Eletro_01_ok

5/10/2018 Eletro_01_ok - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/eletro01ok 1/101

Clique para editar o estilo do subtítulo mestre

4/23/12

© 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 1


Capítulo 1

Análise vetorial




4/23/12


1.1 Álgebra vetorial1.1.1 Operações com vetores

Se você caminhar 4 milhas para o norte e depois 3 milhas para oleste (Figura 1.1), terá percorrido um total de 7 milhas, mas nãoestará a 7 milhas de distância de onde saiu — apenas 5.




4/23/12


Nos diagramas, os vetores são denotados pelas setas: ocomprimento da seta é proporcional à magnitude do vetor e a pontada seta indica sua direção e sentido. Menos A (−A) é um vetor com amesma magnitude de A, mas em sentido oposto (Figura 1.2).

Vetores: têm direção e magnitude.Escalares: têm magnitude, mas não direção.Definimos quatro operações vetoriais: soma e três tipos demultiplicação.



4/23/12

slide 4 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados

(i) Soma de dois vetores.(•) Coloque a extremidade inicial de B na

ponta de A; a soma de A+ B é o vetor da extremidade inicial de A à ponta deB (Figura 1.3)



4/23/12


• A soma é comutativa: A + B = B + A.• E também associativa: (A + B) + C = A +

(B + C).• Para subtrair um vetor (Figura 1.4),

some seu oposto



4/23/12


• (ii) Multiplicação por um escalar. Amultiplicação de um vetor por um

escalar positivo a multiplica amagnitude, mas deixa a direçãoinalterada (Figura 1.5). (Se a for negativo, o sentido é invertido.) Amultiplicação por um escalar édistributiva: a( A + B) = aA+aB.


http://slidepdf.com/reader/full/eletro01ok 7/1014/23/12 slide 7 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados

• (iii) Produto interno ou produtoescalar de dois vetores:

• A· B ≡ AB cos θ ,

(1.1)• onde θ é o ângulo formado quando

cauda a cauda. (Figura 1.6)• É comutativo, A · B = B ·A, • distributivo, A· (B + C) = A · B + A · C.

(1.2)•




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 8

Exemplo 1.1Considere que C = A − B (Figura 1.7) e calcule o produtointerno de C consigo mesmo.


http://slidepdf.com/reader/full/eletro01ok 9/1014/23/12 slide 9 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados

• (iv) Produto externo, ou produtovetorial, de dois vetores: A × B ≡ AB senθ (1.4)

• Há duas direções perpendiculares:‘entrando’ e ‘saindo’ do plano. Aambiguidade se resolve com a regra da

mão direita.• Distributivo: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(1.5)• Não comutativo, pois (B × A) = −(A × B).





Problema 1.1 Usando as definições nas equações 1.1 e 1.4, bemcomo os diagramas apropriados, mostre que os produtos escalar evetorial são distributivos,

(a) quando os três vetores são coplanares;(b) no caso geral.Problema 1.2 O produto vetorial é associativo?





1.1.2 Álgebra vetorial: na forma de componentesConsidere que são vetores unitários paralelos aos eixos x, y ez, respectivamente (Figura 1.9(a)). Um vetor arbitrário A pode ser expandido em termos desses vetores de base (Figura 1.9(b)):

manipulação dos componentes:(1.7)




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 12 R e g r a s i ) P a r a s o m a r v e t o r e s , s o m e c o m p o n e n t e s

s e m e l h a n t e s .

( 1 . 8 ) i i ) P a r a m u l t i p l i c a r p o r u m e s c a l a r , m u l t i p l i q u e

c a d a c o m p o n e n t e . C o m o s ã o v e t o r e s u n i t á r i o s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s , ( 1 . 9 )

e n t ã o :

( 1 . 1 0 )

i i i ) P a r a c a l c u l a r o p r o d u t o e s c a l a r , m u l t i p l i q u e c o m p o n e n t e s s e m e l h a n t e s e s o m e .





(1.12)

Portanto,(1.13)

Essa expressão de manejo difícil pode ser escrita de forma maiselegante como o determinante de uma matriz:

(1.14)





iv) Para calcular o produto vetorial, forme o determinante cuja primeiralinha seja cuja segunda linha seja A e cuja terceira linha seja B.Exemplo 1.2Encontre o ângulo entre as diagonais das faces de um cubo.Solução: é preferível usarmos um cubo de lado 1 e colocá-lo como a

Figura 1.10, com um dos vértices na origem.





Problema 1.3 Encontre o ângulo entre as diagonais do corpo de umcubo.Problema 1.4 Use o produto vetorial para encontrar os componentesdo vetor unitário , perpendicular ao plano mostrado na Figura 1.11.





1 . 1 . 3 P r o d u t o s t r i p l o s O p r o d u t o v e t o r i a l d e d o i s v e t o r e s é u m v e t o r , q u e p o d e s e r m u l t i p l i c a d o c o m u m t e r c e i r o p a r a f o r m a r u m p r o d u t o t r i p l o .

( i ) P r o d u t o e s c a l a r t r i p l o : A · ( B × C ) . A · ( B × C ) = B · ( C × A ) = C · ( A × B ) ( 1 . 1 5 )

o s p r o d u t o s t r i p l o s ‘ n ã o a l f a b é t i c o s ’ t ê m s i n a l o p o s t o . N a f o r m a d e

c o m p o n e n t e s ,





(1.16)

iii) Produto vetorial triplo: A×(B×C). Pode ser simplificado pela chamada regraBAC-CAB.

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B). (1.17)Nunca é necessário que uma expressão contenha mais do que um produtovetorial em qualquer dos termos. Por exemplo,

(1.18)





Problema 1.5 Demonstre a regra BAC-CAB escrevendo ambos oslados na forma das componentes.Problema 1.6 Prove que[A × (B × C)] + [B × (C × A)] + [C × (A× B)] = 0.

