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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

141

Estatística

Tabelas de frequência As tabelas são utilizadas na Estatística para organização de informa-

ções. Com elas, fica mais fácil compreendermos um conjunto de dados numéricos.

Observe o quadro que apresenta o resultado de uma pesquisa realiza-da com 10 pessoas sobre a idade, em anos, em que cada uma começou a dirigir.

19 – 21 – 18 – 19 – 18 – 20 – 19 – 18 – 20 – 18

Vamos organizar esses dados brutos em uma tabela de frequências, observe:

Idade (em anos)

Frequência absoluta

18 4

19 3

20 2

21 1

Total 10

As frequências absolutas indicam a quantidade de vezes que cada idade ocorreu.

A distribuição das idades também pode ser representada por meio de frequências relativas.

Para calcular o valor de uma frequência relativa, basta dividir a frequência absoluta pela soma das frequências absolutas:

frequência absolutaf =r soma das frequências absolutas


142

Estatística

Observe, por exemplo, a frequência relativa da idade de 18 anos:

fr = = =4

100 40 40, %

Procedendo da mesma forma para as demais frequências absolutas, po-demos construir a seguinte tabela:

Idade (em anos) Frequência absoluta Frequência relativa

18 4 40%

19 3 30%

20 2 20%

21 1 10%

Total 10 100%

Não é difícil perceber que, enquanto a frequência absoluta indica a quan-tidade de vezes que um fenômeno ocorreu, a frequência relativa mostra o percentual da ocorrência de tal fenômeno.

É comum uma distribuição de valores ser representada por meio de uma tabela de frequências de intervalos de classes.

Como exemplo, observe a distribuição de velocidades com que automó-veis passaram por um radar eletrônico:

Velocidade(em km/h)

Frequência absoluta simples

Frequência relativa simples

60 80 9 45%

70 80 6 30%

80 90 3 15%

90 100 2 10%

Total 20 100%

A distribuição é composta por quatro intervalos de classe, todos com a mesma amplitude de 10km/h.


Estatística

143

Embora não seja obrigatório, é comum as distribuições terem intervalos de classe com a mesma amplitude.

No primeiro intervalo, da velocidade igual a 60km/h, chamada de limite inferior do intervalo, está incluída, mas a velocidade de 80km/h, chamada de limite superior do intervalo, está excluída.

Representando por Fa as frequências absolutas acumuladas e por Fr as frequências relativas acumuladas, podemos acrescentar outras duas colunas à tabela anterior, observe:

Velocidade (em km/h) fa fr Fa Fr

60 80 9 45% 9 45%

70 80 6 30% 9 + 6 = 15 45% + 30% = 75%

80 90 3 15% 15 + 3 = 18 75% + 15% = 90%

90 100 2 10% 18 + 2 = 20 90% + 10% = 100%

Total 20 100% — —

De acordo com a tabela, podemos, por exemplo, dizer que:

Dezoito velocidades possuem valores menores que 90km/h, ou �

75% das velocidades encontram-se abaixo de 80km/h. �

Agora que já compreendemos como podem ser representados dados nu-méricos em uma tabela, vamos estudar algumas medidas, iniciando com as medidas de tendência central.

Medidas de tendência central As medidas de tendências central têm esse nome pelo fato de os dados

observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno de valores centrais. Vamos estudar três medidas de tendência central: média aritmética, media-na e moda.

Média aritmética

Dado um conjunto de valores quaisquer X = {x1, x2, ..., xn}, a média aritmé-tica desses valores é dada por:


144

Estatística

Xx x x

nn=

+ + +1 2

Dessa forma, a média aritmética de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos os valores dividindo-se o total pelo número de valores.

Exemplo:

Qual é o valor da média aritmética do conjunto {2,2,3,3,4,6,6,6,8,9}, composto por dez valores?

A média aritmética é dada por:

X =+ + + + + + + + +

= =2 2 3 3 4 6 6 6 8 9

104910

4 9,

Mediana

Mediana é um número que, numa sequência de n números colocados em ordem crescente (ou decrescente), ocupe a posição central, se n for ímpar. Se o número de termos de tal sequência for par, a mediana será a média aritmé-tica dos dois números que estiverem no centro.

