Enem em fascículos 2013 - projetomedicina.com.br · ... o do meio é a média aritmética dos...

INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

Quem observa e identifi ca padrões pode fazer aferições com maior precisão e agilidade. Por exemplo, meu fi lho Matheus, no dia 30/junho/2011, quinta-feira, completou 14 anos. Observando que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana, podemos aferir que ele nasceu no dia 30/junho/1997, numa segunda-feira (3 dias antes de quinta-feira). Percebeu? Se não, veja: sendo 14 · (365 dias) uma quantidade de dias múltipla de 7, voltando no tempo essa quantidade, chegamos no mesmo dia da semana do dia 30/junho/2011 (quinta-feira). A partir daí, devemos voltar na semana apenas os 3 dias relativos a 29 de fevereiro de 2008, 2004 e 2000 (anos bissextos do período em questão).

Algumas sequências, dentre elas, as progressões aritméticas e geométricas, apresentam padrões defi nidos que estudaremos a seguir. Com certeza, o conhecimento de tais padrões será de grande utilidade no enfrentamento de situações-problema que contemplem sucessões numéricas.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Sequências e Progressões

Sequência

Por defi nição, uma sequência de n elementos é uma

função f de Nn* = {1, 2, 3, ... n} em R:

ff n a

n

n

: *N R→( ) =

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

16Fascículo

ENEM EM FASCÍCULOS - 2013

Na Área de Matemática e suas Tecnologias, após uma análise estatística dos Objetos do Conhecimento abordados desde

a criação do Enem, tratamos de selecionar cuidadosamente os assuntos que listamos agora, trabalhados nos fascículos

anteriores: Razões e Proporções, Porcentagem, Regra de Três Simples e Composta, Proporcionalidade na Geometria,

Função Afi m, Função Quadrática, Funções Exponenciais e Logarítmicas, Trigonometria e suas aplicações, Análise Combinatória, Probabilidade

e Estatística.Para fi nalizar, neste fascículo, abordamos as 3: Sequências e Progressões, Porcentagem e Juros e, fi nalmente, Volumes e suas aplicações.

Chegamos ao fi nal do Projeto Enem 2013, com este fascículo número 16, certos da enorme contribuição que proporcionamos ao seu

aprendizado, que será traduzido na sua aprovação no curso desejado.

Sucesso e até breve!

Bom estudo para você!

CARO ALUNO

Por conveniência, representaremos uma sequência apenas por suas imagens (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), que podem

ser determinadas por meio da Lei de recorrência ou da Lei de formação da respectiva sequência.

Lei de recorrência

Consiste em uma lei que nos permite encontrar

qualquer termo (an) da sequência “recorrendo” a termo(s)

anterior(es). Note que, na Lei de recorrência, é conveniente se

conhecer o primeiro termo (a1), caso contrário, não podemos

“recorrer” ao termo anterior para encontrar os demais termos.

Na sequência (1, – 2, 6, – 24, ...), por exemplo, cada

termo (an), a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o

termo anterior (an – 1

) por (– n), onde n indica a posição do

termo. Veja:

(1, − 2, 6, − 24, 120, ...)

×(−2) ×(−3) ×(−4) ×(−5)

Assim, os termos da sequência poderão ser determinados

por meio da Lei de recorrência:

aa an n

1

1

53

== + ≥

− onde n 2

Note que o primeiro termo (a1 = 1) sendo conhecido,

a lei an = – n · a

n – 1, n ≥ 2, fornece o restante dos elementos

da sequência:

n = 2 ⇒ a2 = − 2 · a

1 = − 2 · 1 ⇒ a

2 = − 2

n = 3 ⇒ a3 = − 3 · a

2 = − 3 · (− 2) ⇒ a

3 = 6

n = 4 ⇒ a4 = − 4 · a

3 = − 4 · 6 ⇒ a

4 = − 24

..........................................................................

Lei de formação ou termo geral

Consiste em uma lei que nos permite encontrar qualquer termo (a

n) da sequência em função da sua posição n.

Enem em fascículos 2013

3Matemática e suas Tecnologias

Na sequência (5, 8, 11, 14, ...), por exemplo, podemos obter o seu termo geral (Lei de formação) dando valores sucessivos

a n na sua Lei de recorrência aa an n

1

1

53

== + ≥

− onde n 2 .

Veja:a

a aa aa a

a a

n

n n

1

2 1

3 2

4 3

1

5333

3

1

=− =− =− =

− =

−( )

−

�igualdades

Somando membro a membro, essas n igualdades e cancelando os termos, obtemos:

an = 5 + (n − 1) · 3

Daí, a Lei de formação (termo geral) da sequência é:

a nn = +3 2

Assim, por exemplo, o 100o termo será a100

= 302.

Progressão AritméticaToda sequência numérica em que cada termo, a partir

do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r chama-se progressão aritmética (P. A.). Ou seja, P. A. é uma sequência determinada por uma fórmula de recorrência do seguinte tipo:

a a dado

a a r n nn n

1

1 2

= ( )= + ∀ ∈ ≥

− , ,*N

A constante r é chamada de razão da progressão aritmética e pode ser obtida por meio da diferença entre dois termos consecutivos quaisquer da P.A., isto é:

Razão da P.A. = a2 – a

1 = a

3 – a

2 = ... = a

n – a

n – 1 = r

Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão aritmética, o do meio é a média aritmética dos extremos, uma vez que temos:

Razão da P.A. = b – a = c – b → ba c= +

2.

Termo geral da P.A.

Considere a P.A. (a1, a

2, a

3, ..., a

m, a

m + 1, ..., a

n, ...) de

razão r. Sendo am e an dois termos dessa progressão, podemos relacioná-los. Para isso, observe que:

a a ra a ra a r

a a r

m m

m m

m m

n n

+

+ +

+ +

−

− =− =− =

− =

1

2 1

3 2

1

�

Contando os índices (números naturais) de m + 1 até n, observamos n – (m + 1) + 1 = n – m igualdades acima. Somando, membro a membro, todas essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos, obtemos:

a a r r r r ou seja

a a n m

n m

n m vezes

n m

− = + + + +( )

= + −( )−( )

... , :� ��

g rr

Em particular, para m = 1, temos que:

g a a n rn = + −( ) ≥1 1 · , para n 1.

Considere a seguinte situação-problema:

Em um trecho de serra de 13 km de uma rodovia, foi

implantada a Operação Descida. Um dos procedimentos dessa

operação consiste em bloquear a subida de veículos e permitir

a descida da serra por mais faixas. Para isso, são colocados 261

cones sinalizadores ao longo do trecho, sendo que a distância

entre dois cones consecutivos quaisquer é constante e que o

primeiro e o último fi cam exatamente no início e no fi m do

trecho, respectivamente.

Querendo descobrir qual deve ser a distância entre dois

cones consecutivos, podemos utilizar a fórmula do termo geral

de uma P.A. Veja:

Como 13 km = 13000 m, o primeiro cone fi cará na

posição a1 = 0 m e o último, na posição a

261 = 13000 m.

Sendo R a distância (constante), em metros, entre dois cones

consecutivos, as posições dos cones formarão uma P.A. de

razão R. Daí: a261

= a1 + 260R → 13000 = 260R → R = 50 m.

Assim, a distância entre dois cones consecutivos

quaisquer deve ser 50 m.

Soma dos termos equidistantes dos extremos de uma P.A.

Considere ak e ap dois termos que fi cam, respectivamente,

a igual distância dos extremos a1 e an de uma P.A. de razão R,

isto é, considere a seguinte P.A.:

+R +R +R +R +R +R

(a1 ; a

2 ; ... ; a

k – 1

; ak ; ... ; a

p ; a

p + 1 ; ... ; a

n)

Equidistantes dosextremos

Sendo m o número de razões que devemos somar ao primeiro termo a1 para a obtenção de ak, m também será o número de razões que devemos somar ao termo ap para a obtenção do extremo an, uma vez que ak e ap são equidistantes dos extremos a1 e an. Daí:

• ak = a

1 + mR, onde m = k – 1;

• an = a

p + mR, onde m = n – p.