Em que condições A × (B × C) = (A × B) × C?





1 . 1 . 4 V e t o r e s p o s i ç ã o , d e s l o c a m e n t o e s e p a r a ç ã o A l o c a l i z a ç ã o d e u m p o n t o e m t r ê s d i m e n s õ e s ( F i g u r a 1 . 1 3 ) p o d e s e r d e s c r i t a p o r s u a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ( x , y , z ) . O v e t o r a t é e s s e p o n t o a p a r t i r d a o r i g e m o v e t o r p o s i ç ã o :

( 1 . 1 9 ) m a g n i t u d e d a l e t r a r

( 1 . 2 0 ) é a d i s t â n c i a a p a r t i r d a o r i g e m e

( 1 . 2 1 )

V e t o r s e p a r a ç ã o r : s e p a r a p o n t o f o n t e e p o n t o d e o b s e r v a ç ã o . r ≡ r − r ’ .

.





Vetor deslocamento infinitesimal: (1.22)

notação abreviada é(1.23)

magnitude:(1.24)

e um vetor unitário na direção de r’ a r é(1.25)

Em coordenadas cartesianas,(1.26)

(1.27)

(1.28)





Problema 1.7 Encontre o vetor separação a partir do ponto fonte(2,8,7) até o ponto de observação (4,6,8). Determine sua magnitude

e construa o vetor unitário





1 . 1 . 4 C o m o v e t o r e s p o s i ç ã o t r a n s f o r m a m - s e O s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s q u e u s a m o s é a r b i t r á r i o . M a s e x i s t e u m a l e i d e t r a n s f o r m a ç ã o g e o m é t r i c a p a r a c o n v e r t e r a s c o m p o n e n t e s d e u m

v e t o r d e u m s i s t e m a p a r a o u t r o . A p a r t i r d a F i g u r a 1 . 1 5





(1.29)

Para uma rotação em torno de um eixo arbitrário em três dimensões, alei de transformação assume a forma

(1.30)

Ou, de forma mais compacta(1.31)

um tensor (de segunda ordem) é uma quantidade com nove

componentes, Txx, Txy, Txz, Tyx, . . . , Tzz, que se transforma comdois fatores de R:(1.32)





Problema 1.8 (a) Prove que a matriz de rotação bidimensional (1.29) preservaprodutos escalares. (b) Que restrições os elementos (Rij ) da matriz de rotaçãotridimensional (1.30) devem satisfazer a fim de preservar o comprimento de A(para todos os vetores A)?Problema 1.9 Encontre a matriz de transformação R que descreve uma rotaçãode 120° em torno de um eixo que passa pela origem e pelo ponto (1, 1, 1). A

rotação é no sentido horário quando se olha ao longo do eixo em direção àorigem.Problema 1.10 (a) Como os componentes de um vetor se transformam sob umatranslação de coordenadas (Figura 1.16a)? (b) E sob uma inversão decoordenadas (Figura 1.16b)? (c) Como o produto vetorial (1.13) de dois vetores setransforma sob inversão?




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 25 1 . 2 C á l c u l o d i f e r e n c i a l

1 . 2 . 1 D e r i v a d a s ‘ o r d i n á r i a s ’

( 1 . 3 3 ) n a F i g u r a 1 . 1 7 ( a ) , a f u n ç ã o v a r i a l e n t a m e n t e c o m x e a d e r i v a d a t a m b é m é p e q u e n a . N a F i g u r a 1 . 1 7 ( b ) , f a u m e n t a r a p i d a m e n t e c o m x e a d e r i v a d a é g r a n d e , à m e d i d a q u e n o s a f a s t a m o s d e x = 0 .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 26 . . r a e n e U m t e o r e m a d e d e r i v a d a s p a r c i a i s d i z q u e

( 1 . 3 4 )

A E q u a ç ã o 1 . 3 4 p r o v é m d e u m p r o d u t o e s c a l a r : ( 1 . 3 5 )

o n d e

( 1 . 3 6 )

P r o d u t o e s c a l a r ( 1 . 3 5 ) n a f o r m a a b s t r a t a : ( 1 . 3 7 )





Exemplo 1.3

Encontre o gradiente de

Problema 1.11 Encontre os gradientes das seguintes funções:





Problema 1.12 A altura de um certo morro (em pés) é dada por

onde y é a distância (em milhas) para o norte e x a distância para o lestede South Hadley.(a) Onde fica o topo do morro?

(b) Que altura tem o morro?(c) Quão íngreme é a inclinação (em pés por milha) em um ponto 1 milhaao norte e 1 milha a leste de South Hadley? Em que direção a inclinação émais acentuada, nesse ponto?Problema 1.13 Considere que seja o vetor separação de um ponto fixo( x’ , y, z’ ) até o ponto (x, y, z) e que é o seu comprimento. Mostre que





Problema 1.14 Suponha que f é uma função de apenas duas variáveis (y e z). Mostre que o gradiente transforma-secomo um vetor sob rotações, Equação 1.29.1.2.3 O operador ∇O gradiente tem a aparência formal de um vetor , ‘multiplicando’ um∇

escalar T :

(1.38)O termo entre parênteses chama-se ‘operador del’:

(1.39)





1 . 2 . 4 O d i v e r g e n t e A p a r t i r d a d e f i n i ç ã o d e ∇ c o n s t r u í m o s o d i v e r g e n t e :

( 1 . 4 0 )

A f u n ç ã o v e t o r i a l d a F i g u r a 1 . 1 8 a t e m u m g r a n d e d i v e r g e n t e ( p o s i t i v o ) , a f u n ç ã o d a F i g u r a 1 . 1 8 b t e m d i v e r g e n t e n u l o e a f u n ç ã o n a F i g u r a 1 . 1 8 c t a m b é m t e m d i v e r g e n t e p o s i t i v o .





