.

430

ENSINANDO REA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Rita de Cssia Pavani LAMAS1 Alexsandra Ribeiro CCERES2

Fabiana Mara da COSTA3 Inai Marina Constantino PEREIRA4

Juliana MAURI4

Resumo: No ensino fundamental evidente a dificuldade dos alunos em entender o conceito de rea de uma figura plana. Em geral, os professores trabalham meramente aplicaes de frmulas e o aluno no sabe o que realmente significa quando diz: a rea desta folha 10 cm2. Tal conceito deve ser introduzido, a princpio, na quinta srie do Ensino Fundamental, de forma clara e precisa, sendo necessrio retom-lo nas demais sries, caso os alunos no tenham claro tal conceito. Com o objetivo de um melhor entendimento e interesse dos alunos sobre este conceito to importante dentro da Geometria, este artigo apresenta uma maneira de trabalhar rea no ensino fundamental, o qual pode ser adaptado para todas as sries. Neste sentido, so propostas atividades experimentais envolvendo materiais concretos, a serem desenvolvidas com o aluno em sala de aula. Tais atividades tm o objetivo de fazer com que o aluno descubra propriedades matemticas que devem ser formalizadas aps as atividades. Ainda, so propostas atividades que possibilitam ao aluno aplicar o conceito adquirido, no seu cotidiano, permitindo que este aluno melhore o seu nvel de numeramento.

Palavras-chave: material concreto; rea; atividades experimentais; numeramento.

1. HISTRICO Observando as provas da Olimpada de Matemtica de So Jos do Rio Preto de

2005, assim como as provas do sistema de avaliao dos alunos do Estado de So Paulo - SARESP, foi verificado que no suficiente um aluno saber aplicar frmulas para calcular a rea de uma figura plana. necessrio entender o conceito de rea. Um dos objetivos da metodologia adotada no projeto do Ncleo de Ensino da UNESP- IBILCE, intitulado: Vivendo a Geometria, desenvolvido durante o ano de 2005, em parceria com a E. E. Prof Maria de Lourdes Murad de Camargo de So Jos do Rio Preto, suprir as dificuldades dos alunos, no entendimento do conceito citado, utilizando materiais concretos, os quais facilitam na sua visualizao. Para isso, o projeto contou com o auxlio financeiro da FUNDUNESP.

O projeto tambm envolveu a aplicao dos conceitos adquiridos no cotidiano dos alunos. Segundo os dados do INAF Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional de 2004, o nvel de numeramento dos alunos baixo, isto , os alunos encontram dificuldades para relacionar o que dado em sala de aula com o seu dia-a-dia. Neste artigo sero apresentados exemplos de aplicaes envolvendo rea de uma figura plana, contribuindo para melhorar esse nvel de numeramento.

.

431

2. DESENVOLVIMENTO

Apresentamos a seguir atividades experimentais a serem desenvolvidas com os alunos em sala de aula. Sero subdivididas em atividades experimentais com o intuito de introduzir e desenvolver o conceito de rea, atividades experimentais para utilizar conhecimentos anteriormente adquiridos na obteno das frmulas para o clculo da rea de figuras planas, aplicaes que mostram como o contedo da sala de aula est presente no cotidiano do aluno, exerccios, com o objetivo de analisar a aprendizagem do aluno em relao ao contedo de rea apresentado. No final de cada atividade apresentamos um comentrio, o qual s deve ser apresentado aos alunos, na formalizao das propriedades matemticas, aps eles desenvolverem os experimentos. importante que o professor deixe o aluno apresentar o que ele conseguir em cada atividade, antes da formalizao. desta forma que o aluno estar construindo o seu prprio conhecimento e poder ter mais interesse pela Geometria.

2.1 Atividades Experimentais

ATIVIDADE 1 Objetivo:

Introduzir o conceito de rea.

Materiais:

- 15 ou mais quadrados de 1 cm de lado; - Cola; - Papel; - Lpis; - Rgua.