Exemplos:

Qual é o valor da mediana do conjunto {2, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 8}?

O conjunto já está ordenado e possui nove elementos. Como a quanti-dade total de elementos é representada por um número ímpar, existe um único termo central. Esse termo central é igual a 4 (5.º termo) e corresponde à mediana:

Me = 4

Qual é o valor da mediana do conjunto {2, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 8, 9}?

O conjunto já está ordenado e possui dez elementos. Como a quantida-de de elementos é representada por um número par, existem dois termos centrais que ocupam a 5.ª e a 6.ª posições. Tais elementos são iguais a 4 e 6, respectivamente. Assim, a mediana é igual à média aritmética desses dois termos centrais:


Estatística

145

Me =+

= =4 6

2102

5

Moda

Moda de um conjunto é o elemento desse conjunto que ocorre com maior frequência.

Exemplo:

Qual é a moda do conjunto {2; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 9}?

O valor mais frequente é igual a 6, ocorrendo exatamente três vezes.

Logo, a moda é igual a 6:Mo = 6

Observação:

(1) Quando dois valores ocorrem com a mesma frequência máxima, cada um deles é uma moda. Nesse caso, dizemos que o conjunto é bimodal.

Exemplo:

O conjunto a seguir é bimodal.

1 – 2 – 5 – 5 –5 – 6 – 7 – 7 – 7 – 8 – 9

Assim, tanto 5 quanto 7 podem ser considerados moda do conjunto.

(2) Quando todos os valores ocorrem com a mesma frequência, não há moda. O conjunto, nesse caso é amodal.

Exemplo:

Não há moda no conjunto:

1 – 2 – 4 – 6 – 7 – 8

(3) Quando mais de dois valores ocorrerem com a mesma frequência máxima, cada um deles é uma moda. Nesse caso, dizemos que o conjunto é multimodal.


146

Estatística

Exemplo:

O conjunto a seguir é multimodal.

1 – 1 – 2 – 5 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 9

O número 1, o número 5 ou o número 7 podem ser considerados moda do conjunto.

Comparação entre as medidas de tendência central

Qual das três medidas de tendência central é a melhor?

Não há uma resposta exata, pois não há critérios objetivos para deter-minar a medida mais representativa para qualquer conjunto de dados. De-pendendo das características de um conjunto, cada uma das medidas tem vantagens e desvantagens.

Observe o quadro a seguir:

Medida Vantagem Desvantagem

Média Aritmética Relaciona-se melhor com outras medidas.

Sensível a valores extre-mos.

Mediana Boa escolha se há valores extremos.

Para obtê-la é necessário ordenar o conjunto.

Moda Usada para variáveis quali-tativas. Nem sempre existe.

Medidas de dispersão Existem situações, na Estatística, em que as medidas de tendência cen-

tral, como média aritmética, moda e mediana, são insuficientes para carac-terizar o grupo que se está estudando. Nesse caso, as medidas de dispersão apresentam uma diferente visão do conjunto analisado. Entre as medidas que expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados estatísticos interessam-nos a amplitude, a variância e o desvio padrão.

Amplitude

A amplitude de um conjunto de dados é igual à diferença entre o maior valor e o menor valor.


Estatística

147

Exemplo:

Qual é a amplitude do conjunto {2; 8; 6; 9; 4}?

Representado a amplitude por A, temos:

A = 9 – 2

A = 7

Das medidas de dispersão que estudaremos, a amplitude pode ser consi-derada a mais superficial, por levar em consideração apenas os dois valores extremos, sem levar em conta os valores intermediários.

Variância

Dado um conjunto de n valores {x1, x2, x3, ..., xn} cuja média aritmética é igual a X , a variância dos valores desse conjunto, representada por σ2, é dada por:

s2 1

2

2

2

3

2 2

=-( ) + -( ) + -( ) + + -( )x X x X x X x X

nn

Exemplo:

Qual é a variância do conjunto {2; 8; 6; 9; 5}?