Exemplo 1.4

Suponha que as funções na Figura 1.18 sejamCalcule seus divergentes.

Problema 1.15 Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:

Problema 1.16 Esboce a função vetorial calcule seu divergente.

Problema 1.17 Mostre que, em duas dimensões, o divergente setransforma como um escalar sob rotações.





1 . 2 5 O r o t a c i o n a l A p a r t i r d a d e f i n i ç ã o d e ∇ , c o n s t r u í m o s o r o t a c i o n a l :

( 1 . 4 1 )

A s t r ê s f u n ç õ e s d a F i g u r a 1 . 1 8 t ê m r o t a c i o n a l n u l o , e n q u a n t o a s f u n ç õ e s d a F i g u r a 1 . 1 9 t ê m r o t a c i o n a i s c o n s i d e r á v e i s , a p o n t a n d o n a d i r e ç ã o z , c o m o s u g e r e a r e g r a d a m ã o d i r e i t a .





Problema 1.18 Calcule os rotacionais das funções vetoriais do

Problema 1.15.Problema 1.19 Construa uma função vetorial que tenha divergentenulo e rotacional nulo em todos os pontos.





1 . 2 . 6 . R e g r a s d e p r o d u t o s

O c á l c u l o d a s d e r i v a d a s o r d i n á r i a s é f a c i l i t a d o p o r u m a s é r i e d e r e g r a s g e r a i s : d e s o m a ; p a r a m u l t i p l i c a ç ã o p o r u m a c o n s t a n t e ; d o p r o d u t o ; d o q u o c i e n t e . E x i s t e m s e i s r e g r a s d e p r o d u t o s , d u a s p a r a g r a d i e n t e s : ( i ) ( ∇ f g ) = f ∇ g + g ∇ f , ( i i ) ( A · B ) = A × ( × B ) + B × ( × A ) + ( A · ) B + ( B · ) A , ∇ ∇ ∇ ∇ ∇

d u a s p a r a d i v e r g e n t e s : ( i i i ) · ∇ ( f A ) = f ( · ∇ A ) + A · ( ∇ f ) , ( i v ) · ( A × B ) = B · ( × A ) − A · ( × B ) , ∇ ∇ ∇

e d u a s p a r a r o t a c i o n a i s : ( v ) × ( ∇ f A ) = f ( × A ) − ∇ A × ( f ∇ ) , ( v i ) ∇ × ( A × B ) = ( B · ) A − ( A · ) B + A ( · B ) − B ( · A ) . ∇ ∇ ∇ ∇




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 35 P r o b l e m a 1 . 2 0 D e m o n s t r e a s r e g r a s d e p r o d u t o s ( i ) , ( i v ) , ( v ) . P r o b l e m a 1 . 2 1 ( a ) S e A e B s ã o d u a s f u n ç õ e s v e t o r i a i s , o q u e a

e x p r e s s ã o ( A · ) B ∇ s i g n i f i c a . ( b ) C a l c u l e o n d e é o v e t o r u n i t á r i o d e f i n i d o n a E q u a ç ã o 1 . 2 1 . c ) P a r a a s f u n ç õ e s d o P r o b l e m a 1 . 1 5 , c a l c u l e ( v a · ) v b . ∇

P r o b l e m a 1 . 2 2 D e m o n s t r e a s r e g r a s d e p r o d u t o s ( i i ) e ( v i ) . C o n s u l t e o P r o b l e m a 1 . 2 1 p a r a a d e f i n i ç ã o d e ( A · ) B . ∇

P r o b l e m a 1 . 2 3 D e d u z a a s t r ê s r e g r a s p a r a q u o c i e n t e s . P r o b l e m a 1 . 2 4 ( a ) V e r i f i q u e a r e g r a d o p r o d u t o ( i v ) ( c a l c u l a n d o c a d a t e r m o s e p a r a d a m e n t e ) , p a r a a s f u n ç õ e s

( b ) F a ç a o m e s m o p a r a a r e g r a d o p r o d u t o ( i i ) . ( c ) F a ç a o m e s m o p a r a a r e g r a ( v i ) .





1 . 2 . 6 S e g u n d a s d e r i v a d a s

O g r a d i e n t e , o d i v e r g e n t e e o r o t a c i o n a l s ã o a p e n a s a s p r i m e i r a s d e r i v a d a s q u e p o d e m o s o b t e r c o m ; a p l i c a n d o - s e ∇ ∇ d u a s v e z e s , p o d e m o s c o n s t r u i r c i n c o t i p o s d e s e g u n d a s d e r i v a d a s . O g r a d i e n t e T ∇ é u m v e t o r , d e f o r m a q u e p o d e m o s o b t e r o s e u d i v e r g e n t e e o s e u

r o t a c i o n a l : ( 1 ) D i v e r g e n t e d o g r a d i e n t e : · ( ∇ ∇ T ) . ( 2 ) R o t a c i o n a l d o g r a d i e n t e : × ( ∇ ∇ T ) . ( 3 ) G r a d i e n t e d o d i v e r g e n t e : ( · v ) . ∇ ∇

( 4 ) D i v e r g e n t e d o r o t a c i o n a l : · ( × v ) . ∇ ∇ ( 5 ) R o t a c i o n a l d o r o t a c i o n a l : × ( × v ) . ∇ ∇




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 37 .