Isso deixa evidente dois fatos:1º) A soma dos índices de dois termos equidistantes

dos extremos é igual à soma dos índices dos extremos. Veja:

m k n p k p n = = → + = +– –1 1

2º) Numa P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Veja:

mR a a a a a a a ak n p k p n= − = − → + = +1 1

Na P.A. 20 24 28 32 36 40 441 2 3 4 5 6 7a a a a a a a� � � � � � �; ; ; ; ; ;

, por exemplo,

temos que a1 + a

7 = a

2 + a

6 = a

3 + a

5 = a

4 + a

4 = 64. Note a

soma dos índices igual a 8 em cada adição.


4 Matemática e suas Tecnologias

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Considere a P.A. (a1, , a

2 a

3, ..., a

n – 2, a

n – 1, a

n), onde a1 e

an são os extremos e a2 e an – 1, a3 e an – 2 etc. são equidistantes dos extremos. Temos que: S

n = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n – 2 + a

n – 1 + a

n e, como a ordem não

altera a soma, Sn = a

n + a

n – 1 + a

n – 2 + ... + a

3 + a

2 + a

1.

Somando, agora, membro a membro, essas duas igualdades, fi camos com:

2Sn = (a

1 + a

n) + (a

2 + a

n – 1) + (a

3 + a

n – 2) + ... + (a

n + a

1)

Observando que:a

1 + a

n = a

2 + a

n – 1 = a

3 + a

n – 2 = ... = a

n + a

1

(termos equidistantes dos extremos), temos:

22

1 11S a a a a S

a a nondn n n n

n

n vezes

= +( ) + + +( ) → =+( )

... ,·

ee:

• a1 é o primeiro termo somado;• an é o último termo somado;• n é a quantidade de termos, em P.A., somados.

Considere a seguinte situação-problema:Deseja-se pintar com tintas de cores

P P P ...A A

preta e amarela, alternadamente, um disco no qual estão marcados círculos concêntricos, cujos raios estão em P.A. de razão 1 metro. Pinta-se, no primeiro dia, o círculo central do disco, de raio 1 metro, usando 0,5 L de tinta preta. Em cada dia seguinte, pinta-se a região delimitada pela circunferência seguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usada, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendimento, podemos descobrir a quantidade total de tinta amarela gasta até o 21º dia, em litros, da seguinte forma: I. O raio do primeiro círculo (menor), em metro, é r

1 = 1

e forma, com os demais raios, uma P.A. de razão 1. Assim, em metros, as medidas desses raios são r

2 = 2,

r3 = 3, ... , a

21 = 21.

II. As áreas pintadas de amarelo são aquelas pintadas em dias pares (segundo, quarto, ..., vigésimo dia), cujas áreas, em m2, são respectivamente:

A1 = π · 22 – π · 12 → A

1 = 3π

A2 = π · 42 – π · 32 → A

2 = 7π

A3 = π · 62 – π · 52 → A

3 = 11π

A4 = π · 82 – π · 72 → A

4 = 15π

...........................................................

(Uma P.A. de razão R = 4π, cujo décimo termo, A10

, é a área pintada no vigésimo dia.)

Assim, A10

= A1 + 9 · R, ou seja, A

10 = 3π + 9 · (4π) = 39π

e a soma das áreas pintadas de amarelo, em m2, será:

SA A

S101 10

10

10

2

3 39 10

2210=

+( ) → =+( ) =

· ·π ππ

III. No primeiro dia, foram usados 0,5 L de tinta preta para pintar π · 12 = π m2 do disco. Como os rendimentos das tintas são iguais e 210π m2 = 210 · (π m2), foram utilizados 210 · 0,5 L = 105 L de tinta amarela.

Progressão GeométricaToda sequência numérica em que cada termo, a partir

do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior)por uma constante q chama-se progressão geométrica (P.G.).Ou seja, P.G. é uma sequência determinada por uma fórmula de recorrência do seguinte tipo:

a a dado

a a q n nn n

1

1 2

= ( )= ∀ ∈ ≥

− · , ,N*

A constante q é chamada de razão da progressão geométrica e pode ser obtida por meio do quociente entre dois termos consecutivos quaisquer da P.G., isto é:

Raz o daP Ga

a

a

a

a

aqn

n

ã . . ...= = = = =−

2

1

3

2 1

Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão geométrica, o do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos, uma vez que temos:

Raz o daP Gb

a

c

bb a cã . . ·= = → =2

A sequência (3, 6, 12, 24, 48, ..., an, ...), por exemplo, é

uma progressão geométrica de razão q = 2, ou seja, nela, cada termo, a partir do segundo, é o seu termo anterior vezes 3. Podemos dizer também que, nessa sequência, o quadrado de cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior com o posterior.

Termo geral da P.G.

Considere a P.G. (a1, a

2, a

3, ..., a

m, a

m + 1, ..., a

n, ...) de

razão q.Sendo am e an dois termos dessa progressão, podemos

relacioná-los. Para isso, observe que:

am + 1

= am

· qa

m + 2 = a

m · q

am + 3

= am + 2

· q

....................................a

n = a

n – 1 · q

Contando os índices (números naturais) de m + 1 até n, observamos n – (m + 1) + 1 = n – m igualdades acima. Multiplicando, membro a membro, todas essas igualdades e cancelando os fatores iguais, mas em membros opostos, obtemos:

a a q q q q ou seja

a a q

n m

n mn m

n m vezes

= ( )

• =−( )−

· · · · ... · , :

·

� ��

Em particular, para m = 1, temos que:

• an = a

1 · qn – 1, para n ≥ 1.



Considere a seguinte

2,43 . 105

Núm

ero

decé

lula

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tempo (horas)

situação-problema:P a r a a n a l i s a r o

crescimento de uma bactéria, foram inoculadas 1000 células a um determinado volume de meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido o número total de bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados no gráfi co ao lado. No gráfi co, o tempo 0 corresponde ao momento do inóculo bacteriano.

Observando que, de 0 a 5 horas, a quantidade de bactérias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica, o número de bactérias encontrado no meio de cultura, 3 horas após o inóculo, pode ser obtido da seguinte forma: I. a

0 = 1000 (número de bactérias na hora zero) e

a5 = 243000 (número de bactérias na 5ª hora) são termos

de uma mesma progressão geométrica. Daí:

aa

a a q q

Ent o

q

0

55 0

5 0 5

5 5

1000243000

243000 1000

243 3

=={ → = → =

= =

−. .

ã :

,, , .isto é q = 3

(Aqui, é conveniente considerar o primeiro termo a

0 = 1000, o índice indicando a hora, e não a

1= 1000.)

II. Queremos o número de bactérias na terceira hora (a3):

a a q a a3 0

33

331000 3 27000= → = → =· ·

Soma dos termos de uma P.G. fi nita

Considere a P.G. de razão q (a1, a

2, a

3, ..., a

n) cuja soma dos

termos é Sn = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n. Temos que:

I. q · Sn = q · (a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n) ⇒

q · Sn = a

2 + a

3 + a

4 + ... + q · a

n

II. Sn – q · S

n = (a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n) – (a

2 + a

3 + a

4 + ... + q · a

n) ⇒

⇒ −( ) = − ∴ = −

−S q a q a S

a q a

qn n n

n11

11·

·

Podemos, agora, substituir an = a

1 · qn – 1 na fórmula

anterior e obter:

Sa a q

qe S a

q

qonde qn

n

n

n

= −−

= −−

≠1 1

11

1

11

·· , .daí:

Soma dos termos de uma P.G. infi nita convergente

Quando a razão q de uma P.G. infinita é tal que –1 < q < 1, isto é, | q | < 1, dizemos que a P.G. é convergente.