Para calcularmos a variância, antes é necessário calcular a média aritmé-tica do conjunto:

X =+ + + +

= =2 8 6 9 5

5305

6

A variância é dada por:

s2 1

2

2

2

3

2 2

=-( ) + -( ) + -( ) + + -( )x X x X x X x X

nn

s22 2 2 2 22 6 8 6 6 6 9 6 5 6

5=

-( ) + -( ) + -( ) + -( ) + -( )

s2 16 4 0 9 15

=+ + + +

= 6

Logo, a variância é igual a 6.


148

Estatística

Observação:

O valor da variância sempre será representado por um número real posi-tivo. Quando, numa distribuição, a variância é igual a zero, não existe disper-são, ou seja, todos os valores do conjunto são iguais.

Desvio padrão

O desvio padrão de um conjunto de n valores {x1, x2, x3, ..., xn} cuja média aritmética é igual a X , representado por σ, é definido por:

s =-( ) + -( ) + -( ) + + -( )x X x X x X x X

nn1

2

2

2

3

2 2

Observação:

O desvio padrão, assim como a variância, também assume apenas valores reais positivos. Quanto mais próximo de zero for o valor do desvio padrão, mais homogênea é a distribuição de valores, ou seja, mais próximos estão uns dos outros. Por outro lado, quanto maior for o valor do desvio padrão, mais heterogênea será a distribuição de valores.

Exemplo:

Qual é o desvio padrão do conjunto {3; 7; 7; 3}?

Inicialmente, vamos calcular o valor da média aritmética:

X =+ + +

= =3 7 7 3

4204

5

Logo, a média aritmética do conjunto é igual a 5 pontos.

Agora, vamos obter o valor da variância:

s22 2 2 23 5 7 5 7 5 3 5

4=

-( ) + -( ) + -( ) + -( )

s2 4 4 4 44

=+ + +

s

s

2

2

1644

=

=


Estatística

149

O valor da variância é igual a 4.

Como o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, temos:

s s

s

s

=

=

=

2

42

Portanto, o desvio padrão é igual a 2.

Resolução de questões 1. (Cesgranrio) Uma loja de conveniência localizada em um posto de com-

bustível realizou um levantamento sobre o valor das compras realizadas pelos seus clientes. Para tal, tomou uma amostra aleatória de 21 compras, que apresentou, em reais, o seguinte resultado:

Índice Valor Índice Valor Índice Valor

1 19,40 8 22,00 15 18,00

2 14,00 9 34,00 16 29,00

3 18,30 10 15,50 17 34,00

4 27,20 11 28,50 18 15,50

5 8,70 12 34,00 19 13,40

6 10,30 13 10,80 20 17,00

7 7,20 14 15,50 21 19,00

A mediana dessa série de observações é:

a) 15,50.

b) 18,00.

c) 18,30.

d) 28,50.

e) 34,00.


150

Estatística

2. (Cesgranrio) Para responder à próxima questão, utilize os dados da tabela a seguir, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jo-vens entre 14 e 20 anos.

Idades (anos) Frequência acumulada

14 2

15 4

16 9

17 12

18 15

19 18

20 20

Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calcula-

da por x m

n

i

n

-( )å 2

1 . Sabendo-se que m é a média aritmética dessas ida-

des, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens?

a) 0,15.

b) 0,20.

c) 1,78.

d) 3,20.

e) 3,35.

3. (Cesgranrio) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.

Classes (em anos) fi

0 2 5

2 4 2

4 6 4

6 8 2

8 10 7


Estatística

151

A mediana da distribuição de frequência apresentada é:

a) 5,5.

b) 5,6.

c) 5,7.

d) 5,8.

e) 5,9.

4. (Esaf ) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos com-pletos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

5. (Esaf ) Para dados agrupados representados por uma curva de frequên-cias, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica.

a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

b) A moda apresenta o valor intermediário e a média se encontra abaixo da mediana.

c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.

e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.