( 1 . 4 3 )

( 2 ) O r o t a c i o n a l d e u m g r a d i e n t e é s e m p r e z e r o : ∇ × ( T ) = 0 . ∇ ( 1 . 4 4 ) A p r o v a d a E q u a ç ã o 1 . 4 4 , s e a p o i a n a i g u a l d a d e d a s d e r i v a d a s c r u z a d a s :

( 1 . 4 5 )

( 3 ) ( · v ) ∇ ∇ p o r a l g u m a r a z ã o r a r a m e n t e o c o r r e e m a p l i c a ç õ e s f í s i c a s e n ã o t e m q u a l q u e r n o m e e s p e c i a l — é a p e n a s o g r a d i e n t e d o d i v e r g e n t e .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 38 ( 4 ) O d i v e r g e n t e d e u m r o t a c i o n a l , c o m o o r o t a c i o n a l d e u m g r a d i e n t e , é s e m p r e n u l o :

∇ · ( × v ) = 0 . ∇ ( 1 . 4 6 ) ( 5 ) C o m o v o c ê p o d e v e r i f i c a r a p a r t i r d a d e f i n i ç ã o d e ∇ :

∇ × ( × v ) = ( · v ) − 2 v . ∇ ∇ ∇ ∇ ( 1 . 4 7 )

P r o b l e m a 1 . 2 5 C a l c u l e o l a p l a c i a n o d a s s e g u i n t e s f u n ç õ e s :

P r o b l e m a 1 . 2 6 P r o v e q u e o d i v e r g e n t e d e u m r o t a c i o n a l é s e m p r e z e r o . V e r i f i q u e p a r a a f u n ç ã o v a n o P r o b l e m a 1 . 1 5 . P r o b l e m a 1 . 2 7 P r o v e q u e o r o t a c i o n a l d e u m g r a d i e n t e é s e m p r e z e r o . V e r i f i q u e

p a r a a f u n ç ã o ( b ) n o P r o b l e m a 1 . 1 1 .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 39 1 . 3 C á l c u l o i n t e g r a l

1 . 3 . 1 I n t e g r a i s d e l i n h a , s u p e r f í c i e e v o l u m e ( i ) I n t e g r a i s d e l i n h a . E x p r e s s ã o d a f o r m a : i n t e g r a ç ã o d e v e s e r f e i t a a o

l o n g o d e u m c a m i n h o d e f i n i d o C , e n t r e o s p o n t o s a e b ( F i g u r a 1 . 2 0 ) . ( 1 . 4 8 )

S e b = a , c o l o c a - s e u m c í r c u l o n o s i n a l d e i n t e g r a l : ( 1 . 4 9 )





Exemplo 1.6Calcule a integral de linha da função do ponto a = (1, 1, 0)ao ponto b = (2, 2, 0), ao longo dos caminhos (1) e (2) da Figura 1.21. Qual é a∮v · d l para o caminho fechado que vai de a a b ao longo de (1) e volta a a aolongo de (2)?





(ii) Integrais de superfície. Expressão da forma:(1.50)

onde v é alguma função vetorial e da é um trecho infinitesimal daárea, perpendicular à superfície (Figura 1.22).





Exemplo 1.7

Calcule a integral de superfície de sobre cinco lados(excetuando o fundo) da caixa cúbica (de lado igual a 2) da Figura 1.23.Considere que ‘para cima e para fora’ é a direção positiva, conforme as setas.




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 43 n e g r a s e v o u m e . m a n e g r a e v o u m e u m a e x p r e s s o a f o r m a

( 1 . 5 1 )

o n d e T é u m a f u n ç ã o e s c a l a r e d r é u m e l e m e n t o d e v o l u m e i n f i n i t e s i m a l . E m c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ,

( 1 . 5 2 )

O c a s i o n a l m e n t e e n c o n t r a m o s i n t e g r a i s d e v o l u m e d e f u n ç õ e s v e t o r i a i s : ( 1 . 5 3 )





Exemplo 1.8

Calcule a integral de volume de T = xyz 2 para o prisma da Figura 1.24.

Solução: pode-se calcular as três integrais em qualquer ordem.





Problema 1.28 Calcule a integral de linha da função da origemao ponto (1,1,1) através de três rotas diferentes:(a) (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1);(b) (0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1);(c) A linha reta, direta.(d) Qual é a integral de linha em torno do caminho fechado que parte ao longo do

caminho (a) e volta ao longo do caminho (b)?Problema 1.29 Calcule a integral de superfície da função no Exemplo 1.7 para ofundo da caixa. Adote ‘para cima’ como a direção positiva. A integral de superfíciedepende somente da linha limite para esta função? Qual é o fluxo total sobre asuperfície fechada da caixa (inclusive o fundo)?Problema 1.30 Calcule a integral de volume da função T = z2 para o tetraedro comcantos em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).





1 . 3 . 2 T e o r e m a f u n d a m e n t a l d o c á l c u l o O t e o r e m a f u n d a m e n t a l d o c á l c u l o d i z q u e :

( 1 . 5 4 )

s e v o c ê c o r t a r o i n t e r v a l o d e a a b ( F i g u r a 1 . 2 5 ) e m p e d a ç o s m i n ú s c u l o s , d x ,

e s o m a r o s i n c r e m e n t o s d f

d e c a d a u m , o

r e s u l t a d o s e r á i g u a l à v a r i a ç ã o t o t a l e m f : f ( b ) − f ( a ) .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 47 . . e o r e m a u n a m e n a p a r a g r a e n e s E m u m a f u n ç ã o e s c a l a r c o m t r ê s v a r i á v e i s T ( x , y , z ) . C o m e ç a n d o n o p o n t o a , n o s

m o v e m o s a u m a p e q u e n a d i s t â n c i a d l 1 . ( F i g u r a 1 . 2 6 ) A f u n ç ã o T s e r á a l t e r a d a p o r u m a q u a n t i d a d e d T = ( T ) · d ∇ l 1 .