Utilizao do Material:

1) Desenhe um retngulo de lados 5 cm e 3 cm. 2) Cubra o retngulo com os quadrados sem sobreposio. Quantos quadrados

voc utilizou? Voc sabe o que significa esse nmero encontrado?

.

432

Comentrio:

Contando a quantidade de quadrados de 1 cm que foram necessrios para cobrir toda a regio retangular encontramos um nmero, o qual chamado de rea do retngulo desenhado.

O quadrado de rea 1 cm de lado chamado de unidade de rea. Por definio, a rea deste quadrado 1 cm. Foram necessrios 15 quadrados de lado 1cm para cobrir o retngulo, sendo que cada um tem rea 1cm. Assim a rea do retngulo 15cm.

No caso de uma figura plana F qualquer, a rea a medida da poro do plano ocupada por F. Para calcular essa medida tomamos uma certa unidade de rea, a qual comparada com F, verificando quantas vezes a figura F contm a unidade de rea. O nmero assim obtido a medida conhecida como rea da figura F.

ATIVIDADE 2

Objetivo: Construir quadrados de um metro de lado com rea igual a 1 m2 e descobrir a

correspondncia entre as unidades de medida m e cm.

Materiais:

- Jornal; - Fita mtrica; - Tesoura; - Fita adesiva; - Lpis.

Utilizao do Material:

1) Una folhas de jornal utilizando a fita adesiva, de modo a formar o quadrado Q de lado um metro.

2) Qual a rea do quadrado Q tomando como unidade de medida de rea o quadrado de lado 1 cm?

3) Escreva a rea de Q tomando como unidade de medida de rea o prprio quadrado de lado 1 m.

4)O que voc pode concluir em relao rea de Q, comparando os resultados do 2 e 3 passos?

.

433

Comentrio:

Pde ser observada uma correspondncia entre cm e m.

Deixar claro que dependendo da figura que temos para fazer o clculo de rea, conveniente utilizarmos como unidade de rea, o metro quadrado (m2) ao invs de utilizarmos o centmetro quadrado (cm2).

ATIVIDADE 3 Objetivo:

Aplicar o conceito de rea adquirido na atividade 1, para descobrir a frmula para o clculo da rea do quadrado e do retngulo, tomando como unidade de medida de rea, o quadrado de rea 1 cm.

Materiais:

- Lpis; - Rgua.

Utilizao do Material: 1) Quadricular os quadrados e os retngulos a seguir, utilizando quadrados de 1 cm

de lado.

2) Dar a rea dos quadrados.

.

434

3 ) Escrever a rea de cada quadrado como produto de dois nmeros. O que voc conclui quanto a rea do quadrado? 4) Repita os passos anteriores para os retngulos.

Comentrio:

Pode ser observado que no clculo da rea do quadrado, assim como no clculo da rea do retngulo, o nmero de unidades de rea (quadrado de rea 1 cm2) coincide com o produto do nmero de unidades do comprimento (b) pelo nmero de unidades da altura (h). Dessa maneira, a rea A do retngulo A = b h. Na rea do quadrado, como o comprimento e a altura tm as mesmas medidas (L), pode ser representada pelo produto dos lados, ou seja, A = L2 .

Observamos que nas atividades 1 e 3 foram assumidos apenas nmeros inteiros para os lados do quadrado e do retngulo.Tais atividades podem tambm serem desenvolvidas para nmeros racionais e irracionais (Lima, 1985).

ATIVIDADE 4

Objetivo: Observar a conservao de rea de figuras planas.

Materiais: - Retngulo desenhado no papel quadriculado, com uma das diagonais marcada;

- Tesoura.

Utilizao do Material:

1) Qual a rea do retngulo dado considerando o quadrado do papel quadriculado como unidade de rea?

2) Recorte o retngulo na diagonal marcada. 3) Una os tringulos formando uma figura diferente do retngulo dado. Qual a

rea da figura obtida?

