Equipolência de segmentos orientados

Seja AB um segmento

orientado de origem A e

extremidade B. Isto é, no

segmento AB estabelecemos

um sentido de percurso

(orientação) de A para B.

Nessa situação, dizemos que

o segmento BA está orientado

com o sentido de percurso

oposto ao do segmento AB

(Figura 1.20).

A seguinte proposição fornece um critério para verificar

quando dois segmentos são equipolentes.

Vamos caracterizar a equipolência em termos de

coordenadas. Para isso, consideremos um sistema de

eixos ortogonais OXY no plano, e sejam A = (a1; a2);

B = (b1; b2); C = (c1; c2) e D = (d1; d2) pontos do plano

expressos em coordenadas com relação ao sistema

dado.

Exemplo 9

Dados os pontos A = (1; 2), B = (3; -2) e C = (-2; 0),

determine as coordenadas do ponto D = (x; y) de modo que AB ≡ CD.

Vetores no plano

Definição

Dados A = (a1, a2) e B = (b1, b2), os

números b1 – a1 e b2 – a2 são as

coordenadas do vetor v = AB e escrevemos

v = (b1 – a1 , b2 – a2).

Sejam A = (1; 2), B = (3; 1) e C = (4; 0). Determine as

coordenadas do vetor v = AB e as coordenadas do

ponto D tal que v = CD .

Exemplo

Exemplo

Dados A = (-1; 2) e B = (4; 1), determine o ponto P tal

que OP = AB .

Lembrar que:

Operações com vetores

A operação de adição de vetores que a cada par

de vetores u e v associa um novo vetor, designado

u + v e chamado soma dos vetores u e v .

Adição de vetores em coordenadas.

Na prática a operação de adição de vetores é

realizada através da representação por meio de

coordenadas em relação a um sistema de eixos

ortogonais.

Multiplicação de vetores por escalares.

Que a cada vetor v e a cada número real λ Є R2

(também chamado escalar) associa o vetor λv ,

chamado produto do escalar λ pelo vetor v .

Sejam u = (3; -1) e v = (1; 2), determine:

Exemplos:

(a) α = - u - v

(b) Β = - 2u + v

(c) 𝛾 =1

2𝑢 + 2𝑣

Combinação linear de vetores

Exemplo:

O vetor u = (1; 0) não é múltiplo de v = (1; 1) e é múltiplo

do vetor w = (3; 0).

Exemplo:

Os vetores u = (1; 2) e v = (3; 6) são múltiplos um do

outro?

Exemplo:

Verifique que qualquer vetor do plano se escreve como

combinação linear dos vetores u = (2; -1) e v = (-3; 2).

Escreva o vetor w = (1; 1) como combinação linear de u

e v .

Produto interno Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano.

Exemplo:

1) Dados A = (-1; 2) e B = (4; 1), determinar a norma

do vetor v = AB .

3) Determinar os vetores unitários paralelos ao vetor v =

(1; -2).

2) Determinar o normalizado do vetor u = (3; -2).

Em termos de coordenadas:

Exemplo:

Determine x Є R2 para que o produto interno dos

vetores u = (4; -3) e v = (x; 1) seja igual a 5.

Exemplo:

Calcule o cosseno do ângulo 𝜃 =< 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 , sabendo

que A = (-2; 3), B = (0; 1) e C = (4; 2).

Exercícios Questão 1:

Questão 2:

Questão 3:

Questão 4:

Questão 5: