eq.max

Equaes deMaxwell na

forma diferencial

Robenil dosSantos Almeida

Sumrio

Equaes deMaxwell naforma integral

Teorema dadivergncia

Teorema deStokes

Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial

Referncias

Equaes de Maxwell na forma diferencial

Robenil dos Santos Almeida

Universidade Federal do Recncavo da Bahia

9 de Maro de 2015

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Equaes de Maxwell na forma integral

Lei de Gauss: S

~E d ~A = qint0

Lei de Gauss para o magnetismo:

S

~B d ~A = 0

Lei de Faraday:C

~E d~l = t

S

~B d ~A

Lei de mpere-Maxwell:C

~B d~l = 0Ic + 00 t

S

~E d ~A

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Teorema da divergncia

O fluxo de um campo vetorial ~F atravs de uma superfciefechada S igual integral do divergente de ~F sobre o volumev limitado por S , ou seja:

S

~F d ~A =

v( ~F )dV

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes estabelece que a circulao de um campovetorial ~F em torno de um caminho (fechado) C igual integral de superfcie do rotacional de ~F sobre a superfcieaberta S , limitada por C , desde que ~F e ~F sejam contnuossobre S . De acordo com o teorema:

C

~F d~l =

S( ~F ) d ~A

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Lei de Gauss na forma diferencial

A lei de Gauss na forma integral

S

~E d ~A = qint0

(1)

Usando o teorema da divergncia, temos que

S

~E d ~A =

v( ~E )dV

Sabemos que a densidade de carga a carga sobre o elementode volume, ento podemos escrever a carga como

qint =

vd ~V

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Fazendo essas substituies, a Eq.(1) fica

v( ~E )d ~V = 1

0

vd ~V

Para que as duas integrais sejam iguais sobre qualquer volumearbitrrio, necessrio que os integrandos sejam idnticos emcada ponto. Portanto, em qualquer ponto do espao:

~E = 0

(Lei de Gauss na forma diferencial)

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Forma diferencial da Lei de Gaus para omagnetismo

Temos que S

~B d ~A = 0 (2)

Usando o teorema da divergncia, encontramos que

S

~B d ~A =

v( ~B)d ~V

Com isso, substituindo na Eq.(2) e resolvendo-a, obtemos fi-nalmente

~B = 0

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Lei de Faraday na forma diferencial

Na forma integral, a lei de Faraday expressa comoC

~E d~l = t

S

~B d ~A (3)

Pelo teorema de Stokes, podemos escreverC

~E d~l =

S( ~E ) d ~A

Substituindo na Eq.(3), temos

S( ~E ) d ~A =

S

~B

t d ~A

~E = ~B

t

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Lei de mpere-Maxwell na forma diferencialna forma integral, temos que

C

~B d~l = 0Ic + 00 t

S

~E d ~A (4)

Podemos escrever a corrente em termos da densidade de cor-rente:

Ic =

S

~J d ~A

e usando no primeiro termo o teorema de Stokes, ou sejaC

~B d~l =

S ~B d ~A

Podemos reescrever a Eq.(4) como

S ~B d ~A =

S

(0 ~J + 00

~E

t

) d ~A

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Chegamos a

~B = 0 ~J + 00~E

t

(Lei de mpere-Maxwell na forma diferencial)

Equaes deMaxwell na

forma diferencial


Sumrio



Teorema deStokes


Referncias

Referncias

EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.Primeira edio. Editora: McGraw-Hill. So Paulo, 1980.

SumrioEquaes de Maxwell na forma integralTeorema da divergnciaTeorema de StokesEquaes de Maxwell na forma diferencialLei de Gauss na forma diferencialForma diferencial da Lei de Gaus para o magnetismoLei de Faraday na forma diferencialLei de mpere-Maxwell na forma diferencial

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