Comentrio:

A rea da figura obtida deve ser calculada observando que o nmero de quadrados necessrios para cobrir os tringulos permanece o mesmo independente de como se posicionar os

.

435

tringulos.

A atividade 4 pode ser desenvolvida para diferentes polgonos, de forma a levar o aluno a concluir: se uma nova figura formada a partir da decomposio de uma figura dada, possui a mesma rea desta figura. Dizemos que h uma conservao da rea, com a decomposio de uma figura.

A conservao de rea ser importante na obteno das frmulas para o clculo das reas dos polgonos como o paralelogramo, trapzio, etc.

ATIVIDADE 5

Objetivo: Obter a frmula para calcular a rea do paralelogramo.

Materiais:

- Um paralelogramo feito em cartolina (ou papel carto, ou sulfite); - Tesoura.

Utilizao do Material:

1) No paralelogramo dado, trace a altura AE relativa ao lado CD, como na figura a seguir. Recorte o paralelogramo na altura AE.

2) Com as duas figuras obtidas monte um polgono no qual a rea j foi trabalhada (retngulo ou quadrado). Qual a frmula para calcular a rea do polgono obtido?

3) Qual a frmula para calcular a rea do paralelogramo?

Comentrio:

Com essa atividade, verificamos que o polgono formado no 2 passo um retngulo, cuja rea A= b h.

.

436

Como o retngulo foi obtido da decomposio do paralelogramo, a rea do paralelogramo a mesma rea do retngulo obtido, pela conservao da rea. Logo, para calcular a rea do paralelogramo multiplicamos a medida do lado (b) pela altura relativa a este lado (h), ou seja, Ap = b.h.

ATIVIDADE 6

Objetivo: Obter a frmula para calcular a rea do trapzio de base menor b e base maior B.

Materiais: - Cartolina; - Lpis; - Tesoura.

Utilizao do Material:

1) Construir dois trapzios em cartolina (ou papel carto, ou sulfite) igual ao apresentado a seguir.

2) Com os dois trapzios, monte um polgono que voc j sabe calcular a rea. 3) Qual a frmula para calcular a rea do trapzio no 1 passo?

Comentrio:

Verificamos que a figura formada um paralelogramo (ver figura), cuja rea j sabemos calcular. Como esse paralelogramo formado por dois trapzios iguais, a rea do

.

437

trapzio dado no 1 passo, dada pela rea do paralelogramo formado, dividida por dois.

Como o lado do paralelogramo formado pela soma das bases do trapzio, ou seja, B+b, a frmula para calcular a rea do trapzio :

At = (B+b) . h . 2

ATIVIDADE 7

Objetivo: Obter a frmula para calcular a rea do losango.

Materiais: - Um losango feito em cartolina;

- Tesoura.

Utilizao do Material:

1) Trace as diagonais no losango dado, como na figura.

2) Recorte na diagonal menor (d) formando dois tringulos.

.

438

3) Com os dois tringulos monte uma figura conhecida que voc j sabe calcular a rea. Qual a frmula para calcular a rea desta figura?

4) Qual a rea do losango?

Comentrio:

Verificamos que a figura formada um paralelogramo do tipo a seguir.

Logo, a rea do losango a rea do paralelogramo obtido no 3 passo. O lado do losango formado pela diagonal menor (d) e a altura formada pela metade da diagonal maior (D/2). Portanto, a frmula para calcular a rea do losango :

Al = 2.dD

.

ATIVIDADE 8 Objetivo:

Obter a frmula para calcular a rea do tringulo.

Materiais:

- Tesoura; - Cartolina.

Utilizao do Material:

1) Construa: Dois tringulos retngulos iguais ao tringulo a seguir.

Dois tringulos obtusngulos iguais ao tringulo a seguir.

.

439

Dois tringulos acutngulos iguais ao tringulo a seguir.