Isso signifi ca dizer que quando n tende a mais infi nito, an e qn

tendem a zero (convergem para zero). Na prática, substituindo qn = 0 na fórmula anterior, obtemos:

S aq

Sa

q∞ ∞= −

−

→ =

−111 0

1 1·

Observação:

Dizemos que S∞ = a

q1

1− é o limite da soma dos infi nitos termos

da P.G. de razão q, onde |q| < 1 (P.G. infi nita convergente).

Considere a seguinte situação-problema:Uma bola é lançada na vertical de encontro ao solo, de

uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até 80% da altura de que caiu. O comprimento total percorrido pela bola em sua trajetória, até tocar o solo pela quinta vez, pode ser

obtido observando que 8080

100

4

580% = = = e que, saindo de uma

altura h, a bola percorre:

2 24 4 4 4

S h h · h · h · h ...5 5 5 5

= + + + + +

descendo(bate no solo pela 3ª vez)



subindo

subindo

Daí, somando os termos iguais, obtemos:

S h h h h= +

+

+

+

24

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

· · · · · · · · hh +

�

Assim, até tocar o solo pela quinta vez, a bola percorrerá h mais a soma dos quatro primeiros termos da P.G., isto é:

S h aq

qS h h= + −

−

→ = +

−

−

1

4 1

4

1

12

4

5

145

145

· · · ·

Logo h: S = 3577625

·

Podemos também ca lcu la r o compr imento total percorr ido pela bola em sua tra jetór ia, até at ing i r o repouso. Para i sso, é só observar que

24

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

. . . . .

+

⋅ +

⋅ +

⋅ +

h h h h �

é a

soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente

− < = <

14

51q .

Assim, até parar, a bola percorrerá a distância total S, tal que:

S ha

qS h

hh

hS h= +

−→ = +

−= + ∴ =1

1

245

145

8

5

5

19

··



QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de

argumentos sobre afi rmações quantitativas.

C-1 H-4

• (Uerj – Adaptado) Uma farmácia recebeu 15 frascos

de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco

contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa

igual a 20 mg. Admita que um dos frascos contenha a

quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um

destes comprimidos tenha 30 mg.

Objetivando identifi car esse frasco, cujo rótulo está errado,

foram realizados os seguintes procedimentos:

– numeram-se os frascos de 1 a 15;

– retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos

correspondente à sua numeração;

– verifi ca-se, usando uma balança, que a massa total dos

comprimidos retirados é igual a 2540 mg.

Com base nessas informações é

a) impossível identifi car o frasco, fi cando a dúvida entre 3

frascos.

b) impossível identifi car o frasco, fi cando a dúvida entre 2

frascos.

c) possível identifi car o frasco, sendo 7 o seu número.

d) possível identifi car o frasco, sendo 14 o seu número.

e) possível identifi car o frasco, sendo 15 o seu número.

vComentário

I. Observe que o número de comprimidos retirados foi:

1 + 2 + 3 + ... + 15 = 1 15 15

2

+( ) ⋅ = 120 (soma dos termos da P.A.)

II. Se todos os comprimidos tivessem massa igual a 20 mg, a massa total retirada dos frascos seria:

Suposta massa = 120 · (20 mg) = 2400 mg

III. A diferença entre a massa real e a suposta massa é:

2540 mg – 2400 mg = 140 mg

IV. A diferença entre as massas dos comprimidos é (30 – 20) mg. Daí, sendo n o número do frasco com rótulo errado, devemos ter:

n · (30 – 20) = 140

Logo, n = 14.

Resposta correta: D

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1 H-3

01. (UFG – Adaptado) Pretende-se levar água de uma represa até um reservatório no topo de um morro próximo. A potência do motor que fará o bombeamento da água é determinada com base na diferença entre as alturas do reservatório e da represa.Para determinar essa diferença, utilizou-se uma mangueira de nível, ou seja, uma mangueira transparente, cheia de água e com as extremidades abertas, de maneira a manter o mesmo nível da água nas duas extremidades, permitindo medir a diferença de altura entre dois pontos do terreno. Esta medição fi ca restrita ao comprimento da mangueira, mas, repetindo o procedimento sucessivas vezes e somando os desníveis de cada etapa, é possível obter a diferença de altura entre dois pontos quaisquer. No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessivas, desde a represa até o reservatório, obtendo-se uma sequência de valores para as diferenças de altura entre cada ponto e o ponto seguinte, h

1, h

2, h

3, ..., h

50, que formam uma progressão

aritmética, sendo h1 = 0,70 m, h

2 = 0,75 m, h

3 = 0,80 m,

e assim sucessivamente.

Com base no exposto, a altura do reservatório em relação à represa, em metros é igual aa) 96,00 b) 96,25c) 96,50 d) 96,75e) 97,00

Compreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de

argumentos sobre afi rmações quantitativas.C-1 H-4

02. (UFG – Adaptado) Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijão. A distr ibuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos.No experimento A, inicialmente, 2% das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o número de plantas atacadas aumentou para 72%. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 10% das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o número de plantas atacadas já era 80% do total.Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em progressão geométrica, e a razão desta progressão é uma medida da rapidez de propagação do fungo.



Neste caso, a rapidez de propagação do fungo no experimentoa) A é igual à rapidez no experimento B.b) A supera a rapidez no experimento B em 73%,

aproximadamente.c) A supera a rapidez no experimento B em 73%,

exatamente.d) B supera a rapidez no experimento A em 25%,

aproximadamente.e) B supera a rapidez no experimento A em 25%,

exatamente.

DE OLHO NO ENEM

A natureza em FibonacciA sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...), chamada de

sequência de Fibonacci, é tal que seus dois primeiros termos são iguais a 1 e cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos seus dois termos imediatamente anteriores. Em outras palavras, os números de Fibonacci formam uma sequência defi nida recursivamente pela lei:

FFF F F para nn n n

1

2

1 2

11

3

=== + ≥

− − ,

Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das fl ores, no corpo humano e nas formas de alguns animais. A seguir, temos situações onde é possível identifi car a sequência de Fibonacci.

Percebeu a sequência de Fibonacci na primeira fi gura? Se não, observe os números seguintes indicando as medidas dos lados dos respectivos quadrados. Esses mesmos números também indicam as medidas dos raios dos arcos de circunferências que formam a citada fi gura.

55

3 3

221

1

11

Essa belíssima sequência foi descoberta com a resolução do clássico problema dos coelhos, proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci (que quer dizer “fi lho de Bonacci”). O problema dos coelhos é o seguinte: “Quantos casais de coelhos teremos ao fi nal de um ano, se partirmos de um único casal imaturo no 1º mês, que amadurece no 2º mês e gera um novo casal de fi lhotes no 3º mês e, a partir daí, continua parindo mensalmente, indefi nidamente? Leve em conta que os novos casais gerados também passam pelo mesmo processo descrito anteriormente e considere que nenhum coelho vai morrer.”

Acompanhe a ilustração abaixo que nos traz a evolução da quantidade de coelhos.

1º mês:(jovem)

(maduro)

(maduro) (jovem)

(jovem) (maduro) (maduro)

Númerode casais

1

1

2

3

5

2º mês:

3º mês:

4º mês:

5º mês:

Note que, para n ≥ 3, o número total de coelhos do mês n – 2, F

n – 2, é também o número de casais maduros do mês

seguinte (mês n – 1). Como cada casal maduro do mês n – 1 gera um novo casal no mês n (mês seguinte), F

n – 2 também indica o número de casais imaturos

(recém-nascidos) do mês n.Sendo assim, os casais do mês n são os casais do mês anterior (mês n – 1) mais os recém-nascidos do mês n, ou seja:

Fn = F

n – 1 + F

n – 2, para n ≥ 3.