152

Estatística

6. (Esaf ) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores posi-tivos (X1, X2, ..., Xn):

a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.

b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.

c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.

d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.

e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

7. (Esaf ) Considere a distribuição de frequências transcrita a seguir:

Xi Fi

2 4 9

4 6 12

6 8 6

8 10 2

10 12 1

A média da distribuição é aproximadamente igual a:

a) 5,27.

b) 5,24.

c) 5,21.

d) 5,19.

e) 5,30.


Estatística

153

8. (Esaf ) Considere a distribuição de frequências transcrita a seguir:

Xi Fi

2 4 9

4 6 12

6 8 6

8 10 2

10 12 1

A mediana da distribuição é igual a:

a) 5,30.

b) 5,00.

c) um valor inferior a 5.

d) 5,10.

e) 5,20.

9. (Esaf ) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de:

a) $90.000,00.

b) $91.000,00.

c) $95.000,00.

d) $99.000,00.

e) $100.000,00.

10. (Esaf ) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e femini-no são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa empresa:

a) o número de homens é o dobro do número de mulheres.

b) o número de homens é o triplo do número de mulheres.

c) o número de homens é o quádruplo do número de mulheres.


154

Estatística

d) o número de mulheres é o triplo do número de homens.

e) o número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

11. (Esaf ) O desvio padrão do conjunto de dados A = {2, 4, 6, 8, 10} é, aproxi-madamente:

a) 2,1.

b) 2,4.

c) 2,8.

d) 3,2.

e) 3,6.

12. (Esaf ) Aplicando a transformação z = (x – 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transforma-dos.

a) 6,20.

b) 4,40.

c) 5,00.

d) 7,20.

e) 3,90.

13. (Esaf ) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1 000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte:

Classes Frequência

29,5–39,5 4

39,5–49,5 8

49,5–59,5 14

59,5–69,5 20

69,5–79,5 26

79,5–89,5 18

89,5–99,5 10


Estatística

155

Assinale a opção que corresponde à melhor estimativa da mediana amos-tral do atributo X.

a) 71,04.

b) 65,02.

c) 75,03.

d) 68,08.

e) 70,02.

Dica de estudo Existem dois grupos principais de medidas se que destacam quando

estudamos Estatística: as medidas de tendência central (média aritmética, mediana, moda) e as medidas de dispersão (variância, desvio padrão). Prati-que a resolução de problemas em que os dados são apresentados de forma bruta e organizados em tabela. Com isso, além de desenvolver o cálculo das principais medidas estatísticas, você estará também estudando as tabelas de frequências.

Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Ja-neiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 2.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.


156

Estatística

Gabarito 1. Para obter o valor da mediana, é necessário ordenar o conjunto de valores

e destacar o termo central. Como o conjunto possui 21 termos, ou seja, uma quantidade ímpar de termos, o termo central é único e ocupa a 11.ª posição. Assim, precisamos obter o 11.º termo da sequência ordenada.

Em ordem crescente, temos:

(7,20; 8,70; 10,30; 10,80; 13,40; 14,00; 15,50; 15,50; 15,50; 17,00; 18,00 ... )

Pela sequência apresentada, o 11.º termo é igual a 18,00.

Portanto, a mediana é igual a 18,00.

Resposta: B

2. Inicialmente, observe que as frequências da tabela são acumuladas. En-tão, para facilitar, vamos calcular as frequências absolutas simples:

Idades (anos) Frequência acumulada

Frequência simples

14 2 2

15 4 4 – 2 = 2

16 9 9 – 4 = 5

17 12 12 – 9 = 3

18 15 15 – 12 = 3

19 18 18 – 15 = 3

20 20 20 – 18 = 2

Sabendo-se que são 20 jovens, a média aritmética das idades dos jovens é dada por:


Estatística

157

X

X

=× + × + × + × + × + × + ×

+ + + + + +

= =

2 14 2 15 5 16 3 17 3 18 3 19 2 202 2 5 3 3 3 2

34020

177

O desvio de cada idade é igual à diferença entre o valor da idade e a mé-dia aritmética do conjunto de idades. A variância é igual a média aritmé-tica dos quadrados dos desvios:

s22 2 2 2 22 14 17 2 15 17 5 16 17 3 17 17 3 18 17

=× -( ) + × -( ) + × -( ) + × -( ) + × -( ) +33 19 17 2 20 17

20

6420

3 20

2 2

2

2

× -( ) + × -( )

=

=

s

s ,

Resposta: D

3. Somando-se as frequências, temos:

5 + 2 + 4 + 2 + 7 = 20

Assim, a distribuição é formada por 20 elementos.