2) Una os dois tringulos retngulos de modo a formar uma figura na qual a rea j conhecida. Qual a rea do tringulo retngulo dado?

3) Repita o segundo passo para os tringulos obtusngulos e acutngulos. Comentrio:

Com esta atividade concluiu-se que a rea do tringulo dado igual a metade da rea do retngulo ou do paralelogramo obtido, dependendo do tringulo dado, ou seja,

At = 2.hB

.

ATIVIDADE 9 Objetivo:

Exercitar o conceito de rea e as frmulas para o clculo da rea de polgonos.

Materiais: - Geoplano;

.

440

- Lpis; - Papis ou caderno; - Elsticos.

Utilizao do Material:

1) Construa no Geoplano os polgonos, com os elsticos, de acordo com a figura a seguir.

2 ) Sem utilizar as frmulas de reas obtidas nas atividades de 3 a 8, verifique se a soma das reas dos polgonos maior, menor ou igual a rea da regio restante do geoplano.

3) Efetue os clculos das reas dos polgonos utilizando as frmulas para o clculo de reas conhecidas e verifique se sua resposta do 2 passo est correta.

Comentrio:

A utilizao do geoplano estimula os alunos quanto aprendizagem e possibilita utilizar os resultados de rea obtidos anteriormente.

2.2 Aplicaes no Cotidiano

.

441

APLICAO 1 Objetivo:

Estimular o aprendizado abordando questes prticas de geometria plana e sistemas de medidas do nosso cotidiano.

Desenvolvimento:

Utilize os metros quadrados obtidos na atividade 2 para calcular, aproximadamente, a rea da lousa e da porta da sala de aula.

APLICAO 2

Objetivo: Idem aplicao 1.

Materiais:

- Fita mtrica;

- Papel ou caderno;

- Lpis.

Desenvolvimento:

1) O que preciso para a construo de uma casa ? 2) Como o pedreiro sabe o tamanho e o modelo de uma casa? 3) O projeto de uma casa necessrio? Por qu ?

Comentrio:

Nessa aplicao o professor deve levar o aluno a observar que para construir uma casa, preciso alm do terreno, material e mo-de-obra (engenheiro e pedreiro), o projeto da casa, iniciando com a planta baixa da casa. A planta baixa consiste no desenho da casa e suas divises internas vistas de cima, a uma distncia considervel. Deve ainda observar que ao projet-la, no basta decidir o formato, o tamanho ou a fachada. preciso procurar meios para garantir o conforto ambiental, isto , buscar o melhor posicionamento dos cmodos e aberturas (portas e janelas) para garantir luminosidade e ventilao. Dependendo da srie do Ensino Fundamental que est sendo desenvolvida a aplicao, pode tambm ser introduzido sobre a

.

442

perspectiva da casa. fundamental estimar o custo da obra, possibilitando aplicar o conceito de rea de figuras planas.

APLICAO 3 Objetivo:

Mostrar a necessidade de utilizar escalas na Matemtica e facilitar a visualizao de como pode ser feita uma planta baixa de uma casa (ou outra construo) . Pode ser uma excelente atividade para aplicar o conceito de semelhana de figuras, caso essa atividade venha a ser desenvolvida na 8 srie.

Materiais:

- Uma folha sulfite;

- Rgua;

- Lpis;

- Uma caixa (C1) sem tampa, com o comprimento e a largura menores, se comparados com os lados de uma folha sulfite;

- Uma caixa (C2) sem tampa, com divises internas, com o comprimento e a largura maiores, se comparadas com os lados de uma folha sulfite .

Desenvolvimento:

1) Mostrar a caixa C1 aos alunos a uma distncia de mais ou menos 15 m. Pedir para que desenhem na folha sulfite exatamente o que esto vendo .