Agora, fica fácil ver que a sequência representativa das quantidades de casais, mês a mês, é a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...), na qual o décimo segundo termo é 144. Após um ano (12 meses), são 144 casais.

ANOTAÇÕESANOTAÇÕES



INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

Daqui a 30 anos (360 meses), quando se aposentará, João Victor pretende resgatar um montante de 1 milhão de reais de sua conta poupança. Para isso, ele depositará, mensalmente, a partir de hoje, uma mesma quantia (x), cujos rendimentos médios estão estimados em 1% ao mês. Querendo determinar essa quantia (x) a ser depositada mensalmente, João Victor chegou à seguinte equação, cujo primeiro membro é uma soma de termos em progressão geométrica:

x + x · (1,01)1 + x · (1,01)2 + ... + x · (1,01)360 = 1000000

Nessa equação, x · (1,01)360 é o montante gerado pelo primeiro depósito e x, o gerado pelo último. Adicionando os termos em P.G., João Victor chegou à equação equivalente:

x · ·,

,1

1 1 01

1 1 01

36− ( )−

= 1000000

na qual, utilizando-se a aproximação (1,01)361 ≅ 36, o valor aproximado de x é 285,70 reais.

Você entende por que o montante gerado por cada parcela (x) depositada, após n meses, é dado por x · (1,01)n? Se não, leia com atenção a teoria seguinte, principalmente a parte relativa a juros compostos.


Porcentagem e Juros

PorcentagemChama-se porcentagem ou percentagem a porção

de um dado valor que se determina sabendo-se o quanto corresponde a cada 100.

pp

% = ( )100

l -se por centoê p

Por exemplo:De um grupo de 100 jovens, 28 praticam natação.

Isso signifi ca que 28% (lê-se “28 por cento”) dos jovens praticam natação.

A porcentagem de um número a em relação a outro b

é dada pela razão a

b.

Exemplos:

• = = =

• = =

3

215

150

100150

38

0 37537 5

1

, %,

,,

isto , 3 150% de 2.é é

00037 5 37 5 8= , % , , % .isto , 3 é é de

Assim:• p c c% de c = p% =

p

100· ·

• Após um aumento de p% sobre c, passamos a ter:

cp

cp

c+ = +

100

1100

· ·

• Após um desconto de p% sobre c, passamos a ter:

cp

cp

c− = −

100

1100

· ·

• Após n aumentos sucessivos de p% sobre c, passamos a ter:

1100

+

pc

n

·

Em geral, para obter um resultado p% maior que certo valor x, devemos multiplicar x por (1 + p%).

Veja:

aumento

valor inicial

x · (1 + p%) = x + p%x��

Exemplo:(Enem) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes como eletricidade, gás de cozinha, lenha etc. O gráfi co mostra a evolução do consumo de energia elétrica residencial comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.

50

40

30

20

10

0

energia totalenergia elétrica

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Con

sum

o de

Ene

rgia

(x10

6 te

p)

*tep = toneladas equivalentes de petróleo.Valores calculados por meio dos dados obtidos de

http:/infoener.iee.usp.br./1999.

Verifi ca-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasta nas residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de:a) 25% para 35%. d) 10% para 60%.b) 40% para 80%. e) 20% para 60%.c) 10% para 40%.

Solução:Em 1970, o consumo de energia elétrica era cerca de 2,5 · 106 tep, de um total aproximado de 25 ·106 tep, isto é,2 5 10

25 10

1

10

10

10010

6

6

,%.

·

·

tep

tep= = = Já em 1995, o percentual

e r a c e rca de 20 10

32 10

5

80 625

62 5

10062 5

6

6

·

·,

,, %.

tep

tep= = = =

Logo, aproximadamente, o consumo de energia elétrica

passou de 10% para 60%.

Resposta correta: D



Lucro

Chamamos de lucro (L), em uma transação comercial

de compra e venda, a diferença entre o preço de venda (V) e o

preço de custo (C). Assim, podemos escrever:

• Lucro = preço de venda – preço de custo, isto é:

L = V – C

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.Observação:

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem,

em relação ao preço de custo ou em relação ao preço de venda,

das seguintes maneiras:

Percentual do lucro sobre o custo = LUCRO

PRE O DE CUSTOÇ

Percentual do lucro sobre a venda = LUCRO

PRE O DE VENDAÇ

Exemplo:

João comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e a vendeu por

R$ 216,00. Nesse caso, temos:

• Lucro (L) de João na transação:

L = V – C → L = 216 – 180 → L = 36 reais

• A porcentagem do lucro sobre o preço de custo:

LLUCRO

PRE O DE CUSTOLc c= = = → = =

Ç

36

1800 2

20

10020, %

• A porcentagem do lucro sobre o preço de venda:

LLUCRO

PRE O DE VENDALV V= = ≅ → ≅ =

Ç

36

1160 310

31

10031, %

Juros simples

Suponhamos que uma pessoa deseje comprar uma

geladeira e não disponha de dinheiro sufi ciente para pagamento

à vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo

ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos

casos, a pessoa geralmente paga uma quantia – além do preço

da geladeira – a título de juros. O valor desses juros é justifi cado

pelo prazo obtido para o pagamento ou pelo “aluguel” do

dinheiro emprestado.

Suponhamos agora que, sobre uma quantia, devam

ser calculados juros simples, a uma taxa fi xa por período,

durante certo número de períodos. Isso significa que

os juros correspondentes a cada um dos períodos serão

“sempre calculados sobre a quantia inicial” e só serão

incorporados a ela ao fi nal do último período.

Sendo assim, para um capital inicial C0, emprestado à

taxa i, todos os aumentos da dívida serão iguais a:

aumento = i · C0, não importando a época do aumento.

Lembre-se: taxa i signifi ca a porcentagem de aumento.

Em geral, para um capital inicial C0 aplicado à taxa i, em

regime de juro simples, temos:

próximo aumento

constante

montante atual

próximo montante

Cn + 1

= Cn + i · C

0��

Assim, a sequência de montantes (C0, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...) é

uma P.A. de razão R = i · C0, pois cada termo é o anterior mais

uma constante.

Daí, usando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:

Cn = C

0 + (n – 0) · R → C C nn = + ⋅ ⋅0 i C0

Onde:

• Cn é o montante (total da dívida) após n aumentos;

• C0 é o capital inicial;

• n é o número de aumentos;

• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento).

i · C0 são os juros pagos em um aumento e J = n · i · C0 são os juros pagos em n aumentos. Portanto:

Montante = Capital inicial + Juros

Observação:

Exemplo:

Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de

R$ 2.400,00, comprometendo-se a pagar a dívida em 15 meses,

à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Assim, temos:

C

n n mero de aumentos

em

0 240015

35

=

= =

→

( )ú

Taxa trimestral 15 mesees, teremos cinco aumentos.i ao trimestre=

6%

Substituindo os valores em Cn = C

0 + n · i · C

0, tem-se:

C C5 52400 56

1002400 2 400

1

= + → =· · .

aumento

5 aumentos

� ��

� �� ++ =720 3 120. reais

Ao fi nal dos 15 meses, o comerciante pagará um montante de R$ 3.120,00, sendo R$ 720,00 de juros.



Juro CompostoO tipo de juro mais usado nas transações fi nanceiras é

o juro composto. Para entender esse tipo de juro, observemos o exemplo seguinte.

Aplicando R$ 100.000,00 durante 3 meses, à taxa de juro de 10% ao mês, qual o juro composto produzido?Calculemos:

Mês Capital Juro Montante

1º R$ 100.000,00 R$ 10.000,00 R$ 110.000,00

2º R$ 110.000,00 R$ 11.000,00 R$ 121.000,00

3º R$ 121.000,00 R$ 12.100,00 R$ 133.100,00

Portanto, o juro composto produzido foi de R$ 33.100,00 (montante fi nal menos capital inicial). Note que, em cada mês, a partir do segundo, a taxa de juro incide sobre o montante acumulado no mês anterior. Por isso, esse tipo de rendimento é chamado de juro composto.