Como a mediana divide ao meio a distribuição de valores, procuramos o termo que ocuparia a posição dada por 20/2 = 10.

Vamos construir uma coluna adicional de frequências absolutas acumula-das, observe:

Classes (em anos) fi Fi

0 2 5 5

2 4 2 5 + 2 = 7

4 6 4 7 + 4 = 11

6 8 2 11 + 2 = 13

8 10 7 13 + 7 = 20


158

Estatística

Como procuramos o 10.º elemento, vamos encontrar, inicialmente, a clas-se mediana por um procedimento relativamente simples:

Classes (em anos) fi Fi

0 2 5 5 5 < 10

2 4 2 5 + 2 = 7 7 < 10

4 6 4 7 + 4 = 11 11 > 10

6 8 2 11 + 2 = 13

8 10 7 13 + 7 = 20

Logo, a terceira classe é a da mediana. Como consideramos sete valores até a segunda classe, devemos considerar apenas três valores da ter-ceira classe, com o objetivo de atingirmos 10 valores e encontrarmos a mediana.

A terceira classe é formada por quatro valores. Destes, desejamos con-siderar três valores, ou seja, 3/4 dos valores da terceira classe. Como a amplitude de classe mediana é igual a 2, pois varia de 4 a 6, devemos considerar 3/4 dessa amplitude:

34

2 1 5. ,=

Assim, o valor da mediana é igual ao limite inferior da classe mediana adicionado a 1,5:

Me = 4 + 1,5

Me = 5,5

Portanto, a mediana é igual a 5,5.

Resposta: A

4. A soma dos 37 valores é igual a 1 052.

Logo, a média aritmética das idades é dada por:

X anos= @1 052

3728 4

,


Estatística

159

Colocando os 37 valores em ordem crescente, temos:

23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41,

Em 37 valores ordenados, o 19.º é o termo central e corresponde à media-na. Assim, a mediana é igual a:

Me = 27 anos

O valor mais frequente é igual a 27 anos, ocorrendo exatamente seis vezes. Portanto, a moda é dada por:

Mo = 27 anos

Logo, a mediana e a moda são iguais a 27 anos.

Resposta: E

5. Para uma variável aleatória contínua, os valores da média aritmética, da mediana e da moda indicam a assimetria da curva de distribuição de pro-babilidade da variável, indicando se há ou não deformação e, havendo, se é à direita ou à esquerda.

Para um conjunto de dados aproximadamente simétrico com uma única moda, a média, a mediana e a moda tendem a coincidir.

Observe as três possíveis situações:

Assimétrica à esquerda

A média e a mediana estão à esquerda da

moda.

Ma Me Mo

Simétrica

As três medidas coincidem.

Ma = Me = Mo

Assimétrica à direita

A média e a mediana estão à direita da

moda.

MaMeMo

A distribuição negativa é à esquerda quando a média aritmética é menor que a mediana que, por sua vez, é menor que a moda.

Resposta: C


160

Estatística

6. Inicialmente, vamos relembrar as definições de média aritmética, geomé-trica e harmônica.

Seja um conjunto de n valores positivos x1, x2¸ x3, ..., xn.

A média aritmética desse conjunto, denotada por X , é dada por:

Xx x x x

nn=

+ + + +1 2 3

A média geométrica desse conjunto, denotada por Xg , é dada por:

X x x xg nn= 1 2. . .