A a l t e r a ç ã o t o t a l d e T n o t r a j e t o d e a a b a o l o n g o d o c a m i n h o e s c o l h i d o é ( 1 . 5 5 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 48 C o r o l á r i o 1 : ∫ a b ( ∇ T ) · d l é i n d e p e n d e n t e d o c a m i n h o t o m a d o d e a a b . C o r o l á r i o 2 : ∮ ( ∇ T ) · d l = 0 , j á q u e o s p o n t o s d e i n i c i a l e f i n a l s ã o i d ê n t i c o s ,

p o r t a n t o , T ( b ) − T ( a ) = 0 E x e m p l o 1 . 9

S e j a T = x y 2 , t o m e o p o n t o a c o m o a o r i g e m ( 0 , 0 , 0 ) e b c o m o o p o n t o ( 2 , 1 , 0 ) .

V e r i f i q u e o t e o r e m a f u n d a m e n t a l p a r a g r a d i e n t e s ( F i g u r a 1 . 2 7 ) .





A integral de linha total é 2. Isto é consistente com o teorema fundamental: T (b) − T (a) = 2 − 0 = 2.Calcular a mesma integral no caminho (iii) (linha reta entre a e b):





Problema 1.31 Verifique o teorema fundamental para gradientes, usando T =x2 + 4xy + 2yz3, os pontos a = (0, 0, 0), b = (1, 1, 1) e os três caminhos daFigura 1.28:(a) (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1);(b) (0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1);(c) o caminho parabólico z = x2; y = x.





1 . 3 . 4 T e o r e m a f u n d a m e n t a l p a r a d i v e r g e n t e s O t e o r e m a f u n d a m e n t a l p a r a d i v e r g e n t e s d i z :

( 1 . 5 6 )

T e m p e l o m e n o s t r ê s o u t r o s n o m e s : t e o r e m a d e G a u s s , t e o r e m a d e G r e e n o u t e o r e m a d o d i v e r g e n t e . C o m o o s o u t r o s ‘ t e o r e m a s f u n d a m e n t a i s ’ , d i z q u e a i n t e g r a l d e u m a d e r i v a d a ( n o c a s o o d i v e r g e n t e ) s o b r e u m a r e g i ã o ( n o c a s o u m v o l u m e ) é i g u a l a o v a l o r d a f u n ç ã o n o c o n t o r n o ( n e s t e c a s o a s u p e r f í c i e q u e l i m i t a o v o l u m e ) .





Exemplo 1.10Verifique o teorema do divergente utilizando a função

e o cubo unitário localizado na origem (Figura 1.29).





Para calcular a integral de superfície, consideramos cada um dos seislados do cubo:





Portanto, o fluxo total é:

como se esperava





Problema 1.32 Teste o teorema do divergente para a função.Use o como volume o cubo (Figura 1.30), com lados de

comprimento 2.




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 56 1 . 3 . 5 T e o r e m a f u n d a m e n t a l p a r a r o t a c i o n a i s

C o n h e c i d o p e l o n o m e d e t e o r e m a d e S t o k e s , d i z : ( 1 . 5 7 )

C o m o n o c a s o d o t e o r e m a d o d i v e r g e n t e , o t e r m o d o c o n t o r n o é e m s i u m a i n t e g r a l – d e l i n h a f e c h a d a . A i n t e g r a l d o r o t a c i o n a l s o b r e u m a s u p e r f í c i e r e p r e s e n t a a ‘ q u a n t i d a d e t o t a l d e g i r o ’ , e p o d e m o s t a m b é m d e t e r m i n a r e s s e g i r o p e r c o r r e n d o a b o r d a e d e s c o b r i r q u a n t o f l u x o a t i n g e o c o n t o r n o ( F i g u r a 1 . 3 1 ) .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 57 A c o e r ê n c i a n o t e o r e m a d e S t o k e s é d a d a p e l a r e g r a d a m ã o d i r e i t a : s e

o s d e d o s a p o n t a m n o s e n t i d o d a i n t e g r a l d e l i n h a , o p o l e g a r i r á d e t e r m i n a r o s e n t i d o d e d a ( F i g u r a 1 . 3 2 ) .

C o r o l á r i o 1 : ∫ ( × v ) ∇ · d a d e p e n d e s o m e n t e d a l i n h a d e c o n t o r n o , e n ã o d a s u p e r f í c i e e s p e c í f i c a u t i l i z a d a . C o r o l á r i o 2 : ∮ ( × v ∇ ) · d a = 0 p a r a q u a l q u e r s u p e r f í c i e f e c h a d a , j á q u e a l i n h a d e c o n t o r n o , c o m o a b o c a d e u m b a l ã o , r e d u z - s e a u m p o n t o e , e n t ã o , o l a d o d i r e i t o d a e q u a ç ã o d o s l i d e a n t e r i o r s e a n u l a .





E x e m p l o 1 . 1 1 S u p o n h a V e r i f i q u e o t e o r e m a d e S t o k e s p a r a a s u p e r f í c i e q u a d r a d a m o s t r a d a n a F i g u r a 1 . 3 3 .




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 59 P a r a a i n t e g r a l d e l i n h a , t e m o s d e f a z e r a d e c o m p o s i ç ã o e m q u a t r o

s e g m e n t o s :

P o r t a n t o :





Problema 1.33 Usando a área triangular sombreada da Figura 1.34,verifique o teorema de Stokes para a função:

Problema 1.34 Verifique o Corolário 1 usando a mesma função e amesma linha de contorno do Exemplo 1.11, mas calculando a integralsobre os cinco lados do cubo da Figura 1.35. A face de trás do cubo éaberta.