Quando os juros são compostos, cada aumento é calculado sobre o respectivo montante. Assim, um capital C0, aplicado à taxa i, gera, após n aumentos, um montante Cn tal que:

próximo aumento

montante atual

próximo montante

Cn + 1

= Cn + i · C

n

��

Daí:C

n + 1 = C

n · (1 + i)��

constante = (1 + i)

Concluímos, pois, que a sequência de montantes (C

o, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...) é uma P.G. de razão q = (1 + i), pois

cada termo é o anterior vezes uma constante.Usando a fórmula do termo geral da P.G., obtemos:

Cn = C

0 · qn – 0 → C

n = C

0 · (1 + i)n

Onde:• Cn é o montante após n aumentos;• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento);• C

0 é o capital inicial;

• n é o número de aumentos.

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

C-1 H-3

• (Uerj – Adaptado) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20%, sempre em relação ao mês anterior.

Ao fi nal do mês de março desse mesmo ano, o percentual

de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total

de ovos vendidos em março, foi igual a

a) 64%

b) 68%

c) 72%

d) 75%

e) 80%

vvvComentário

I. Sendo 2x o total de ovos vendidos em janeiro, as respectivas vendas de ovos brancos e vermelhos desse mês serão:

B0 = V0 = 50

100 · 2x = x

II. Em março, tais vendas passarão a ser:

B2 = B0 · (1 + 20%)2 → B2 = x · (1,2)2 → B2 =1,44x

V2 = V0 · (1 – 10%)2 → V2 = x · (0,9)2 → V2 = 0,81x

Total de vendas em março = B2 + V2 = 2,25x Daí, obtemos:

B

Vendas de mar o

x

x2 1 44

2 250 64 64

ç= = =

,

,, %

Isso mostra que B2 = 64%. (Vendas de março)

Resposta correta: A


Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1 H-3

03. (UFSM) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$600,00 em uma aplicação fi nanceira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao fi nal de n meses, éa) 100.600[(1,006)n – 1]b) 100.000[(1,06)n – 1]c) 10.060[(1,006)n – 1] d) 100.600[(1,06)n – 1] e) 100.000(1,006)n – 1]



Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos numéricos.C-1 H-5

04. (UFRN – Adaptado) Maria pretende comprar um computador cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da loja ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses, e que dispõe de R$ 855,00, ela analisou as seguintes possibilidades de compra:

Opção 1 Comprar à vista, com desconto.

Opção 2Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e comprar, no fi nal dos quatro meses, por R$ 900,00.

Opção 3

Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e comprar a prazo, retirando, todo mês, o valor da prestação.

Opção 4Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 2,0% de juros compostos ao mês e comprar, três meses depois, pelos R$ 900,00.

Entre as opções analisadas por Maria,a) em nenhuma é possível comprar o computador. b) a de maior vantagem fi nanceira é a opção 1. c) a de maior vantagem fi nanceira é a opção 3. d) a de maior vantagem fi nanceira é a opção 4. e) as opções 2 e 3 são igualmente vantajosas.

DE OLHO NO ENEM

Infl açãoEm Economia, infl ação é a queda do valor de mercado

ou poder de compra do dinheiro. Porém, é popularmente usada para se referir ao aumento geral dos preços. Infl ação é o oposto de defl ação. Índices de preços dentro de uma faixa entre 2 e 4,5% ao ano é uma situação chamada de estabilidade de preços. Infl ação “zero” não é o que se deseja, pois pode estar denunciando a ocorrência de uma estagnação da economia, momento em que a renda e, consequentemente, a demanda, estão muito baixas, signifi cando alto desemprego e crise.

Os índices de infl ação no Brasil são medidos de diversas maneiras. Duas formas de medir a infl ação ao consumir são o INPC, aplicado a famílias de baixa renda (aquelas que tenham renda de um a seis salários mínimos), e o IPCA, aplicado para famílias que recebem um montante de até quarenta salários mínimos.

Até 1994, a economia brasileira sofreu com infl ação alta, entrando num processo de hiperinfl ação, na década de 80. Esse processo só foi interrompido em 1994, com a criação do Plano Real e a mudança da moeda para o Real (R$), atual moeda do País. Atualmente, a infl ação é controlada pelo Banco Central por meio da política monetária que segue o regime de metas de infl ação.


Volumes e suas aplicaçõesEvidentemente, em muitas circunstâncias de nossas

vidas, deparamos com situações em que se faz necessário fazer estimativas de medições relacionadas com os conceitos de superfície e espaço.

O conhecimento das formas e propriedades geométricas dos principais sólidos, incluindo a determinação de volumes mais complexos a partir de sólidos mais simples, agiliza e facilita os cálculos inerentes à proposta do Exame Nacional do Ensino Médio, além de proporcionar um domínio satisfatório do assunto.

Capacidade e volumeO volume de um objeto é a quantidade de espaço que

ele ocupa, onde a unidade principal é o metro cúbico (m3), e a capacidade é a quantidade de espaço disponível para armazenar, onde a unidade principal é o litro (�).

Quando se deseja realizar uma medição, é necessário escolher uma unidade de medida apropriada à medição e os instrumentos que permitam alcançar a precisão exigida.

É importante compreender que todos os objetos têm um volume, uma vez que todos ocupam um lugar no espaço. Alguns objetos têm uma forma que permite colocar líquidos, esses objetos são chamados de recipientes. Desse modo, uma piscina vazia tem um volume, pois ocupa um lugar no espaço, porém, sendo um recipiente, ainda possui a capacidade de conter algum volume em seu interior. No entanto, uma pedra, que é um objeto maciço, permite-nos apenas medir o seu volume, já que não é um recipiente.

Exemplo:Em algumas situações práticas,

h

2h

o volume a ser medido pode ser encontrado sem utilizar as fórmulas que abordaremos em breve, para o cálculo de volumes. Vejamos um exemplo: um recipiente na forma de um cone reto inver t ido es tá preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado ao lado.Se o volume do recipiente é 54 cm3, o volume da camada de óleo, nesse caso, pode ser facilmente calculado explorando as noções de semelhança discutidas no fascículo 4. Acompanhe:

h

2h

V

54-V

V: Volume da camada de óleo



A semelhança entre os cones da figura anterior, permite-nos escrever a seguinte proporção:

2

3

543

h

h

V

V

= − (A razão entre os volumes é igual ao

cubo da razão entre os comprimentos homólogos.)Resolvendo, encontramos:

8

27

5438 3= − → =V

Vcm

Portanto, 38 cm3 é o volume associado à camada de óleo.

Teorema de CavalieriSe dois sólidos estão situados entre dois planos paralelos

(têm a mesma altura) e qualquer outro plano, paralelo a eles, corta os dois sólidos determinando secções de mesma área, então, os sólidos são equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.

Para compreender melhor as ideias de Cavalieri (matemático italiano que viveu na Itália, no século XVII), acompanhe o exemplo a seguir.

Exemplo:Imagine uma pilha formada com 20 moedas iguais de 25 centavos. Observe que podemos formar pilhas de várias formas, com a mesma base e a mesma altura. Escolhendo qualquer uma das pilhas, iremos concluir naturalmente que o volume de uma pilha é a soma dos volumes das moedas e, como as moedas são as mesmas, as pilhas têm o mesmo volume, apesar de terem formas diferentes.Portanto, se dois sólidos forem constituídos por camadas iguais, de mesma área e de mesma espessura, então, seus volumes são iguais.