A média harmônica desse conjunto, denotada por Xh , é dada por:

X

x x xn

h

n

=+ + +

11 1 1

1 2

Sem perda de generalidade, vamos provar que a média aritmética de dois números positivos, a e b, é maior que ou igual à média geométrica que, por sua vez, é maior que ou igual à média harmônica, ou seja:

X ≥ G ≥ H

Prova 1: a média aritmética é maior que ou igual à média geométrica.

Se a e b são números positivos, então:

a b a a b b

a ab b a b aba b

ab

-( ) ³ ® ( ) - +( ) ³ ®

- + ³ ® + ³ ®+

³

2 2 20 2 0

2 0 22

Mas, Xa b

e X abg=+

=2

, então X Xg³ .

Prova 2: a média geométrica é maior que ou igual à média harmônica.

Sendo c e d números positivos, da desigualdade entre as médias aritméti-ca e geométrica, podemos escrever:


Estatística

161

cdc d

=+2

Fazendo a troca ca

e db

= =1 1

, temos:

cda b ab ab ab

= = = =1 1 1 1 1

. e c d a b+=

+

2

1 1

2

Mas, se cdc d

£+2

, então 11 1

2aba b£

+

Invertendo as frações, podemos escrever:

21 1a b

ab X Xh g

+£ ® £

As três médias somente assumirão o mesmo valor quando todos os valo-res do conjunto forem iguais.

Resposta: D

7. Para uma distribuição de frequências de uma variável aleatória contínua, a média aritmética é calculada utilizando-se o ponto médio dos interva-los de classe ponderados pelas respectivas frequências. Assim, a média aritmética é dada por:

X

X

X

=+ + + +

+ + + +

=+ + + +

=

3 9 5 12 7 6 9 2 11 19 12 6 2 1

27 60 42 18 1130

15830

. . . . .

XX @ 5 27,

Resposta: A


162

Estatística

8. A soma das frequências é dada por:

9 + 12 + 6 + 2 + 1 = 30

Logo, são 30 elementos no total.

Como a mediana é a medida que divide o conjunto ao meio e a metade de 30 é igual a 15, é necessário, antes, encontrar-se a classe a que perten-ce a mediana. Utilizando as frequências acumuladas, observa-se que a se-gunda classe é a classe mediana, pois 9 + 12 = 21 > 15, ou seja, a segunda classe é a primeira cuja frequência acumulada se iguala ou ultrapassa a metade da quantidade de dados.

Até a primeira classe foram consideradas nove observações. Assim, para se considerar 15 observações (a metade de 30), é necessário se considerar mais seis observações (15 – 9 = 6). Como a segunda classe é composta por 12 observações, basta considerar 6 de 12, o que corresponde a 50% do in-tervalo da segunda classe. Como o intervalo da segunda classe varia de 4 a 6, a metade (50%) do intervalo é exatamente 5,00. Portanto, a mediana, que separa 50% do conjunto antes (menores) e 50% depois (maiores), é igual a 5,00.

Resposta: B

9. Preste atenção à seguinte propriedade relativa ao desvio padrão:

Multiplicando (ou dividindo) cada valor de uma distribuição por uma mesma constante k, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por essa constante k.

σ(k.X) = k.σ(X)

Justificativa:

Quando multiplicamos todos os valores de uma distribuição por uma constante k, a média será também multiplicada pela constante k. Logo, o desvio padrão será multiplicado por k:

s( )( ) [ ( )]

.( )

.kXkx kx

n

k x x

nk

x x

nk

ii

n

ii

n

ii

n

=-

=-

=-

== = =å å å2

1

2

1 2

2

1 ss( )X


Estatística

163

Essa propriedade será utilizada para responder à questão uma vez que um aumento de 10% corresponde a multiplicar cada valor por 1,10:

X + 0,10X = (1 + 0,10) . X = 1,10 . X

Assim, quando se aumenta os valores de um conjunto em 10%, por exem-plo, o desvio padrão também aumentará em 10%. Isso se aplica, natural-mente, à média do conjunto.

