chamado produtointerno de X por Y e satisfaz as seguintes condicoes
(1) Se u,v,w V entao u + v, w = u, w + v, w
(2) Se u, v V e R, entao u,v = u, v
(3) u, v = v, u
(4) Se u =0 V entao u, u > 0
Dessas propriedades, decorrem:
u, v + w = u, v + u, w
u,v = u, v
0 V, u = 0
A partir de um produto interno, podemos definir uma norma em um espaco vetorial(V, , ). Basta definir:
||X|| =
X, X
Neste caso dizemos que a norma provem de um produto interno. De fato,
(N1) Se X =0 entao ||X|| =
X, X > 0 pela condicao (4).
(N2) ||.X|| =
X,X =
()2X, X = ||.
X, X = ||.||X||
Para provar (N3), antes precisamos do seguinte resultado:
Proposicao 2.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|X, Y| ||X||.||Y||
Prova: Se X =0 , entao X, Y = 0 e ||X|| = 0, o que torna obvia a desigualdade.
Agora vamos supor X =0 . Entao ||X|| > 0 e podemos definir o seguinte numero
=X, Y
||X||2
Desta forma, se tomarmos o elemento Z = Y X, temos
Z, X = Y, X X, Y
||X||2X, X = Y, X
X, Y
||X||2.||X||2 = 0
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Sendo Z = Y X, temos Y = Z + X e
Y, Y = Z, Z + Z, X + X, Z + 2X, X
isto e
||Y||2 = ||Z||2 + 2||X||2 + 2X, Z = ||Z||2 + 2||X||2
uma vez que Z, X = 0. Da
||Y||2 = ||Z||2 + 2||X||2 = ||Y||2 2||X||2
Mas
2||X||2 =
X, Y
||X||2
2||X||2 =
X, Y
||X||
2Da
||Y||2 X, Y
||X|| 2
isto e,X, Y2 ||X||2||Y||2
e extraindo a raiz quadrada nos dois membros, temos
|X, Y| ||X||.||Y||
Voltando a prova de (N3):
||X + Y||2 = X + Y, X + Y
= ||X||
2
+ ||Y||
2
+ 2X, Y ||X||2 + ||Y||2 + 2.|X, Y|
||X||2 + ||Y||2 + 2.||X||.||Y|| = (||X|| + ||Y||)2
Observacao 2.1 Nem toda norma provem de um produto interno!
Uma forma de saber se uma dada norma provem ou nao de um produto interno e aseguinte
Teorema 2.1 Se uma norma || || num espaco vetorial V provem de um produto interno,entao vale a lei do paralelogramo:
||X + Y||2 + ||X Y||2 = 2(||X||2 + ||Y||2)
Prova: Suponha que a norma || || provem de um produto interno, isto e, dado X V,vale:
||X|| =
X, X
Desta forma, temos
||X + Y||2 + ||X Y||2 = X + Y, X + Y + X Y, X Y
= ||X||2 + 2X, Y||Y||2 + ||X||2 2X, Y + ||Y||2
= 2||X||2 + 2||Y||2
= 2(||X||2 + ||Y||2)
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Desta forma, se nao vale a lei do paralelogramo, a norma nao provem de um produtointerno.
Exemplo 2.9 Considere o conjunto C[0, 1] e a norma||f|| = sup
x[0,1]
|f(x)|
Tome, por exemplo, defina h(x) = 2x 1 e
f(x) =|h(x)| h(x)
2g(x) =
|h(x)| + h(x)
2Desta forma
f(x) g(x) = h(x) f(x) + g(x) = |h(x)|
Portanto,
||f
g
|| = supx[0,1] | h
(x
)| = 1
||f + g|| = supx[0,1]
|h(x)| = 1||f|| = 1, ||g|| = 1
Assim,||f g||2 + ||f + g||2 = 2
e2(||f||2 + ||g||2) = 4
Vimos, entao, que num espaco vetorial com produto interno, podemos definir umametrica a partir do produto interno, uma vez que a partir deste, obtemos uma norma:
d(X, Y) = ||X Y|| = X Y, X Y = ||X||2 + ||Y||2 2X, Y
Exemplo 2.10 (Espacos vetoriais com produto interno) Considerando o espaco ve-torialRn, dados dois elementos X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn), a funcao
X, Y = x1.y1 + x2.y2 + . . . + xn.yn
e um produto interno emRn. A norma que provem desse produto interno e
||X|| = X, X = x21 + x22 + . . . + x2ne a metrica definida por esse produto interno e
d(X, Y) = ||X Y|| =
(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2
Referencias
[1] LIMA, Elon Lages. CURSO DE ANALISE, vol. 1. Projeto Euclides, Rio de Janeiro,1995.
[2] LIMA, Elon Lages. ESPACOS METRICOS. Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1993.
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