1 . 3 . 6 I n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s A t é c n i c a c o n h e c i d a c o m o i n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s e x p l o r a a r e g r a d o p r o d u t o p a r a d e r i v a d a s , i n t e g r a n d o a m b o s o s l a d o s e u s a n d o o t e o r e m a f u n d a m e n t a l :

( 1 . 5 8 )

M é t o d o p e r t i n e n t e q u a n d o é p r e c i s o i n t e g r a r o p r o d u t o e n t r e u m a f u n ç ã o ( f ) e a d e r i v a d a d e o u t r a ( g ) .





E x e m p l o 1 . 1 2 C a l c u l e a i n t e g r a l

S o l u ç ã o : a e x p o n e n c i a l p o d e s e r e x p r e s s a c o m o a d e r i v a d a :

p o r t a n t o ,




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 63 P o d e m o s e x p l o r a r a s r e g r a s d e p r o d u t o s d e c á l c u l o v e t o r i a l , j u n t o c o m

o s t e o r e m a s f u n d a m e n t a i s , d a m e s m a f o r m a . P o r e x e m p l o , i n t e g r a n d o · ( ∇ f A ) = f ( · A ) + A · ( ∇ ∇ f ) s o b r e u m v o l u m e e u s a n d o o t e o r e m a d o

d i v e r g e n t e , t e m o s ( 1 . 5 9 )

P r o b l e m a 1 . 3 5 ( a ) M o s t r e q u e

( 1 . 6 0 )

( b ) M o s t r e q u e

( 1 . 6 1 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 64 1 . 4 C o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s

1 . 4 . 1 C o o r d e n a d a s p o l a r e s e s f é r i c a s

A s c o o r d e n a d a s p o l a r e s e s f é r i c a s ( r , θ , Φ ) d e u m p o n t o P e s t ã o d e f i n i d a s n a F i g u r a 1 . 3 6 ; г é a d i s t â n c i a a p a r t i r d a o r i g e m ( a m a g n i t u d e d o v e t o r p o s i ç ã o ) , θ ( o â n g u l o f o r m a d o c o m o e i x o z ) é o c h a m a d o

â n g u l o p o l a r e Φ ( o â n g u l o d e c o n t o r n o a p a r t i r d o e i x o x ) é o â n g u l o a z i m u t a l . S u a r e l a ç ã o c o m a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ( x , y , z ) : x = r s e n θ c o s Φ , y = r s e n θ s e n Φ , z = r c o s θ . ( 1 . 6 2 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 65 g u r a . m o s r a o s r s v e o r e s u n r o s q u e a p o n a m n a d i r e ç ã o d o a u m e n t o d a s c o o r d e n a d a s c o r r e s p o n d e n t e s .

E l e s c o n s t i t u e m u m a b a s e o r t o g o n a l e q u a l q u e r v e t o r A p o d e s e r e x p r e s s o e m t e r m o s d e s s e s v e t o r e s u n i t á r i o s , d a m a n e i r a u s u a l :

( 1 . 6 3 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 66 A r , A θ e A φ s ã o a s c o m p o n e n t e s r a d i a l , p o l a r e a z i m u t a l d e A . E m t e r m o s d o s v e t o r e s u n i t á r i o s c a r t e s i a n o s ,

( 1 . 6 4 )

A l e r t a : e s t ã o a s s o c i a d o s a u m p o n t o e s p e c í f i c o P e e l e s m u d a m

d e d i r e ç ã o à m e d i d a q u e P s e m o v i m e n t a . E m g e r a l , s e v o c ê n ã o e s t i v e r c e r t o q u a n t o à v a l i d a d e d e u m a o p e r a ç ã o , e x p r e s s e o p r o b l e m a n o v a m e n t e e m c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s , n a s q u a i s e s s a d i f i c u l d a d e n ã o o c o r r e . N a F i g u r a 1 . 3 7 , e , n o e n t a n t o , a m b o s s e r i a m e s c r i t o s c o m o e m c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s . U m d e s l o c a m e n t o i n f i n i t e s i m a l n a d i r e ç ã o é s i m p l e s m e n t e d r ( F i g u r a

1 . 3 8 a ) , d a m e s m a f o r m a q u e u m e l e m e n t o i n f i n i t e s i m a l d e c o m p r i m e n t o n a d i r e ç ã o x é d x :

d l r = d r . ( 1 . 6 5 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 67 . , n ã o é a p e n a s d θ , m a s s i m r d θ :

d l θ = r d θ . ( 1 . 6 6 )

U m e l e m e n t o i n f i n i t e s i m a l d e c o m p r i m e n t o n a d i r e ç ã o é r s e n θ d φ ( F i g u r a 1 . 3 8 c )

( 1 . 6 7 )

P o r t a n t o , o d e s l o c a m e n t o i n f i n i t e s i m a l g e r a l d l é ( 1 . 6 8 )





O d e s l o c a m e n t o i n f i n i t e s i m a l g e r a l d l é ( 1 . 6 9 )

S e v o c ê e s t i v e r c a l c u l a n d o a i n t e g r a l s o b r e a s u p e r f í c i e d e u m a e s f e r a , e n t ã o r é c o n s t a n t e , e n q u a n t o θ e φ v a r i a m ( F i g u r a 1 . 3 9 ) , e n t ã o :





E x e m p l o 1 . 1 3

E n c o n t r e o v o l u m e d e u m a e s f e r a d e r a i o R . S o l u ç ã o :




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 72 P r o b l e m a 1 . 3 6 E n c o n t r e a s f ó r m u l a s p a r a r , θ , φ e m t e r m o s d e x , y , z

P r o b l e m a 1 . 3 7 E x p r e s s e o s v e t o r e s u n i t á r i o s e m t e r m o s d e P r o b l e m a 1 . 3 8 ( a ) U s a n d o , c o m o v o l u m e , a e s f e r a d e r a i o R . c e n t r a d a n a o r i g e m , v e r i f i q u e o t e o r e m a d o d i v e r g e n t e p a r a a f u n ç ã o ( b ) F a ç a o m e s m o p a r a . P r o b l e m a 1 . 3 9 C a l c u l e o d i v e r g e n t e d a f u n ç ã o