Portanto o novo salário médio será igual a:

$90.000,00 . 1,10 = $99.000,00

Resposta: D

10. Sejam M e m a média dos salários dos empregados do sexo masculino e a quantidade de empregados do sexo masculino, respectivamente. Além disso, sejam F e f a média dos salários dos empregados do sexo feminino e a quantidade de empregados do sexo feminino, respectivamente.

Se a média dos salários de todos os funcionários é igual a R$500,00, então:

M m F fm f. .+

+= 500

Substituindo os valores das médias salariais dos homens e das mulheres, M = 520 e F = 420, temos:

520 420500

. .m fm f

++

=

520m + 420f = 500 . (m + f)

520m + 420f = 500m + 500f

520m - 500m = 500f - 420f

20m = 80f


164

Estatística

Dividindo ambos os membros por 20, temos:

m = 4f

Portanto, o número de homens é o quádruplo do número de mulheres.

Resposta: C

11. A média aritmética dos valores do conjunto é dada por:

X =+ + + +

= =2 4 6 8 10

5305

6

O desvio padrão é dado por:

s

s

s

=-( ) + -( ) + -( ) + -( ) + -( )

=+ + + +

= =

2 6 4 6 6 6 8 6 10 65

16 4 0 4 165

405

2 2 2 2 2

88 2 2

2 1 4 2 8

=

@ =s . , ,

Logo, o desvio padrão é aproximadamente 2,8.

Resposta: B

12. Preste atenção às seguintes propriedades relativas ao desvio padrão:

Propriedade 1:

Adicionando uma constante k a cada valor de uma distribuição, o desvio padrão não sofrerá alteração:

σ(X + k) = σ(X)


Estatística

165

Justificativa:

s s( )( ) ( )

( )X kx k x k

n

x x

nX

ii

n

ii

n

+ =+ - +[ ]

=-

== =å å2

1

2

1

Propriedade 2

Multiplicando (ou dividindo) cada valor de uma distribuição por uma mesma constante k, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por essa constante k:

σ(k . X) = k . σ(X)

Justificativa:

Quando multiplicamos todos os valores de uma distribuição por uma constante k, a média será também multiplicada pela constante k. Por isso, o desvio padrão também será multiplicado por k:

s( )( ) [ ( )]

.( )

.kXkx kx

n

k x x

nk

x x

nk

ii

n

ii

n

ii

n

=-

=-

=-

== = =å å å2

1

2

1 2

2

1 ss( )X

Na transformação z = (x - 14)/4 a variável x foi subtraída de 14 e, em se-guida, dividida por 4. De acordo com as propriedades, subtrair 14 unida-des não altera o desvio padrão, mas dividir por 4 os valores da variável x fará com que o desvio padrão também fique dividido por 4.

Logo, o desvio padrão da variável z é um quarto do desvio padrão da variável x, ou seja, o desvio padrão da variável x é o quádruplo do desvio padrão da variável z:

σx = 4 . σz

σx = 4 . 1,10

σx = 4,40

Resposta: B


166

Estatística

13. Como são 100 observações, é necessário se encontrar o número que separa as 50 primeiras das 50 últimas. Inicialmente, é preciso encon-trar a classe mediana. Para tanto, utilizamos as frequências acumuladas. Adicionando as frequências absolutas simples até que estas atinjam ou ultrapassem 50 (metade de 100), temos 4 + 8 + 14 + 20 + 26 = 72 > 50. Logo, como tivemos que adicionar até a classe de frequência 26, con-cluímos que a 5.ª classe é a classe mediana. Observe que até a 4.ª classe, exatamente 4 + 8 + 14 + 20 = 46 observações foram consideradas. Ou seja, faltariam apenas 50 – 46 = 4 observações a serem consideradas da 5.ª classe. A 5.ª classe é composta por 26 observações e tem amplitude igual a 70,5 – 69,5 = 10. Assim, devemos considerar 4 das 26 observa-ções o que corresponde à fração 4

26 de 10:

426

10 1 54. ,@

Dessa forma, na mediana encontra-se a 1,54 unidade a partir do limite inferior do intervalo, que é igual a 69,5, ou seja:

Me ≅ 69,5 + 1,54 = 71,04

Resposta: A


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