Volumes dos sólidos mais comuns

Paralelepípedo reto-retângulo (ortoedro)

É um prisma reto cujas faces são todas retangulares.

a

b

c

D

d

Medidas no ortoedro:• Área total do ortoedro = 2 · (ab + ac + bc)

• Diagonal do ortoedro = a b c2 2 2+ +• Volume do ortoedro = (área da base) x (altura) = a · b · c

Exemplo:Uma caixa aberta na forma deum paralelepípedo retângulo será formada cortando quatro quadrados congruentes nos cantos de uma folha retangular de papelão e dobrando ao longo das direções dos lados dos quadrados, como ilustrado ao lado. Se a altura da caixa terá medida 3 cm, o volume da caixa será de 288 cm3 e o perímetro da folha de papelão mede 64 cm. Qual a medida da área da folha de papelão?

Solução:

Vejamos uma nova ilustração de acordo com o enunciado:

y

y

x x x x

33

333

3

33

y

y

x + 6

y + 6

I. Volume (caixa) = x · y · 3 = 288 → x · y = 96II. Perímetro (folha) = (x + 6 + y + 6) · 2 = 64 → x + y = 20III. Resolvendo o sisteminha abaixo, com x > y (fi gura):

x y

x yx e y

+ =⋅ =

→ = =20

9612 8

IV. Portanto:

18 Área = 14 · 18 = 252 cm2Folhaoriginal

14

Assim, a área (medida da superfície) da folha será 252 cm2.

Cubo (hexaedro regular)

Um cubo é um prisma regular formado por seis faces quadradas.

a D

d aa

Medidas no hexaedro regular:• Área da superfície total do cubo = 2 · (a · a + a · a + a · a) = 6a2

• Diagonal do cubo = = + + =D a a a a2 2 2 3• Volume do cubo = (área da base) × (altura) = a · a · a = a3

• Pelo Princípio de Cavalieri, podemos garantir que dois prismas que têm mesma área da base e mesma altura têm volumes iguais.

• Prisma reto: é um prisma cujas arestas laterais são perpendiculares às bases.

• Prisma regular: é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Observações:



Exemplo:Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo retângulo de arestas medindo 8 cm, 8 cm e x cm. O cálculo que devemos fazer para encontrar a terceira medida (x) torna-se trivial quando pensamos na equivalência de volumes que deve ocorrer.

Condição do problema:

8 cm

8 cmx cm

10 cm

10 cm10 cm

6 cm6 cm

6 cmVolume = Volume+

Então:103 + 63 = x · 8 · 81216 = x · 64x = 19 cm

Cilindro

Quando o número de faces laterais de um prisma de base regular tende ao infi nito, este transforma-se em um cilindro circular. Se as arestas laterais são perpendiculares às bases, dizemos que o cilindro circular é reto.

• As arestas laterais são denominadas geratrizes do cilindro;

• Suas bases são circunferências que estão contidas em planos paralelos;

• A altura do cilindro é a distância dos planos das bases.

g = h

2πr

g = hSuperfície lateral do cilindro reto

r

r

Planificação do cilindro reto

r

g = h

2πr

g = hSuperfície lateral do cilindro reto

r

r

Planificação do cilindro reto

r

Medidas no cilindro reto:• Área da superfície lateral do cilindro reto = 2 πrh• Área da superfície total do cilindro reto = 2 πrh + 2πr2

• Volume do cilindro reto = (área da base) × (altura) = πr2h

Exemplo:Davi deseja substituir quatro tubos cilíndricos, todos de mesmo comprimento e diâmetro de 10 cm, por um único tubo, também cilíndrico e de mesmo comprimento que os anteriores.

O diâmetro do novo tubo, para que ele comporte o mesmo número de litros d’água que os outros quatro juntos, pode ser encontrado facilmente a partir de uma equivalência entre os tubos.

Podemos escrever:

volume (4 tubos cilíndricos) = volume (novo tubo cilíndrico)

4 · (π · 52 · c) = π · r2 · c, onde c é o comprimento comum e r é o raio do novo cubo.

Resolvendo a sentença obtida, encontramos r = 10 cm. Portanto, o diâmetro do novo tubo é igual a 20 cm.

Pirâmides

Chama-se pirâmide ao conjunto

AB

C

D

E

V

h

de pontos do espaço limitados por um ângulo poliédrico e por um plano que, não passando pelo vértice, corte todas as arestas do ângulo poliédrico. A secção plana do ângulo poliédrico chama-se base da pirâmide (ABCDE) e as porções das faces do ângulo poliédrico limitadas por essa base chamam-se faces da pirâmide. O vértice do ângulo poliédrico chama-se vértice da pirâmide (V).

• Uma rápida justifi cativa para o volume da pirâmide:

Abaixo, temos a decomposição de um prisma triangular em três pirâmides triangulares.

AB

C

F

ED

=

A B

DF

B

D E

FA B

C

F

(I) (II) (III)

+ +

Veja que:

I. as pirâmides I e II têm volumes iguais, pois os triângulos ABD

e BDE têm a mesma área e a distância de F ao plano ABED

é única, isto é, as duas pirâmides têm a mesma altura;

II. as pirâmides II e III têm volumes iguais, pois os triângulos

BEF e BCF têm a mesma área e a distância da aresta AD ao

plano BCFE é única, pois AD / / PL(BCFE), então, as duas

pirâmides têm a mesma altura.

Portanto, o volume de cada uma dessas pirâmides é

igual a um terço do volume do prisma.

• Pelo Princípio de Cavalieri, podemos garantir que duas

pirâmides que têm mesma área da base e mesma altura

têm volumes iguais.

• Pirâmide reta: é a pirâmide cujo pé de sua altura coincide

com o centro de sua base.

• Pirâmide regular: é a pirâmide reta de base regular.

Observações:



Exemplo:

H40 dam

12dam

30 dam

Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por um tronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo, justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que se desprendeu da calota polar da Terra.As arestas das bases maior e menor do tronco de pirâmide medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a altura mede 12 dam.Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 23100 dam3, o que correspondia a 3/4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do sólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu.

Solução:

40

40

40

H3012

x

z

O desenho ao lado facilitará a visualização e compreensão dos cálculos que iremos fazer objetivando a obtenção da altura H.

I. x

xx dam

+= ( ) → =

12

30

4036semelhan aç

II. V V V

V

tronco pir midemaior

pir midemenor

tronco

= −

= −

â â

1

340 48

1

32· · · 330 36 148002 3· = dam

III. Considerando a redução de volume após o desprendimento, temos:

231003

440 40 14800= +

· · · zbloco tronco

retangular

� �� → =z dam10

Portanto, a altura solicitada é igual a H = 22 dam.

Cone

Quando o número de vértices da base de uma pirâmide de base regular tende ao infi nito, esta transforma-se em um cone circular.

Se a pirâmide for reta, dizemos que o cone circular é reto.

• As arestas laterais da pirâmide são as geratrizes do cone;• Sua base é uma circunferência;• A altura do cone é a distância do vértice ao plano da

base.

RO

hg

V

R

2πR

Superfície lateral do cone reto

g

g

q

Planificação do cone reto

RO

hg

V

R

2πR

Superfície lateral do cone reto

g

g

q

Planificação do cone reto

Medidas no cone reto:• Área da superfície lateral do cone reto = πrg• Área da superfície total do cone reto = πrg + πr2

• Volume do cone reto =( ) ´ ( ) =área da base altura r h

3 3

2π ·

Exemplo:Um recipiente cônico de vidro, de altura igual ao raio da base circular, completamente fechado, está apoiado com sua base circular sobre a mesa, como na fi gura 1, de forma que o líquido em seu interior atinge a metade da profundidade do recipiente. Se virarmos o recipiente, como na fi gura 2, de forma que a base circular fi que paralela à mesa, qual será a profundidade do líquido em seu interior, com o recipiente nessa nova posição?

H

H/2

Figura 1 Figura 2

?

Solução:Como a superfície do líquido é paralela ao plano da base

do cone nas fi guras 1 e 2, então, a proporcionalidade presente é evidente, o que nos permite escrever:

I. V volume de l quido no coneV volume que corresponde ao espa o vazi==

íç’ oo{

II.