2) Repetir o que fez no 1 passo com a caixa C2. Comentrio:

Ao pedir para o aluno que desenhe exatamente o que estava vendo, esperamos que o aluno desenhe o retngulo com todas as suas medidas reais para C1. No entanto, para C2, como as medidas da folha so menores do que as medidas da caixa, esse desenho no poder ser feito com exatido. Neste momento, deve aparecer questes que possibilitem colocar aos alunos que uma maneira de realizar essa atividade, sem perder as medidas originais da caixa, utilizar o que chamado, pelos projetistas, de escala de medida. Por exemplo, dizemos escala 1 por 10 (1:10), se quisermos tomar as medidas da caixa e dividi-las por 10, para desenhar a figura visualizada na folha. Para alunos da 8 srie pode ser observado que, neste caso, estaro obtendo

.

443

uma figura semelhante a original, com razo 1/10.

O professor deve observar que o que foi feito com a caixa pode ser feito com uma casa, olhando ela de cima (sem o telhado) a uma distncia grande da casa. Neste caso, a figura visualizada conhecida como planta baixa da casa. Esta deve ser desenhada em uma escala adequada para o papel disponvel.

APLICAO 4 Objetivo:

Construir a planta baixa da sala de aula usando a escala 1:50.

Materiais:

- Fita mtrica; - Caderno; - Rgua; - Lpis.

Desenvolvimento:

1) Imaginem que vocs esto em um lugar bem alto que d para ver a sala de aula no mobiliada e as divises internas. Quais as figuras que vocs vem?

2) Fazer primeiro um esboo da planta. 3) Medir com a fita mtrica a sala de aula, as portas e as janelas. Anotar as

medidas no esboo da planta.

4) Fazer a planta baixa da sala usando escala de 1:50.

Comentrio:

Deve ser colado para os alunos que os segmentos que representam as paredes devem ser paralelos e/ou perpendiculares conforme a sala de aula. As portas e janelas (aberturas) tambm devem ser indicadas por traos mais finos. Apresentar, por exemplo, a planta

Vista da caixa C1 Vista da caixa C2

.

444

baixa a seguir, como modelo.

Podem ser sugeridos outros ambientes da prpria escola para que o aluno faa a planta baixa , como por exemplo, o ptio, o banheiro ou a cozinha.

2.3 Exerccios

EXERCCIO 1 Materiais:

- Geoplano; - Elsticos.

Utilizao do Material:

1) Tomando o quadrado ( ) do Geoplano como unidade de rea, construa retngulos diferentes com rea igual a 36 unidades de rea, cujas medidas de seus lados sejam nmeros inteiros.

2) Quantos retngulos podem ser construdos, considerando as propriedades do 1 passo?

Comentrio: Chamar a ateno dos alunos que figuras distintas podem ter reas iguais.

EXERCCIO 2 Objetivo:

Descobrir a relao entre as rea de tringulos semelhantes.

.

445

Materiais: - Cartolina (ou Papel Carto, ou folha sulfite); - Rgua; - Lpis; - Tesoura.

Utilizao do Material: 1) Utilize a cartolina para construir 14 tringulos congruentes. 2) Observe um desses tringulos e construa um tringulo semelhante a esse,

dobrando as medidas dos lados correspondentes (Razo 2). Qual a rea obtida? Registre a relao que voc obteve entre as reas dos tringulos semelhantes.

3) Repita o 2 passo, triplicando as medidas dos lados (Razo 3). 4) Se voc multiplicasse as medidas dos lados do tringulo observado por n, qual a

relao entre as reas?

Comentrio:

Os seguintes tringulos so obtidos como resultados do 2 e 3 passos.

Assim, dado o tringulo de rea A, multiplicando as medidas dos seus lados por 2, obtm-se um tringulo de rea 4A. Multiplicando por 3, obtm-se um tringulo de rea 9A.

Observe que ambas as relaes devem satisfazer a mesma propriedade: multiplicando todas as medidas dos lados de um tringulo por um nmero n, a sua rea ficar multiplicada por esse nmero ao quadrado (n), ou seja,

Multiplicando n vezes cada lado do tringulo de rea A, a rea do novo tringulo

.