V e r i f i q u e o t e o r e m a d o d i v e r g e n t e p a r a e s t a f u n ç ã o , u s a n d o p a r a o v o l u m e ( F i g u r a 1 . 4 0 ) . P r o b l e m a 1 . 4 0 C a l c u l e o g r a d i e n t e e o l a p l a c i a n o d a f u n ç ã o T = r ( c o s θ + s e n θ c o s φ ) . V e r i f i q u e o l a p l a c i a n o c o n v e r t e n d o T e m c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s e u s a n d o a E q u a ç ã o 1 . 4 2 . T e s t e o t e o r e m a d o g r a d i e n t e , u s a n d o o c a m i n h o d a F i g u r a 1 . 4 1 d e ( 0 , 0 , 0 ) a ( 0 , 0 , 2 ) .





1.4.2 Coordenadas cilíndricas

As coordenadas cilíndricas (s, φ, z ) de um ponto P estão definidas na Figura1.42. A relação com as coordenadas cartesianas é x = s cos φ, y = s sen φ, z = z. (1.74)Os vetores unitários são

(1.75)

Os deslocamentos infinitesimais são:dls = ds, dlφ = s dφ, dlz = dz, (1.76)

portanto (1.77)

e o elemento de volume édτ = s ds dφdz . (1.78)





As derivadas vetoriais em coordenadas cilíndricas são:





Problema 1.41 Expresse os vetores unitários cilíndricos.

‘Inverta’ as fórmulas para chegar a

Problema 1.42 (a) Encontre o divergente da função

(b) Teste o teorema do divergente para essa função, usando o quarto de cilindro(raio 2, altura 5) da Figura 1.43.(c) Encontre o rotacional de v.





1 . 5 A f u n ç ã o d e l t a d e D i r a c 1 . 5 . 1 O d i v e r g e n t e d e

C o n s i d e r e a f u n ç ã o v e t o r i a l : ( 1 . 8 3 )

E m c a d a l o c a l i z a ç ã o , v é d i r i g i d o r a d i a l m e n t e p a r a f o r a ( F i g u r a 1 . 4 4 ) ; M a s q u a n d o s e c a l c u l a o d i v e r g e n t e , c h e g a - s e a z e r o :

( 1 . 8 4 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 78 C a l c u l a n d o a i n t e g r a l s o b r e u m a e s f e r a d e r a i o R , c e n t r a d a n a o r i g e m , a i n t e g r a l d e

s u p e r f í c i e é

( 1 . 8 5 )




4/23/12 © 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservadosslide 79 1 . 5 . 2 A f u n ç ã o d e l t a d e D i r a c u n i d i m e n s i o n a l

I l u s t r a d a c o m o u m ‘ p i c o ’ i n f i n i t a m e n t e a l t o e i n f i n i t e s i m a l m e n t e e s t r e i t o , c o m á r e a 1 ( F i g u r a 1 . 4 5 ) .

( 1 . 8 6 )

e ( 1 . 8 7 )

c o n h e c i d a c o m o f u n ç ã o g e n e r a l i z a d a o u d i s t r i b u i ç ã o . ( F i g u r a 1 . 4 6 )

S e f ( x ) f o r a l g u m a f u n ç ã o ‘ o r d i n á r i a ’ o p r o d u t o f ( x ) δ ( x ) é z e r o e m q u a l q u e r l u g a r , e x c e t o e m x = 0 . S e g u e - s e q u e

( 1 . 8 8 )

E m p a r t i c u l a r ( 1 . 8 9 )





É c l a r o q u e p o d e m o s m u d a r o p i c o d e x = 0 p a r a a l g u m o u t r o p o n t o , x = a ( F i g u r a 1 . 4 7 ) :

( 1 . 9 0 )

A E q u a ç ã o 1 . 8 8 t o r n a - s e f ( x ) δ ( x − a ) = f ( a ) δ ( x − a ) , ( 1 . 9 1 )

e a E q u a ç ã o 1 . 8 9 g e n e r a l i z a - s e p a r a

( 1 . 9 2 )





Exemplo 1.14

Calcule a integral

Solução: a função delta escolhe o valor de x 3 no ponto x = 2,

portanto a integral é 23 = 8. Observe, porém, que se o limitesuperior fosse 1 (em vez de 3), a resposta seria 0, porque opico, nesse caso, ficaria fora do domínio de integração.





Duas expressões que envolvem funções delta (digamos D1(x) eD2(x)) são consideradas iguais se

(1.93)

para todas as funções (‘ordinárias’) f (x).





Exemplo 1.15Mostre que

(1.94)

onde k é qualquer constante (diferente de zero).Solução: para uma função de teste arbitrária f(x),considere a integral

Dentro da integral, então, δ (kx) serve ao mesmo propósitoque (1/|k|)δ(x):





1.5.3 A função delta tridimensionalÉ fácil generalizar a função delta para três dimensões:

δ3(r) = δ(x) δ(y) δ(z). (1.96)

Sua integral de volume é 1:

(1.97)

E generalizando a Equação 1.92,

(1.98)

(1.99)





De forma mais geral,

(1.100)

A propósito, como(1.101)

segue-se que

(1.102)





Exemplo 1.16Calcule a integral

onde V é uma esfera de raio R centrada na origem.Solução 1: use a Equação 1.99 para reescrever o divergente, ea Equação 1.98 para fazer a integral

Solução 2: usando a Equação 1.59, transferimos a derivada depara (r2 + 2):





O gradiente é

de forma que a integral de volume torna-se

Enquanto isso, no contorno da esfera (onde r = R),

de forma que a integral de superfície torna-se

Juntando tudo, então,

Como antes.