H

H/2

Figura 1

Figura 2

V’

V’

V

VH

X

→ + =

= → =V V

V

HH

V V’

’’

2

8 7

3

III.

H

H/2

Figura 1

Figura 2

V’

V’

V

VH

X

→

=+

→

= → =x

H

V

V V

x

H

V

V

x

H

3 3 37

8

7

2’

’

’

IV. Logo, a altura do líquido, na fi gura 2, será igual a:

xH

uc= 7

2

3

. .



Esfera

A esfera é um sólido limitado por uma superfície que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro.

• Uma rápida justificativa para o volumeda esfera:

R R

2R

2R

d Rr

planohorizontal

dd

αα

De acordo com a ilustração anterior, temos:

I. um cilindro reto cuja base é um círculo de raio R e cuja

altura tem medida 2R;

II. uma esfera de raio R repousando sobre o plano

horizontal que contém a base do cilindro;

III. evidentemente, α = 45º (as diagonais de um quadrado

são bissetrizes);

IV. a secção que aparece na esfera obtida a partir de um

plano horizontal que dista d do centro é um círculo cuja

área mede πr2 = π(R2 – d2);

V. o mesmo plano determina, entre as paredes laterais do

cone e do cilindro, à direita, uma coroa circular cuja área

também mede π(R2 – d2);

VI. pelo Princípio de Cavalieri, podemos garantir que o

volume da esfera é igual à diferença entre o volume do

cilindro e o volume ocupado pelos dois cones.

De acordo com a argumentação acima, encontramos:

V Volume cilindro Volume cone

V R RR

esfera

esfera

= ( ) − ( )= −

2

2 22

·

· ·π π 22 3

3

4

3

· R R

=

π

Exemplo:

Deseja-se encher de água um reservatório em forma de

hemisfério, utilizando-se um outro recipiente menor de forma

cilíndrica circular reta, conforme as fi guras abaixo. A partir de

suas medidas internas, constatou-se que a razão entre os seus

raios é 1

6 e que a altura do recipiente menor é o triplo do seu

raio. Sendo assim, para que o reservatório fi que completamente

cheio, quantas vezes o recipiente menor deve também ser

completamente enchido e derramado no maior?

Rr

hR

Solução:

De acordo com o exposto, temos:

6rr

3r6r

Devemos ter:

n r r r o n de despejos· · · , º .π π2 33

1

2

4

36( ) = ( )

n é

Simplifi cando, vem:

n

n

· · ·

.

31

2

4

36

48

3=

=

Portanto, serão necessários 48 despejos para encher o reservatório.

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento

consistente.

C-3H-13

• Populariza-se na região da seca no nordeste do Brasil a construção de cisternas que armazenam as águas das chuvas. Uma vez tratada, a água abastecerá as famílias que ali vivem.

Texto adaptado de Discutindo Geografi a. Ano 1, nº 3 2005

Discutindo a Geografi a. Ano 1 nº 3. p. 42.

Considere os três recipientes a seguir que podem ser usados para carregar águas das cisternas.

Recipiente I

2L

LRecipiente II Recipiente III

L2L

L LL

2L



– O recipiente I tem a forma de um cilindro circular reto, de raio da base igual a L e altura igual a 2 L.

– O recipiente II tem a forma de um tronco de cone com raio da base maior igual a 2 L, raio da base menor igual a L.

– O recipiente III tem a forma de um paralelepípedo reto de base quadrada de lado igual a L e altura igual a 2 L.

Considerando V1, V

2 e V

3 os volumes dos recipientes I, II e

III, respectivamente, pode-se afi rmar que

a) V1 > V

2 > V

3

b) V1 > V

3 > V

2

c) V2 > V

1 > V

3

d) V2 > V

3 > V

1

e) V3 > V

1 > V

2

Comentário

Recordando:

V :

B:

b

T volume do tronco de cone

h altura do tronco

rea da base maiorT :

á

:: área da base maior

Vh

B b BbTT

→ = + +( )3

.


Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.C-2

H-8

05. Deseja-se construir um reservatório na forma de um tronco de uma pirâmide de base hexagonal para estocar certo líquido. As dimensões das bases do reservatório são respectivamente 1 m e 2 m, sendo 3 m a altura do

reservatório. Considerando 3 1 7= , , a capacidade em litros deste reservatório é dea) 25500 litros. b) 22950 litros.c) 17850 litros. d) 15300 litros.e) 7650 litros.

Compreendendo a Habilidade– Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.C-3

H-14

06. Um cerimonial foi contratado para fazer uma festa. Por experiência, o dono de cerimonial sabe que entre as pessoas que irão a essa festa, 100 são potenciais consumidores de vinho e tomam em média 3 taças, no formato e medidas da figura abaixo. Sabendo que cada garrafa contém 790,5 ml de vinho, qual o número mínimo de garrafas que o comerciante deverá manter em estoque para atender aos convidados da festa?a) 45b) 50c) 60d) 65e) 70

DE OLHO NO ENEM

TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS

Consideremos uma pirâmide cuja base tem área B e cuja secção, paralela à base, à distância ht da base, tem área b. Chamando de h a distância da secção ao vértice da pirâmide, o volume do tronco, Vt, é dado por:

h

h + ht

ht

B: área da base maior b: área da base menorh

t: altura do tronco

h: altura da pirâmide menorh + h

t: altura da pirâmide maior

Sendo a pirâmide de altura h + ht semelhante à

pirâmide de altura h, temos:I. As áreas dessas bases estão entre si como os quadrados

das alturas das pirâmides.

Considerando as medidas indicadas, temos:

• Recipiente I V L L V Lcilindro circular reto� �� → = ⋅ ⋅ → =1

21

32 2π π

• Recipiente II VL

L L L Ltronco do cone� �� → = ⋅ + + ⋅( ) →2

2 2 2 2

34 4π π π π VV

L2

37

3=

π

• Recipiente III V L L L V Lparalelep pedo retoí� �� → = ⋅ ⋅ ( ) → =3 3

32 2

A partir dos resultados obtidos, concluímos que:

V2 > V

1 > V

3

Resposta correta: C

9 cm

4 cm

3 cm

– Para efeito de cálculoconsidere π = 3,1

– 1 m� = 1 cm3



Então:

B

b

h h

h

B

b

h h

h

B

b

h

hB b

b

h

hh B b h b

t t t

tt

= +

→ = + → = + →

− = → −( ) =

2

1

· ·

II. Volume(tronco) = Volume(pirâmide maior) – Volume (pirâmide menor).Então:

VB h h b h

VB h Bh b h

V h B b

troncot

troncot

tronco

=+( ) −

= + −

=−( )

· ·

· ·

· ·

3 3

3

BB b Bh

Vh b B b Bh

V hB b Bb

t

tronco

t t

tronco t

+( ) +

=+( ) +

= + +( )

3

3

3

· ·

·

Assim sendo, o cálculo do volume de um recipiente com a forma de um tronco de cone, sabendo que sua altura mede 2 m e que suas bases têm raios iguais a 1 m e 2 m, pode ser facilitado usando o resultado encontrado.

Veja:

= + +ttronco

h .V (B b Bb)3

2

2

1

Logo:

V mT = + + =2

32 1 2 1

14

32 2 2 2 3. ( . . . . . )π π π π π

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1

H-3

01. Quando a CPMF foi criada, uma das metas que deveria ser

atingida, com a injeção maciça de recursos na saúde, era

erradicar a dengue. Porém, uma década depois, o número

de casos registrados da doença cresceu assustadoramente.

Admita que, em certa cidade, de 1996 a 2006, o número de

casos de dengue tenha crescido em progressão aritmética.

Sabe-se que p1 + p

2 = 384 casos e que p

2 + p

3 = 416

casos, sendo p1 o número de casos registrados em 1996,

p2, o número de casos registrados em 1997, p

3, o número

de casos registrados em 1998 e assim sucessivamente.