446

obtido ser n2.A.

Observe que n a razo de semelhana entre os tringulos, no caso geral.

EXERCCIO 3 Objetivo: Descobrir a relao entre as rea de figuras semelhantes. Materiais: - Geoplano; - Elstico.

Utilizao do Material:

1) Construa no Geoplano, a figura a seguir e registre sua rea.

2) Amplie essa figura, dobrando as medidas dos seus lados correspondentes compare as figuras. So semelhantes? Qual a rea da figura obtida? Registre a relao que voc obteve entre as reas.

3) Repita esse procedimento, triplicando as medidas dos lados.

Comentrio:

.

447

Verifique que as relaes obtidas no 2 e no 3 passo correspondem a mesma propriedade obtida para tringulos semelhantes no exerccio 2. Tal propriedade pode ser generalizada para quaisquer duas figuras semelhantes: se as medidas dos lados de uma figura F de rea A so multiplicados por n, ser obtida uma figura semelhante a F com rea igual a n A.

EXERCCIO 4 Objetivo:

Exercitar e aplicar as frmulas das reas dos polgonos, no clculo das reas envolvidas com figuras espaciais.

.

448

Materiais: - Lpis; - Papeis ou caderno; - Uma caixa de pasta de dente, de sapato, de leite, ou qualquer outra caixa que tem

formato de um paraleleppedo; - Lata de leo ou qualquer outro recipiente cilndrico.

Utilizao do Material: 1) Qual a rea total do seu paraleleppedo? Qual a quantidade de papel que

necessria comprar para encapar seu paraleleppedo?

2) Qual a rea total do seu cilindro?

Comentrio: Com esta aplicao pode ser retomado ou introduzido o conceito de figuras

espaciais, os seus elementos (faces, vrtices, arestas e bases). O aluno pode ser levado a questionar a utilizao de formatos diferentes para um mesmo produto. Por exemplo, por qu a bolacha de maizena, custa mais quando o pacote em forma de um paraleleppedo e no quando em forma de um cilindro?

3. CONCLUSES Este trabalho apresentou atividades experimentais que podem auxiliar os

professores em suas aulas de geometria, em particular, para trabalhar o tpico rea. No entanto, no simples aplicar uma metodologia deste tipo. Mas para os professores que esto buscando uma melhora na aprendizagem dos alunos, este um desafio.

Dar a possibilidade ao aluno de construir o seu prprio conhecimento atravs de atividades experimentais anlogas s apresentadas neste artigo, no projeto desenvolvido Vivendo a Geometria, j citado anteriormente, resultou em uma aprendizagem satisfatria e foi possvel observar um aumento de interesse dos alunos pela matemtica.

.

449

4. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS [1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleo do Professor de Matemtica. Sociedade Brasileira de Matemtica, 2004. [2] BIGODE, A. J. L. Matemtica Hoje Feita Assim. FTD, 2002. [3] DANTE, R.L. Tudo Matemtica. Ed. tica, 2004. [4] DANTAS, S. C.; SANTOS, F.V.; RIBEIRO, J. S.; PESSA, K.A; FAVALLI, L. D. Matemtica 4 srie (Coleo A escola nossa). Scipione, 2003. [5]FONSECA, M.C.F.R. Letramento no Brasil- Habilidades Matemticas.Editora Global, 2004. [6] GIOVANNI, J. R., CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da Matemtica. FTD, 1996. [7] IMENES, JAKUBO, LELLIS. Coleo: Para que serve Matemtica? Semelhana. Atual, 1992. [8] LIMA, E.L. reas e Volumes. SBM, 1985. [9] LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. Atual, 1998. [10] Ramos, L.F. Coleo: A Descoberta da Matemtica. tica, 1999. [11] Secretaria de Estado da Educao - So Paulo. Experincias Matemticas 6a, 7 e 8 Srie. So Paulo: SE/CENP, 1998.