Problema 1.46 (a) Escreva uma expressão para a densidadevolumétrica de carga elétrica ρ(r) de uma carga pontual q em r’.Certifique-se de que a integral de volume de ρ seja igual a q.(b) Qual é a densidade volumétrica de carga de um dipolo elétrico queconsiste de uma carga pontual −q na origem e de uma carga pontual +q

em a?(c) Qual é a densidade volumétrica de carga de uma casca esféricauniforme infinitesimalmente fina, de raio R e carga total Q, centrada naorigem?





Problema 1.47 Calcule as seguintes integrais:





1.6 A teoria dos campos vetoriais1.6.1 O teorema de HelmholtzPara resolver uma equação diferencial, você precisa ter, também, ascondições de contorno adequadas. Em eletrodinâmica, normalmente pede-se que os campos anulem-se ‘no infinito’. Com essa informação extra, oteorema de Helmholtz garante que o campo seja univocamente determinadopelo divergente e pelo rotacional1.6.2 Potenciais

∇× F = 0 F = − V.∇ (1.103)




4/23/12


Teorema 1: Campos de rotacional nulo (ou ‘irrotacionais’). Asseguintes condições são equivalentes (ou seja, F satisfará uma se esomente se satisfizer todas as outras):(a) × F∇ = 0 em todo o espaço.(b) F · dl é independente do caminho, para quaisquer pontos

extremos.(c)∮F · dl = 0 para qualquer caminho fechado.(d) F é o gradiente de uma função escalar, F = −∇V .Se o divergente de um campo vetorial (F) se anula, então F pode ser expressocomo o rotacional de um potencial vetorial (A):

∇· F = 0 F = × A∇ . (1.104)




4/23/12


Teorema 2: Campos sem divergente (ou ‘solenoidais’). As seguintescondições são equivalentes:(a) · F = 0∇ em toda parte.(b) ∫F · da é independente de superfície, para qualquer linha limite dada.(c)∮F · da = 0 para qualquer superfície fechada.(d) F é o rotacional de algum vetor, F = ×∇ A.

Em todos os casos, um campo vetorial F pode ser escrito como

(1.105)




4/23/12


Problema 1.49 (a) Considere F1 Calcule odivergente e o rotacional de F1 e F2. Qual deles pode ser escrito como o gradientede um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escritocomo o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado.(b) Mostre que pode ser escrito tanto como o gradiente de umescalar como o rotacional de um vetor.Encontre os potenciais escalar e vetorial para esta função.Problema 1.50 Para o Teorema 1, mostre que (d) ⇒( a), (a) (c),⇒ ( c) (b), (b)⇒ ⇒

(c) e (c) (a).⇒

Problema 1.51 Para o Teorema 2, mostre que (d) (a), (a) (c), (c) (b), (b)⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(c) e (c) (a).⇒

Problema 1.52 (a) Qual dos vetores do Problema 1.15 pode ser expresso como ogradiente de um escalar? Encontre uma função escalar que seja a solução.

(b) Qual deles pode ser expresso como o rotacional de um vetor? Encontre essevetor.




4/23/12


Mais problemas do Capítulo 1Problema 1.53 Verifique o teorema do divergente para a função

usando como volume um octante de uma esfera de raio R (Figura 1.48).Certifique-se de incluir toda a superfície.Problema 1.54 Verifique o teorema de Stokes usando a função

e o caminho circular de raio R, centrado na origem no plano xy.Problema 1.55 Calcule a integral de linha de

ao longo do caminho triangular mostrado na Figura 1.49. Confira a sua respostausando o teorema de Stokes.




4/23/12


Mais problemas do Capítulo 1Problema 1.53 Verifique o teorema do divergente para a função

usando como volume um octante de uma esfera de raio R (Figura 1.48).Certifique-se de incluir toda a superfície.Problema 1.54 Verifique o teorema de Stokes usando a função

e o caminho circular de raio R, centrado na origem no plano xy.Problema 1.55 Calcule a integral de linha de

ao longo do caminho triangular mostrado na Figura 1.49. Confira a suaresposta usando o teorema de Stokes.




4/23/12





4/23/12


Problema 1.56 Calcule a integral de linha de

através do caminho mostrado na Figura 1.50Problema 1.57 Verifique o teorema de Stokes para a função usando asuperfície triangular mostrada na Figura 1.51.Problema 1.58 Verifique o teorema do divergente para a função

usando o volume do ‘cone de sorvete’, mostrado na Figura 1.52

Problema 1.59 Aqui estão duas verificações bonitas para os teoremasfundamentais:(a) Combine o Corolário 2 para o teorema do gradiente com o teorema deStokes (v = T ∇ ). Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabiasobre as segundas derivadas.(b) Combine o Corolário 2 para o teorema de Stokes com o teorema do

divergente. Mostre que o resultado é coerente com o que você já sabia.




4/23/12


Problema 1.60 Embora os teoremas do gradiente, do divergente e do rotacionalsejam os teoremas fundamentais do cálculo integral vetorial, é possível derivar uma série de corolários a partir deles. Mostre que:

Problema 1.61 A integral

(1.106)

(a) Encontre a área vetorial de uma meia-esfera de raio R.(b) Mostre que a = 0 para qualquer superfície fechada.




(c) Mostre que a é o mesmo para todas as superfícies que têm o mesmo contorno.(d) Mostre que(1.107)

onde a integral é em torno da linha de contorno.(e) Mostre que

(1.108)

para qualquer vetor constante cProblema 1.62 (a) Encontre o divergente da função

(b) Encontre o rotacional de

Verifique sua conclusão usando o Problema 1.60b.

Eletro_01_ok

Documents

Transcript of Eletro_01_ok