Nessas condições, pode-se afi rmar que o número de casos de dengue registrados em 2006 foia) 364b) 344 c) 328 d) 326 e) 324

Compreendendo a Habilidade– Identifi car padrões numéricos ou princípios de contagem.– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

C-1H-2

H-3

02. Em muitos jogos virtuais, o usuário deve elevar seu nível ao adquirir pontos de experiência para evoluir, conquistar novas habilidades e mesmo destravar outras campanhas.

Em um desses jogos, são necessários 800 pontos para atingir o primeiro nível, 1200 pontos para o segundo nível, 1700 pontos para o terceiro nível, 2300 pontos para o quarto nível e assim sucessivamente, até que se atinja o nível máximo, que é 24.

A quantidade de pontos de experiência necessários para se atingir o nível máximo éa) 2600b) 5800c) 10500d) 20250e) 35300

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1

H-3

03. (UFG-Adaptado) A fi gura a seguir é uma representação do Sistema Solar.

Plutão

Neturno

Saturno

Júpiter

Urano

Cinturão deasteroides

Terra

Marte

Vênus

Mercúrio Sol

Em 1766, o astrônomo alemão J. D. Tietz observou que as distâncias heliocêntricas dos planetas até então conhecidos e do cinturão de asteroides obedeciam, com boa aproximação, a um padrão conhecido hoje como lei de Titius-Bode.

Segundo esse padrão, a partir do planeta Vênus e incluindo o cinturão de asteroides, subtraindo-se 0,4 das distâncias heliocêntricas, em unidades astronômicas (UA), obtém-se uma progressão geométrica com termo inicial 0,3 e razão 2. A distância da Terra ao Sol, por exemplo, é de aproximadamente, 1 UA e, neste caso, 1 – 0,4 = 0,3 × 2.



Segundo a lei de Titius-Bode, a distância heliocêntrica, em UA, do planeta Júpiter é igual aa) 4,8 b) 5,2c) 5,6 d) 6,0e) 6,4

Compreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afi rmações quantitativas.

C-1H-4

04. “Desde abril, os grandes bancos vêm anunciando reduções de juros em algumas de suas linhas de crédito. As taxas bastante competitivas vêm atraindo a população e permitindo que muitos consigam realizar seus sonhos de consumo como, por exemplo, a casa própria...”

http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro

Considere que, após negociação com o banco, uma pessoa consiga crédito para fi nanciar uma casa, por um período de 30 anos. O acordo prevê amortização mensal de 1% no valor da prestação, sendo a prestação inicial igual aR$ 1.300,00.

Nesses termos, após o fi m dos 30 anos de fi nanciamento, podemos afi rmar que essa pessoa terá pago ao banco um valor totala) entre 65.000 reais e 90.000 reais.b) maior do que 390.000 reais.c) menor do que 130.000 reais.d) entre 260.000 e 390.000 reais.e) igual a 133.310 reais.

Compreendendo a Habilidade– Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráfi cos.C-6

H-25

05. “Um fundo de investimento é uma forma de aplicação fi nanceira formada pela união de vários investidores que se juntam visando determinado objetivo ou retorno esperado, dividindo as receitas geradas e as despesas necessárias para o empreendimento. Os gestores da estratégia de montagem da carteira de ativos do fundo visam ao maior lucro possível com o menor nível de risco.”

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fundo_de_investimento

Um aplicador que investiu seu capital na data zero obteve as rentabilidades abaixo.

Data Rentabilidade

1 +50%

2 –50%

3 +50%

4 –50%

5 +50%

6 –50%

7 +50%

8 –50%

9 +50%

10 –50%

Ao fi nal desses 10 períodos, podemos afi rmar que esse investidora) acumulou lucro de aproximadamente 24%.b) acumulou lucro de aproximadamente 76%.c) acumulou prejuízo de aproximadamente 24%.d) acumulou prejuízo de aproximadamente 76%.e) não obteve lucro, nem prejuízo.

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

C-5H-21

06. No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor total de R$ 140.000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça e R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52.000,00. Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas éa) 1450b) 1500c) 1550d) 1600e) 1650

Compreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de

argumentos sobre afi rmações quantitativas.C-1

H-4

07. (UFG) Leia a tabela a seguir, impressa em uma embalagem de leite.

INFORMAÇÃO NUTRICIONALPorção de 200 mL (1 copo)

Quantidade por porção %VD (*)

Carboidratos 8,4 g 3

Proteínas 6,0 g 8

Gorduras 6,2 g 11

Sódio 150 mg 6

Cálcio 240 mg 24

* Porcentual dos valores diários com base em uma dieta de 2000 kcal ou 8400 kJ.

Obtendo-se os valores diários (VD) de cálcio e de sódio, com base nas informações da tabela. Conclui-se que o VD de sódio éa) um quarto do de cálcio.b) duas vezes e meia o de cálcio.c) cinco oitavos do de cálcio.d) dois quintos do de cálcio.e) oito quintos do de cálcio.



Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

C-2H-8

08. A taça desenhada na figura

x cm

tem a forma de semiesfera e contém líquido até uma altura de x cm.

O volume de líquido contido na taça, em cm3, depende da altura atingida por esse líquido, em cm. O gráfico a seguir mostra essa dependência, sendo que os pontos A e B cor respondem à taça totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.

V (cm3)

60,75π

A

B

x (cm)

De acordo com os dados do gráfi co, a taça tem a forma de uma semiesfera cujo raio medea) 3 cm b) 3,5 cmc) 4 cm d) 4,5 cme) 5 cm

Compreendendo a Habilidade– Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento

consistente.C-3

H-13

09. Para se criar peixes em aquário, alguns cuidados devem ser tomados para que eles vivam em um ambiente saudável. Um dos cuidados é a manutenção de um pH equilibrado. Em um determinado aquário, sabe-se que o pH da água deve estar em torno de 7,0 e que dentro dele contém cascalhos, uma lasca de aroeira, um barquinho de pedra e plantas aquáticas que ocupam 20% do volume total. Ao medir o pH, observa-se que a água está alcalina, ou seja, o pH está acima de 7,0. Para regular o pH, deve-se colocar gotas de corretivo de pH acidifi cante na água do aquário. A bula do corretivo de pH recomenda que se adicione uma gota para cada dois litros de água do aquário.

Supervisão Gráfi ca: Andréa Menescal

Supervisão Pedagógica: Marcelo Pena

Gerente do SFB: Fernanda Denardin

Coordenação Gráfi ca: Felipe Marques e Sebastião Pereira

Projeto Gráfi co: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni

Editoração Eletrônica: Paulo Henrique

Ilustrações: XXXX

Revisão: Wagner Ximenes

OSG: 73300/13

Expediente

Quantas gotas devem ser colocadas nesse aquário

sabendo-se que suas dimensões são 50 cm de comprimento,

30 cm de largura e 40 cm de altura?

a) 12 gotas b) 24 gotas

c) 30 gotas d) 48 gotas

e) 60 gotas

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.C-3

H-12

10. Dentro de um recipiente cilíndrico, de altura 1,98 metros,

há quatro barras maciças cilíndricas iguais, de alturas iguais

à do recipiente. Nessa situação, enchem-se completamente

os espaços vazios com água até a borda do recipiente.

Qual será a altura do nível da água em relação ao fundo do

recipiente, em centímetros, após serem retiradas as quatro

barras, sem desperdiçar nenhuma quantidade de água?

a) 120 b) 115

c) 110 d) 105

e) 100

GABARITOS


01 02 03 04 05 06

b b a d c c

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05

b e b c d

06 07 08 09 10

b b d b c

Enem em fascículos 2013 - projetomedicina.com.br · ... o do meio é a média aritmética dos...

Documents

Transcript of Enem em fascículos 2013 - projetomedicina.com.br · ... o do meio é a média aritmética dos...